北师版八年级下数学第一章随堂练习42

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北师大版八年级数学(下)第一章等腰三角形

1.1等腰三角形一、知识点梳理1.等腰三角形的性质定理：①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）②等腰三角形的两腰相等（定义）③等腰三角形等角的平分线、底边上的中线及地边上的高线互相重合（三线合一）2.等边三角形的性质定理：①等边三角形的三条边都相等②等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°3.等腰三角形的判定定理：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）4.等边三角形的判定定理：①三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形5.反证法：证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法成为反证法。

6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

7.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半8.作图要求：掌握尺规作图用两条已知线段做等腰三角形二、经典题型总结题型一：利用等腰三角形的性质求角题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度题型三：用反证法证明简单证明题题型四：利用等腰三角形的判定定理进行证明题型五：动点与等腰三角形题型题型六：与等腰三角形相关的综合提升题三、解题技巧点睛1.在做等腰三角形类问题时可以随时“标图”，把相等的角或者相等的边用相同的小符号标注，便于我们清晰的读图。

2.若题目中需要证明两条线段相等，通常会想到：①两条线段所在的两个三角形“全等”②两条线短可以平移为某个“等腰三角形”的两个腰3.在图形中如果涉及到求边长问题，我们通常首先想到：根据欲求边构建直角三角形运用“勾股定理”4.在求角度的题目中，若思路不清晰，则本着两个计算原则去列式：①三角形内角和等于180°②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和5.特别注意几个特殊角：75°、105°、120°、135°、150°，若图形题中出现了这几个特殊角并且涉及到求线段，则很有可能需要我们做辅助线把75°角分成45°角和30°角；而把105°角分成60°角和45°角；把120°角分成90°角和30°角或两个60°角；把135°角分成90°角和45°角；把150°角分成90°角和60°角。

北师大版八年级数学下册第一章综合素质评价附答案 (1)

北师大版八年级数学下册第一章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是()A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，172．【2022·安国市一模】如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O 的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°3．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD 全等．以下给出的条件适合的是()A．AC＝AD B．AC＝BCC．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD4．【教材P16随堂练习T3改编】下列命题的逆命题是真命题的是() A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a＝b，则|a|＝|b|5．【2022·自贡】等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是()A．30°B．40°C．50°D．60°6．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？()A．△ABC三条角平分线的交点处B．△ABC三条中线的交点处C．△ABC三条高的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处7．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE．若AC＝5，BC＝3，则BD的长为()A．2．5 B．1．5 C．2 D．18．【教材P35复习题T16变式】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为()A．38B．78C．58D．19．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为D，且PC＝4，则PD的长等于()A．1 B．2 C．4 D．810．如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝3，ON＝5，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是()A．34 B．35 C．34－2 D．35－2二、填空题(每题3分，共24分)11．【2022·黑龙江】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA ＝OC，请你添加一个条件__________，使△AOB≌△COD．12．【教材P34复习题T9变式】【2022·岳阳】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝________．13．用反证法证明一个三角形中不能有两个直角，第一步是假设这个三角形中____________．14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．15．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．16．我们规定，等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝1，则该等腰三角形的顶角为________度．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D．下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△AB C＝1∶3．其中正确的有________．(填序号)18．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分) 19．【2022·自贡】如图，△ABC是等边三角形，D，E在直线BC上，DB＝EC．求证：∠D＝∠E．20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点，并证明AP＝AQ．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)21．【教材P34复习题T4变式】已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC．(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线分别交AB，AC于点E，F，且BE＝EO．(1)说明EF与CF的数量关系；(2)求点O到BC的距离．23．【教材P31例3拓展】(1)如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD是△ABC 的角平分线，过点D作DE⊥AB于点E，则AC，CD，AB三条线段之间的数量关系为______________．(2)若将(1)中的条件“Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°”改为“△ABC中，∠C＝2∠B”，如图②，请问：(1)中的结论是否仍然成立？并证明．24．【2022·湘潭节选】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B，C分别作l的垂线，垂足分别为点D，E．(1)特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝2，分别求出线段BD，CE和DE的长．(2)规律探究：①如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α(0°＜α＜45°)，请探究线段BD，CE和DE的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°＜α＜90°)，与线段BC相交于点H，请再探线段BD，CE和DE的数量关系并说明理由．答案一、1．D 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．B10．A 提示：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接OM ′，ON ′，M ′N ′．易知M ′N ′的长即为MP ＋PQ ＋QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：ON ′＝ON ＝5，OM ′＝OM ＝3， ∠N ′OA ＝∠M ′OB ＝∠AOB ＝30°， ∴∠N ′OM ′＝90°，在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′＝32＋52＝34．故选A ．二、11．OB ＝OD (答案不唯一) 12．3 13．有两个直角 14．45°15．4 16．60 17．①②③④ 18．100° 三、19．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°． ∴∠ABD ＝∠ACE ＝120°．在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS)． ∴∠D ＝∠E ．20．解：如图，BQ 就是∠ABC 的平分线．证明：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°．∴∠BPD ＋∠PBD ＝90°．∵∠BAC ＝90°，∴∠AQP ＋∠ABQ ＝90°． ∵∠ABQ ＝∠PBD ，∴∠BPD ＝∠AQP ． ∵∠BPD ＝∠APQ ，∴∠APQ ＝∠AQP ． ∴AP ＝AQ ．21．(1)证明：∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ．∵锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ， ∴∠BEC ＝∠BDC ＝90°．∴∠BCE ＋∠ABC ＝∠DBC ＋∠ACB ＝90°． ∴∠ABC ＝∠ACB ．∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形． (2)解：点O 在∠BAC 的平分线上．理由：在△EOB 和△DOC 中， ⎩⎨⎧∠BEO ＝∠CDO ＝90°，∠EOB ＝∠DOC ，OB ＝OC ，∴△EOB ≌△DOC (AAS)． ∴OE ＝OD ．又∵OE ⊥AB ，OD ⊥AC ， ∴点O 在∠BAC 的平分线上． 22．解：(1)EF ＝2CF ．理由如下：如图所示．∵BE ＝EO ，∴∠1＝∠2．∵在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ， ∴∠1＝∠3，∠4＝∠5． ∴∠2＝∠3．∴EF ∥BC ． ∴∠4＝∠5＝∠6． ∴OF ＝CF ．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．∵EF ∥BC ，∴∠ABC ＝∠AEF ＝∠ACB ＝∠AFE ． ∴AE ＝AF ． ∴BE ＝CF ．∴EF ＝OE ＋OF ＝2CF ．(2)如图，连接AO 并延长交BC 于点D ．∵在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，AB ＝AC ， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝12BC ＝3．在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝52－32＝4， ∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×4＝12． ∵点O 是△ABC 三个内角平分线的交点， ∴点O 到三边的距离相等，即为OD 的长． ∵S △OBC ＋S △OAC ＋S △OAB ＝S △ABC ， ∴12BC ·OD ＋12AC ·OD ＋12AB ·OD ＝12． ∴OD ＝1．5，即点O 到BC 的距离是1．5． 23．解：(1)AB ＝AC ＋CD(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下： ∵AD 是∠CAB 的平分线，∴将△CAD 沿AD 折叠，点C 恰好落在AB 边上，记为C ′，如图所示．由折叠的性质知△ACD ≌△AC ′D ， ∴AC ＝AC ′，CD ＝C ′D ，∠C ＝∠1． ∵∠C ＝2∠B ，∴∠1＝2∠B ．又∵∠1＝∠2＋∠B ，∴∠2＝∠B ． ∴C ′D ＝C ′B ＝CD ．∴AB ＝AC ′＋BC ′＝AC ＋CD ．24．解：(1)在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°． ∵l ∥BC ，∴∠DAB ＝∠ABC ＝45°，∠CAE ＝∠ACB ＝45°． ∵BD ⊥l ，CE ⊥l ，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∠EAC ＝∠ACE ＝45°． ∴AD ＝BD ，AE ＝CE ．∵AB ＝AC ＝2，∴易得AD ＝BD ＝AE ＝CE ＝1． ∴DE ＝2．(2)①DE ＝BD ＋CE ．理由如下：在Rt △ADB 中，∠ABD ＋∠BAD ＝90°， ∵∠BAC ＝90°， ∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°． ∴∠ABD ＝∠CAE ．在△ABD 和△CAE 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝90°，AB ＝AC ，∴△ABD ≌△CAE (AAS)． ∴CE ＝AD ，BD ＝AE ． ∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE ． ②DE ＝BD －CE ．理由如下：在Rt △ADB 中，∠ABD ＋∠BAD ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°． ∴∠ABD ＝∠CAE ．在△ABD 和△CAE 中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝90°，AB ＝AC ，∴△ABD ≌△CAE (AAS)． ∴CE ＝AD ，BD ＝AE ． ∴DE ＝AE －AD ＝BD －CE ．。

1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册

【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′，则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程．在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)．由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520，则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.

北师大版八年级下册数学同步课时练习题（全册分章节课时,含答案）

北师⼤版⼋年级下册数学同步课时练习题（全册分章节课时,含答案）北师⼤版⼋年级下册数学同步课时练习题第⼀章三⾓形的证明第⼆章1．1等腰三⾓形第1课时全等三⾓形和等腰三⾓形的性质01基础题知识点1全等三⾓形的性质与判定1．如图，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD的长为(B)A．4 B．5C．6 D．以上都不对2．如图，若能⽤AAS来判定△ACD≌△ABE，则需要添加的条件是(B)A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠BB．∠ADC＝∠AEB，CD＝BEC．AC＝AB，AD＝AED．AC＝AB，∠C＝∠B3．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．4．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加⼀个适当的条件：AB＝DE(答案不唯⼀)，使得△ABC≌△DEC.5．如图，点B，E，C，F在同⼀条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝6．6．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB和△BCA中，∠DBA ＝∠CAB ，AB ＝BA ，∠DAB ＝∠CBA ，∴△ADB ≌△BCA(ASA)．∴AD ＝BC.7．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC ＝∠DAM ，AB ＝AN ，AD ＝AM ，求证：∠B ＝∠ANM.证明：∵∠BAC ＝∠DAM ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAM ＝∠DAC ＋∠NAM ，∴∠BAD ＝∠NAM.在△BAD 和△NAM 中，AB ＝AN ，∠BAD ＝∠NAM ，AD ＝AM ，∴△BAD ≌△NAM(SAS)．∴∠B ＝∠ANM.知识点2 等腰三⾓形的性质8．若等腰三⾓形的顶⾓为50°，则它的底⾓度数为(D)A ．40°B ．50°C ．60°D ．65° 9．(2017·平顶⼭市宝丰县期末)等腰三⾓形的⼀边长为4，另⼀边长为5，则此三⾓形的周长为(D)A ．13B ．14C ．15D ．13或14 10．(2017·江西)如图1是⼀把园林剪⼑，把它抽象为图2，其中OA ＝OB.若剪⼑张开的⾓为30°，则∠A ＝75度．11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D.若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是20．02 中档题12．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂⾜为D ，AD ＝BD ＝CD ，则下列结论错误的是(C)A ．AB ＝AC B ．AD 平分∠BAC C ．AB ＝BC D ．∠BAC ＝90°13．(2017·朝阳市建平县期末)若等腰三⾓形的⼀个内⾓等于15°，则这个三⾓形为(D)A ．钝⾓等腰三⾓形B ．直⾓等腰三⾓形C ．锐⾓等腰三⾓形D ．钝⾓等腰三⾓形或锐⾓等腰三⾓形 14．(2016·泰安)如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK.若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为(D)A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°15．如图，已知点A ，F ，E ，C 在同⼀直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE. (1)从图中任找两组全等三⾓形； (2)从(1)中任选⼀组进⾏证明．解：(1)答案不唯⼀，如：△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CDA. (2)答案不唯⼀，如选择证明△ABE ≌△CDF ，证明如下：∵AF ＝CE ，∴AE ＝CF. ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF. ⼜∵∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE.求证：(1)△AEF ≌△CEB ； (2)AF ＝2CD.证明：(1)∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AEF ＝∠CEB ＝∠ADC ＝90°.∴∠AFE ＋∠EAF ＝∠CFD ＋∠ECB ＝90°. ⼜∵∠AFE ＝∠CFD ，∴∠EAF ＝∠ECB.在△AEF 和△CEB 中，∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∠EAF ＝∠ECB ，∴△AEF ≌△CEB(ASA)． (2)∵△AEF ≌△CEB ，∴AF ＝BC.在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴CD ＝BD ，BC ＝2CD.∴AF ＝2CD.03 综合题17．(1)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 在边AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，求∠DCE 的度数； (2)如图2，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，点D ，E 在直线AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，则∠DCE ＝110°； (3)在△ABC 中，∠ACB ＝n °(0＜n ＜180)，点D ，E 在直线AB 上，且AD ＝AC ，BE ＝BC ，求∠DCE 的度数(直接写出答案，⽤含n 的式⼦表⽰)．解：(1)∵AD ＝AC ，BC ＝BE ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∠BCE ＝∠BEC. ∴∠ACD ＝(180°－∠A)÷2，∠BCE ＝(180°－∠B)÷2. ∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝180°－(∠A ＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°. ∴∠DCE ＝∠ACD ＋∠BCE －∠ACB ＝135°－90°＝45°. (3)①如图1，∠DCE ＝90°－12n °；②如图2，∠DCE ＝90°＋12n °；③如图3，∠DCE ＝12n °；④如图4，∠DCE ＝12n °.第2课时等边三⾓形的性质01 基础题知识点1 等腰三⾓形相关线段的性质1．在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别为边AC ，AB 上的中线．若BD ＝5，则CE ＝5． 2．证明：等腰三⾓形两腰上的⾼相等．解：已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D.求证：BD ＝CE.证明：∵CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°. ⼜∵AC ＝AB ，∠A ＝∠A ，∴△ACE ≌△ABD(AAS)．∴CE ＝BD.知识点2等边三⾓形的性质3．如图，△ABC是等边三⾓形，则∠1＋∠2＝(C)A．60°B．90°C．120°D．180°4．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)A．(1，1) B．(3，1)C．(3，3) D．(1，3)5．如图，△ABC为等边三⾓形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．6．如图，等边△ABC中，AD为⾼，若AB＝6，则CD的长度为3．7．等边△ABC的边长如图所⽰，则y＝3．8．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，延长AC，交直线m于点D.若∠1＝20°，求∠2的度数．解：∵△ABC是等边三⾓形，∴∠ACB＝60°.∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.∵l∥m，∴∠2＝∠CDB＝40°.9．如图，△ABC和△ADE是等边三⾓形，AD是BC边上的中线．求证：BE＝BD.证明：∵△ABC 和△ADE 是等边三⾓形，AD 为BC 边上的中线，∴AE ＝AD ，AD 为∠BAC 的平分线．∴∠CAD ＝∠BAD ＝30°. ∴∠BAE ＝∠BAD ＝30°. 在△ABE 和△ABD 中，AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD ，AB ＝AB ，∴△ABE ≌△ABD(SAS)．∴BE ＝BD.02 中档题10．下列说法：①等边三⾓形的每⼀个内⾓都等于60°；②等边三⾓形三条边上的⾼都相等；③等腰三⾓形两底⾓的平分线相等；④等边三⾓形任意⼀边上的⾼与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三⾓形⼀腰上的⾼与这条腰上的中线互相重合．其中正确的有(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，△ABC 是等边三⾓形，AD ⊥BC ，垂⾜为D ，点E 是AC 上⼀点，且AD ＝AE ，则∠CDE 等于(C)A ．30°B ．20°C ．15°D ．10°12．如图，已知△ABC 是等边三⾓形，点B ，C ，D ，E 在同⼀直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝15度．13．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，CD ，BE 交于点O ，则∠BOC 的度数是120°．14．如图，已知等边△ABC 纸⽚，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝45°．解：∵△ABC 是等边三⾓形，BF 是△ABC 的⾼，∴∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，AB ＝AC.∵AE ＝AC ，∴AB ＝AE. ∵AO 为∠BAE 的平分线，∴∠BAO ＝∠EAO.在△ABO 和△AEO 中，AB ＝AE ，∠BAO ＝∠EAO ，AO ＝AO ，∴△ABO ≌△AEO(SAS)．∴∠E ＝∠ABO ＝30°.16．如图，△ABC 为等边三⾓形，点M 是线段BC 上任意⼀点，点N 是线段CA 上任意⼀点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于点Q. (1)求证：AM ＝BN ； (2)求∠BQM 的度数．解：(1)证明：∵△ABC 为等边三⾓形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC. 在△AMB 和△BNC 中，AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△AMB ≌△BNC(SAS)．∴AM ＝BN. (2)∵△AMB ≌△BNC ，∴∠MAB ＝∠NBC.∴∠BQM ＝∠MAB ＋∠ABQ ＝∠NBC ＋∠ABQ ＝∠ABC ＝60°.03 综合题17．已知，如图所⽰，P 为等边△ABC 内的⼀点，它到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为h 1，h 2，h 3，△ABC 的⾼AM ＝h ，则h 与h 1，h 2，h 3有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．解：猜想：h 1＋h 2＋h 3＝h. 证明如下：连接PA ，PB ，PC. ∵S △PAB ＝12AB·h 1，S △PAC ＝12AC·h 2，S △PBC ＝12BC·h 3，S △ABC ＝12BC·h ，S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ＝S △ABC ，∴12AB·h 1＋12AC·h 2＋12BC·h 3＝12BC·h. ∵△ABC 是等边三⾓形，∴AB ＝AC ＝BC. ∴h 1＋h 2＋h 3＝h.第3课时等腰三⾓形的判定与反证法01 基础题知识点1 等腰三⾓形的判定1．在△ABC 中，已知∠B ＝∠C ，则(B)A ．AB ＝BC B ．AB ＝AC C ．BC ＝ACD ．∠A ＝60°2．如图，在△ABC 中，AD 平分外⾓∠EAC ，且AD ∥BC ，则△ABC ⼀定是(C)A ．任意三⾓形B ．等边三⾓形C ．等腰三⾓形D ．直⾓三⾓形3．如图，AC ，BD 相交于点O ，∠A ＝∠D ，如果请你再补充⼀个条件，使得△BOC 是等腰三⾓形，那么你补充的条件不能是(C)A ．OA ＝ODB ．AB ＝CDC ．∠ABO ＝∠DCOD ．∠ABC ＝∠DCB4．(易错题)下列能判定△ABC为等腰三⾓形的是(B)A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周长为105．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝3cm.6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的⼀个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三⾓形的有①②．7．已知：如图，AB＝BC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三⾓形．证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C.∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.∴∠BDE＝∠BED.∴BD＝BE.∴△DBE是等腰三⾓形．知识点2反证法8．(2017·西安期中)⽤反证法证明命题“⼀个三⾓形中不能有两个⾓是直⾓”第⼀步应假设⼀个三⾓形中有两个⾓是直⾓．9．⽤反证法证明：等腰三⾓形的底⾓必定是锐⾓．已知：等腰△ABC，AB＝AC.求证：∠B，∠C必定是锐⾓．证明：①假设等腰三⾓形的底⾓∠B，∠C都是直⾓，即∠B＋∠C＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，这与三⾓形内⾓和等于180°⽭盾；②假设等腰三⾓形的底⾓∠B，∠C都是钝⾓，即∠B＋∠C＞180°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三⾓形内⾓和等于180°⽭盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐⾓．故等腰三⾓形的底⾓必定为锐⾓．10．⽤反证法证明：已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.证明：假设a与b相交于点M，则过M点有两条直线平⾏于直线c，这与“过直线外⼀点平⾏于已知直线的直线有且只有⼀条”相⽭盾，所以假设不成⽴，即a∥b.02中档题11．(2017·郑州⽉考)已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A)A．5 B．6 C．7 D．812．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若⽤反证法证这个结论，应⾸先假设∠B≥90°．13．如图，在⼀张长⽅形纸条上任意画⼀条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状⼀定是等腰三⾓形．14．某轮船由西向东航⾏，在A处测得⼩岛P的⽅位是北偏东70°，⼜继续航⾏7海⾥后，在B处测得⼩岛P的⽅位是北偏东50°，则此时轮船与⼩岛P的距离BP＝7海⾥．15．(2017·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂⾜为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三⾓形．证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三⾓形．16．如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC ，延长BC 到E ，使CE ＝CD ，连接DE. (1)成逸同学说：BD ＝DE ，她说得对吗？请你说明理由；(2)⼩敏同学说：把“BD 平分∠ABC ”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？解：(1)BD ＝DE 是正确的．理由：∵△ABC 为等边三⾓形，BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∠ACB ＝60°.∴∠DCE ＝180°－∠ACB ＝120°. ⼜∵CE ＝CD ，∴∠E ＝30°. ∴∠DBC ＝∠E. ∴BD ＝DE.(2)可改为：BD ⊥AC(或点D 为AC 中点)．理由：∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°. ∴∠DBC ＝30°.由(1)可知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E. ∴BD ＝DE.03 综合题17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°，点D 在线段BC 上运动(D 不与B ，C 重合)，连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于点E. (1)当∠BDA ＝115°时，∠EDC ＝25°，∠DEC ＝115°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变⼩(填“⼤”或“⼩”)； (2)当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，△ADE 可以是等腰三⾓形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．解：(2)当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE. 理由：∵∠C ＝40°，∴∠DEC ＋∠EDC ＝140°. ⼜∵∠ADE ＝40°，∴∠ADB ＋∠EDC ＝140°. ∴∠ADB ＝∠DEC. ⼜∵AB ＝DC ＝2，∴△ABD ≌△DCE(AAS)．(3)可以，∠BDA 的度数为110°或80°. 理由：当∠BDA ＝110°时，∠ADC ＝70°. ∵∠C ＝40°，∴∠DAC ＝180°－∠ADC －∠C ＝180°－70°－40°＝70°. ∴∠AED ＝180°－∠DAC －∠ADE ＝180°－70°－40°＝70°. ∴∠AED ＝∠DAE.∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三⾓形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三⾓形．第4课时等边三⾓形的判定01基础题知识点1等边三⾓形的判定1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)A．等腰三⾓形B．等边三⾓形C．不等边三⾓形D．不能确定2．下列说法不正确的是(D)A．有两个⾓分别为60°的三⾓形是等边三⾓形B．顶⾓为60°的等腰三⾓形是等边三⾓形C．底⾓为60°的等腰三⾓形是等边三⾓形D．有⼀个⾓为60°的三⾓形是等边三⾓形3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)A．4 B．6 C．8 D．104．如图，将两个完全相同的含有30°⾓的三⾓板拼接在⼀起，则拼接后的△ABD的形状是等边三⾓形．5．如图，已知OA＝a，P是射线ON上⼀动点，∠AON＝60°，当OP＝a时，△AOP为等边三⾓形．6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三⾓形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.⼜∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE.⼜∵∠ADB＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE为等边三⾓形．知识点2 含30°⾓的直⾓三⾓形的性质 7．(2017·平顶⼭市宝丰县期中)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝9，则AB ＝18． 8．(2017·郑州⽉考)如图，∠C ＝90°，∠ABC ＝75°，∠CDB ＝30°.若BC ＝3 cm ，则AD ＝6cm.9．如图，这是某超市⾃动扶梯的⽰意图，⼤厅两层之间的距离h ＝6.5⽶，⾃动扶梯的倾⾓为30°，若⾃动扶梯运⾏速度为v ＝0.5⽶/秒，则顾客乘⾃动扶梯上⼀层楼的时间为26秒．10．如图，铁路AC 与铁路AD 相交于车站A ，B 区在∠CAD 的平分线上，且距车站A 为20千⽶，∠DAC ＝60°，则B 区距铁路AC 的距离为10千⽶．11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝8 cm ，求AD 的长．解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝8 cm ，∴∠B ＝60°，AB ＝2BC ＝16 cm. ⼜∵CD ⊥AB 于D ，∴∠BDC ＝90°. ∴∠DCB ＝30°. ∴DB ＝12BC ＝4 cm.∴AD ＝AB －DB ＝12 cm.02 中档题12．在下列三⾓形中：①三边都相等的三⾓形；②有⼀个⾓是60°且是轴对称图形的三⾓形；③三个外⾓(每个顶点处各取1个外⾓)都相等的三⾓形；④⼀腰上的中线也是这条腰上的⾼的等腰三⾓形．其中是等边三⾓形的有(D)A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④13．如图，折叠直⾓三⾓形纸⽚的直⾓，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，已知CD ＝1，∠B ＝30°，则BD 的长是(B)A ．1B ．2 C. 3 D ．2 314．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三⾓形是(D)A ．直⾓三⾓形B ．钝⾓三⾓形C ．等腰三⾓形D ．等边三⾓形15．如图，已知∠AOB ＝60°，点P 在边OA 上，OP ＝12，点M ，N 在边OB 上，PM ＝PN.若MN ＝2，则OM ＝(C)A ．3B ．4C ．5D ．616．如图，△ABC 是等边三⾓形，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上⼀点，且AD ＝BE ＝CF ，则△DEF 的形状是等边三⾓形．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 是BC 边的中线，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，DF.(1)求证：△AED 是等边三⾓形；(2)若AB ＝2，则四边形AEDF 的周长是4．证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°. ∵AD 是BC 边的中线，∴AD ⊥BC.∴∠BAD ＝60°. ∴AD ＝12AB.∵点E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB.∴AE ＝AD.∴△ADE 是等边三⾓形．03 综合题18．在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D ＝60°，连接AC.(1)如图1，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE ＝CF.求证：①△ABE ≌△ACF ；②△AEF 是等边三⾓形；(2)若点E 在BC 的延长线上，则在直线CD 上是否存在点F ，使△AEF 是等边三⾓形？请证明你的结论(图2备⽤)．解：(1)证明：①∵AB ＝BC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三⾓形．∴AB ＝AC. 同理，△ADC 也是等边三⾓形，∴∠B ＝∠ACF ＝60°.⼜∵BE ＝CF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS)．②∵△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF. ∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°，∴∠CAF ＋∠CAE ＝60°，即∠EAF ＝60°.∴△AEF 是等边三⾓形． (2)存在．证明：在CD 延长线上取点F ，在BC 延长线上取点E ，使CF ＝BE ，连接AE ，EF ，AF. 与(1)①同理，可证△ABE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF.∴∠BAE －∠CAE ＝∠CAF －∠CAE. ∴∠BAC ＝∠EAF ＝60°. ∴△AEF 是等边三⾓形．(注：若在CD 延长线上取点F ，使CE ＝DF 也可)⼩专题(⼀) 等腰三⾓形中常见的数学思想类型1 ⽅程思想1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝BD ＝ED ＝EA ，求∠A 的度数．解：设∠A ＝x °，∵BC ＝BD ＝ED ＝EA ，∴∠ADE ＝∠A ＝x °. ∴∠DEA ＝∠DBE ＝2x °. ∴∠BDC ＝∠C ＝3x °. ∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝3x °.在△ABC 中，∠A ＋∠C ＋∠ABC ＝180°，即x ＋3x ＋3x ＝180. ∴x ＝1807.∴∠A 为180°7.类型2 分类讨论思想2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，在直线BC 或AC 上取⼀点P ，使得△PAB 为等腰三⾓形，则符合条件在点P 共有(B)A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个。

2022年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明必考点解析试题(含详解)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列三个说法：①有一个内角是30°，腰长是6的两个等腰三角形全等；②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等；③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（）．A．3 B．2 C．1 D．02、如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，AD，CE是△ABC的两条中线，CE＝4cm，P是AD上的一个动点，则BP+EP的最小值是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．10cm3、有两边相等的三角形的两边长为4cm，5cm，则它的周长为（）A ．8cmB ．14cmC ．13cmD ．14cm 或13cm4、等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角是（）．A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°5、如图，在△ABC 中，∠B =62°，∠C =24°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交AC 的两侧于点M 、N ，连接MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（）A ．70ºB ．60ºC ．50ºD ．40°6、如图，ABC DEC ≌△△，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为（）A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°7、下列各组数中，不能作为直角三角形的三边的是（）A ．3，4，5B ．2，3C ．8，15，17D ．23，24，258、如图，AB DF ∥，AC CE ⊥于点C ，BC 与DF 交于点E ，若20A ∠=︒，则CED ∠等于（）A ．20°B ．50°C ．70°D ．110°9、如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，∠C ＝2∠CDB ，AB ＝12，CD ＝3，则△ABC 的周长为（）A ．21B ．24C ．27D ．3010、如图，在△AAA 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，垂足为E ，若30A ∠=︒，2cm CD =，则AC 的长为（）A ．2cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知△ABC 是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么GA =______．2、如图，点P 是等边△ABC 内的一点，PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，若点P ′是△ABC 外的一点，且△P ′AB ≌△PAC ，则∠APB 的度数为___．3、如图，将宽为2cm 的纸条沿BC 折叠，45CAB ∠=︒，则折叠后重叠部分的面积为____．（根号保留）4、如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋅⋅⋅在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，⋅⋅⋅均为等边三角形，若1OA a =，则223A B A △的边长为______．1n n n A B A +△的边长为______．5、如图，AD⊥BC，∠1＝∠B，∠C=65°，∠BAC＝__________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，点D在射线BC上，连接AD，∠CAD＝α，点D关于直线AC的对称点为E，点E关于直线AB的对称点为F，直线EF分别交直线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，CE．（1）如图1，点D在线段BC上．①根据题意补全图1；②∠AEF＝（用含有α的代数式表示），∠AMF＝°；③用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，并证明．（2）点D在线段BC的延长线上，且∠CAD＜60°，直接用等式表示线段MA，ME，MF之间的数量关系，不证明．2、在△ABC 中，∠ACB ＝90°．现给出以下3个关系：①CD 垂直于AB ，②BE 平分∠ABC ，③∠CFE ＝∠CEF ，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．3、如图1，在平面直角坐标系AAA 中，点A (−4,0)，A (4,0)，A (0,4)，给出如下定义：若P 为△AAA 内（不含边界）一点，且AP 与△AAA 的一条边相等，则称P 为△AAA 的友爱点．（1）在A 1(0,3)，A 2(−1,1)，()32,1P -中，△AAA 的友爱点是________；（2）如图2，若P 为△AAA 内一点，且∠AAA =∠AAA =15°，求证：P 为△AAA 的友爱点；（3）直线l为过点A(0,A)，且与A轴平行的直线，若直线A上存在△AAA的三个友爱点，直接写出A的取值范围．4、已知：（1）O是∠BAC内部的一点．①如图1，求证：∠BOC＞∠A；②如图2，若OA＝OB＝OC，试探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．（2）如图3，当点O在∠BAC的外部，且OA＝OB＝OC，继续探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，在△CDE中，DC＝DE，DG⊥CE，AF和DG的延长线交于点P，连接BP、EP．（1）求证：BP＝EP；（2）若∠BCE＝135°，试判断△PBE的形状，并给出证明．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质和直角三角形的性质判断即可．【详解】解：①当一个是底角是30°，一个是顶角是30°时，两三角形就不全等，故本选项错误；②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等，本选项正确；③当一条直角边为12，一条斜边为12时，两个直角三角形不全等，故本选项错误；正确的只有1个，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．2、B【分析】连接CE交AD于点P，则BP+EP的最小值为CE的长．【详解】如图，连接CE交AD于点P，∵AB＝AC，AD是BC的中线，∴AD⊥BC，∴BP＝CP，∴BP+EP＝CP+EP≥CE，∴BP+EP的最小值为CE的长，∵CE＝4cm，∴BP+EP的最小值为4cm，故选：B．【点睛】本题是典型的将军饮马问题，考查了等腰三角形三线合一的性质和两点间线段最短知识，关键是把BP+EP的最小值转化为CP+EP的最小值，从而根据两点间线段最短解决最小值的问题．3、D【分析】有两边相等的三角形，是等腰三角形，两边分别为5cm和4cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】解：当4为底时，其它两边都为5，4、5、5可以构成三角形，周长为14cm；当4为腰时，其它两边为4和5，4、4、5可以构成三角形，周长为13cm．综上所述，该等腰三角形的周长是13cm或14cm．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．4、B【分析】依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质即可解答．【详解】解：（180°-80°）÷2=100°÷2=50°；答：底角为50°．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．5、A【分析】根据∠BAD ＝∠BAC −∠DAC ，想办法求出∠BAC ，∠DAC 即可解决问题．【详解】解：∵∠B ＝62°，∠C ＝24°，∴∠BAC ＝180°−86°＝94°，由作图可知：MN 垂直平分线段AC ，∴DA ＝DC ，∴∠DAC ＝∠C ＝24°，∴∠BAD ＝94°−24°＝70°，故选：A ．【点睛】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6、C【分析】根据全等三角形的性质可证得BC=CE ，∠ACB =∠DCE 即∠ACD =∠BCE ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B =∠BEC 和∠BCE 即可．【详解】解：∵ABC DEC ≌△△，∴BC=CE ，∠ACB =∠DCE ，∴∠B =∠BEC ，∠ACD =∠BCE ，∵75B ∠=︒，∴∠ACD =∠BCE=180°－2×75°=30°，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．7、D【分析】由题意直接根据勾股定理的逆定理即如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，如果没有这种关系，这个就不是直角三角形进行分析判断即可．【详解】解：A 、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；B 、22223+=，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；C 、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，故选项错误；D 、∵（32）2+（42）2=81+256=337，（52）2=625，∴（32）2+（42）2≠（52）2，不符合勾股定理的逆定理即此时三角形不是直角三角形，故选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，注意掌握在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．8、C【分析】由AC CE ⊥与20A ∠=︒，即可求得ABC ∠的度数，又由AB DF ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得CED ∠的度数．【详解】解：∵AC CE ⊥，∴90C ∠=︒，∵20A ∠=︒，∴70ABC ∠=︒，∵AB DF ∥，∴70CED ABC ∠=∠=︒．故选：C ．【点睛】题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．9、C【分析】根据题意在AB 上截取BE =BC ，由“SAS ”可证△CBD ≌△EBD ，可得∠CDB =∠BDE ，∠C =∠DEB ，可证∠ADE =∠AED ，可得AD =AE ，进而即可求解．【详解】解：如图，在AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△CBD 和△EBD 中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CBD ≌△EBD （SAS ），∴∠CDB ＝∠BDE ，∠C ＝∠DEB ，∵∠C ＝2∠CDB ，∴∠CDE ＝∠DEB ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∴△ABC 的周长＝AD +AE +BE +BC +CD ＝AB +AB +CD ＝27，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．10、D【分析】由题意知AD BD =，30DBA A CBD ∠=∠=∠=︒，24AD BD CD ===，AC CD DA =+可求出AC 的值．【详解】解：由题意知AD BD =30DBA A CBD ∴∠=∠=∠=︒在Rt BCD 中30CBD ∠=︒24BD CD AD ∴===又 AC CD DA =+故选D ．【点睛】本题考察了垂直平分线的性质，30角的直角三角形的性质．解题的关键在于灵活运用垂直平分线与30角的直角三角形的性质．二、填空题1【分析】延长AG 交BC 于D ，根据重心的概念得到AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，根据勾股定理求出AD ，根据重心的概念计算即可．【详解】解：延长AG 交BC 于D ，∵G 是三角形的重心，∴AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，由勾股定理得，AD =，∴GA =23AD 故答案为：3．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．【分析】如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：连接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．3、2利用折叠的性质可得出△ABC 是等腰三角形，有AC =AB ；过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则得CG =2，且△CGA 为等腰直角三角形，从而可求得AC 的值，则可求得面积．【详解】如图，由折叠性质得：∠ECB =∠ACB∵DE ∥AB∴∠DCA =∠CAB =45°∵∠DCA +∠ACB +∠ECB =180° ∴1(180)67.52ACB DCA ∠=︒-∠=︒∵∠CAB +∠ACB +∠ABC =180°∴∠ABC =∠ACB =67.5°∴AB =AC即△ABC 是等腰三角形过点C 作CG ⊥AB 于点G ，则CG =2，且∠ACG =∠CAB =45°∴△CGA 为等腰直角三角形∴AG =CG =2由勾股定理得：AC ==∴AB =∴重叠部分△ABC 的面积为2112)22AB CG ⨯=⨯=故答案为：2【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，判定△ABC是等腰三角形是本题的关键．4、2a 2n﹣1a【分析】利用等边三角形的性质得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同样的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此规律即可得到A n B n＝2n﹣1a．【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∠MON＝30°，∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，……．以此类推可得△A n B n A n+1的边长为A n B n＝2n﹣1a．故答案为：2a；2n﹣1a．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．5、70°【分析】先根据AD⊥BC可知∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据直角三角形的性质求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC＝∠1+∠DAC即可得出结论．【详解】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣65°＝25°，∠1＝∠B＝45°，∴∠BAC＝∠1+∠DAC＝45°+25°＝70°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．三、解答题1、（1）①见解析；②60α︒-，60；③MF＝MA＋ME，证明见解析；（2）MF MA ME=-【分析】（1）①按照要求旋转作图即可；②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF；再由三角形外角定理求出∠AMF；③在FE上截取GF＝ME，连接AG，证明△AFG≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF ＝MA＋ME；（2）根据题意画出图形，根据含30°的直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】解：（1）①补全图形如下图：②∵∠CAE=∠DAC=α，∴∠BAE=30°+α∴∠FAE=2×（30°+α）∴∠AEF=()180-2+302α︒⨯︒=60°-α；∵∠AMF=∠CAE+∠AEF=α+60°-α=60°，故答案是：60°-α，60°；③MF＝MA＋ME．证明：在FE上截取GF＝ME，连接AG．∵点D 关于直线AC 的对称点为E ，∴△ADC ≌△AEC ．∴∠CAE ＝∠CAD ＝α．∵∠BAC ＝30°，∴∠EAN ＝30°＋α．又∵点E 关于直线AB 的对称点为F ，∴AB 垂直平分EF ．∴AF ＝AE ，∠FAN ＝∠EAN ＝30°＋α，∴∠F ＝∠AEF ＝()180230602αα︒-︒+=︒-．∴∠AMG ＝6060αα︒-+=︒．∵AF ＝AE ，∠F ＝∠AEF ， GF ＝ME ，∴△AFG ≌△AEM ．∴AG ＝AM ．又∵∠AMG ＝60︒，∴△AGM 为等边三角形．∴MA ＝MG ．∴MF ＝MG ＋GF ＝MA ＋ME ．（2）MF MA ME =-，理由如下：如图1所示，∵点E 与点F 关于直线AB 对称，∴∠ANM =90°，NE =NF ，又∵∠NAM =30°，∴AM=2MN，∴AM=2NE+2EM =MF+ME，∴MF=AM-ME；如图2所示，∵点E与点F关于直线AB对称，∴∠ANM=90°，NE=NF，∵∠NAM=30°，∴AM=2NM，∴AM=2MF+2NF=2MF+NE+NF=ME+MF，∴MF=MA-ME；综上所述：MF=MA-ME．【点睛】本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．2、①②作为条件，③作为结论，证明见解析【分析】结合题意，得∠CDA＝∠ACB＝90°，根据直角三角形两锐角互余的性质，得∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，根据角平分线性质，计算得∠EBC＝∠EBA，根据三角形外角的性质，通过计算得∠CFE＝∠CEF，即可得到答案．【详解】∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，∴∠BCF＝∠A，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠EBA，∵∠CFE ＝∠BCF +∠EBC ，∠BEC ＝∠A +∠EBA ，∴∠CFE ＝∠CEF∴①②作为条件，③作为结论成立．【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线、三角形外角、命题的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，从而完成求解．3、（1）P 1、P 2；（2）见解析；（3）0＜m ＜2【分析】（1）根据A （x 1，y 1）、和B （x 2，y 2）之间的距离公式AB 即可；（2）由题意易知∠OAB =∠OCA =∠OCB =45°，进而可求得∠PAC =∠OCP =30°，则可得出∠ACP =∠APC =75°，根据等角对等边和友爱点定义即可证得结论；（3）由题意，△ABC 在友爱点P 满足AP=BP 或AP=PC 或AP=BC=AC 三种情况，分别讨论求解即可．【详解】解：（1）∵点()4,0A -，()4,0B 关于y 轴对称，点()10,3P 在y 轴上，∴AP 1=BP 1，故P 1是ABC 的友爱点；∵AP 2CP 2=∴AP 2= CP 2，故P 1是ABC 的友爱点；∵AP 3=CP 3BP 3BC =∴故P 3不是ABC 的友爱点，综上，ABC 的友爱点是P 1、P 2，故答案为：P 1、P 2；（2）∵点()4,0A -，()4,0B ，()0,4C ，∴OA=OB=OC ，AC= BC ， ∠BOC =90°，∴∠OAB =∠OCA =∠OCB =45°，∵15PAB PCB ∠=∠=︒，∴∠PAC =∠OCP =30°，∴∠ACP =45°+30°=75°，∴∠APC =180°－∠PAC －∠ACP =180°－30°－75°=75°，∴∠ACP =∠APC ，∴AP=AC=BC ，∴P 为ABC 的友爱点；（3）由题意，△ABC 的友爱点P 满足AP=BP 或AP=PC 或AP=BC 三种情况，若AP=BP ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上，即点P 在y 轴线段OC 上，若AP=PC ，则点P 在线段AC 的垂直平分线上；若AP =BC ，则点P 在以点A 为圆心，BC 即AC 长为半径的圆上，如图，设AC 的中点为G ，则G 的坐标为（－2，2），由图可知，当直线l 为过点G 和过点()0,M m 且与x 轴平行的直线在x 轴之间时，直线l 上存在ABC 的三个友爱点，∴m 的取值范围为0＜m ＜2．【点睛】本题考查两点之距离坐标公式、线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、圆的定义、坐标与图形等知识，理解题中定义，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键．4、（1）①见解析；②∠BOC＝2∠A，见解析；（2）∠BOC＝2∠BAC，见解析【分析】（1）①连接AO并延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；②延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；（2）根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】证明：（1）①如图所示：连接AO并延长AO至点E，则∠BOE＞∠BAO，∠COE＞∠CAO，∴∠BOC＞∠A；②∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠A；证明：如图所示，延长AO至点E，则∠BOE＝∠BAO+∠B，∠COE＝∠CAO+∠C，∵OA＝OB＝OC，∴∠BAO＝∠B，∠CAO＝∠C，∴∠BOC＝∠COE+∠COE＝∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝2（∠BAO+∠CAO）＝2∠BAC；（2）∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠BAC；证明：如图所示，设∠B＝x，∵OA＝OB＝OC，∴∠B＝∠BAO＝x，∠C＝∠OAC＝∠BAC+x；在△BEO和△AEC中，有：∠B+∠BOC＝∠C+∠CAE；即x+∠BOC＝∠CAE+x+∠CAE＝2∠BAC+x；即∠BOC＝2∠BAC．【点睛】此题考查三角形综合题，关键是根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答．5、（1）见解析；（2）等腰直角三角形，见解析【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得出答案；（2）证出∠BPE＝2（∠FPC+∠GPC）＝90°，则可得出结论．【详解】（1）证明：连接PC，∵AB＝AC，AF⊥BC，DC＝DE，DG⊥CE，∴AP、DP分别为线段BC、CE的垂直平分线，∴PC＝PB，PC＝PE，∴PB＝PE．（2）解：△PBE的形状为等腰直角三角形；∵∠BCE＝135°，∠PGC＝∠PFC＝90°，∴在Rt△PGC和Rt△PFC中，∠FPC+∠GPC＝45°；∵AP、DP分别为线段BC、CE的垂直平分线，∠FPC＝∠FPB，∠GPC＝∠GPE，∴∠BPE＝2（∠FPC+∠GPC）＝90°；∵PB＝PE，∴△PBE的形状为等腰直角三角形．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和判定，等腰直角三角形判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．。

北师大版数学八年级下册第一章精选练习题含答案

第一章三角形的证明1.1 全等三角形和等腰三角形的性质1．如图所示，BA⊥CA，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD，则△ABC≌，理由是，所以∠ABC＝，∠ACB＝，由此可知BC与DE的位置关系为．2．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ .3. 如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为 .4．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为 .5．如图，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°则∠ACE的度数是 .6. 如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是( )A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD7. 如图所示为农村居民住宅侧面截面图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为长方形．若测得∠FAG＝110°，则∠FBD等于( )A．35° B．40° C．55° D．70°8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是( )A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC9．若实数m、n满足等式|m－2|＋n－4＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是( )A．12 B．10 C．8 D．610. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD11. 如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A的度数是( )A．70° B．55° C．50° D．40°12. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的顶角为( ) A．80°或20° B．70°或55° C．60°或50° D．50°或40°13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为( )A．70° B．72° C．80° D．85°12．在△ABC中，AB＝AC，且BC＝8 cm，BD是腰AC的中线，△ABC的周长分为两部分，已知它们的差为2 cm，则等腰三角形的腰长为( )A. 15cm或3cmB. 12cm或5cmC. 12cm或6cmD. 10cm或6cm15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC 的度数．16. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：AD＝AE.17. 如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE.求∠A的度数．18. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，连接AD、AE.①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以这三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答) ；(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题，然后再证明)．答案;1. △CED SAS ∠CED ∠CDE2. 互相垂直3. 40°4. 40°5. 35°6. D7. C8. C9. D 10. D 11. D 12. A 13. B 14. D15. 解：∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝∠C ＝180°－∠A2＝70°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝35°，∴∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝75°.16. 证明：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B(等边对等角)，在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)，∴AD ＝AE(全等三角形的对应边相等)．17. 解：设∠A ＝x°，∵AD ＝BE ＝DE ，∴∠EDB ＝12x°，∵AC ＝AB ，∴∠C ＝90°－12x°，∵BC ＝BD ，∴∠CDB ＝90°－12x°，∴∠EDC ＝12x°＋90°－12x°＝90°，∴∠A ＝45°.18. (1) ①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①(2) 解：选择①③⇒②，证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE.1．2直角三角形一．选择题1．下列可使两个直角三角形全等的条件是( ) A ．一条边对应相等 B ．两条直角边对应相等 C ．一个锐角对应相等 D ．两个锐角对应相等2．已知直角三角形ABC ，有一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是( )． A ． 30° B ． 40° C ． 45° D ． 50°3．下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．如图，AB ⊥BC 于点B ，AD ⊥DC 于点D ，若CB ＝CD ，且∠1＝30°，则∠BAD 的度数是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．15° 5．下列命题中，逆命题不正确的是（）A ．两直线平行，同旁内角互补B ．直角三角形的两个锐角互余C ．全等三角形对应角相等D ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6．下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（） A ．任意两边之和大于第三边B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边C．至少有两个角是锐角D．内角和等于180°7．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1．2 km，则M，C两点间的距离为( )A．0．5 km B．0．6 km C．0．9 km D．1．2 km8．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为( )A．120°B．135°C．150°D．120°或135°9．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，将△ACD沿AD所在的直线折叠，点C恰好落在BC的中点E处，则∠B等于（）A． 25° B． 30° C． 45° D． 60°10．下列命题为假命题的是（）A．若a＝b，则a﹣2019＝b﹣2019 B．若a＝b，则C．若a＞b，则a2＞ab D．若a＜b，则a﹣2c＜b﹣2c二．填空题11．命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是________．12．如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD＝AB，过点D作BC的垂线，交AC 于点E，若AE＝12 cm，则DE＝_________cm．13．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是．（不添加字母和辅助线）14．用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b（a＞b），∠B=30°，若这样的三角形能作两个，则a，b间满足的关系式是________．15．命题“两直线平行，同旁内角相等”是命题（填“真”或“假”）．16．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝__________时，△ABC与△QPA全等．17．举一个能证明命题“若x，y都是实数，则+≠”是假命题的反例：．18．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________（不包括5）．三．解答题19．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，那么CE＝DF吗？请说明理由．20．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？21．如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E．(1)求证：BE＝CE；(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．22．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；（3）求证：∠CEF＝∠CFE．23．边长为6的等边△ABC中，点P从点A出发沿射线AB方向移动，同时点Q从点B出发，以相同的速度沿射线BC方向移动，连接AQ、CP，直线AQ、CP相交于点D．（1）如图①，当点P、Q分别在边AB、BC上时，①连接PQ，当△BPQ是直角三角形时，AP等于________；②∠CDQ的大小是否随P，Q的运动而变化？如果不会，请求出∠CDQ的度数；如果会，请说明理由；________（2）当P、Q分别在边AB、BC的延长线上时，在图②中画出点D，并直接写出∠CDQ的度数．24．按要求完成下列各小题．（1）将命题“两个钝角的和一定大于180°”写成“如果…那么…”的形式，并判断该命题是真命题还是假命题；（2）判断命题“若a2＞b2，则a＞b”是真命题还是假命题，若是真命题，则举一个满足命题的例子；若是假命题，则举一个反例．25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是边AB 的中点，CH ⊥AB 于点H ，CD 平分∠ACB ．(1)求证：∠1＝∠2．(2)过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，连结AE ，BE ．求证：CM ＝EM ．答案提示1．B. 2．B. 3．A ．②正确．4．B. 5．C . 6．B ．7.D.8．B.9．B. 10．C ．11．在同一个三角形中，等边对等角. 12．12．13.AB ＝DC （答案不唯一）.14．a ＜b ＜a . 15．假． 16．5或10.17．x ＝1，y ＝﹣4（答案不唯一）．18．9或13或4919．解：CE ＝DF ．理由如下：在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎨⎧BC ＝AD ，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL)，∴AC ＝BD ，∠CAB ＝∠DBA ．在△ACE 和△BDF 中，⎩⎨⎧∠CAB ＝∠DBA ，∠AEC ＝∠BFD ＝90°，AC ＝BD ，∴△ACE ≌△BDF(AAS)，∴CE ＝DF ．20．解：连接BD在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52 ，在△CBD中，CD2=132 ，BC2=122 ，而122+52=132 ，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC= AD·AB+ DB· BC= ×4×3+ ×5×12=36所以需费用36×200=7200（元）21．解：(1)证明：∵DB＝DC，DE⊥BC，∴CE＝BE(三线合一)．(2)结论：∠ABC－∠ACB＝2∠ADE．点拨：作BF⊥AD于点F，交AC于点G，求出∠ABG＝∠BGA，∠ADE＝∠CBG．(3)作DM⊥AC于点M，DN⊥AB的延长线于点N，图略．∵∠DAN＝∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，∴DM＝DN，∵DB＝DC，∴Rt△DBN≌Rt△DCM(HL)，∴∠BDN＝∠CDM，∴∠CDB＝∠MDN，∵∠CAB＋∠MDN＝180°，∴∠CDB＋∠CAB＝180°，∵∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，∠ABC－∠ACB＝2∠ADE，∴∠ABC＝80°．∴∠CAB＝180°－80°－40°＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠EDB＝∠EDC＝60°，∴∠DCB＝90°－∠EDC＝30°．22．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠D．∵∠D＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ABC；（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，∴AD∥BC，∵CE⊥AD，∴CE⊥BC，∴∠BEC+∠EBC＝90°，∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，∴∠ABC+∠ECD＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC∴2∠EBC+∠ECD＝90°，∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，∴∠CEF＝CFE．23．（1）2或4；解：∠CDQ的大小不变∵P、Q用时出发，速度相同，所以AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴BA=AC，∠B=∠CAP=60°，在△ABQ和△CAP中，BA=AC，∠B=∠APC，BQ=AP，∴△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CDQ=∠DAC+∠ACP=∠DAC+∠BAQ=∠CAB=60°；（2）解：如图4，∠CDQ=120°，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴BA=AC，∠ABC=∠CAP=60°，在△ABQ和△CAP中，BA=AC，∠ABQ=∠CAP，BQ=AP，∴△ABQ≌△CAP，∴∠Q=∠P，∵∠P+∠BCP=60°，∴∠Q+∠DCQ=60°，∴∠CDQ=120°．24.解：（1）如果两个角是钝角，那么这两个角的和一定大于180°，真命题；（2）假命题，反例：a＝﹣2，b＝﹣1．25．解：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＋∠ACH＝90°．∵CH⊥AB，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，∴∠CAH＝∠BCH．∵M是斜边AB的中点，∴CM＝AM＝BM，∴∠CAM＝∠ACM．∴∠BCH＝∠ACM．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，∴∠BCD－∠BCH＝∠ACD－∠ACM，即∠1＝∠2．(2)∵CH⊥AB，ME⊥AB，∴ME∥CH，∴∠1＝∠MED．∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠MED，∴CM＝EM．1.3线段的垂直平分线一．选择题1．如图，∠B＝35°，CD为AB的垂直平分线，则∠ACE＝（）A．55°B．60°C．70°D．80°2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，△ADC的周长为10，且BC﹣AC ＝2，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．103．如图，△ABC的边长AB＝8cm，AC＝10cm，BC＝4cm，作BC的垂直平分线交AC于D，则△ABD的周长为（）A．18cm B．14cm C．20cm D．12cm4．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处B．AC、AB两边高线的交点处C．AC、AB两边中线的交点处D．AC、AB两边垂直平分线的交点处5．如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交于点O．若∠BOC＝148°，则∠BIC＝（）A．120°B．125°C．127°D．132°6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝110°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，则∠EBC的度数是（）A．10°B．15°C．20°D．25°7．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠1＝35°，则∠A+∠C＝（）A．30°B．40°C．17.5°D．35°8．如图，△ABC中，∠B＝90°，边AC的垂直平分ED，交AC于点D，交BC于点E，已知∠C＝36°，则∠BAE的度数为（）A．16°B．17°C．18°D．19°9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小4，则△ADE的面积为（）A．4B．3C．2D．110．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°二．填空题（共5小题）11．如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是cm．12．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若AC＝9，BC＝5，则△BDC的周长是．14．如图，△ABC中，∠A＝68°，点D是BC上一点，BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，则∠EDF＝度．15．如图，在锐角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为°．三．解答题16．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，DE是BC的垂直平分线，交AC于点E，连接BE，∠CBE＝2∠ABE，求∠C的度数．18．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝5，求△ADE的周长．（2）若∠BAD+∠CAE＝60°，求∠BAC的度数．参考答案一．选择题1．解：∵CD为AB的垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠B＝∠A＝35°∴∠ACE＝∠B+∠A＝70°．故选：C．2．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∵△ADC的周长为10，∴AC+DC+AD＝10，∴AC+CD+BD＝AC+BC＝10，∵BC﹣AC＝2，∴BC＝6，故选：B．3．解：∵BC的垂直平分线交AC于D，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝8+10＝18（cm），故选：A．4．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．5．解：连接OA，∵∠BOC＝148°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝32°，∵O是三边的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠OBA+∠OCA＝（180°﹣32°）÷2＝74°，∴∠ABC+∠ACB＝74°+32°＝106°，∵△ABC的三条内角平分线相交于点I，∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，∴∠BIC＝180°﹣∠IBC﹣∠ICB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝127°，故选：C．6．解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，∴∠ABE＝∠A＝30°，∵∠A＝30°，∠C＝110°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣110°＝40°，∴∠EBC＝40°﹣30°＝10°，故选：A．7．解：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∠A＝∠ABO，∠C＝∠CBO，∴∠A+∠C＝∠ABC，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝35°，∴∠DOE＝145°，∴∠ABC＝360°﹣∠DOE﹣∠BDO﹣∠BEO＝35°；故选：D．8．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝36°，∴∠BAC＝90°﹣36°＝54°，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝36°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝18°，故选：C．9．解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，∴点D是AB的中点，∴S△ADC＝S△BDC，∵S△BDC﹣S△CDE＝4，∴S△ADC﹣S△CDE＝4，即△ADE的面积为4，故选：A．10．解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，∴AG＝CG，AE＝BE，∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝5cm，∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝18（cm），故答案为：18．12．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．13．解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴△BDC的周长＝BC+CD+DB＝BC+CD+DA＝BC+AC＝14，故答案为：14．14．解：∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，∴EB＝ED，FD＝FC，∴∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，∴∠EDB+∠FDC＝∠B+∠C，∵∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），∠A＝180°﹣（∠B+∠C），∴∠EDF＝∠A＝68°．故答案为68．15．解：连接DA、DC，∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，∴DA＝DB，DA＝DC，∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝80°，∴∠DBC＝∠DBC＝×（100°﹣80°）＝10°，故答案为：10．三．解答题16．（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为14cm，∴AB+BC+AC＝14（cm），∴AB+BC＝8（cm），∵AB＝EC，BD＝DE，∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．17．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴∠CBE＝∠C，∵∠CBE＝2∠ABE，∴∠ABE＝∠C，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠C+∠C+∠C＝90°，∴∠C＝36°．18．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5；（2）∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠B+∠C＝∠DAB+∠EAC＝60°，∴∠BAC＝120°．。

北师版八年级数学下册作业课件(BS) 第一章三角形的证明专题课堂三角形的证明

3．(嘉兴中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB， DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F， ∴∠AED＝∠CFD＝90°，∵D 为 AC 的中点，∴AD＝CD，在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中，ADDE＝＝DCFD，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)， ∴∠A＝∠C，∴BA＝BC，∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC，∴△ABC 是等边三角形
6．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是_____1.5
7．如图所示，D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM＝DN，∠BMD＋∠BND＝180°. 求证：BD平分∠ABC.
证明：作DE⊥AB，DF⊥BC，E，F为垂足，可证△DEM≌△DFN，则∴DE＝DF，∴BD平分∠ABC
证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠EAB＝∠BAD，∴∠EAB＝∠CAD，在△AEB和△AFC中， AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，AB＝AC， ∴△AEB≌△AFC(SAS)，∴BE＝CF
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分 ∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，求BC的长．
1．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点 D 为 AC 的中点，点 E，F 分别是线段 AB，CB 上的动点，且∠EDF＝90°，若 ED 的长为 m，则△BEF 的周长是(__2_m__＋__2_) (用含 m 的代数式表示)．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，作∠EAB＝∠BAD， AE交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连接CF. 求证：BE＝CF.

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 1.3-1.4 同步练习题

2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 1.3-1.4 同步练习题一、选择题1．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若OP＝4，则PQ的最小值为( )A．2 3 B．4 C．2 D. 32．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP ＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( ) A．80°B．75°C．65° D．45°4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝1，M，N分别是AB，AC上的任意一点，则MN＋NB的最小值为( )A．1.5 B．2 C.32＋34D.325．已知正方形桌子桌面边长为80 cm，要买一块正方形桌布，如图铺设时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，那么要买桌布的边长是(精确到个位，备用数据：2≈1.4，3≈1.7)( )A．56 cm B．112 cm C．124 cm D．136 cm二、填空题6．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是_______．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处．如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是_______．8．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为_______．9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，B(2，0)，在第一象限内的点C，使△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为_______．三、解答题10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB ＝45°.求证：CE⊥BD.11．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC 上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形．13.如图，∠CAB＝40°，点D为∠CAB的平分线与线段BC的垂直平分线的交点，连接CD，试求∠DCB的度数．14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别在AC，AB 上，且DE⊥DF.试判断DE，DF的数量关系，并说明理由．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别为AB，CA 延长线上的点，且BE＝AF，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．16．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.17.已知，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线．(1)如图1，若∠A＝100°，∠C＝50°，求证：BC＝BA＋AD;(2)如图2，若∠BAC＝100°，∠C＝40°，求证：BC＝BD＋AD.18．如图，在四边形ABCD中，若对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22，求CD的长和四边形ABCD的面积．19．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交直线AC于点D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于点E.(1)请直接写出线段BD与CE的数量关系_______；(2)在(1)中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变(如图2)，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．20．感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：(1)如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC；(2)如图3，AD平分∠BAC，BD＝DC，AC≠AB，求证：∠ABD＋∠ACD＝180°.21．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D是斜边BC的中点，点E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF.(1)若设BE＝a，CF＝b，满足a－12＋|b－5|＝m－2＋2－m，求BE及CF的长；(2)求证：BE2＋CF2＝EF2；(3)在(1)的条件下，求△DEF的面积．参考答案2020-2021学年北师大版八年级数学下册第一章 1.3-1.4 同步练习题一、选择题1．如图，∠MON＝60°，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若OP＝4，则PQ的最小值为(C)A．2 3 B．4 C．2 D. 32．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP ＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝(C)A．3 B．4 C．5 D．63．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为(D) A．80°B．75°C．65° D．45°4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝1，M，N分别是AB，AC上的任意一点，则MN＋NB的最小值为(A)A．1.5 B．2 C.32＋34D.325．已知正方形桌子桌面边长为80 cm，要买一块正方形桌布，如图铺设时，四周垂下的桌布都是等腰直角三角形，且桌面四个角的顶点恰好在桌布边上，那么要买桌布的边长是(精确到个位，备用数据：2≈1.4，3≈1.7)(B)A．56 cm B．112 cm C．124 cm D．136 cm二、填空题6．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是3＜BC＜23．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处．如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是1．8．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为6．9．如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，B(2，0)，在第一象限内的点C，使△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为(6，2)或(4，6)或(3，3)．三、解答题10．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB ＝45°.求证：CE⊥BD.证明：过点A作AF⊥AE交BE于点F，得等腰直角△AFE，△ABF≌△ACE(SAS)．∴∠ABE＝∠ACE.∴∠BEC＝∠BAC＝90°，即CE⊥BD.11．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.证明：在BE上截取BF＝CE，连接AF.易证∠ABF＝∠ACE，△ABF≌△ACE(SAS)，得等腰Rt△AFE，∴∠AEB＝45°.12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC 上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形．证明：连接AD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为BC 中点，∴AD ＝BD ＝CD ，∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ＝45°，AD ⊥BC. 在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠B ＝∠DAF ，BE ＝AF ，∴△BDE ≌△ADF(SAS)．∴DE ＝DF ，∠BDE ＝∠ADF. ∵∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∴∠ADF ＋∠ADE ＝90°，即∠EDF ＝90°. ∴△EDF 为等腰直角三角形．13.如图，∠CAB ＝40°，点D 为∠CAB 的平分线与线段BC 的垂直平分线的交点，连接CD ，试求∠DCB的度数．解：过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F ，连接BD. ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ， ∴DE ＝DF ，∠DEC ＝∠DFB ＝90°. ∵∠CAB ＝40°，∴∠EDF ＝140°. ∵点D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴DC ＝DB.∴Rt △DEC ≌Rt △DFB(HL)． ∴∠EDC ＝∠FDB.∴∠CDB ＝∠CDF ＋∠FDB ＝∠CDF ＋∠EDC ＝∠EDF ＝140°. ∴∠DCB ＝12×(180°－40°)＝20°.14．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 分别在AC ，AB 上，且DE ⊥DF.试判断DE ，DF 的数量关系，并说明理由．解：DE ＝DF ，理由如下：连接AD ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴CD ＝AD ，∠C ＝∠DAF ＝45°，AD ⊥BC. ∴∠CDE ＋∠EDA ＝∠ADF ＋∠EDA ＝90°. ∴∠CDE ＝∠ADF.在△CDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠DAF ，CD ＝AD ，∠CDE ＝∠ADF ，∴△CDE ≌△ADF(ASA)．∴DE ＝DF.15．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，且BE ＝AF ，那么△DEF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．解：△DEF 仍为等腰直角三角形．证明：连接AD ， ∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形．∵∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点， ∴AD ＝BD ，AD ⊥BC. ∴∠DAC ＝∠ABD ＝45°. ∴∠DAF ＝∠DBE ＝135°. 又∵AF ＝BE ，∴△DAF ≌△DBE(SAS)． ∴FD ＝ED ，∠FDA ＝∠EDB.∴∠EDF ＝∠EDB ＋∠FDB ＝∠FDA ＋∠FDB ＝∠ADB ＝90°. ∴△DEF 仍为等腰直角三角形．16．如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD.证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF. ∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ， ∴∠ABE ＝∠FBE ，∠FCE ＝∠DCE. 在△ABE 和△FBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE(SAS)．∴∠A ＝∠BFE.∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠D ＝180°.∴∠BFE ＋∠D ＝180°.∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠D.在△FCE 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠D ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△FCE ≌△DCE(AAS)．∴CF ＝CD.∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.17.已知，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线．(1)如图1，若∠A ＝100°，∠C ＝50°，求证：BC ＝BA ＋AD;(2)如图2，若∠BAC ＝100°，∠C ＝40°，求证：BC ＝BD ＋AD.图1 图2证明：(1)在边BC 上截取BE ＝BA ，连接DE.∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠DBE.又∵BA ＝BE ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD(SAS)．∴AD ＝DE ，∠A ＝∠BED.∵∠A ＝100°，∴∠BED ＝100°.∵∠C ＝50°，∴∠CDE ＝50°.∴∠C ＝∠CDE.∴DE ＝CE.∴AD ＝CE.∵BC ＝BE ＋CE ，∴BC ＝BA ＋AD.(2)以BC 为边作等边△A ′BC ，在A ′C 上截取CD ′＝BD ，连接AA ′，AD ′. ∵∠BAC ＝100°，∠ACB ＝40°，∴∠ABC ＝40°.∴∠ABC ＝∠ACB.∴AB ＝AC.∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝20°.∴△A ′BC 为等边三角形． ∴A ′B ＝A ′C ＝BC ，∠A ′BC ＝∠A ′CB ＝∠BA ′C ＝60°.∴∠A ′CA ＝∠A ′CB －∠ACB ＝20°.∵A ′B ＝A ′C ，AB ＝AC ，A ′A ＝A ′A ，∴△A ′BA ≌△A ′CA(SSS)．∴∠BA ′A ＝∠CA ′A ＝30°.∵AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACD ′，BD ＝CD ′，∴△ABD ≌△ACD ′(SAS)．∴∠BAD ＝∠CAD ′＝100°，AD ＝AD ′.∴∠AD ′C ＝180°－∠CAD ′－∠ACD ′＝60°.∴∠D ′AA ′＝∠AD ′C －∠D ′A ′A ＝30°.∴∠D ′AA ′＝∠DA ′A.∴A ′D ′＝AD ′.∴A ′D ′＝AD.∴BC ＝A ′C ＝A ′D ′＋CD ′＝AD ＋BD.18．如图，在四边形ABCD 中，若对角线AC ，BD 交于点E ，∠BAC ＝90°，∠CED ＝45°，∠DCE ＝30°，DE ＝2，BE ＝22，求CD 的长和四边形ABCD 的面积．解：过点D 作DH ⊥AC 于点H.∵∠CED ＝45°，∴△DEH 是等腰直角三角形．∴EH ＝DH.∵EH 2＋DH 2＝ED 2＝2，∴EH ＝DH ＝1.又∵∠DCE ＝30°，∴DC ＝2，HC ＝ 3.∵∠AEB ＝∠DEC ＝45°，∠BAC ＝90°，BE ＝22，∴AB ＝AE ＝2.∴AC ＝AE ＋EH ＋CH ＝3＋ 3.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×2×(3＋3)＋12×1×(3＋3)＝33＋92. 19．如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于点D ，过点C 作CE ⊥BD ，交直线BD 于点E.(1)请直接写出线段BD 与CE 的数量关系BD ＝2CE ；(2)在(1)中，如果把BD 改为∠ABC 的外角∠ABF 的平分线，其他条件均不变(如图2)，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．解：结论BD ＝2CE 仍然成立．证明：延长CE ，AB 交于点G .∵BD 平分∠ABF ，∴∠DBF ＝∠DBA.又∵∠DBF ＝∠CBE ，∠DBA ＝∠GBE ，∴∠CBE ＝∠GBE.∵CE ⊥BD ，∴∠GEB ＝∠CEB ＝90°.又∵BE ＝BE ，∴△GBE ≌CBE(ASA)．∴GE ＝CE.∴CG ＝2CE.∵∠D ＋∠DCG ＝∠G ＋∠DCG ＝90°，∴∠D ＝∠G.又∵∠DAB ＝∠GAC ＝90°，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△GAC(AAS)．∴BD ＝CG.∴BD ＝2CE.20．感知：如图1，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°，易知：DB ＝DC. 探究：(1)如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°，求证：DB ＝DC ；(2)如图3，AD 平分∠BAC ，BD ＝DC ，AC ≠AB ，求证：∠ABD ＋∠ACD ＝180°.图1 图2图3证明：(1)过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠F ＝∠DEB ＝90°.∵∠EBD ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠EBD ＝∠FCD.在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠EBD ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB(AAS)．∴DC ＝DB.(2)过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F.∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠DFC ＝∠DEB ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DB ＝DC ，DE ＝DF ， ∴Rt △DEB ≌Rt △DFC(HL)．∴∠ABD ＝∠DCF.∵∠DCF ＋∠ACD ＝180°，∴∠ABD ＋∠ACD ＝180°.21．如图，在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF.(1)若设BE ＝a ，CF ＝b ，满足a －12＋|b －5|＝m －2＋2－m ，求BE 及CF 的长；(2)求证：BE 2＋CF 2＝EF 2；(3)在(1)的条件下，求△DEF 的面积．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥0，2－m ≥0，解得m ＝2. ∴a －12＋|b －5|＝0.∴a －12＝0，b －5＝0.∴a ＝12，b ＝5，即BE ＝12，CF ＝5.(2)证明：延长ED 到P ，使DP ＝DE ，连接FP ，CP.∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD.在△BED 和△CPD 中，∵ED ＝PD ，∠EDB ＝∠PDC ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CPD(SAS)．∴BE ＝CP ，∠B ＝∠DCP.在△EDF 和△PDF 中，∵DE ＝DP ，∠EDF ＝∠PDF ＝90°，DF ＝DF ，∴△EDF ≌△PDF(SAS)．∴EF ＝FP.∵∠BAC ＝90°，∠B ＋∠ACB ＝90°，∠B ＝∠DCP ，∴∠ACB ＋∠DCP ＝90°，即∠FCP ＝90°.在Rt △FCP 中，根据勾股定理，得CF 2＋CP 2＝PF 2.又∵BE ＝CP ，PF ＝EF ，∴BE 2＋CF 2＝EF 2.(3)连接AD ，∵△ABC 为等腰直角三角形，D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠FCD ＝45°，AD ＝BD ＝CD ，AD ⊥BC.∴∠ADF ＋∠FDC ＝90°.∵ED ⊥FD ，∴∠EDA ＋∠ADF ＝90°.∴∠EDA ＝∠FDC.在△AED 和△CFD 中，∵∠EAD ＝∠FCD ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ，∴△AED ≌△CFD(ASA)．∴AE ＝CF ＝5，DE ＝DF.∴△EDF 为等腰直角三角形．∴AB ＝AE ＋EB ＝5＋12＝17.∴AF ＝AC －FC ＝AB －CF ＝17－5＝12.在Rt △EAF 中，根据勾股定理，得EF ＝AE 2＋AF 2＝13.设DE ＝DF ＝x ，在Rt △DEF 中，根据勾股定理，得x 2＋x 2＝132，解得x ＝1322，即DE ＝DF ＝1322，则S △DEF ＝12DE ·DF ＝12×1322×1322＝1694.。

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北师版八年级下数学第一章随堂练习42
一、选择题（共5小题；共25分）
1. 下列定理中，有逆定理的是
A. 对顶角相等
B. 同角的余角相等
C. 全等三角形的对应角相等
D. 在一个三角形中，等边对等角
2. 若实数，满足等式，且，恰好是等腰的两条边的边长，
则的周长是
A. B. C. D.
3. 由下列线段，，能组成直角三角形的是
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
4. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于直角”时，应假设
A. 没有一个角大于直角
B. 至多有一个角不小于直角
C. 每一个内角都为锐角
D. 至少有一个角大于直角
5. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使
；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
作射线交于点．若，为上一动点，则的最小值为
A. 无法确定 C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
6. 如图所示，是等边内一点，将绕着点顺时针方向旋转，得到
．若，则．
7. 中，，的中垂线交于，垂足为，若，则
．
8. 把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果，那么”的形式：．
9. 如图，在三角形中，，，，，
度．
三、解答题（共4小题；共52分）
10. 已知三条公路相互交叉成如图所示，现要在交叉点围成的三角形区域内建一个加油站，使它到
三条公路的距离相等，请标出加油站的位置．（要求尺规作图，不写作法）
11. 有下列命题：
①直角都相等；
②内错角相等，两直线平行；
③如果，那么，；
④相等的角都是直角；
⑤如果，，那么；
⑥两直线平行，内错角相等．
（1）③和⑤是互逆命题吗?
（2）你能说出③和⑤的逆命题各是什么吗?
（3）请指出哪几个命题是互逆命题．
12. 如图，已知四边形中，，点是中点，点是
中点．
（1）求证：；
（2）过点作于点，如果平分，求证：．13. 如图，已知，．求证：．
答案
第一部分
1. D
2. B
3. D 【解析】A、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
B、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
C、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D、，能组成直角三角形，故此选项正确．
4. C 【解析】反证法的第一步先假设结论不成立，即四边形的每个内角都为锐角．
5. C
第二部分
6.
【解析】提示：是等边三角形.
7.
8. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
9.
第三部分
10. 略．
11. （1）③和⑤不是互逆命题.
由于③的题设是，而⑤的结论是，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．
（2）能．③的逆命题是如果，，那么．⑤的逆命题是如果，那么，．
（3）①与④，②与⑥分别是互逆命题．
12. （1），点是中点，
，，
，
点是中点，
．
（2）设，交于点，
，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
13. 由，得垂直平分，得．。