高斯投影计算的实用公式
大地测量学第六章高斯投影及其计算
第六章 高斯投影 及其计算
中国矿业大学环境与测绘学院
第六章 高斯投影及其计算概述
1、椭球面上计算复杂； 2、椭球面上表示点位的经度、纬度大地线长、大地
方位角等对大比例尺测图不适应； 3、为了测绘地形图和计算的方便，需通过地图投影
的方法将椭球面上的元素化算到平面上； 4、本章主要介绍正形投影的特性以及高斯投影建立
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
1、用大地坐标表示的高斯投影长度比m
式中：
2、用平面坐标表示的高斯投影长度比m
m
1
y2 2R 2
y4 24R4
式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。
应用大地测量学
§6.2.2 高斯投影的长度比和长度变形
3、长度变形m-1与横坐标y的关系
5 5′
应用大地测量学
§6.3 高斯投影坐标计算
高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y） 高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）
应用大地测量学
§6.3.1 高斯投影坐标正算公式
(6-26)
式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长， 为计算点P点与中央子午线
的经差。N为卯酉圈曲率半径，t=tanB， η=e′cosB。 L-L0若以度为单位，则ρ=57.295779513； L-L0若以分为单位，则ρ=3437.7467708; L-L0若以秒为单位，则ρ=206264.80625。
平面直角坐标系的方法、观测元素的化算、高斯 投影坐标计算。
第六章 高斯投影及其计算
第一节 地图投影概念和正形投影性质 第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系（基础） 第三节 高斯投影坐标计算（重点） 第四节 椭球面上的方向和长度归算至高斯投影平面
高斯投影
一、高斯投影正反算 (1)采用c 语言(2)编程思想和设计框图（3）采用的基本数学模型 基本椭球参数： 椭球长半轴a 椭球扁率f椭球短半轴：(1)b a f =-椭球第一偏心率：e =椭球第二偏心率：e b'=高斯投影正算公式：此公式换算的精度为0.001m6425644223422)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2lt t B B N lt B simB N l B B N X x ''+-''+''++-''+''⋅''+=ρηηρρ5222425532233)5814185(cos 120)1(cos 6cos lt t t B N lt B N l B N y ''-++-''+''+-''+''⋅''=ηηρηρρ其中：角度都为弧度B 为点的纬度，0l L L ''=-，L 为点的经度，0L 为中央子午线经度； N 为子午圈曲率半径，1222(1sin )N a e B -=-； tan t B =；222cos e B η'=1803600ρπ''=*其中X 为子午线弧长：2402464661616sin cos ()(2)sin sin 33X a B B B a a a a a B a B ⎡⎤=--++-+⎢⎥⎣⎦02468,,,,a a a a a 为基本常量，按如下公式计算：200468242684468686883535281612815722321637816323216128m a m m m m m m a m mm a m m m m a m a ⎧=++++⎪⎪⎪=+++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=⎪⎩02468,,,,m m m m m 为基本常量，按如下公式计算：22222020426486379(1);;5;;268m a e m e m m e m m e m m e m =-====；高斯投影反算公式：此公式换算的精度为0.0001’’.()()()()222224324653223524222553922461904572012cos 6cos 5282468120cos f f f ff f f f ff fff f f ff f f f f f f f f f f f f t t B B y tt yM N M Nt y t t yM Ny y l t N B N B y t t t N B L l L ηηηηη=-+++--++=-+++++++=+其中：0L 为中央子午线经度。
投影长度变形计算公式
高斯投影长度变形公式
长度变形来源于以下两个方面
1、实地测量的边长长度换算到椭球面上产生的变形，即∆s1；
改正数误差方程式(此式较复杂这里省略)经最小二乘列出误差方程式,按级数展开后取其主项(其它项的影响甚微可忽略不计)：
∆s1=−H m
R A
s（1）式中：R A—长度所在方向的椭球曲率半径；
H m—长度所在高程面对于椭球面的平均高程；
s—实地测量的水平距离。
2、椭球面上的长度投影至高斯平面
∆s2=+y m2
2R2
s0（2）式中：R—测区中点的平均曲率半径；
y m—距离的2端点横坐标平均值；
s0—为归算到椭球面上的长度。
在不影响推证严密性的前提下取， R A=R，s=s0，综合上两式可得,综合长度变形∆s为：
∆s=−H m
R
s+
y m2
2R2
s。
高斯投影6度和3度分带计算公式
高斯投影6度和3度分带计算公式高斯投影6度和3度分带计算公式什么是高斯投影6度和3度分带？•高斯投影是一种常用于大地测量和地图制图的投影方法。
根据地球的形状和表面特征，我们将地球划分成了若干个分带，每个分带的宽度为6度或3度。
•6度和3度分带指的是每个分带的经度跨度。
例如，6度分带就是每个分带的中央经线与相邻分带的中央经线之间跨越6度。
高斯投影6度和3度分带计算公式6度分带投影计算公式1.计算投影平面与地球经度的差值：L=λ−L02.计算弧长元素：N=a/√1−e2⋅sin2φ3.计算卯酉圈曲率半径：M=N⋅(1−e2)=a⋅(1−e2)/(1−e2⋅sin2φ)4.计算子午线弧长：A=(1+3e2/4+45e4/64+175e6/256+11025e8/16384)⋅N5.计算坐标系原点到点的子午线弧长：S=A−A06.计算纬度差：t=tanφ7.计算坐标Y轴偏移量：y=x⋅cosφ8.计算坐标X、Y（单位：m）：X=S−N⋅tanφ2⋅L2−N⋅tanφ24⋅(5−t2+9C2+4C4)⋅L4−N⋅tanφ720⋅(61−58t2+t4−270C2+330C4)⋅L6Y=N⋅L⋅cosφ1+N⋅L3⋅cosφ6⋅(1−t2+C2)+N⋅L5⋅cosφ120⋅(5−18t2+t4+14C2−58C4)3度分带投影计算公式1.计算投影平面与地球经度的差值：L=λ−L02.计算弧长元素：N=a/√1−e2⋅sin2φ3.计算卯酉圈曲率半径：M=N⋅(1−e2)=a⋅(1−e2)/(1−e2⋅sin2φ)4.计算子午线弧长：A=(1+3e2/4+45e4/64+175e6/256+11025e8/16384)⋅N5.计算坐标系原点到点的子午线弧长：S=A−A06.计算纬度差：t=tanφ7.计算坐标Y轴偏移量：y=x⋅cosφ8.计算坐标X、Y（单位：m）：X=S−N⋅tanφ2⋅L2+N⋅tanφ24⋅(5+t2+9C2+4C4)⋅L4−N⋅tanφ720⋅(61+90t2+45t4+46C2−252C4−90C6)⋅L6Y=N⋅L⋅cosφ1+N⋅L3⋅cosφ6⋅(1+2t2+C2)+N⋅L5⋅cosφ120⋅(5+28t2+24t4+6C2+8C4)示例解释假设我们需要计算某个点在高斯投影6度分带中的投影坐标。
高斯投影坐标计算
B
d B dq
2
dX dq dq
c
(
cos B dV V dB
2
dB dq
sin B dB V dq
2
)
2
d B dq
2
cos B c ( tan B V
2 2
3
V
sin B cos B
)
N sin B cos B
同理得
d X dq
3
N cos B ( 1
3
3
2
0
l
L
L
0
高斯投影坐标正算的函数式：
x y
l 是以弧度为单位的经度差。
F B , l F B , l
1 2
一 高斯投影坐标正算公式计算
如图，椭球面上一点投影 到平面后为d点，椭球面上 该点的平行圈（B或q为一 常数）与中央子午线的交 点为e点，若将上式中的展 开点z0设为e处，则很据高 斯投影条件，中央子午线 的长度比m=1，且纵坐标x 等于从赤道起到该平行圈 间的子午线弧长X。此时 可以写出下列方程：
4 2
二、高斯投影坐标反算公式
最后得到坐标反算的公式为：
B B
f
2M
f
t
f
y N
f
2
t 24 M
2 f
f
f
f
N
4 f
3 f
5 3 t
6
2 f
2 f
9 f t
2
2 f
y
4
t
高斯投影正反算公式_新
高斯投影坐标正反算一、相关概念大地坐标系由大地基准面和地图投影确定，由地图投影到特定椭圆柱面后在南北两极剪开展开而成，是对地球表面的逼近，各国或地区有各自的大地基准面，我国目前主要采用的基准面为：1.WGS84基准面，为GPS基准面，17届国际大地测量协会上推荐，椭圆柱长6度一带或每0-6度，3度带1带位置1.5-4.5度)，即所谓的高斯-克吕格投影。
图表错误！未指定顺序。
1高斯投影和分带地球某点经度（L）为过该点和地球自转轴的半圆与子午线所在半圆夹角，东半球为东经，西半球为西经；地球某点纬度（B）为所在水平面法线与赤道圆面的线面角。
正算是已知大地坐标（L，B），求解高斯平面坐标（X，Y）,为确保Y值为正，Y增加500公里；反算则是由高斯平面坐标（X，Y）求解大地坐标（L，B）。
二、计算模型：地球椭球面由椭圆绕地球自转轴旋转180度而成。
图表1椭圆椭圆长半轴a，椭圆短半轴b,椭圆方程：(1)/***************************************，令在图表2中，，则由椭圆方程，令可知：正算依据公式(4)、(5)、(6)、(7)得到结果，其中a:地球椭球长半轴；b:地球椭球短半轴；B:该点纬度；L:该点经度减去中央经线L0后的值；X:大地x坐标值；Y:大地y坐标值。
输入为高void&//换算成弧度doubleL=(m_L-6.0*L0//换算成弧度doublexita=atan(b*b*tan(B)/a/a/cos(L));doubledxita=0.000001;doublexi=dxita;x=0.0;doublec=a*a/b/b;while(xi<xita){x+=dxita/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));xi+=dxita;}输入void&B,dodoubledxi=0.000001;doublexi=dxi;doubleX=0.0;doublec=a*a/b/b;while(X<x/a){X+=dxi/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));xi+=dxi;}doubler=a/sqrt(c*sin(xi)*sin(xi)+cos(xi)*cos(xi));doubleY=y-500000.0;。
高斯投影正反算编程一.高斯投影正反算基本公式
高斯投影正反算编程一．高斯投影正反算基本公式（1）高斯正算基本公式（2）高斯反算基本公式以上主要通过大地测量学基础课程得到，这不进行详细的推导，只是列出基本公式指导编程的进行。
二．编程的基本方法和流程图（1）编程的基本方法高斯投影正反算基本上运用了所有的编程基本语句，本文中是利用C++语言进行基本的设计。
高斯正算中对椭球参数和带宽的选择主要运用了选择语句。
而高斯反算中除了选择语句的应用，在利用迭代算法求底点纬度还应用了循环语句。
编程中还应特别注意相关的度分秒和弧度之间的相互转换，这是极其重要的。
（2）相关流程图1）正算2）反算三．编程的相关代码（1）正算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))int i;struct jin{double B;double L;double L0;};struct jin g[100];main(int argc, double *argv[]){FILE *r=fopen("a.txt","r");assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("b.txt","w");assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].B,&g[i].L,&g[i].L0)!=EOF){double a,b;int zuobiao;printf("\n请输入坐标系：北京54=1，西安80=2，WGS84=3：");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=6378245;b=6356863.0187730473;}if(zuobiao==2){a=6378140;b=6356755.2881575287;}if(zuobiao==3){a=6378137;b=6356752.3142;} //选择坐标系//double f=(a-b)/a;double e,e2;e=sqrt(2*f-f*f);e2=sqrt((a/b)*(a/b)-1);//求椭球的第一，第二曲率//double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;double Bmiao,Lmiao, L0miao;Bmiao=(int)(g[i].B)*3600.0+(int)((g[i].B-(int)(g[i].B))*100.0)*60.0+( g[i].B*100-(int)(g[i].B*100))*100.0;Lmiao=(int)(g[i].L)*3600.0+(int)((g[i].L-(int)(g[i].L))*100.0)*60.0+(g [i].L*100-(int)(g[i].L*100))*100.0;L0miao=(int)(g[i].L0)*3600.0+(int)((g[i].L0-(int)(g[i].L0))*100.0)*60. 0+(g[i].L0*100-(int)(g[i].L0*100))*100.0;double db;db=pi/180.0/3600.0;double B1,L1,l;B1=Bmiao*db;L1= Lmiao*db;l=L1-L0miao*db;//角度转化为弧度//double T=tan(B1)*tan(B1);double n=e2*e2*cos(B1)*cos(B1);double A=l*cos(B1);double X,x,y;X=a0*(B1)-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6+a8*sin(8*B1)/8;//求弧长//double N=a/sqrt(1-e*e*sin(B1)*sin(B1));int Zonewide;int Zonenumber;printf("\n请输入带宽：3度带或6度带Zonewide=");scanf("%d",&Zonewide);getchar();if(Zonewide==3){Zonenumber=(int)((g[i].L-Zonewide/2)/Zonewide+1);}else if(Zonewide==6){Zonenumber=(int)g[i].L/Zonewide+1;}else{printf("错误");exit(0);}//选择带宽//doubleFE=Zonenumber*1000000+500000;//改写为国家通用坐标//y=FE+N*A+A*A*A*N*(1-T*T+n*n)/6+A*A*A*A*A*N*(5-18*T*T+T *T*T*T+14*n*n-58*n*n*T*T)/120;x=X+tan(B1)*N*A*A/2+tan(B1)*N*A*A*A*A*(5-T*T+9*n*n+4*n*n *n*n)/24+tan(B1)*N*A*A*A*A*A*A*(61-58*T*T+T*T*T*T)/720;printf("\n所选坐标系的转换结果：x=%lf y=%lf\n",x,y);fprintf(w,"%lf %lf\n",x,y);//输出结果到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}（2）反算# include "stdio.h"# include "stdlib.h"# include "math.h"# include "assert.h"#define pi (4*atan(1.0))double X,Y,B1,B2,B3,F,t;double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8,a1,b1;double BB,LL,Bf;double e,e1;int d,m,s,i,zuobiao;double sort(double,double);struct jin{double x;double y;double L0;};struct jin g[100];//x,y,L0为输入量：x,y坐标和中央子午线经度// main(int argc, double *argv[]){FILE *r=fopen("c.txt","r");assert(r!=NULL);FILE *w=fopen("d.txt","w");assert(r!=NULL);int i=0;while(fscanf(r,"%lf %lf %lf",&g[i].x,&g[i].y,&g[i].L0)!=EOF)//文件为空，无法打开//{double a1=6378245.0000000000;//克拉索夫斯基椭球参数//double b1=6356863.0187730473;double a75=6378140.0000000000;//1975国际椭球参数//double b75=6356755.2881575287;double a84=6378137.0000000000;//WGS-84系椭球参数//double b84=6356752.3142000000;double M,N;//mouyou圈曲率半径，子午圈曲率半径//double t,n;double A,B,C;double BB,LL,Bf,LL0,BB0;double a,b;printf("\n选择参考椭球：1=克拉索夫斯基椭球，2=1975国际椭球，3=WGS-84系椭球:");scanf("%d",&zuobiao);getchar();if(zuobiao==1){a=a1;b=b1;}if(zuobiao==2){a=a75;b=b75;}if(zuobiao==3){a=a84;b=b84;}//选择参考椭球，求解第一偏心率e,第二偏心率e1// Bf=sort(a,b);//调用求解底点纬度的函数//double q=sqrt(1-e*e*sin(Bf)*sin(Bf));double G=cos(Bf);M=a*(1-e*e)/(q*q*q);N=a/q;double H,I;A=g[i].y/N;H=A*A*A;I=A*A*A*A*A;t=tan(Bf);n=e1*cos(Bf);B=t*t;C=n*n;BB0=Bf-g[i].y*t*A/(2*M)+g[i].y*t*H/(24*M)*(5+3*B+C-9*B*C)-g[i] .y*t*I/(720*M)*(61+90*B+45*B*B);LL0=g[i].L0*pi/180.0+A/G-H/(6*G)*(1.0+2*B+C)+I/(120*G)*(5.0+28 *B+24*B*B+6*C+8*B*C);//利用公式求解经纬度//int Bdu,Bfen,Ldu,Lfen;double Bmiao,Lmiao;Ldu=int(LL0/pi*180);Lfen=int((LL0/pi*180)*60-Ldu*60);Lmiao=LL0/pi*180*3600-Ldu*3600-Lfen*60;Bdu=int(BB0/pi*180);Bfen=int((BB0/pi*180)*60-Bdu*60);Bmiao=BB0/pi*180*3600-Bdu*3600-Bfen*60;//将弧度转化为角度//printf("\n所选坐标系的转换结果：%d度%d分%lf秒%d 度%d分%lf秒\n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);fprintf(w,"%d°%d’%lf”%d°%d’%lf”\n",Bdu,Bfen,Bmiao,Ldu,Lfen,Lmiao);//将结果输出到文本文件//}fclose(r);fclose(w);system("pause");return 0;}double sort(double a,double b){double e,e1;e=sqrt(1-(b/a)*(b/a));e1=sqrt((a/b)*(a/b)-1);double m0,m2,m4,m6,m8;double a0,a2,a4,a6,a8;m0=a*(1-e*e);m2=3*e*e*m0/2;m4=5*e*e*m2/4;m6=7*e*e*m4/6;m8=9*e*e*m6/8;a0=m0+m2/2+3*m4/8+5*m6/16+35*m8/128;a2=m2/2+m4/2+15*m6/32+7*m8/16;a4=m4/8+3*m6/16+7*m8/32;a6=m6/32+m8/16;a8=m8/128;B1=g[i].x/a0;do{F=-a2*sin(2*B1)/2+a4*sin(4*B1)/4-a6*sin(6*B1)/6+a8*sin(8*B1 )/8;B2=(g[i].x-F)/a0;B3=B1;B1=B2;} while(fabs(B3-B2)>10e-10);//利用迭代算法求解底点纬度//return B2; }。
高斯投影坐标计算
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
式中m0 , m1 , 是待定系数，它们都是纬度B的函数
2) 由第三个条件即正形投影条件可知
y x x y 和 l q l q
分别对l 和q求偏导数并代入上式得
2、高斯投影坐标反算公式
已知高斯平面坐标(x,y)，求椭球面上的大地坐标(B，L）的 问题称高斯投影坐标反算。 B 1 ( x, y) 函数式：
l 2 ( x, y)
同正算一样，对投影函数提出三个条件 (1) x (2) x (3) 正形投影条件。
1) 由第一个条件（x 坐标轴投影成中央子午线，是投 影的对称轴）可知
Bf为x值对应的底点纬度， tf ηf Mf Nf 均为底点纬度 的函数。
当l＜3.5°时，
上式换算精度达0.0001″
高斯投影反算公式的几何解释
B B f ( n2 y 2 n4 y 4 = Bf高斯投影坐标正算的数值公式 将75国际椭球参数代入前面推导的高斯计算公式， 经过一些简单变化，可得高斯投影正算公式。 高斯投影正算公式:
B 2 2 2 x 6367452 .1328 (a0 (0.5 (a4 a6l )l )l N ) cos B sin B y (1 (a3 a5l 2 )l 2 )lN cos B
实用公式的系数
N 6399596 .652 [21565 .045 (108.996 0.603cos2 B) cos2 B] cos2 B 2 2 2 a 32144 . 5189 [ 135 . 3646 ( 0 . 7034 0 . 0041 cos B ) cos B ] cos B 0 cos2 B) cos2 B 0.04167 a4 (0.25 0.00253 2 2 a ( 0 . 167 cos B 0 . 083 ) cos B 6 0.001123 cos2 B) cos2 B 0.1666667 a3 (0.3333333 a 0.00878 (0.1702 0.20382cos2 B) cos2 B 5