模糊数学教程第7章 模糊聚类分析
方法1. 令 rij
rij 1
2 rij m 方法2. 令 rij ( i j ), 其中 m min rij , i j M m
, 则 rij [0,1]
M max rij , 于是 rij [0,1] i j
（2）夹角余弦法
rij
四、聚类 选择一种合适的聚类方法，便可以得到分类结果.
§７.2 基于模糊等价关系的传递闭包法
一、传递闭包法 Basic idea : 据上面标定所得的模糊矩阵R， 求出其传递闭包 t ( R), R t ( R ) 为模糊等价矩阵， 然后由§3.4之方法，令从1降到0，便可按需要 对U进行分类，这样的聚类方法，称传递闭包法
x j 2 , , x jm ), x jk 为描述元素 u j 的第k个特征的数据,
又设c为对应于值的类数, ni 为第i类元素的个数, 1 ni i i i 第i类元素记为 u1 , , uni , 记 xk x jk ( k 1,, m ) ni j 1 i u i ( x1i , , xm ) 为第i类元素第k个特征的平均值, 称 为第i 类的聚类中心向量; u ( x1 , , xm ) 为全体元素 1 n 的中心向量, 而 xk x jk , k 1,, m, 于是称 n j 1
直 接 聚 类 法
编 网 法
§７.4 基于模糊c-划分的模糊聚类法
一、c-划分
1、普通集合上的c-划分
集合U {u1 , u2 ,..., un }上的c-划分是指U的c个子集
{ Ai : i 1,, c }(2 c n), 满足：
①
A U;
i 1 i
n
② Ai A j ( i j )
k 1
k 1 m
ik
x jk )
（5）绝对值减数法
rij 1 c xik x jk
k 1
m
其中c适当选取，使 rij 在[0 ,1]中且分散开. 其它方法请参阅教材！以上方法 究竟选哪一种，视问题实际特点而定， 通过标定求出相似系数 rij 后，
可得模糊相似矩阵 R ( rij )
第７章 模糊聚类分析
一、模糊聚类分析及其步骤 二、基于模糊等价关系的传递闭包法 三、基于模糊相似关系的直接聚类法 四、基于模糊c-划分的模糊聚类法
模糊聚类分析是一类应用很广泛的数学 方法，就其理论来说，大致分为三种： 一是基于模糊等价关系的传递闭包法， 二是基于模糊相似关系的直接聚类法， 三是基于模糊c-划分的模糊聚类法。
则A称为U的模糊c-划分矩阵, 记
c n i 1 j 1
M f c { A A (aij ) M cn , aij [0,1], aij 1,0 aij n}
M f c 称为U的c类软分类空间.
显然
Mc M f c
二、目标函数聚类法和硬c-均值算法 Basic idea : 在目标函数法中, 目标函数是对给定c的所有候选分类 进行度量,最优的类就是使目标函数达到局部最小的类 对于硬分类情形, 目标函数一般选为总体组内误差平 方和.其定义如下:
1 0.4 R 8 0.8 0.5 0.5
0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 R 4 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
所以传递闭包 R R 4 , 然后依次取的截矩阵 R , 并按 R 将U分成等价类. 若=1, 便将U分为5类, 即 {u1 },{u2 },{u3 },{u4 },{u5 }; 若=0.8, 便将U分为4类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 },{u5 }; 若=0.6, 便将U分为3类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 , u5 };
若=0.5, 便将U分为2类, 即 {u1 , u2 , u3 , u4 },{u2 }; 若=0.4, 便将U全归为为1类, 即 {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } 聚类图见教材§3.4图3-3 二、最佳或值的确定 聚类图给出各值对应的分类,形成一种动态聚 类,便于全面了解元素聚类, 然后根据实际需要选 择其或值便可确定一种分类, 至于如何选择或值, 使分类更合理, 除了凭经验外, 还可用F-统计量来 选取. 设 U {u1 , u2 ,..., un } 为待分事物的全体, u j ( x j 1 ,
记矩阵 A (aij )cn ( A1 , A2 ,, Ac )T , 其中 aij 1,
若 u j Ai ( u j 属于第 i 类); aij 0, 若 u j Ai 满足:
⑴ j , aij 1 (表示每个 u j 属于且只属于某一类)
i 1
c
⑵ i ,0 aij n (表示每类 Ai 至少有一个元素)
据 xi 1 , xi 2 ,..., xi n 来表征，用 rij 表示元素 ui , u j 的相似 系数，0 rij 1, rij 0 表示 ui , u j 截然不同，毫无相似 之处；rij 1 表示 ui , u j 完全相似或等同；当i=j时，rij
就是 ui 和自己的相似程度，恒取1
（2）用逐次平方法计算R的传递闭包 t ( R) R, 因为
1 0.3 R 2 0.8 0.5 0.5 1 0.4 4 R 0.8 0.5 0.5
0.3 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.3 0.1 R 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 R2 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
1 0 0 0 若分类矩阵为 A 0 1 0 0 , 则对应U的分类 0 0 1 1
为 {u1 },{u2 },{u3 , u4 }. 记 Vn 为 c n 实矩阵的集合, 且 c
c i 1
M c { A A (aij ) Vn , aij {0,1}, aij 1,0 aij n} c
§７.1 模糊聚类分析及步骤
数学上，把按一定要求和规律，对事物进行分类 的方法叫聚类分析，它属于数理统计多元分析的一 支，是对清晰事物进行分类的一种方法，然而现实 生活中，事物间的界限往往不一定很清晰，很多分 类问题，都多伴有模糊性，如天气，晴、阴、雨天 之间就无绝对的界限，普通的聚类分析对此是无能 为力的；用模糊数学的语言和方法来描述和解决就 成为自然和方便的了，这就产生了模糊聚类分析
其中x原始数据，x 为其的平均值，为其标准差
三、标定 所谓标定，就是根据实际情况，按一个准 或某种方法，给论域 U中的元素两两之间 都赋以[0,1]间的一个数，叫做相似系数，其大小表征 两个元素彼此接近或相似的程度；
u 设 U {u1 , u2 ,..., un } 为待分事物的全体， i 由一组数
行分类. 解： （1）按绝对值减数法进行标定，如取c=0.1，则
rij 1 0.1 xik x jk
k 1 4
于是得模糊相似矩阵
1 0.1 R 0.8 0.5 0.3 0.1 0.8 0.5 0.3 1 0.1 0.2 0.4 0.1 1 0.3 0.1 0.2 0.3 1 0.6 0.4 0.1 0.6 1
§７.3 基于模糊相似关系的直接聚类法
Basic idea : 用传递闭包法分类需要先建立U上 的模糊等价矩阵, 但矩阵阶数较高时, 计算便变得较 困难.而采用相似矩阵R进行分类的直接聚类法其计算 量则要小很多,这种方法聚类的原则是:
ui 与 u j 在水平上同类在R的图中, 存在一条权重
不低于的路联结 ui 与 u j
模糊聚类分析的步骤： 一、选择统计指标 根据实际问题，选择那些具有明确的意义，有较 强的分辨力和代表性的特征，作为分类事物的统计指 标，统计指标选择的如何，对分类结果有直接的影响； 二、数据标准化（正规化） 把代表事物各特征的统计指标的数据进行处理，使 之便于分析和比较，数据标准化可这样进行：令 x x x
例7.1 环境单元分类 设 U {u1 , u2 ,..., un } 为五个环境单元的集合，每个 环境单元有空气、水分、土壤、作物四个要素，环境
单元的污染状况由污染物在四个要素中含量的超限度
u 来描述，若其污染数据为： 1 (5,5,3,2), u2 (2,3,4,5), u3 (5,5,2,3), u4 (1,5,3,1), u5 (2,4,5,1), 试对U进
x
k 1 m 2 k 1
m
ik
x jk
m 2 jk
x x
ik k 1
如果 rij 中出现负值，也可采用上面方法调整.
（3）最大最小法
rij
(x
k 1 m k 1
m
ik
x jk ) x jk )
(x
m
ik
（4）算术平均最小法
rij 2 ( xik x jk )
(x
F (
Hale Waihona Puke i 1 cni u ui
2
(c 1)
) / (
i 1 j 1
c
ni
ni u u
i j
i
2
(n c )
)
为F-统计量, 其中 u i u
元素 uij , u i 的距离.
i ( xk xk )2 为第i类中心 k 1
m
例7.2 气象预报中最佳或值的选取(数据分析见教材 第156页)
模糊数学聚类分析
农村经济状况聚类分析随着我国经济的发展，各地区农村的经济也有了相应的发展。
拥有的生产性固定资产数量随之提高，几乎所有的指标都在上升。
本文应用MATLAB软件采用动态聚类法，从大量固定资产中提取出数据并对地区进行分类，以便得出较合理的结论。
1 原始数据选取8个固定资产作为评价对象，具体指标如下表：表农村居民家庭平均每百户拥有主要生产性固定资产数量 (年底数)数据来源：《国家统计年鉴2010》网址：/tjsj/ndsj/2010/indexch.htm将数据初始化为矩阵X =4.5300 1.33005.3300 0.1300 0.1300 2.5300 0.2700 35.33007.3300 2.8300 16.6700 1.3300 2.1700 21.6700 6.8300 54.50003.7700 2.4800 32.8000 2.3800 6.3500 27.1300 8.8800 36.33003.5700 2.1000 14.8100 1.1400 4.8600 6.1900 16.0700 77.05001.8900 4.5600 50.1200 3.9800 30.5800 37.3800 62.2300 245.78002.7000 4.0700 11.16003.0200 15.9300 40.6100 27.3500 59.89002.6300 9.3800 42.8800 6.1600 15.2500 29.5600 35.1900 96.63001.5200 17.9000 53.1400 3.8400 3.7500 26.8800 11.6500 45.09002.2800 1.2100 17.1100 10.2600 13.3500 19.0700 1.5900 21.53002.3300 1.3000 2.4100 17.2200 2.7100 23.5700 7.4800 104.63001.3300 4.8500 39.7300 15.5200 5.1900 54.2200 5.6100 19.61002.6900 0.7700 4.4500 9.0500 1.2600 14.2900 7.4000 78.85001.7500 0.6900 4.3500 26.9800 9.8800 22.6100 32.3300 12.90003.6100 3.7300 24.0900 2.5500 13.4500 44.8600 6.6300 34.07002.4300 11.6800 34.6600 4.7300 8.1000 36.0000 7.5500 33.02001.3000 1.8500 16.06002.5800 9.7000 25.6900 25.2300 18.01001.3600 0.38002.1900 22.2000 4.0700 27.8900 17.4000 21.24001.8400 0.7200 6.0900 19.40002.9900 20.1300 24.8300 22.07001.1900 1.3400 19.3500 22.39003.6800 20.7700 46.9700 37.53001.7300 0.73002.5000 28.3300 1.6800 34.2500 22.1100 42.58001.8300 0.3100 1.3400 6.9600 1.1600 7.3200 61.0300 34.29002.8300 1.3800 9.0600 8.0400 4.0400 11.2900 63.6300 67.25001.8900 4.1400 11.1700 4.5600 18.0600 15.8700 15.9000 47.21000.8900 3.7200 32.2200 5.8300 16.7800 10.4400 64.8300 42.94004.3300 3.1700 56.2500 6.7700 3.6700 0.5000 61.5000 121.83005.0000 1.3300 57.5000 3.7900 4.8300 22.3300 34.3300 37.33002.6500 6.5800 28.3900 2.1300 47.68003.5500 61.0300 487.3500 标准化后的矩阵X=0.5652 0.0580 0.0710 0 0 0.0378 0 0.04731.0000 0.1433 0.2730 0.0426 0.0429 0.3941 0.1016 0.08770.4472 0.1234 0.5602 0.0798 0.1308 0.4957 0.1334 0.04940.4161 0.1018 0.2399 0.0358 0.0995 0.1059 0.2447 0.13520.1553 0.2416 0.8686 0.1365 0.6404 0.6865 0.9597 0.49080.2811 0.2138 0.1749 0.1025 0.3323 0.7466 0.4195 0.09900.2702 0.5156 0.7397 0.2138 0.3180 0.5410 0.5409 0.17650.0978 1.0000 0.9224 0.1316 0.0761 0.4911 0.1763 0.06780.2158 0.0512 0.2808 0.3592 0.2780 0.3457 0.0204 0.01820.2236 0.0563 0.0191 0.6060 0.0543 0.4294 0.1117 0.19330.0683 0.2581 0.6836 0.5457 0.1064 1.0000 0.0827 0.01410.2795 0.0262 0.0554 0.3163 0.0238 0.2567 0.1104 0.13900.1335 0.0216 0.0536 0.9521 0.2050 0.4116 0.4966 00.4224 0.1944 0.4051 0.0858 0.2801 0.8258 0.0985 0.04460.2391 0.6464 0.5933 0.1631 0.1676 0.6608 0.1128 0.04240.0637 0.0875 0.2621 0.0869 0.2013 0.4689 0.3866 0.01080.0730 0.0040 0.0151 0.7826 0.0829 0.5099 0.2653 0.01760.1475 0.0233 0.0846 0.6833 0.0601 0.3654 0.3804 0.01930.0466 0.0586 0.3207 0.7894 0.0747 0.3773 0.7234 0.05190.1304 0.0239 0.0207 1.0000 0.0326 0.6283 0.3383 0.06260.1460 0 0 0.2422 0.0217 0.1270 0.9411 0.04510.3012 0.0608 0.1375 0.2805 0.0822 0.2009 0.9814 0.11460.1553 0.2177 0.1750 0.1571 0.3771 0.2861 0.2421 0.07230 0.1939 0.5499 0.2021 0.3502 0.1850 1.0000 0.06330.5342 0.1626 0.9777 0.2355 0.0744 0 0.9484 0.22960.6382 0.0580 1.0000 0.1298 0.0988 0.4064 0.5276 0.05150.2733 0.3565 0.4817 0.0709 1.0000 0.0568 0.9411 1.0000模糊相似矩阵R=1.0000 0.9423 0.6158 0.7979 0.2169 0.3725 0.3570 0.2370 0.4091 0.3348 0.1793 0.5899 0.1418 0.5033 0.3637 0.1918 0.1113 0.2076 0.1014 0.1449 0.1565 0.3097 0.3427 0.0843 0.4504 0.5732 0.2464 0.9423 1.0000 0.8233 0.8805 0.4538 0.6354 0.5885 0.4338 0.6140 0.5056 0.4710 0.7331 0.3112 0.7540 0.6017 0.4839 0.3120 0.3918 0.3037 0.3373 0.2742 0.4438 0.5518 0.2725 0.5601 0.7414 0.3439 0.6158 0.8233 1.0000 0.8334 0.7615 0.8021 0.8663 0.7329 0.8199 0.5592 0.8199 0.7029 0.4371 0.9320 0.8604 0.7893 0.4567 0.5154 0.5282 0.4613 0.3098 0.4898 0.7448 0.5538 0.7121 0.9266 0.4699 0.7979 0.8805 0.8334 1.0000 0.7437 0.6990 0.7929 0.5591 0.6267 0.4839 0.4734 0.7081 0.4218 0.7010 0.6423 0.6477 0.3360 0.4826 0.5224 0.3573 0.5543 0.7134 0.7206 0.6429 0.8523 0.8788 0.6932 0.2169 0.4538 0.7615 0.7437 1.0000 0.8363 0.9234 0.6650 0.6818 0.4918 0.6823 0.5625 0.5453 0.7302 0.7229 0.9136 0.4798 0.5719 0.7106 0.4688 0.6406 0.7500 0.8718 0.8960 0.8066 0.8017 0.8468 0.3725 0.6354 0.8021 0.6990 0.8363 1.0000 0.8417 0.5988 0.7614 0.6654 0.7767 0.7224 0.6166 0.9154 0.7948 0.9426 0.6337 0.6573 0.6497 0.6208 0.5661 0.6745 0.8990 0.6689 0.5412 0.6803 0.6043 0.3570 0.5885 0.8663 0.7929 0.9234 0.8417 1.0000 0.8740 0.7609 0.5541 0.7981 0.6304 0.5602 0.8166 0.9111 0.8866 0.5171 0.6058 0.7075 0.5164 0.5367 0.6783 0.8896 0.8237 0.8141 0.8599 0.7100 0.2370 0.4338 0.7329 0.5591 0.6650 0.5988 0.8740 1.0000 0.5795 0.3550 0.7403 0.3896 0.2974 0.6747 0.9420 0.6377 0.3012 0.3532 0.4504 0.3090 0.1914 0.3330 0.6675 0.5621 0.6019 0.6759 0.4381 0.4091 0.6140 0.8199 0.6267 0.6818 0.7614 0.7609 0.5795 1.0000 0.8109 0.8637 0.8157 0.7514 0.8426 0.7553 0.7339 0.7682 0.7621 0.6925 0.7533 0.2817 0.4331 0.8296 0.5015 0.5175 0.7001 0.4659 0.3348 0.5056 0.5592 0.4839 0.4918 0.6654 0.5541 0.3550 0.8109 1.0000 0.7429 0.9494 0.8927 0.6348 0.5485 0.5841 0.9428 0.9171 0.7852 0.9545 0.4336 0.5209 0.6314 0.3636 0.3626 0.4423 0.3449 0.1793 0.4710 0.8199 0.4734 0.6823 0.7767 0.7981 0.7403 0.8637 0.7429 1.0000 0.7032 0.6521 0.8640 0.8690 0.8075 0.7394 0.7076 0.6901 0.7329 0.2590 0.3835 0.7063 0.4980 0.4691 0.6818 0.2954 0.5899 0.7331 0.7029 0.7081 0.5625 0.7224 0.6304 0.3896 0.8157 0.9494 0.7032 1.0000 0.8147 0.7169 0.5896 0.6199 0.8382 0.8624 0.7457 0.8592 0.4967 0.6171 0.6682 0.4179 0.5264 0.6176 0.4311 0.1418 0.3112 0.4371 0.4218 0.5453 0.6166 0.5602 0.2974 0.7514 0.8927 0.6521 0.8147 1.0000 0.4814 0.4381 0.6421 0.9684 0.9887 0.9359 0.9638 0.6628 0.6957 0.6591 0.5957 0.4712 0.4414 0.3881 0.5033 0.7540 0.9320 0.7010 0.7302 0.9154 0.8166 0.6747 0.8426 0.6348 0.8640 0.7169 0.4814 1.0000 0.8740 0.8418 0.5472 0.5437 0.4972 0.5386 0.2696 0.4292 0.8093 0.4712 0.4907 0.7542 0.4328 0.3637 0.6017 0.8604 0.6423 0.7229 0.7948 0.9111 0.9420 0.7553 0.5485 0.8690 0.5896 0.4381 0.8740 1.0000 0.7723 0.4768 0.4979 0.5214 0.4782 0.2357 0.3934 0.7935 0.5448 0.5623 0.7267 0.4495 0.1918 0.4839 0.7893 0.6477 0.9136 0.9426 0.8866 0.6377 0.7339 0.5841 0.8075 0.6199 0.6421 0.8418 0.7723 1.0000 0.6313 0.6805 0.7566 0.6129 0.6550 0.7408 0.8646 0.8254 0.6654 0.7580 0.6087 0.1113 0.3120 0.4567 0.3360 0.4798 0.6337 0.5171 0.3012 0.7682 0.9428 0.7394 0.8382 0.9684 0.5472 0.4768 0.6313 1.0000 0.9732 0.8781 0.9970 0.5333 0.5711 0.6043 0.4590 0.3390 0.3874 0.2598 0.2076 0.3918 0.5154 0.4826 0.5719 0.6573 0.6058 0.3532 0.7621 0.9171 0.7076 0.8624 0.9887 0.5437 0.4979 0.6805 0.9732 1.0000 0.9495 0.9763 0.6781 0.7227 0.6526 0.6019 0.5222 0.5160 0.3703 0.1014 0.3037 0.5282 0.5224 0.7106 0.6497 0.7075 0.4504 0.6925 0.7852 0.6901 0.7457 0.9359 0.4972 0.5214 0.7566 0.8781 0.9495 1.0000 0.8797 0.7912 0.8270 0.6747 0.7948 0.6911 0.6154 0.4961 0.1449 0.3373 0.4613 0.3573 0.4688 0.6208 0.5164 0.3090 0.7533 0.9545 0.7329 0.8592 0.9638 0.5386 0.4782 0.6129 0.9970 0.9763 0.8797 1.0000 0.5398 0.5805 0.5829 0.4477 0.3567 0.3975 0.2543 0.1565 0.2742 0.3098 0.5543 0.6406 0.5661 0.5367 0.1914 0.2817 0.4336 0.2590 0.4967 0.6628 0.2696 0.2357 0.6550 0.5333 0.6781 0.7912 0.5398 1.0000 0.9764 0.5264 0.8313 0.6938 0.4973 0.5618 0.3097 0.4438 0.4898 0.7134 0.7500 0.6745 0.6783 0.3330 0.4331 0.5209 0.3835 0.6171 0.6957 0.4292 0.3934 0.7408 0.5711 0.7227 0.8270 0.5805 0.9764 1.0000 0.6514 0.8757 0.8015 0.6498 0.6573 0.3427 0.5518 0.7448 0.7206 0.8718 0.8990 0.8896 0.6675 0.8296 0.6314 0.7063 0.6682 0.6591 0.8093 0.7935 0.8646 0.6043 0.6526 0.6747 0.5829 0.5264 0.6514 1.0000 0.7527 0.6177 0.6700 0.7738 0.0843 0.2725 0.5538 0.6429 0.8960 0.6689 0.8237 0.5621 0.5015 0.3636 0.4980 0.4179 0.5957 0.4712 0.5448 0.8254 0.4590 0.6019 0.7948 0.4477 0.8313 0.8757 0.7527 1.0000 0.8563 0.7207 0.7565 0.4504 0.5601 0.7121 0.8523 0.8066 0.5412 0.8141 0.6019 0.5175 0.3626 0.4691 0.5264 0.4712 0.4907 0.5623 0.6654 0.3390 0.5222 0.6911 0.3567 0.6938 0.8015 0.6177 0.8563 1.0000 0.9062 0.6854 0.5732 0.7414 0.9266 0.8788 0.8017 0.6803 0.8599 0.6759 0.7001 0.4423 0.6818 0.6176 0.4414 0.7542 0.7267 0.7580 0.3874 0.5160 0.6154 0.3975 0.4973 0.6498 0.6700 0.7207 0.9062 1.0000 0.5416 0.2464 0.3439 0.4699 0.6932 0.8468 0.6043 0.7100 0.4381 0.4659 0.3449 0.2954 0.4311 0.3881 0.4328 0.4495 0.6087 0.2598 0.3703 0.4961 0.2543 0.5618 0.6573 0.7738 0.7565 0.6854 0.5416 1.0000用传递闭包求得动态聚类图动态聚类图Kmeans算法聚类输入命令kmeans(R,5)将R分为五类第一类：山西内蒙古青海宁夏；第二类：河北辽宁吉林黑龙江江苏山东河南湖北陕西；第三类：北京天津；第四类：浙江福建江西湖南广东四川贵州；第五类：西藏甘肃新疆。
模糊聚类分析
模糊聚类分析模糊聚类分析，也被称为模糊聚类或者软聚类，是一种数据分析的方法。
与传统的硬聚类不同，模糊聚类可以将每个观测对象划分到不同的聚类中心，从而更好地反映对象与聚类中心之间的相似性。
模糊聚类的思想源于模糊集理论，该理论引入了概率的概念，使得划定边界变得模糊化。
在传统的硬聚类方法中，每个对象只能属于一个聚类，而在模糊聚类中，每个对象的隶属度被划分为一个实数，表示对象属于每个聚类的程度。
模糊聚类的基本原理是通过最小化目标函数来优化聚类结果。
常见的目标函数包括模糊熵和模糊轮廓系数。
模糊熵用于衡量聚类的混乱程度，值越小表示聚类更好。
模糊轮廓系数则用于评价每个对象的聚类紧密度和分离度，系数范围为[-1, 1]，越接近1表示聚类结果越好。
模糊聚类的算法有多种，其中最常用的是模糊C均值（FCM）算法。
FCM算法首先随机初始化聚类中心，然后迭代更新对象的隶属度和聚类中心，直到满足终止条件。
在更新过程中，对象的隶属度和聚类中心根据距离度量进行调整。
模糊聚类在各个应用领域都有广泛的应用。
例如，在市场细分中，模糊聚类可以根据消费者的购买偏好将其划分为不同的细分市场，有助于制定更准确的营销策略。
在医学影像分析中，模糊聚类可以帮助医生根据患者的病情将其归类为不同的疾病类型，有助于做出更准确的诊断。
当然，模糊聚类也存在一些问题和挑战。
首先，模糊聚类的计算复杂度高，特别是在处理大规模数据时。
其次，模糊聚类对初始参数的敏感性较高，不同的初始化可能导致不同的聚类结果。
此外，模糊聚类的结果通常难以解释和理解，需要结合领域知识进行进一步分析。
为了克服这些问题，研究者们一直在不断改进模糊聚类算法。
例如，一些研究探索了基于深度学习的模糊聚类方法，利用神经网络来提高聚类的准确性和效率。
此外，还有一些研究致力于开发新的目标函数和距离度量方法，以更好地满足实际问题的需求。
综上所述，模糊聚类是一种基于模糊集理论的数据分析方法，可以更好地刻画对象之间的相似性。
模糊聚类分析方法
模糊聚类分析方法聚类分析是将事物根据一定的特征，并按某种特定要求或规律分类的方法。
由于聚类分析的对象必定是尚未分类的群体，而且现实的分类问题往往带有模糊性，对带有模糊特征的事物进行聚类分析，分类过程中不是仅仅考虑事物之间有无关系，而是考虑事物之间关系的深浅程度，显然用模糊数学的方法处理更为自然，因此称为模糊聚类分析。
一、模糊聚类分析的一般步骤1、第一步：数据标准化[9]（1） 数据矩阵设论域12{,,,}n U x x x = 为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,i n = ， 于是，得到原始数据矩阵为111212122212m m n n nm x x xx x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。
（2） 数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。
但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。
因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。
通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换i k kikk x x x s -'= (1,2,,;1,2,i n k m ==其中 11nk i k i x x n==∑，k s =经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。
但是，再用得到的ikx '还不一定在区间[0,1]上。
② 平移·极差变换111m i n {}m a x {}m i n {}i k i ki nikikiki ni nx x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =显然有01ikx ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。
模糊聚类分析ppt课件
k 1
1 2
m k 1
(
xik
x jk )
m
( xik x jk )
rij
k 1 m
xik .x jk
k 1
5. 求模糊等价矩阵
用上述方法建立起来的模糊矩阵 R ，一般说来只 满足自反性和对称性，不一定满足传递性，即 R 不一 定是模糊等价关系，需要将 R改造成模糊等价矩阵R，
然后再在适当的阈值上进行截取，便可得所需分类。
根据需要可同时选择不同准则分别进行聚类分析，然后 通过综合取交的方法，以做到兼顾多目标，使分类结果更科学。
3、建立数据矩阵
设论域U { x1, x2 ,, xn }为被分类对象， 每个对象又由m 个指标表示其性状：
xi { xi1, xi2 ,, xim } (i 1,2,, n) 则得到原始数据矩阵为 X ( xij )nm .
1, 2,..., m
构造下列形式的F统计量，
r
i
2
ni x x /(r 1)
F i1 r ni
xij
i
x
2
/(n r)
i1 jn1
x x 其中， 为 i x x
m
i
(xk
xk )2
i
与
的距离， xij x i
i 为第
k 1
类中样本
xij 与
i
x 的距离。
F 统计量分子表征类与类之间的距离， 分母表示类内样本间距离，因此 F 值越大，说
改造的方法是将 R 自乘得 R R R2，再自 乘 R2 R2 R4 ，如此继续下去，得 R8 , R16 ……，至某 一步出现 R2k Rk 为止。则 Rk便是一个模糊等价关系。 这个方法是由所谓“传递闭包”理论而来，我们在此 拿来直接应用，不再作详细介绍。
模糊聚类分析
模糊聚类分析定义：根据具体的标准和性质对事物进行分类的方法称为聚类分析 根据模糊标准对事物进行分类的方法称为模糊聚类分析基本思想：根据分类对象之间的模糊相似程度来衡量相互的异同程度，进而实现模糊分类。
传统聚类分析VS 模糊聚类分析1. 传统聚类分析： 设有n 个对象12,,...nx x x，每个对象有m 种特性12,,...my y y。
1>首先对每个对象的特性进行数量化：用ijz代表第i 个对象的第j 个性质的数值。
则对象ix 的性质形成的一个向量()12,,...i i im z zz2>考察对象之间相近的程度：引入“欧式距离”和“夹角余弦”。
1欧式距离：设对象()()1212,,...,,,....i i im j j jm ijy x z zz z zz ==则欧式距离为：ijyx -=这与我们所熟知的向量的欧式距离是一样的!2夹角余弦：设α是对象ix和jy之间的夹角，0180α≤≤，则夹角余弦为：(),cos ijijy x yx α=其中：()11,...i j im jm ijy x z zz z =++ix=iy=有了这些基础认识之后，下面我们通过一个例子来说明传统聚类分析 设有5个对象125,,...x x x，不妨设每个对象只有一个性质，数量化后分别为1，2，4.5，6，8．现使用传统聚类法进行聚类。
1 欧式距离：5个对象，共有25c个欧式距离。
计算可得121x x-=133.5x x-= 145x x-= 157x x-= 232.5x x-= 244x x -= 256x x-=341.5x x-=35 3.5x x-=452x x-=根据聚类的思想，差异最小的对象属于一类 从而1x 和2x为一类，并记为1G2 将1G 看成新的对象，其特征值为1x 和2x 的平均值1.5。
此时对象为1345,,,G x x x 。
再次计算欧式距离。
可知34,x x之间的距离最小。
第7章 模糊聚类分析
方法1. 令 rij
rij 1
2 rij m rij , 方法2. 令 rij ( i j ), 其中 m min i j M m
M max rij , 于是 rij [0,1] i j
（2）夹角余弦法
, 则 rij [0,1]
rij
x
例7.1 环境单元分类 设 U {u1 , u2 ,..., un } 为五个环境单元的集合，每个 环境单元有空气、水分、土壤、作物四个要素，环境
单元的污染状况由污染物在四个要素中含量的超限度
u1 (5,5,3,2), u2 (2,3,4,5), 来描述，若其污染数据为： u3 (5,5,2,3), u4 (1,5,3,1), u5 (2,4,5,1), 试对U进
1 0.4 R 8 0.8 0.5 0.5
0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 R 4 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
所以传递闭包 R R4 , 然后依次取的截矩阵 R , 并按 R 将U分成等价类. 若=1, 便将U分为5类, 即 {u1 },{u2 },{u3 },{u4 },{u5 }; 若=0.8, 便将U分为4类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 },{u5 }; 若=0.6, 便将U分为3类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 , u5 };
J ( A,V ) aij u j vi
（2）用逐次平方法计算R的传递闭包 t ( R) R, 因为
1 0.3 R 2 0.8 0.5 0.5 1 0.4 4 R 0.8 0.5 0.5
聚类分析-模糊聚类分析
1 1 A0.3 0 0
1 1 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
模糊聚类分析
模糊关系 模糊等价矩阵
模糊相似矩阵
模糊聚类分析的一般步骤
模糊关系
与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关 系是普通关系的推广.
设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集 R 称 为从 X 到 Y 的模糊关系. 模糊子集 R 的隶属函数为映射 R : X Y [0,1]. 并称隶属度R (x , y ) 为 (x , y )关于模糊关系 R 的 相关程度. 特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之 间的模糊关系.
例设U {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }, 1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi 与 yj 之间要么有关系(rij = 1),要么没有关系( rij = 0 ).
模糊关系的合成 设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系. (R1 ° R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊 矩阵的合成. 设X = {x1, x2, …, xm},Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z= {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的模糊关系R1 = (aik)m×s ， Y 到Z 的模糊关系R2 = (bkj)s×n ，则X 到Z 的模糊 关系可表示为模糊矩阵的合成： R1 ° R2 = (cij)m×n 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
模糊聚类分析步骤
模糊聚类分析步骤————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：求分类对象的相似度传递闭包法进行聚类（求动态聚类图）根据λ∈（0,1）的不同取值分布不同的类。
注释（1）：模糊相似矩阵只具有自反性和对称性，不具有传递性，求λ截矩阵的前提是R 是X 上的的模糊等价关系。
所以要先求得R 传递闭包，将模糊相似矩阵转化为模糊等价矩阵。
原始数据矩阵标准化矩阵模糊相似矩阵R（1）相似距离主观欧式距明氏距切比雪等价关系矩阵传递闭布尔矩直接聚截矩阵雨量站问题原始数据矩阵：（重要定理：设R∈F ( X ⨯X ) 是相似关系( 即R 是自反、对称模糊关系) ，则e(R) = t(R) ,即模糊相似关系的传递闭包就是它的等价闭包。
）Y的传递闭包（即Y的等价矩阵）：求λ截矩阵，在程序中我用的k代替了λ。
K=1时，x1,x2,x3,…x11,各成一类，将11个雨量站分成11类。
K=0.9095时，将11个雨量站分为10类，X8, X11为一类，其余各自一类。
分8类，将x2 ,x5, x8, x11分一类，其余各自一类分6类，x2 x3,x5, x8, x9 x11为一类，其余各自一类。
分4类，x1，x2 ,x3,x5, x7，x8, x9 x11为一类，其余各自一类。
分4类，x1, x3 x2 x7 x8 x9 x11为一类，x2 x4 x5为一类，x6一类，x10一类。
分3类，x2 x4 x5 x6为一类，x1 x3 x7 x8 x9 x11一类，x10一类。
分2类，x2 x4 x5 x6 x10一类，x1 x3 x7 x8 x9 x11一类分2类，x1x2 x4 x5 x6 x10一类，x3 x8 x9 x11一类.分1类。
程序一：标准化矩阵：function Y=bzh1(X)[a,b]=size(X);C=max(X);D=min(X);Y=zeros(a,b);for i=1:afor j=1:bY(i,j)=(X(i,j)-D(j))/(C(j)-D(j)); %平移极差变化进行数据标准化endendfprintf('标准化矩阵如下：Y=\n');disp(Y)end程序二：求模糊相似矩阵：function R=biaod2(Y,c)[a,b]=size(Y);Z=zeros(a);R=zeros(a);for i=1:afor j=1:afor k=1:bZ(i,j)=abs(Y(i,k)-Y(j,k))+Z(i,j);R(i,j)=1-c*Z(i,j);%绝对值减数法--欧氏距离求模糊相似矩阵endendendfprintf('模糊相似矩阵如下：R=\n');disp(R)end程序三：计算传递闭包：function B=cd3(R)a=size(R);B=zeros(a);flag=0;while flag==0for i= 1: afor j= 1: afor k=1:aB( i , j ) = max(min( R( i , k) , R( k, j) ) , B( i , j ) ) ;%R与R内积，先取小再取大endendendif B==Rflag=1;elseR=B;%循环计算R传递闭包endend程序四：求 截矩阵：function [D k] =jjz4(B)L=unique(B)';a=size(B);D=zeros(a);for m=length(L):-1:1k=L(m);for i=1:afor j=1:aif B(i,j)>=kD(i,j)=1;else D(i,j)=0;%求?截距阵，当bij≥? 时，bij(?) =1；当bij＜? 时，bij(?) =0endendendfprintf('当分类系数k=：\n'); disp(L(m));fprintf('所得截距阵为：\n'); disp(D);end。
模糊聚类分析方式
第二节 模糊聚类分析方式在科学技术、经济治理中常常要按必然的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。
例如，依照生物的某些性状可对生物分类，依照土壤的性质可对土壤分类等。
对所研究的事物按必然标准进行分类的数学方式称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方式。
由于科学技术、经济治理中的分类界限往往不分明，因此采纳模糊聚类方式通常比较符合实际。
一、模糊聚类分析的一样步骤一、第一步：数据标准化[9]（1） 数据矩阵设论域12{,,,}n U x x x =为被分类对象，每一个对象又有m 个指标表示其性状，即12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,)i n =，于是，取得原始数据矩阵为111212122212m m n n nm x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭。
其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。
（2） 数据标准化在实际问题中，不同的数据一样有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。
可是，即便如此，取得的数据也不必然在区间[0,1]上。
因此，那个地址说的数据标准化，确实是要依照模糊矩阵的要求，将数据紧缩到区间[0,1]上。
通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换ik kikkx x x s -'= (1,2,,;1,2,,)i n k m ==其中 11n k ik i x x n ==∑，k s =。
通过变换后，每一个变量的均值为0，标准差为1，且排除量纲的阻碍。
可是，再用取得的ik x '还不必然在区间[0,1]上。
② 平移·极差变换111min{}max{}min{}ikik i nikikik i ni nx x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =显然有01ik x ''≤≤，而且也排除量纲的阻碍。
模糊聚类分析 ppt课件
rij
xi • x j xi x j
1
xi
m
xi2k
2
,i
1,2,
,n
k1
• (3) 相关系数法
rij
m
xik xi
k1
m
(xik xi)2
k1
xjk xj
m
(xjk xj )2
k1
x i
1 m
m
x ik
k 1
x j
1 m
m
x jk
k 1
• (4) 贴近度法
• 当对象xi的特性指标向量xi=(xi1, xi2, , xim)为模 糊向量, 即xik[0, 1] (i=1,2, ,n ; k=1,2, ,m) 时, xi与xj的相似程度rij可看作模糊子集xi与xj的 贴近度。在应用中, 常见的确定方法有：最大最
X的一个分类的系列。这样, 在实际应用问题中 可以选择“某个水平”上的分类结果, 这就是模 糊聚类分析的理论基础。
• 实际问题中建立的模糊关系常常不是等价关系 而是相似关系, 这就需要将模糊相似关系改造为 模糊等价关系, 传递闭包正是这样一种工具。
• 定义 设RF(XX). 若R1F(XX)是传递的且满足： 1) RR1, 2) 若S是X上的模糊传递关系且RS, 必有R1S. 则称R1为R的传递闭包, 记为t(R). 模糊关系R的传递闭包是包含R的最小传递关系。
• 如上所述, 模糊相似矩阵R的传递闭包t(R)就是 一个模糊等价矩阵。以t(R)为基础而进行分类 的聚类方法称为模糊传递闭包法。
• 具体步骤如下: (1) 利用平方自合成方法求出模 糊相似矩阵R的传递闭包t(R); (2) 适当选取置信
水平值[0, 1], 求出t(R)的截矩阵t(R), 它是X