高斯投影计算
大地测量学第六章高斯投影及其计算
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
高斯投影6度和3度分带计算公式
高斯投影6度和3度分带计算公式高斯投影6度和3度分带计算公式什么是高斯投影6度和3度分带？•高斯投影是一种常用于大地测量和地图制图的投影方法。
根据地球的形状和表面特征，我们将地球划分成了若干个分带，每个分带的宽度为6度或3度。
•6度和3度分带指的是每个分带的经度跨度。
例如，6度分带就是每个分带的中央经线与相邻分带的中央经线之间跨越6度。
高斯投影6度和3度分带计算公式6度分带投影计算公式1.计算投影平面与地球经度的差值：L=λ−L02.计算弧长元素：N=a/√1−e2⋅sin2φ3.计算卯酉圈曲率半径：M=N⋅(1−e2)=a⋅(1−e2)/(1−e2⋅sin2φ)4.计算子午线弧长：A=(1+3e2/4+45e4/64+175e6/256+11025e8/16384)⋅N5.计算坐标系原点到点的子午线弧长：S=A−A06.计算纬度差：t=tanφ7.计算坐标Y轴偏移量：y=x⋅cosφ8.计算坐标X、Y（单位：m）：X=S−N⋅tanφ2⋅L2−N⋅tanφ24⋅(5−t2+9C2+4C4)⋅L4−N⋅tanφ720⋅(61−58t2+t4−270C2+330C4)⋅L6Y=N⋅L⋅cosφ1+N⋅L3⋅cosφ6⋅(1−t2+C2)+N⋅L5⋅cosφ120⋅(5−18t2+t4+14C2−58C4)3度分带投影计算公式1.计算投影平面与地球经度的差值：L=λ−L02.计算弧长元素：N=a/√1−e2⋅sin2φ3.计算卯酉圈曲率半径：M=N⋅(1−e2)=a⋅(1−e2)/(1−e2⋅sin2φ)4.计算子午线弧长：A=(1+3e2/4+45e4/64+175e6/256+11025e8/16384)⋅N5.计算坐标系原点到点的子午线弧长：S=A−A06.计算纬度差：t=tanφ7.计算坐标Y轴偏移量：y=x⋅cosφ8.计算坐标X、Y（单位：m）：X=S−N⋅tanφ2⋅L2+N⋅tanφ24⋅(5+t2+9C2+4C4)⋅L4−N⋅tanφ720⋅(61+90t2+45t4+46C2−252C4−90C6)⋅L6Y=N⋅L⋅cosφ1+N⋅L3⋅cosφ6⋅(1+2t2+C2)+N⋅L5⋅cosφ120⋅(5+28t2+24t4+6C2+8C4)示例解释假设我们需要计算某个点在高斯投影6度分带中的投影坐标。
高斯投影3度带计算公式
高斯投影3度带计算公式
高斯投影是一种常用的地图投影方法，广泛应用于地理信息系统和地图制作中。
其中，高斯投影3度带是指将地球划分为每3度经度为一个投影带，每个投影带都有其特定的计算公式。
以下是高斯投影3度带的计算公式。
1.计算中央子午线经度
中央子午线经度可以通过经度除以3再取整得到。
例如，经度120度所在的投影带的中央子午线经度为39度。
2.计算投影坐标系原点
投影坐标系原点的纬度可以通过将纬度分为北纬和南纬两个区间，再通过选择不同的公式计算得到。
北纬区间为0度到84度，南纬区间为0度到80度。
公式如下：
在北纬区间内，原点纬度等于3度带数乘以3度再减去1.5度；
在南纬区间内，原点纬度等于80度减去3度带数乘以3度再减去1.5度。
3.计算投影系数
投影系数是指将经纬度转换为XY平面坐标的转换参数。
根据不同的投影带和纬度区间，投影系数有不同的计算公式。
可以使用以下公式计算投影系数：
投影系数等于扁率乘以半长轴，再乘以纬度差值，再除以360。
4.计算辅助角度
辅助角度可以通过以下公式计算得到：
辅助角度等于经度差值乘以60等于输入经度减去中央子午线经度。
5.计算投影坐标
投影坐标由X和Y两个部分组成，可以通过以下公式计算得到：
X等于投影系数乘以辅助角度的正弦值；
Y等于投影系数乘以辅助角度的余弦值。
这就是高斯投影3度带的计算公式。
通过这些公式，可以将经纬度坐标转换为平面坐标，实现地图投影和测量分析等功能。
高斯投影3度带的计算公式是地图制作和测绘工作中的重要工具，具有广泛的应用前景。
高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换——高斯投影的正算与反算.
昆明冶金高等专科学校测绘学院 （4）计算公式
3 2 2 2 4 ( 5 3 t 9 t ) y f f f f 2M f N f 2 4M f N 3 f tf 2 4 6 (6 1 9 0t f 4 5t f ) y 7 2 0M f N 5 f 1 1 2 2 3 l y (1 2t f f ) y 3 N f co s B f 6 N f co s B f 1 2 5 (5 2 8t 2 t4 2 2 f 24 f 6 f 8 f t f )y 5 1 2 0N f co s B f B Bf tf y2 tf
式中：
2 e 2 cos2 B
t 2 tan2 B l （L L0） X为B对应子午线弧长 N为卯酉圈曲率半径 20626 5
昆明冶金高等专科学校测绘学院
2
高斯投影坐标反算公式
（1）高斯投影反算：
已知某点 x, y ，求该点 L, B ，即 x, y ( L, B) 的坐标变换。 （2）投影变换必须满足的条件
昆明冶金高等专科学校测绘学院
二、高斯投影坐标正反算得实用公式及算例
1 高斯投影坐标正算公式 （1）高斯投影正算： 已知某点的 L, B ，求该点的 x, y ，即 （2）投影变换必须满足的条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。 （3）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点 P1 和 P2 ,它们的大地坐标 分别为 ( L1 , B1 )或（l1 , B1）及 （L2 , B2）或(l2 , B2 ) 式中 l 为椭球面上点的经 度与中央子午线 ( L0 ) 的经度差：l L L0 ,点在中央子午线之东, l 为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为P1 ( x1 , y1 ) 和 P2 ( x 2 , y 2 ) 。
高斯投影坐标计算
l 4
4
)
2、高斯投影坐标反算公式
已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算。 B 1 ( x, y ) 函数式： l 2 ( x, y ) 同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴； (2) x 轴上长度投影保持不变； (3) 正形投影条件。
B ) cos
B
N b2 b3 b 4 b5
N
f
y cos B f cos
2
( 0 . 5 0 . 00336975
B f ) sin B f cos B f 0 . 001123 cos
2 2 2 2
0 . 333333 ( 0 . 1666667
高斯投影的特点分析
(1)当l等于常数时，随着B的增加x值增大，y值 减小；无论B值为正或负，y值不变。这就是说， 椭球面上除中央子午线外，其他子午线投影后， 均向中央子午线弯曲，并向两极收敛，同时还 对称于中央子午线和赤道。 (2)当B等于常数时，随着l的增加，x值和y值都 增大。所以在椭球面上对称于赤道的纬圈，投 影后仍成为对称的曲线，同时与子午线的投影 曲线互相垂直凹向两极。
(1)中央子午线投影后为直线； (2)中央子午线投影后长度不变； (3)投影具有正形性质，即正形投影 条件。
高斯投影坐标正算
l =3／ρ=0.052
1) 由第一个条件（中央子午线投影后为直线） 可知，由于地球椭球体是一个旋转椭球体，即 中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子 午线。 x 为 l 的偶函数，而y 则为 l 的奇函数。
B f ) cos
2
2
高斯投影坐标计算
B
d B dq
2
dX dq dq
c
(
cos B dV V dB
2
dB dq
sin B dB V dq
2
)
2
d B dq
2
cos B c ( tan B V
2 2
3
V
sin B cos B
)
N sin B cos B
同理得
d X dq
3
N cos B ( 1
3
3
2
0
l
L
L
0
高斯投影坐标正算的函数式：
x y
l 是以弧度为单位的经度差。
F B , l F B , l
1 2
一 高斯投影坐标正算公式计算
如图，椭球面上一点投影 到平面后为d点，椭球面上 该点的平行圈（B或q为一 常数）与中央子午线的交 点为e点，若将上式中的展 开点z0设为e处，则很据高 斯投影条件，中央子午线 的长度比m=1，且纵坐标x 等于从赤道起到该平行圈 间的子午线弧长X。此时 可以写出下列方程：
4 2
二、高斯投影坐标反算公式
最后得到坐标反算的公式为：
B B
f
2M
f
t
f
y N
f
2
t 24 M
2 f
f
f
f
N
4 f
3 f
5 3 t
6
2 f
2 f
9 f t
2
2 f
y
4
t
高斯投影正反算公式
高斯投影坐标正反算一、基本思想：高斯投影正算公式就是由大地坐标（L ，B ）求解高斯平面坐标（x ，y ），而高斯投影反算公式则是由高斯平面坐标（x ，y ）求解大地坐标（L ，B ）。
二、计算模型：基本椭球参数：椭球长半轴a椭球扁率f椭球短半轴：(1)b a f =-椭球第一偏心率：e a= 椭球第二偏心率：e b'=高斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ 5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos l t t t B N l t B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ其中：角度都为弧度B 为点的纬度，0l L L ''=-，L 为点的经度，0L 为中央子午线经度； N 为子午圈曲率半径，1222(1sin )N a e B -=-；tan t B =； 222cos e B η'=1803600ρπ''=*其中X 为子午线弧长：2402464661616sin cos ()(2)sin sin 33X a B B B a a a a a B a B ⎡⎤=--++-+⎢⎥⎣⎦02468,,,,a a a a a 为基本常量，按如下公式计算：200468242684468686883535281612815722321637816323216128m a m m m m m m a m m m a m m m m a m a ⎧=++++⎪⎪⎪=+++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=⎪⎩02468,,,,m m m m m 为基本常量，按如下公式计算：22222020426486379(1);;5;;268m a e m e m m e m m e m m e m =-====；高斯投影反算公式：此公式换算的精度为0.0001’’.()()()()2222243246532235242225053922461904572012cos 6cos 5282468120cos f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f ff f f f f f ft t B B y t t yM N M N t y t t yM N y y l t N B N B y t t t N B L l L ηηηηη=-+++--++=-+++++++=+其中： 0L 为中央子午线经度。
6高斯投影及其计算
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
（二）投影变形 角度变形、长度变形和面积变形三种。 （三）投影长度比与变形指标 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。长度变形—— v= m-1 变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上微分圆： 投影平面上对应为微分椭圆：
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
二、正形投影特性 1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。 2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件是在微小范围内成立。
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
三、正形投影的一般条件 正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
y/（km）
10
20
30
40
50
100
150
200
250
300
长度变形m-1
1/810000
1/202000
1/90000
1/50000
1/32000
1/8000
1/3500
1/2000
1/1300
1/900
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
应用大地测量学
三、高斯投影的分带 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
应用大地测量学
三、距离改正计算 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
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确定投影关系 -----数学规则 数学规则
x = F1 ( B, L) y = F2 ( B, L)
x = f1 ( q , l ) y = f 2 (q, l )
确定F 确定 1，F2或f1，f2
二、高斯投影条件 (Condition of Gauss projection)
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
2. 具体计算内容
高斯投影
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
m1 = −
dn0 dq 1 dn1 2 dq
1 dn2 3 dq
n0 →m →n2 →m3 →n4 →m5...... 1
m2 = −
m3 = −
1 dm3 n4 = 4 dq
n5 = 1 dm4 5 dq
m4 = −
1 dn3 4 dq
m0 →n1 →m2 →n3 →m4 →n5......
m5 = −
4. 分带投影的缺点 (Shortcoming of belt dispartion) (1) 不便于跨带三角锁网平差 (2) 不利于图幅拼接 解决办法 西带向东带重迭30 西带向东带重迭 ‘ 东带向西带重迭15 东带向西带重迭 ‘
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
1 dn4 5 dq
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
2. 求待定系数 (2)引入高斯投影的三个条件 引入高斯投影的三个条件 B. 中央子午线投影为纵坐标轴 即l=0时y=0。代入投影方程 时
三、高斯投影的分带 (Belt dispartion of Gauss projection)
3. 分带的方法 (Method of belt dispartion) (1) 6°带划分 6°带中央子午线的经度计算公式
L0 = 6 ⋅ n −3
1 n = ( L0 + 3 ) 6
n为带号 为带号
已知6 已知 °带中央子午线的经度反算带号
计算任意经度所在投影带的带号公式
n= L 的整数商 + （有余数时） 1 6
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
三、高斯投影的分带 (Belt dispartion of Gauss projection)
3. 分带的方法 (Method of belt dispartion) (2) 3°带划分 3°带中央子午线的经度计算公式
中央子午线的含义：假定零子午线 中央子午线的含义：
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
三、高斯投影的分带 (Belt dispartion of Gauss projection)
1. 为什么要分带 (Why) 为了有效地控制长度变形 2. 如何分带 (How) 将椭球面沿子午线划分成若干个经差相等的狭窄地带各 带分别投影 3. 分带的方法 (Method) 三度带和六度带
得 n0 = m1 = n2 = m3 = n4 = m5 = ... = 0
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
2. 求待定系数 (2)引入高斯投影的三个条件 引入高斯投影的三个条件 B. 中央子午线投影为纵坐标轴
的函数） （式中待定系数是等量纬度q的函数） 式中待定系数是等量纬度 的函数
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
2. 求待定系数 (1) 对级数展开式求偏导数 对x
对y
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
投影方程
X = F1 ( B , L ) Y = F2 ( B , L )
x = f1 ( q , l ) y = f 2 (q, l )
2. 求待定系数
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
3. 正算公式具体形式 （1） 精度0.m1 ）
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
1． 正形条件； ． 正形条件； 2． 中央子午线投影为纵坐标轴； ． 中央子午线投影为纵坐标轴； 3. 中央子午线投影后长度不变。 中央子午线投影后长度不变。
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
条件1 投影是正形投影，满足柯西-黎曼微分方程 黎曼微分方程， 条件 说明高斯 投影是正形投影，满足柯西 黎曼微分方程，主方向长 度比a=b 度比 条件2和条件 是两个附加的条件 条件 和条件3是两个附加的条件 和条件
2. 求待定系数 (2)引入高斯投影的三个条件 引入高斯投影的三个条件 A. 正形条件
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
n0 = ?
m0 = ?
dm 0 n1 = dq
1 dm1 n2 = 2 dq 1 dm 2 n3 = 3 dq
大地测量学基础
Foundation of geodesy
椭球面元素归算至平面----高斯投影 椭球面元素归算至平面 高斯投影 Elements of ellipsiod reduce to a plan Guass projection
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
三、高斯投影的分带 (Belt dispartion of Gauss projection)
3. 分带的方法 (Method of belt dispartion)
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
投影方程简化为
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
2. 求待定系数 (2)引入高斯投影的三个条件 引入高斯投影的三个条件 B. 中央子午线投影后长度不变形 即l=0时x=X。代入投影方程 时
得
L0 = 3 ⋅ n′
n′ = L0
n’为带号
已知3 已知 °带中央子午线的经度反算带号
3
计算任意经度所在投影带的带号公式
n = ( L − 1 .5) 3 +1
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
Gauss — Kruger projection
三、高斯投影的分带 (Belt dispartion of Gauss projection)
3. 正算公式具体形式 （2） 精度0.m001 ）
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 二、公式分析 (Formula analysis)
中央子午线 赤道 中央子午线和赤道交点
一般子午线
平行圈
高斯投影正算公式
Direct solution of Gauss projection 三、实用公式 （Utility formula） ）
四、高斯投影的计算内容 (Calculation contents of Gauss projection)
1. 几个概念 (Conception) （1）真北方向 ） （2）坐标北方向 ） （3）真方位角 ） （4）坐标方位角 ） （5）子午线收敛角 ） P’1 γ T12 A12 P’2 N’
高斯—克吕格投影 高斯 克吕格投影
2. 具体计算内容
(1) 将起算点的大地坐标，归算为相应投影点的高斯平面直角坐标； 将起算点的大地坐标，归算为相应投影点的高斯平面直角坐标； 坐标计算） （坐标计算） (2) 将椭球面上起算边的大地线长度，归算为相应投影边的平面直线 将椭球面上起算边的大地线长度， 长度；（距离改正） ；（距离改正 长度；（距离改正） (3) 将椭球面上起始边的大地方位角，归算为相应投影边的平面坐标 将椭球面上起始边的大地方位角， 方位角；（曲率改正） ；（曲率改正 方位角；（曲率改正） (4) 将椭球面三角形的各内角，归算为相应平面三角形的各内角。 将椭球面三角形的各内角，归算为相应平面三角形的各内角。
m0 = X
高斯投影正பைடு நூலகம்公式
Direct solution of Gauss projection 一、公式推导 (Formula derivation)
2. 求待定系数
各系数表达 式的求定