二次函数 学案
二次函数复习学案
二次函数复习(一)知识点归纳：1．二次函数的定义：一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=为常数，)0≠a 的函数，叫做二次函数．(其中x 是自变量，c b a ,,分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项)2．二次函数解析式的三种形式：一般式：)0(2≠++=a c bx ax y顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y3．)0(2≠++=a c bx ax y 图象的特征：（1）a 决定了抛物线的形状与大小：其中a 的正负决定其开口方向；||a 越大图象相对开口越小．（2 c b a ,,共同决定了抛物线在坐标系中的位置，其中顶点坐标为：)44,2(2ab ac a b --，对称轴为：直线ab x 2-=，图象在y 轴的截距为c ．4．待定系数法求二次函数解析式：（已知函数类型时，求函数解析式的方法）(二) 例题分析例1．考查二次函数的定义：（1）若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 ．（2）函数)1(x x y -=的二项式系数为 ；一次项系数为 ；常数项为 ．（3）已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2的图像经过原点，则m 的值是 ．例2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像特征：（1） 在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2例3 考查函数、方程、不等式之间的关系：（1）抛物线y=x 2+6x+8与y 轴交点坐标（ ）（A ）（0，8） （B ）（0，-8） （C ）（0，6） （D ）（-2，0）（（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠（a ）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（b ）写出不等式20ax bx c ++>的解集． （c ）写出y 随x 的增大而减小的自变量x的取值范围．（d ）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（3）．如图，是二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图象，观察图象写出y 2≥y 1时，x 的取值范围______________．例4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的最值： （1）二次函数ｙ＝ｘ２＋ｘ－５取最小值是，自变量ｘ的值是（2）抛物线()y x =-+23212的顶点坐标是（ ）A. （2，1）B. （-21，）C. 231，⎛⎝ ⎫⎭⎪D. -⎛⎝ ⎫⎭⎪231， （3） 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与接受概念所用时间x （单位：min ）之间满足()y x x x =-++≤≤0126430302..．y 值越大，表示接受能力越强．①x 在什么范围内时，学生的接受能力逐渐增强？x 在什么范围内时，学生的接受能力逐渐降低？②第10 min 时，学生的接受能力是多少？③第几分钟时，学生的接受能力最强？例5．考查用待定系数法求二次函数的解析式：（1）已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。
二次函数的图象和性质(2)学案
3、如果要得到抛物线 y x 2 4 ，应将抛物线 y x 2 1 作怎样的平移？ 【对比归纳】 y＝ax2 开口方向 顶点 对称轴 有最高 (低)点 y＝ax2＋k
2
a＞0 时, 当 x＝______ 时,y 有最____值为 最值 ________; a＜0 时, 当 x＝______ 时,y 有最____值为 ________. 增减性 抛物线 y ax2 k 可以看做是由抛物线 y ax2 向上、向下平移 到的．当 k>0 时，抛物线 y ax2 向 当 k<0 时，抛物线 y ax2 向 【当堂训练】 函数 草图 开口 方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的 增减性 平移； 平移。 单位得
学习内容
【自主探究】利用描点法画二次函数 y x 2 、 y x 2 1 和 y x 2 2 的图像。 … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y x2
y x2 1
y x2 2
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 5 6
y＝3x2
y＝－3x2＋1
y＝－4x2－5
1.抛物线 y 2 x 2 向上平移 3 个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线 y 2 x 2 向下平移 4 个单位，就得到抛物线__________________． 2．抛物线 y 3x 2 2 向上平移 3 个单位后的解析式为 的形状__________，当 x = 时， y 有最 值是 。 ，开口向 ， , ，它们
10.由抛物线 y 5x 2来自 3 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式 是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。 11.二次函数 y ax2 k a 0 的经过点 A（1，-1） 、B（2，5）. ⑴求该函数的表达式； ⑵若点 C(-2， m ),D（ n ，7）也在函数的上，求 m 、 n 的值。
九年级 二次函数 导学案17个
1NO.1《函数与它的表示法》导学案学习目标：1.熟练掌握函数表示方法，会求自变量取值范围，并能解决生活中的函数问题。
2.体会函数建模思想在实际生活中的应用，3.感受数学在生活中的魅力．预习案出函数图象． （２）．据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？【归纳】__________________________________________叫做函数解析式或______________ _________________________叫做解析法___________________________叫做列表法 __________________________________________叫做图像法 【探究点二】2、如图，一辆汽车在行驶中，速度v 随时间t 变化的情况如图所示.（1）在这个问题中，速度v 与时间t 之间的函数关系是 用哪种方法表示的？_______________（2）时间t 的取值范围是什么？______________________。
（3）当时间t =______，汽车行驶的速度最大，最大速度是______； 当时间t =______时，速度为0？当t__________时，汽车的行驶速度逐渐增加？当t__________时，汽车的行驶速度逐渐减少？当t__________时，按匀速运动行驶?【典型例题】3、一根蜡烛长20cm,每小时燃掉4cm.(1)写出蜡烛剩余的长度y （cm ）与燃烧时间x （h ）之间的函数解析式.(2)求自变量x 可以取值的范围;(3)蜡烛点燃2h 后还剩多长?4、求下列函数中自变量x 的取值范围(1) y=3x+2 335x -（2）y =(3)4y （）探究案1、等腰三角形ABC 的周长为10cm,底边BC 长为y (cm), 腰AB 长为x （cm ） (1)写出y 与x 之间的函数解析式; (2)指出自变量x 可以取值的范围.2的正方形ABCD 的一边BC 上，有一动点P 从B 点运动到C 点，设PB=x ，四边形APCD 的面积为y 。
《2.5二次函数与幂函数》 学案
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2．已知函数 f(x)＝x2＋bx＋c 且 f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是( A．f(－2)<f(0)<f(2) B．f(0)<f(－2)<f(2) C．f(0)<f(2)<f(－2) D．f(2)<f(0)<f(－2)
)
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3．已知函数 f(x)＝x2＋x＋c，若 f(0)＞0，f(p)＜0，则必有( A．f(p＋1)＞0 C．f(p＋1)＝0 B．f(p＋1)＜0 D．f(p＋1)的符号不能确定
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三、例题精析 【例题 1】 【题干】已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2 ＋x)，求 f(x)的解析式．
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【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立，∴f(x)的对称轴为 x＝2. 又∵f(x)图象被 x 轴截得的线段长为 2，∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3，a＝1.∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)· (x－3)，即 f(x)＝x2－4x＋3.
二次函数与幂函数
适用学科 适用区域 知 识 点 数学 新课标 适用年级 课时时长（分钟） 高三 60
二次函数的图像与性质；二次函数在闭区间上的最值；二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关 系；幂函数的概念；幂函数的图象和性质；指、对、幂、二次函数的综合问题 1.了解幂函数的概念． 1 1 2.结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ x ，y＝x 2 的图象，了解它们的变化情况． 3.掌握二次函数的概念、图象特征． 4.掌握二次函数的对称性和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值． 5.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系，提高解综合问题的能力. 二次函数的图像与性质；幂函数的概念、图像与性质． 函数性质、二次函数、方程、二次方程、不等式的综合应用
第18课时 二次函数(复习学案))
第18课时 二次函数一、 复习目标1、 识记二次函数的一般形式和顶点式，并能用待定系数法求它的解析式。
2、 掌握二次函数的图像和性质。
二、 重点、难点重点：⑴用待定系数法求二次函数的解析式；⑵用配方法求二次函数的最值。
难点：深入理解二次函数图像的特征。
三、 复习过程 ㈠知识梳理1、 二次函数的解析式⑴一般形式： 。
⑵顶点式： 。
2、 二次函数的图像与性质二次函数k h x a y +-=2)(的图像是 ，它的对称轴是直线 ，顶点坐标是 当0>a 时，抛物线开口 ，函数在=x 时，达到最 值 ；当0<a 时，抛物线开口 ，函数在=x 时，达到最 值 。
3、 二次函数与一元二次方程的联系 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴是否有交点取决于一元二次方程02=++c bx ax是否有实数根。
⑴当ac b 42- 时，一元二次方程02=++c bx ax有两个不相等的实数根（21x x ≠），抛物线就与x 轴有两个不同的交点，其坐标是（ ）和（ ）。
反之亦然。
⑵当ac b 42- 时，一元二次方程02=++c bx ax有两个相等的实数根（ 21x x = ），抛物线就与x 轴只有一个交点，其坐标是（ ），这一点就是抛物线的顶点。
反之亦然。
⑶当ac b 42- 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线就与x 轴没有交点。
反之亦然.㈡问题导学2、已知抛物线的顶点是（1，-4），且经过点（0，-3），则这条抛物线的解析式是 。
(第2题)3、抛物线322--=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 4、二次函数322-+-=x x y 的最大值是 。
5、将抛物线22(1)3y x =+-向右平移1个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为 ． ㈢合作探究例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 ⑴图像经过A （-1,3）、B （1,3）、C （2,6）三点； ⑵图像经过A （-1,0）、B （3,0），函数有最大值8； ⑶图像顶点坐标是（-1,9），与x 轴两交点的距离是6.㈣达标检测1．抛物线()412--=x y 的顶点坐标是( )A ．（1,4）B ．（1.-4）C ．（-1，4）D ．(-1,-4)2、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，当0>y 时，x 的取值范围是（ ） A ．14<<-x B ．4-<x 或1>x C ．13<<-x D ．3-<x 或1>x3、抛物线的对称轴是直线2=x ，与x 轴的两个交点的 距离是8，则这两个交点的坐标是 。
二次函数复习学案(1)
二次函数复习学案（1）班级姓名等级【考点透视】1、理解二次函数的概念；2、会化二次函数的一般式为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3、会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(x-h)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4、会用待定系数法求二次函数的解析式（一般式、顶点式、交点式）；5、利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和一元二次不等式之间的联系。
【知识梳理】1.二次函数的图象：在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+ )2+ 的形式,先确定顶点( , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标.2.理解二次函数的性质：我们通常从以下5个方面来理解二次函数的性质，并利用性质解决问题：1、开口方向：由a决定；2、顶点坐标( , )；3、对称轴: ；4、极值: ；5函数增减性: 3.利用待定系数法确定二次函数解析式：(1)一般地,所给条件是抛物线上任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设一般式为：y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解，这是通用的，也是最复杂的方法；(2)若已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设顶点式为：y=a(x-h)2+k，顶点是（h，k），这是简便方法;(3)若已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴或已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,都可设交点式为：y=a(x-x1)(x-x2)来求解，简便方法.4.二次函数与一元二次方程的关系：抛物线y=ax2+bx+c,当y=0时转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即(1)当抛物线与x轴有两个交点时==＞方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根==＞⊿ 0，反之，也成立；(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点==＞方程ax2+bx+c=0有两个相等实根==＞⊿ 0，反之，也成立；（3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点==＞•方程ax2+bx+c=0有实根==＞⊿ 0，反之，也成立；（4）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点==＞•方程ax2+bx+c=0无实根==＞⊿ 0，反之，也成立；5.二次函数与一元二次不等式的关系：利用二次函数的图象可以解一元二次不等式：1、求一元二次方程ax2+bx+c=0的根；2、利用抛物线与x轴的交点和a 的取值画出二次函数y=ax 2+bx+c 的大致图象；2、结合函数图形解一元二次不等式。
二次函数性质4学案
寄语： 播种行为 收获命运 2010、12、315．6二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质（4） 总编号：NO.56命题人：徐先华 审核人： 初二数学组学习目标：1． 掌握用配方法将二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 化为顶点式y=a(x －h)2＋k 的形式2、会用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，掌握其性质3．经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向、对称轴和顶点坐标、及性质的过程 学习过程：预习学案1、用配方法解一元二次方程的步骤2、二次函数y=a(x －h)2＋k 的性质及平移规律3、用配方法解一元二次方程2x ²－5x －1=0它的步骤是怎样的？4、将二次三项式2x ²－5x －1配方，化为a(x －h)2＋k 的形式课中实施学案一、复习引入：我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如6422++-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？ 【自主探究】例1：通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图，最后请说出这个函数的性质。
列表描点、连线函数的性质： 回顾与反思 （1）列表时选值，应以 为中心，函数值可由对称性得到，． （2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出 ，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索2 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？归纳总结、函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质3、规律总结:求函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的顶点的方法： (1)用公式法：顶点( )(2)用配方法变为y=a(x －h)2＋k 的形式，顶点（ ）4、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 是由抛物线y ＝ax 2沿y 轴向上（下）平移______________ 个单位长度，沿x 轴向左（右）平移________________个单位长度得到的。
二次函数全章经典学案
二次函数学案第1课时 27.1 二次函数一、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式；2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 二、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、基本知识练习1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________．2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．3．下列函数表达式，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2（2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2（5）y ＝x ＋1x四、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)xmm -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米B ．48米C ．68米D ．88米4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式 ___________________________．5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－13 时，x 的值．6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．五、目标检测1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）20y x -= （2）2(2)(2)(1)y x x x =+---（3）21y x x=+（4）223y x x =+-2．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A ．22(1)y m x =- B ．22(1)y m x =+ C ．22(1)y m x =+ D ．22(1)y m x =- 3． 已知函数27(3)m y m x -=- 是二次函数，求m 的值．4．已知函数()21153my m x x +=-+-是二次函数，求m 的值.5 .已知函数()222845y m m x x =+-++是关于x 的二次函数，则m 的取值范围。
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30.1 二次函数
【学习目标】
了解二次函数的有关概念；会确定二次函数关系式中各项的系数；确定实际问题中二次函数的关系式。
【学习重点】二次函数的表达式.
【学习难点】二次函数的判断.
【读书思考】阅读课本第内容，思考:1.什么是二次函数，二次函数在课本上是从形式上定义的，特别要注意二次项系数不为0. 2.根据实际意义如何列出二次函数的表达式.
【学习过程】（类比一次函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
）
一、知识链接:
1、若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。
2、形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数。
二、自主学习：
1、如果改变正方体的棱长x ，那么正方体的表面积y 会随之改变，y 与x 的函数关系式为 。
2、二次函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数关系式有什么不同？
3、归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．
4、思考：二次函数y= ，
（1）二次项系数a 为什么不等于
0？ 。
（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？
三、典题解析
例１.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．
（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2
（4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1x
例２．已知y=(m －4)x m2-3m-2+2x －３是二次函数，求m 的值
四、巩固练习
1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤
213y x x
=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。
（只填序号） 2.2(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．
3.若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
4.二次函数23y x bx =-++．当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式为 ．
5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．。