湖南十所重点中学联考

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湖南省名校大联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

湖南省名校大联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．复数4i iz +=在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知椭圆(22213x y a a +=>的离心率为12，左､右焦点分别为12,,F F A 为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则12AF F △的面积最大为（）A．1 B C ．2 D ．3．设R a ∈，直线()()12:110,:220l a x y l x ay a ++-=+-+=，则“1a =”是“1l //2l ”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数()()2391x x x ax f x +=+为偶函数，则a =（） A ．1- B ．0C ．1D ．35．已知点()00,x y 为直线260x y ++= ）AB ．2CD 6．如图，在异面直线,m n 上分别取点,A B 和,C D ，使2,4,6AB CD BD ===，且,AC m AC n ⊥⊥，若π,3AB CD <>=u u u r u u u r ，则线段AC 的长为（）A ．2B ．C ．D ．67．已知点P 为椭圆221169x y +=上任意一点，则点P 到直线:90l x y -+=的距离的最小值为（）A．B ．4C ．D ．8．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3,3PA ABC BAP ∠∠===，且1cos 6PAD ∠=，则cos PBC ∠=（）A ．BC ．D二、多选题9．党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（）A ．从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大B ．从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年C ．这6年中国海洋生产总值的极差为15122D ．这6年中国海洋生产总值的80%分位数是9462810．已知圆22:(1)1M x y -+=与圆22:(2)4N x y +-=相交于,A B 两点（点A 在第一象限），则（）A ．直线AB 的方程是20x y -=B ．,,,A M B N 四点不共圆C ．圆M 的过点A 的切线方程为3480x y +-=D ．4cos 5AMB ∠=- 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AB AD AA λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中[)1,λ∞∈+，则下列说法正确的是（）A ．若1,,,,AB D A P 在同一球面上，则3λ=B ．若AB ∥平面1A DP ，则2λ=C ．若点P 到1,,,A BD A 四点的距离相等，则2λ=D ．若1A P ⊥平面PBD ，则32λ=三、填空题12．已知直线:2l y kx =+在x 轴上的截距为1，则k =.13．已知tan 2α=，则2sin cos sin 1ααα-+=.14．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数()1λλ≠的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点()7,0A -，B 为直线:43110l x y ++=上的动点，P 为圆22:(2)9C x y -+=上的动点，则3PA PB +的最小值为.四、解答题15．已知直线1l 的方程为()420a x ay +-+=，直线2l 经过点1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭和10,B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)若12l l ⊥，求a 的值；(2)若当a 变化时，1l 总过定点C ，求AC .16．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin cos C c A c =+.(1)求A ；(2)若π,4C ABC =△的面积为6，求c .17．已知圆221:202E x mx y m -+-=，点()1,0A 关于直线:l y ax b =+的对称点为()2,3B -. (1)求l 的方程；(2)若l 与圆E 相交于,M N 两点，圆心E 到l 圆C 的圆心在线段MN 上，且圆C 与圆E 相切，切点在劣弧MN 上，求圆C 的半径的最大值.18．如图，在三棱锥P ABC -中，2,,,PA AB BC PB AC PA BC M N =====⊥分别是棱PB ，CA 上的动点（不含端点），且BM CN =.(1)证明：平面ABC ⊥平面PAB .(2)设BM t =，则当t 为何值时，MN 的长度最小？(3)当MN 的长度最小时，求平面AMN 与平面PAB 的夹角的余弦值.19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()3,1O 为坐标原点. (1)求E 的方程.(2)过点()0,3P 且不与y 轴重合的动直线l 与E 相交于,A B 两点，AB 的中点为Q . （i ）证明：直线l 与OQ 的斜率之积为定值；（ii ）当OAB △的面积最大时，求直线l 的方程.。

2023届湖南省长郡中学四大名校高三下学期联考语文试题

曾颖
①距我家一里远，有条小街，叫五桂寺，是县城西面几个乡入城路的汇聚口，异常热闹。此地是否原有一座长着5棵桂花树的寺庙，已不可考，乡人更喜欢叫它“乌龟市”。
②乌龟市曾有一个供销社门市部，油盐酱醋、五金百货，甚至还有些玩具和小人书，那里是我童年时最向往的地方。但因为没有钱，只能隔着玻璃，眼巴巴地在脑子里想象自己已攒够了钱，从营业员手中接过小人书或飞行棋……
作为儒学创始人的孔子对“义利之辨”有着清醒的认识。他说：“富与贵，是人之所欲也，不以其道得之，不处也。贫与贱，是人之所恶也，不以其道得之，不去也。”从中我们可以看出：第一，孔子承认了“嫌贫爱富”的人性前提。一般来说，人人皆向往富贵的生活而厌弃贫贱的生活，这种欲望具有人性的合理性。甚至孔子自己也向往富贵的生活，“富而可求，虽执鞭之士，吾亦为之”。第二，孔子认为见利思义，义然后取。获得利益一定要符合“道”，即儒家所主张的社会伦理规范。当义利冲突时，要舍利取义。因此，《论语》中说“子罕言利”。孔子还将义利的不同取舍作为划分君子和小人的重要标准，“君子喻于义，小人喻于利”，要成为君子，在行为准则上要以“义”为标准。值得注意的是，孔子以“人民之利”为义，他强调“修己以安百姓”，“博施于民，而能济众”，要求统治者“因民之利而利之”，这不仅符合安邦兴国的原则，也符合人道主义原则。
在宋明理学大力倡导“存天理，灭人欲”的同时，以陈亮、叶适等代表工商者利益的事功学派发出了反对的声音。陈亮提出“道在物中”“因事做则”，“道”不是独立于事物之外而存在的精神本体，而是事物内在的固有的规律，与民生日用等实事是分不开的。因此，陈亮注重做事取得的实际效果，而反对空谈“义理”。他认为“耳之于声也，鼻之于臭也，口之于味也，四肢之于安逸也，性也”，肯定了人欲就是人性。由之，追求利益是符合人性的，也符合事功原则，关键在于人们的利欲满足要有处有辨。人欲是追求利益的人性前提，天理是追求利益的社会制约，“利”要以“义”为指导，“义”要在“利”中显现，“义利双惠”，天理人欲可并行。

湖南省名校联考2024-2025学年高三上学期10月月考化学试题(含答案)

2024年高三10月联考试卷化学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

可能用到的相对原子质量：H ∶1 C ∶12 N ∶14 O ∶16 Na ∶23 S ∶32 Cl ∶35.5 K ∶39第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每题3分，共42分）1．中华文化源远流长，化学与文化传承密不可分。

下列叙述错误的是（）A ．江西博物馆中“《论语》竹简”中竹简的主要成分是纤维素B ．安徽古代科学家方以智在其《物理小识》“有硇水者，剪银块投之，则旋而为水”，其中的“硇水”指醋酸C ．甘肃出土的春秋早期秦国的铜柄铁剑中，铁元素有化合态和游离态两种存在形式D ．广西壮锦的主要原料是蚕丝等，蚕丝属于有机高分子化合物2．反应可用于制备火箭推进剂的燃料，下列说法正确的是（）A ．N 2H 4分子中没有非极性键B ．NaClO 的电子式为C ．H 2O 、NH 3的模型一致D ．食盐的分子式为NaCl 3．下列装置可以实现对应实验目的的是（）32422NH NaClO N H NaCl H O +=++24N H VSEPRA ．验证吸氧腐蚀B ．分离乙醇和C ．制备D ．测量体积4．下列有关阿伏伽德罗常数()的叙述中正确的是（）A ．18g 液态水中含有氢键的数目为2B ．10g 质量分数为46%的乙醇溶液中含有O-H 键的数目为0.1C ．常温下2.7g Al 加至足量的浓硝酸中，转移的电子数为0.3D ．25℃时，1L pH=2的溶液中，的数目为0.015．下列反应的离子方程式表述不正确的是（）A ．氯化铁溶液腐蚀铜板：B ．铝溶于NaOH 溶液中：C ．将少量通入NaClO 溶液：D ．用纯碱溶液除去水垢中的：6．下列有关物质结构与性质的说法正确的是（）A ．雪花是天空中的水汽经凝华而来的一种晶体，其六角形形状与氢键的方向性有关B ．某基态原子的价层电子排布为4d25s 2，该原子N 层上有3个空轨道C ．C=C 键的键能比C—C 键的大，所以碳碳双键的化学性质比碳碳单键稳定D ．碘易溶于浓碘化钾溶液，甲烷难溶于水都可用“相似相溶”原理解释()3424Cu NH SO H O ⎡⎤⋅⎣⎦3NH 2NO A N AN AN AN 3CH COOH H +AN 3222Fe Cu 2Fe Cu ++++=+()2242Al 2OH 6H O 2Al OH 3H --⎡⎤++=+↑⎣⎦2SO 2223SO H O 2ClO SO 2HClO --++=+4CaSO7．现有M 、Q 、R 、T 、W 、X 、Y 七种前四周期常见元素，原子序数依次递增。

湖湘名校教育联合体2023-2024学年高一上学期10月联考数学试题含解析

湖湘名校教育联合体·2023年下学期高一10月联考数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}*5P x x =∈<N ，{}2,1,0,2,5Q =--，且P ，Q 都是全集U 的子集，则如图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A.{}0,2,5 B.{}2 C.{}2,1,0,2-- D.{}2,5【答案】B 【解析】【分析】由韦恩图中阴影部分判断出表示的集合为P Q ，即可求解【详解】因为{}1,2,3,4P =，{}2,1,0,2,5Q =--，所以{}2P Q = .故选：B2.命题“0x ∀>，220x x +>”的否定为（）A.0x ∀>，220x x +≤B.0x ∀<.，220x x +≤C.0x ∃>，220x x +<D.0x ∃>，220x x +≤【答案】D 【解析】【分析】全称命题的否定变为特称命题.【详解】“0x ∀>，220x x +>”的否定为“0x ∃>，220x x +≤”，故选:D.3.不等式220x x -++<的解集为（）A.{}12x x -<< B.{}21x x -<<C.{|1x x <-或2}x > D.{|2x x <-或1}x >【答案】C 【解析】【分析】因式分解后可求不等式的解集.【详解】原不等式可化为220x x -->即()()210x x -+>，故不等式的解集为{|1x x <-或2}x >故选：C.4.已知a ，b 为实数，则“0a =”是“0ab =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】0a =可以推出0ab =；但0ab =，则a 不一定为0.故选：A.5.已知集合{}4315A x x =+<，{}1,2,3B =，则A B ⋂的真子集的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】先化简A ，再结合交集的运算即可【详解】因为{}{}43153A x x x x =+<=<，{}1,2,3B =，所以{}1,2A B = ，所以A B ⋂的真子集的个数为2213-=.故选：D6.若a b c >>，则下列不等式恒成立的是（）A.ab ac >B.22a c >C.()0a b c b--> D.a c b c>【答案】C 【解析】【分析】代入特殊值以及不等式的性质即可求解.【详解】当0a =，1b =-，2c =-时，满足a b c >>，不满足ab ac >，故A 错误；当1a =，0b =，2c =-时，满足a b c >>，不满足22a c >，故B 错误；因为a b >，所以0a b ->，因为b c >，所以0c b ->，所以()0a b c b -->，故C 正确；当2a =，1b =，0c =时，满足a b c >>，不满足a c b c >，故D 错误.故选：C.7.若关于x 的不等式0ax b -<的解集是12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则关于x 的不等式023ax bx +>+的解集是（）A.3122x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ B.3122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C.3122x x x ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或 D.3122x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【答案】A 【解析】【分析】首先不等式0ax b -<的解集是12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭,可知，12b a =且且0a <,然后将不等式023ax b x +>+化为()230b x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭,则可得出不等式解集.【详解】因为0ax b -<的解集是12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，所以12b a =且0a <，由023ax b x +>+，得()()230ax b x ++>，即()230b x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭，解得3122x <--<，即关于x 的不等式023ax b x +>+的解集是3122x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选：A.8.已知0ab >，且2240a ab b c -+-=，当cab取最小值时，2a b c +-的最大值为（）A.76B.1312C.1918D.2524【答案】D 【解析】【分析】利用基本不等式得到2b a =时，cab取最小值，此时消元得到2265a b c a a +-=-+，配方得到最大值；【详解】因为2240a ab b c -+-=，所以224c a ab b =-+，所以2244113c a ab b a b ab ab b a -+==+-≥-=，当且仅当4a bb a=，即2b a =时等号成立，所以()22222242265a b c a a a a a a a a⎡⎤+-=+⨯--⨯+=-+⎣⎦252561224a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当512a =时，2a b c +-取得最大值，最大值为2524.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若集合{}1,2,3A =，{}1,3,2B =，则A B =B.x ∀∈R ，20x ≥C.x ∃∈R ，210x +=D.若集合{}1,0,1M =-，{}0,1N =，则M N Ü【答案】AB 【解析】【分析】根据集合相等的定义判断A 选项，根据平方的非负性判断B 、C 选项，根据真子集的定义判断D 选项.【详解】由集合的无序性知A B =，故A 选项正确；一个数的平方为非负数，故B 选项正确；211x +≥，故C 选项错误；由集合的真子集的概念可知N M Ü，故D 选项错误.故选：AB.10.下列命题中正确的是（）A.“4m <”是“3m <”的必要不充分条件B.“2x <且3y <”是“5x y +<”的充分不必要条件C.“2a >”是“112a <”的充要条件D.“ab <”是“22ac bc <”的充要条件【答案】AB 【解析】【分析】根据充要条件的性质即可判断求解也可以利用集合之间的关系更方便理解求解.【详解】对于A ：因为3m <可以推出4m <，但是4m <不可以推出3m <，所以“4m <”是“3m <”的必要不充分条件，故A 正确；对于B ：因为2x <且3y <可以推出5x y +<，但是5x y +<不可以推出2x <且3y <，所以“2x <且3y <”是“5x y +<”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：因为112a <，解得a<0或2a >，所以“2a >”可以推出“112a <”，但是“112a <”不可以推出“2a >”所以“2a >”是“112a <”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ：当0c =时，22ac bc =，所以“a b <”不可以推出“22ac bc <”，但是“22ac bc <”可以推出“a b <”，所以“a b <”是“22ac bc <”的必要不充分条件，故D 错误.故选：AB.11.已知关于x 的不等式220230ax bx ++>，下列结论正确的是（）A.不等式220230ax bx ++>的解集可以是RB.不等式220230ax bx ++>的解集可以是∅C.不等式220230ax bx ++>的解集可以是{}1x x <D.不等式220230ax bx ++>的解集可以是{}01x x <<【答案】AC 【解析】【分析】根据一元二次不等式，讨论参数及对应解集判断各项正误即可.【详解】当0a >，280920b a ∆=-<时满足题意，故A 正确；当0x =时不等式成立，解集必含元素0，不可能为空，故B 、D 错误；当0a =，2023b =-时，解集恰为(),1-∞，满足题意，故C 正确；故选：AC12.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列说法正确的是（）A.xy 的最大值为18B.22x y+的最小值为15C.()x x y +的最大值为14D.22x y xy +的最小值为92【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式判断A 、C 、D ，消元，结合二次函数的性质判断B.【详解】因为x ，y 是正数，且21x y +=，对于A ：2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时等号成立，故A 正确；对于B ：因为21x y +=，所以12y x =-，因为x ，y 是正数，所以1200x x ->⎧⎨>⎩，解得102x <<，所以()2222222112541555x y x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以22xy+的最小值为15，此时25x =，15y =，故B 正确；对于C ：()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即12x =，0y =时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ：()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{}1,3A =-，{}1,2B b =+，若A B =，则a b +=______.【答案】74-【解析】【分析】根据A B =可得答案.【详解】因为集合{}1,3A =-，{}1,2B b =+，A B =，所以1213b ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩，解得944a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，从而74a b +=-.故答案为：74-.14.已知x ，y 满足12x y -<-<，124x y <+<，则2x y +的取值范围是______.【答案】()0,6【解析】【分析】变形得到()()22x y x y x y +=-++，从而相加后得到取值范围.【详解】显然有()()22x y x y x y +=-++，∵12x y -<-<，124x y <+<，∴相加得到()20,6x y +∈.故答案为：()0,615.某单位建造一个长方体无盖水池，其容积为348m ，深3m.若池底每平米的造价为150元，池壁每平米的造价为120元，则最低总造价为__________元.【答案】8160【解析】【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】设长x ，宽y ，∴348xy ⋅=，∴16xy =，总造价()()6612016150720240072024008160x y x y =+⋅+⨯=++≥⨯=.当且仅当4x y ==时取得等号.故答案为：816016.已知不等式20ax bx c +<+的解集为{|23}x x <<，则=b c________，362b c a +++的最小值是_________【答案】①.56-②.10【解析】【分析】根据不等式的解集可得,,a b c 之间的关系，然后将362b c a +++用a 表示，再用基本不等式求其最小值即可．【详解】20ax bx c ++< 的解集为{23}xx <<∣0,23,23b c a a a ∴>+=-⨯=，5,6b a c a ∴=-=，56b c ∴=-，0363636(2)222212b c a a a a a ∴++=+=++-=+++ ，当且仅当2326a a +=+，即=4a 时取等号故362b c a +++的最小值为10．故答案为：56-，10．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知集合{}14A x x =≤<，{}27B x x =<<.（1）求A B ⋃；（2）求()A B ⋂R ð.【答案】（1）{}17A B x x ⋃=≤<（2）(){}R 47A B x x ⋂=≤<ð【解析】【分析】由交并补的混合运算即可求解.【小问1详解】集合{}14A x x =≤<，{}27B x x =<<，{|17}A B x x =≤< .【小问2详解】R (,1)[4,)A ∞∞=-+ ð，(){}R 47A B x x ⋂=≤<ð.18.已知命题:p x ∀∈R ，2230x m +->，命题:q x ∃∈R ，2220x mx m -++<.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p ，q 至少有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）32m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）{1m m <-或3}2m >【解析】【分析】（1）根据命题是真命题，将不等式转化为232x m >-对x ∈R 恒成立，即可求m 的取值范围；（2）求命题q 为真命题时m 的取值范围，再求两个集合的并集.【小问1详解】若命题p 为真命题，则232x m >-对x ∈R 恒成立，因此320m -<，解得32m >.因此，实数m 的取值范围是32m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.【小问2详解】若命题q 为真命题，则2(2)4(2)0m m ∆=--+>，即220m m -->，解得1m <-或2m >.因此，实数m 的取值范围是{1m m <-或2}m >；若命题p ，q 至少有一个为真命题，可得32m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭{1m m ⋃<-或2}{1m m m >=<-或3}2m >.所以实数m 的取值范围{1m m <-或3}2m >.19.已知集合{}115A x x =-≤+≤，{}31B x x =-<≤，{}22C x a x a =-<<+.（1）若“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件，求实数a 的取值范围；（2）若()A B C ⊆ ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}02a a ≤≤（2）{}10a a -<<【解析】【分析】（1）“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件，转化为C A ⊆即可求解（2）根据()A B C ⊆ ，只需保证C 包含A B ⋂即可.【小问1详解】由题知，集合{}{}11524A x x x x =-≤+≤=-≤≤，{}22C x a x a =-<<+，∵“x C ∈”是“x A ∈”的充分条件，∴2422a a +≤⎧⎨-≥-⎩，解得02a ≤≤，∴实数a 的取值范围是{}02a a ≤≤；【小问2详解】∵集合{}{}11524A x x x x =-≤+≤=-≤≤，{}31B x x =-<≤，{}22C x a x a =-<<+，∴{}21A B x x ⋂=-≤≤，又()A B C ⊆ ，∴2221a a -<-⎧⎨+>⎩，解得10a -<<，∴实数a 的取值范围是{}10a a -<<.20.已知0a >，0b >，且0a b ab +-=.（1）求23a b +的最小值；（2）求411a ba b +--的最小值.【答案】（1）5+（2）9【解析】【分析】（1）利用基本不等式灵活运用“1”计算即可；（2）利用基本不等式配凑定值计算即可.【小问1详解】由题意可知111a b ab a b+=⇒=+=，所以()113223235525b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当32b a b a =，即22a +=，33b +=时取得等号,即23a b +的最小值为5+【小问2详解】由题意可知()()()0111111a b ab a b b a b +-=⇒-+-=-⇒--=，结合（1）有111a b+=及0a >，0b >，，可知1,1a b >>，即10,10a b ->->，故()()41411441559111111a b a b a b a b a b -+-++=+=++≥+=------，当且仅当4111a b =--，即1,12b a =+=时取得等号，即411a b a b +--的最小值为9.21.已知集合()(){}140A x x x =-->，()()(){}2312130B x x m x m m =-++-+<，其中m 为实数.（1）若1m =，求A B ⋂；（2）若A B ⋂=∅，求m 的值.【答案】（1）{}01A B x x ⋂=<<（2）5【解析】【分析】（1）分别求出集合,A B ，再求A B ⋂；（2）讨论5m =，5m >，5m <得到集合B ，根据A B ⋂=∅列不等式组求解.【小问1详解】由题意知()(){}{1404A x x x x x =-->=>或}1x <，当1m =时，{}{}24004B x x x x x =-<=<<，所以{}01A B x x ⋂=<<；【小问2详解】由题意知()()(){}()(){}23121302230B x x m x m m x x m x m =-++-+<=-+--<，当223m m -=+，即5m =时，B =∅，所以A B ⋂=∅，符合题意；当223m m ->+，即5m >时，{}322B x m x m =+<<-，又A B ⋂=∅，所以31,224,m m +≥⎧⎨-≤⎩解得23m -≤≤，所以无解；当223m m -<+，即5m <时，{}223B x m x m =-<<+，又A B ⋂=∅，所以221,34,m m -≥⎧⎨+≤⎩所以无解.综上，m 的值为5.22.若关于x 的不等式组()2234033770x x x a x a ⎧+->⎪⎨+--<⎪⎩的整数解的集合为A .（1）若6a =，求集合A ；（2）若集合{}2A =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}5,2A =-（2）{}25a a -<≤【解析】【分析】（1）分别解出两不等式，即可求出不等式组的整数解的集合；（2）由()233770x a x a +--<可得()()370x a x +-<，分73a =-、73a <-、73a >-三种情况讨论，结合{}2A =求出参数的取值范围.【小问1详解】因为2340+->x x ，解得<4x -或1x >.若6a =，则2311420x x +-<，解得763x -<<，所以{}5,2A =-；【小问2详解】由()233770x a x a +--<，得()()370x a x +-<，当73a =-时，不等式()()370x a x +-<无解，此时不满足{}2A =，不符合题意；当73a ->，即73a <-时，由()()370x a x +-<，解得73x a <<-，又<4x -或1x >，所以不等式组()2234033770x x x a x a ⎧+->⎪⎨+--<⎪⎩的解集为7|3x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，此时不满足{}2A =，不符合题意；当73a -<，即73a >-时，由()()370x a x +-<，解得73a x -<<，要使{}2A =，则52a -≤-<，解得25a -<≤，综上，a 的取值范围是{}25a a -<≤.。

湖湘名校教育联合体2024年下学期高二10月大联考+数学

符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分． 9. 函数 f (x) Acos(x )( A 0, 0, π) 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）
2
A. 2
B. π 3
C. x π 是曲线 y f (x) 的一条对称轴 6
D.
f
(x)
在区间
【答案】（1）1, 2,3, 4,1, 2,3,5,1, 2, 4,5,1,3, 4,5，2,3, 4,5 ．
（2）10；（3）证明见解析
湖湘名校教育联合体 2024-2025 学年下学期高二 10 月大联考
数学
本试卷全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
.1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
的半圆柱，得到了一个三棱锥 A BCD ，该三棱锥为鳖臑，O1 ，O2 为半圆柱的圆心，半径为 2，BD 4 ，
AO2C 60 ，动点 Q 在 ACD 内运动（含边界），且满足 BQ 10 ，则点 Q 的轨迹长度为（）
A. 2π
B. 3π
C. 2 2π
D. 2 3π
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
13. 已知点 M (1, 2), N(0, 2), P 是直线 l : x 2y 2 0 上一点，则 PM PN 的最小值为__________．

长沙四大名校高三联考试卷含答案

"%!某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为
-'""&槡+
.'槡+
/'(+槡+
0',+槡+
""!现定义18)67!28!89其中8为虚数单位1为自然对数的底'且
实数指数幂的运算性质对 18 都适用若 $)/% (67!(*/$ (67!+!89$2
" "
.')"'%$"*"$
" "
/'已知$%%为实数%则$2%)%的充要条件是%$ )*"
" "
0'已知$%%为实数%则$*"%%*"是$%*"的充分条件
" +!以下四个命题中$
" "
在回归分析中%可用相关指数&$ 的值判断模型的拟合效果%&$ 越大%模
"
型的拟合效果越好*
"
两个随机变量的线性相关性越强%相关系数的绝对值越接近于"*
第三次输出("(,2**2+)2"&运行第四次输出+"&,2,*2#&)2"+运行第五次输出
#&"+,2##*2'$)2"#%运行第六次输出'$"#%,2#'*2&()2"#$所以选 -!
,!-!解析设%*&-2则
"
"

湖南名校联考联合体2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题(解析版)

名校联考联合体2024年秋季高二第二次联考数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 图中的U 是全集，A ，B 是U 的两个子集，则表示()()UUA B ∩ ）的阴影部分是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解. 【详解】对于A ，图中阴影部分表示A B ∩，故A 错误；对于B ，图中阴影部分表示()A B A B ，故B 错误；对于C ，图中阴影部分表示()()U U A B ∩ ，故C 正确；对于D ，图中阴影部分表示A B ，故D 错误. 故选：C. 2. 若复数z 满足12i1i z+=−，则z =（） A. 13i2−+ B.13i2− C.13i2−− D. 13i 2+【答案】C 【解析】【分析】利用复数的四则运算法则求出复数z ，再求其共轭复数即得. 【详解】因为12i1i z+=−，所以()()()()12i 1i 12i 13i1i1i 1i 2z +++−+==−−+，所以13i2z −−=.故选:C ．3. 某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm 、168cm 、171cm ，估计该校学生的平均身高是（）A. 166.4cmB. 168.2cmC. 169.1cmD. 170.0cm【答案】B 【解析】【分析】由分层抽样的概念求出各个年级抽得的人数，计算平均数即可. 【详解】因为高一、高二及高三年级分别有学生1000人、800人、1200人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，则高一、高二及高三年级分别抽10人，8人，12人，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为165cm 、168cm 、171cm ，所以该校学生的平均身高为10165816812171168.230×+×+×=()cm .故选：B4. 已知直线1l ：()2220a x y a −+−=，直线2l ：220x y −−=，若12//l l ，则（） A. 1或1− B. 2或−2 C. 2 D. −2【答案】C 【解析】【分析】由两条直线的一般式方程平行的条件求解即可.【详解】因为直线1l ：()2220a x y a −+−=，直线2l ：220x y −−=，若12l l ∥，则()()222042a a −−−×=≠−− ，解得22a a =± ≠− ，所以2a =，故选：C5. 若a ，b ，c是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（）A. a b − ，b c + ，c a +B. a c −+ ，−− b c ，a b +C. a b + ，b c − ，a c +D. a b + ，a b − ，c【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案.【详解】A 选项：()a b b c c a −++=+，所以a b − ，b c + ，c a + 是共面向量；B 选项：()()a cbc a b a b −++−−=−−=−+，所以a c −+ ，−− b c ，a b + 是共面向量； C 选项：()a b b c a c +−−=+，所以a b + ，b c − ，a c + 是共面向量；D 选项：令a b +=()x a b −+ yc ，显然,x y 无解，故不是共面向量. 故选：D6. 已知0m >，0n >464m n+，则n 的最小值为（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C 【解析】【分析】两边同乘m ，得到644nm n+，令t =326440t n t n −+=在(0,)+∞有解，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为0,0m n >>464m n +，两边同乘m ，可得644n m n +，令t =，则0t >，可得22644n t t n=+，即326440t n t n −+=，所以关于t 的二次方程326440t n t n −+=在(0,)+∞有解，令()23644f t t n t n =−+，可知其图象开口向上，对称轴为30128n t =>，原题意等价于6Δ46440n n −××>，解得4n ≥，当4n =时，方程2161640t t −+=，即24(21)0t −=，解得12t =，此时14m =，满足题意，所以n 的最小值为4.故选：C.7. 圆1C ：()()22121x y +++=与圆2C ：()()22224x y −+−=的内公切线长为（）A. 3B. 5C.D. 4【答案】D 【解析】【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为y 轴，求公切线的长即可. 【详解】如图：由图可知圆1C 与圆2C 的内公切线有一条为y 轴，则公切线的长为|AAAA |=4，方法二：125C C =，4故选：D8. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()()21f x f x +=，若()()01,2f ∈，则()2026f 的取值范围为（）A. ()2,1−−B. []1,4C. 1,12D. 11,42【答案】C 【解析】【分析】由已知可得()4()f x f x +=，即()f x 的周期为4，可得()()012026f f =，即可求范围. 【详解】解：()2()1f x f x +=， 1(2)()f x f x ∴+=，即11(4)()1(2)()f x f x f x f x +===+，即()4()f x f x +=，所以4上函数()f x 的一个周期，()0(1,2)f ∈ ，()11(2026)2,1(0)2f f f∴==∈.故选：C.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下是方程πtan 23x+的解的为（） A. 0B.π3C.π2D. π【答案】ACD 【解析】分析】解正切型方程判断即可.【详解】因为πtan 23x +，所以ππ2π33x k +=+，Z k ∈，所以π2k x =，Z k ∈，所以π0,,π2是方程的解，故选：ACD10. 已知直线l ：()1kx y k −+−，圆C ：()()22121x y ++−=，以下正确的是（）A. l 与圆C 不一定存在公共点B. 圆心C 到lC. 当l 与圆C 相交时，304k −<< D. 当1k =−时，圆C 上有三个点到l【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据直线与圆的位置关系，求圆心C 到直线l 的距离判断；对于B ，由于直线恒过定点()1,1P ，所以当时CP l ⊥，圆心C 到直线l 的距离最大，从而可求出其最大值；对C ，根据直线与圆的位置关系求解判断；对D ，求出圆心到直线的距离，进而判断.【【详解】对于A ，圆心C 到直线l的距离为d当1d r >=1，解得0k >或43k <−，此时直线l 与圆相离，没有公共点，故A 正确；对于B ，因为直线():10l kx y k −+−=，即()11k x y −=−，所以直线l 过定点()1,1P ，当时CP l ⊥，圆心C 到直线l 的距离最大，最大值为CP =，故B 正确；对于C ，当直线l 1，解得403k −<<，故C 错误；对于D ，当1k =−时，直线:20+−=l x y ，圆心C 到直线l，所以圆上有三个点到直线l的距离为1−，故D 正确. 故选：ABD.11. 当[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 时，记()n f x =，()lg a g x =，若0x >，0y >，则（） A. ()()()f xy f x f y =+B. ()()x f f x f y y=−C. ()()()()(){},1g xy g x g y g x g y ∈++− D. ()()()(){},1x g g x g y g x g y y∈−−+【答案】CD 【解析】【分析】先明确题意，[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 表示一个数的科学计数法，()n f x =，()lg a g x =，然后找一个数[)10,1,10,my b b m =×∈∈Z ，然后利用科学计数法表示,xxy y，然后分别写出对应的函数值,判断每一个选项即可.【详解】我们先理解题意，[)10,1,10,nx a a n =×∈∈Z 表示了一个数科学计数法；其中()n f x =，()lg a g x =不妨令另一个数为[)10,1,10,my b b m =×∈∈Z ，则()f y m =，()lg b g y = [)10,1,100m n xy ab ab +=×∈的所以当[)1,10ab ∈时，得()()()f xy m n f x f y =+=+，()()()lg lg lg g xy ab a b g x g b ==+=+当[)10,100ab ∈时，得[)110,1,1001010m n ab abxy ++=×∈，此时()()()11f xy m n f x f y =++=++，()()()lg lg lg 1110abg xy a b g x g b ==+−=+−，故选项A 错误；选项C 正确；110,,1010n m x a a y b b − =×∈，所以当1,110a b ∈时，()1101010,1,10n m x a a y b b −−=×∈，此时()()11x f n m f x f y y =−−=−−，()()10lg lg lg 11x ag a b g x g y y b ==−+=−+ ，当[)1,10ab ∈时，10n m x a y b −=×，此时()()()f xy n m f x f y =−=−， ()()lg lg lg x ag a b g x g y y b ==−=−，故选项B 错误，选项D 正确；故选:CD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 直线240x y −−=的截距式方程为________. 【答案】142x y−= 【解析】【分析】直接化简计算即可.【详解】直线240x y −−=的截距式方程为：142x y−=. 故答案为：142x y−= 13. 已知空间中,,A B C 三点的坐标分别为(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)−−，则点C 到直线AB 的距离为________.【解析】【分析】根据题意，求得(1,1,2),(2,0,1)AB AC =−−=−，结合点到直线的向量公式，即可求解.【详解】由点(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)A B C −−，可得(1,1,2),(2,0,1)AB AC =−−=−，所以点C 到直线AB的距离为d ==，所以点C 到直线AB.14. 从球O 外一点P 作球O 表面的三条不同的切线，切点分别为,,A B C ，令APB α∠=，BPC β∠=，CPA γ∠=.若2PA =，π3αβ==，π2γ=，则球O 的表面积为________. 【答案】16π 【解析】【分析】根据题意，得到222AB BC AC +=，得到ABC 为直角三角形，取AC 的中点E ，由截面圆的性质，可得OE ⊥平面ABC ，再由PE ⊥平面ABC ，得到,,,A P C O 四点共面，结合四边形APCO 为正方形，求得2OA =，得到球O 的半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，从球O 外一点P 作球O 表面的三条不同的切线，且2PA =，π3APB BPC ∠∠==，π2CPA ∠=，可得2PA PB PC AB BC =====，AC =则222AB BC AC +=，可得AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形，取AC 的中点E ，连接,OE BE ，由截面圆的性质，可得OE ⊥平面ABC ，在PAC 中，PA PC =，且AC 的中点E ，可得PE AC ⊥，又由2PE BE PB ===，所以222PE BE PB +=，所以PE BE ⊥，因为AC BE E = ，且,AC BE ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ，所以OE 与PE 重合，所以,,,A P C O 四点共面，连接,,,OA OB OC OP ，则,,OA PA OA PB OA PC ⊥⊥⊥，所以四边形APCO 为正方形，所以2OA =，即外接球的半径为2R =，所以球的表面积为24π16πS R ==. 故答案为：16π.四、解答题：本题共.5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2024届高三10月大联考数学含答案解析

三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2024届高三10月大联考数学一、单选题(共24 分)1.已知集合A={x|x2+5x+6>0}，则∁R A=（）A.[−1,6]B.[−6,1]C.[2,3]D.[−3,−2]【答案】D【解析】【分析】求出集合A，利用补集的定义可得出集合∁R A.【详解】因为A={x|x2+5x+6>0}=(−∞,−3)∪(−2,+∞)，则∁R A=[−3,−2].故选：D．2.已知复数z满足z3+4i =4−3iz，则|z|=（）A.3B.5C.9D.25【答案】B【解析】【分析】根据复数模的运算求得正确答案.【详解】由已知有|z||3+4i|=|4−3i||z|，即|z|5=5|z|，所以|z|=5．故选：B3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=|b⃗⃗|=√2，a⃗⋅b⃗⃗=0．若(a⃗+λb⃗⃗)⊥(μa⃗+b⃗⃗)，则下列各式一定成立的是（）A.λ+μ=0B.λ+μ=−1C.λμ=0D.λμ=−1【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的要求转换为(a⃗+λb⃗⃗)⋅(μa⃗+b⃗⃗)=0计算即可.【详解】(a⃗+λb⃗⃗)⋅(μa⃗+b⃗⃗)=μa⃗2+(λμ+1)(a⃗⋅b⃗⃗)+λb⃗⃗2=2(λ+μ)=0，所以λ+μ=0，故选：A.4.已知正实数x，y，z满足(x+2y)(2y+3z)=4，则x+4y+3z的最小值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】x+4y+3z=(x+2y)+(2y+3z)≥2√(x+2y)(2y+3z)=4，当且仅当x+2y=2y+3z=2时等号成立.故选：B5.在平面α外有两条直线m和n，设m和n在平面α内的射影分别是直线m1和n1，则下列结论正确的是（）A.m1⊥n1是m⊥n的充分条件B.m1⊥n1是m⊥n的必要条件C.m1与n1相交是m与n相交或重合的充分条件D.m1与n1平行或重合是m与n平行的必要条件【答案】D【解析】【分析】根据线线垂直、相交、平行，以及充分、必要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】在如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若取平面α为平面ABCD，m1，n1分别为AC，BD，m，n分别为A1C，BD1，满足m1⊥n1，但是不满足m⊥n，故A错误；若取平面α为平面ADD1A1，m1，n1分别为A1D1，AD1，m，n分别为A1C1，BD1，满足m⊥n，但是不满足m1⊥n1，故B错误；若取平面α为平面ABCD，m1，n1分别为AC，BD，m，n分别为AC1，B1D1，满足m1与n1相交，但是m与n异面，故C错误；当m与n平行时，m1与n1平行或重合，故D正确．故选：D6.已知数列{a n}满足a1=−1，a n+1=(1)a n，则下列结论正确的是（）eA.数列{a n}为单调递增数列B.数列{a n}为单调递减数列C.a2022<a2023D.a2023<a2024【答案】D【解析】【分析】根据给定的递推公式求出a2,a3判断AB；构造函数f(x)=xe x,x>0，由函数性质可得存在x0∈(0,1)使得x0=1，再借助不等e x0式性质探讨a2n−1,a2n与x0的大小关系判断CD.数列{a n }中，a 1=−1，a n+1=(1e )a n ，则a 2=e >−1=a 1，a 3=(1e)e <1e<e =a 2，显然数列{a n }不单调，AB 错误；当n >1时，a n >0，且a n+1=1e a n ，令函数f(x)=xe x ,x >0，求导得f ′(x)=(x +1)e x >0，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f (0)=0，f (1)=e ，且函数f(x)在(0,+∞)上的图象连续不断，因此存在x 0∈(0,1)使得f (x 0)=x 0e x 0=1，即x 0=1e x 0，则当a n >x 0时，a n+1=1e a n<1e x 0=x 0，当a n <x 0时，a n+1=1e a n>1e x 0=x 0，由a 1=−1<x 0，a 2=e >x 0，得a 3<x 0，a 4>x 0，a 5<x 0，a 6>x 0，⋯，所以当n 为奇数时，a n <x 0；当n 为偶数时，a n >x 0，即有a 2022>x 0>a 2023，a 2024>x 0>a 2023，C 错误，D 正确. 故选：D7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (−2,0)，B (4,0)，M (1,m )，动点P 满足2|PA |=|PB |，设动点P 的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在两点E ，F ，使得EM ⊥MF ，则实数m 的取值范围是（） A.[−4√2,4√2] B.[−7,7]C.[−√7,√7]D.[−32,32]【答案】C 【解析】【分析】先求P 点的轨迹方程，再运用直线与圆的位置关系和直角三角形斜边上的中线长为斜边长的一半的性质来求解参数范围．【详解】设P (x,y )，由2|PA |=|PB |，得2√(x +2)2+y 2=√(x −4)2+y 2，化简得(x +4)2+y 2=16，如图，设圆心为Q ，因为△EMF 为直角三角形，∠EMF =90°，若ME ，MF 为切线，则∠QME =45°，在Rt △QME 中，∠QME =45°，∠QEM =90°，|QE |=4，所以|QM |=4√2，要使圆Q 上存在点E ，F ，使得EM ⊥MF ，则过M 到向圆引的两条切线的夹角不小于90°，即圆心Q (−4,0)到点M (1,m )的距离不大于4√2，即|QM |=√52+m 2≤4√2，解得m ∈[−√7,√7]．故选：C ．8.已知函数f (x )=e 2x −2ae x −4a 2x (a >0)，若函数f (x )的值域与f(f (x ))的值域相同，则a 的取值范围是（） A.(0,12)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[12,+∞)【答案】D 【解析】【分析】先求出f ′(x )，根据已知结合导函数得出f (x )的单调性，求出函数的最小值.根据已知列出关系式−4a 2ln2a ≤ln2a ，求解即可得出答案. 【详解】有f ′(x )=2e 2x −2ae x −4a 2=2(e x +a )(e x −2a )．因为a >0时，所以e x +a >0恒成立.由f ′(x )<0，可得e x −2a <0，解得x <ln2a ，所以f (x )在(−∞,ln2a )上单调递减；由f ′(x )>0，可得e x −2a >0，解得x >ln2a ，所以f (x )在(ln2a,+∞)上单调递增.所以f (x )min =f (ln2a )=e 2ln2a −2ae ln2a −4a 2ln2a =(2a )2−4a 2−4a 2ln2a =−4a 2ln2a ，故f (x )的值域为[−4a 2ln2a,+∞).令t =f (x )，则t ∈[−4a 2ln2a,+∞)，要使得f(f (x ))的值域也为[−4a 2ln2a,+∞)，则−4a 2ln2a ≤ln2a ，即(1+4a 2)ln2a ≥0，所以ln2a ≥0，解得a ≥12．故选：D ．二、多选题(共 12 分)9.在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SC 垂直于底面，且SC =AB ，则（） A.直线BD 与SC 所成角为π2B.直线BD 与SD 所成角为π4C.直线BD 与平面SCD 所成角为π6D.平面SBD 与平面ABCD 夹角的正切值为√2【答案】AD 【解析】【分析】连接AC 与BD 交于点O ，证明BD ⊥平面SAC ，可判断A ；判断△SBD 为正三角形，可判断B ；先证BC ⊥平面SCD ，可得直线BD 与平面SCD 所成角即∠BDC ，可判断C ；先证平面SBD 与平面ABCD 的夹角为∠SOC ，可求得tan∠SOC ，可判断D. 【详解】如图，连接AC 与BD 交于点O ，因为SC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以SC ⊥BD ，因为BD ⊥AC ，又AC ∩SC =C ，AC,SC ⊂平面SAC ，所以BD ⊥平面SAC ，而SC ⊂平面SAC ，所以BD ⊥SC ，即直线BD 与SC 所成的角为π2，A 正确；设AB =1，则SC =1，SD =SB =BD =√2，所以△SBD 为正三角形，所以直线BD 与SD 所成的角为π3，B 错误；因为SC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SC ⊥BC ，又BC ⊥CD ，又CD 与SC 是平面SCD 内两条相交直线，所以BC ⊥平面SCD ，易知直线BD 与平面SCD 所成角即∠BDC ，所以直线BD 与平面SCD 所成的角为π4，C 错误；设AB =SC =1，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，O 是AC 的中点， ∴可得AO =√22．因为△SBD 为等边三角形且O 为线段BD 中点，所以SO ⊥BD ．因为AO ⊥BD ，且平面SBD ∩平面ABCD =BD ．所以平面SBD 与平面ABCD 的夹角为∠SOC ．而tan∠SOC =√2，所以D 正确．故选：AD ．10.已知点A (cosα,sinα)，B (cosβ,sinβ)，M (cosγ,sinγ)且0<α<γ<β<π，设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，O 为坐标原点，则下列结论A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.sinγ=sinα+β2C.当λ=1时，β=α+π3D.当β=α+π2时，λ=√22【答案】ABD 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A 选项；利用平面向量数量积的坐标运算以及两角差的余弦公式、余弦函数的单调性可判断B 选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断CD 选项. 【详解】对于A ，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=λ(1+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+1)=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，故A 正确；对于B ，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗有cosγcosα+sinγsinα=cosγcosβ+sinγsinβ，则cos (γ−α)=cos (β−γ)，而0<α<γ<β<π，所以，0<γ−α<π，0<β−γ<π，又因为函数y =cosx 在(0,π)上单调递减，所以，γ−α=β−γ，即γ=α+β2，因此sinγ=sinα+β2，故B 正确；对于CD ，因为|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2α+sin 2α=1，同理可得|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λ2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，即1=λ2(2+2OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，所以，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12λ2−1，而OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosαcosβ+sinαsinβ=cos (β−α)，因此cos (β−α)=12λ2−1，当λ=1时，cos (β−α)=−12，而0<β−α<π，则β−α=2π3，即β=α+2π3，故C 错误；当β=α+π2，即β−α=π2时，cos (β−α)=cos π2=12λ2−1=0，λ2=12，因为0<α<γ<β<π，则sinα>0，sinβ>0，sinγ>0，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)可得(cosγ,sinγ)=λ(cosα+cosβ,sinα+sinβ)，所以，sinγ=λ(sinα+sinβ)，则λ=sinγsinα+sinβ>0，故λ=√22，故D 正确．故选：ABD ．11.已知F 1，F 2为双曲线C 的两个焦点，P 为双曲线C 上一点，且∠F 1PF 2=60°，|PF 1|=m |PF 2| (2≤m ≤3)，则双曲线C 的离心率可以为（） A.√2 B.√3 C.2 D.√5【答案】AB 【解析】【分析】根据双曲的定义并结合余弦定理求出a,c 的关系，从而求出离心率e 的范围求解. 【详解】因为|PF 1|=m |PF 2|，由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=(m −1)|PF 2|=2a ，所以|PF 2|=2a m−1，|PF 1|=2mam−1，又因为∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得(2a m−1)2+(2ma m−1)2−22a m−1⋅2ma m−1cos60°=4c 2化简可得c 2a 2=1+m(m−1)2=1+1m+1m−2=e 2，设：f(m)=m+1m −2，m∈[2,3]，求导得f′(m)=1−1m2=m2−1m2，当2≤m≤3时，f′(m)>0，所以函数f(m)在区间[2,3]上单调递增，所以1f(m)=1m+1m−2在区间[2,3]上单调递减，所以e2=c2a2=1+m(m−1)2=1+1m+1m−2在区间[2,3]上单调递减，当m=2时，e2有最大值3，又因为e>1，所以离心率e∈(1,√3]，故A项和B项满足题意；故选：AB.12.已知函数f(x)=e x+xlnx−x2的导函数为g(x)，则（）A.g(x)无最小值B.f(x)无最小值C.f(2021)+f(2023)>2f(2022)D.f(2021)+f(2023)<2f(2022)【答案】AC【解析】【分析】求出导函数g(x)=e x+lnx−2x+1，求出g′(x)=e x+1x−2>0，即可得出g(x)的单调性，进而判断A项；根据零点存在定理，结合g(x)的单调性，得出f(x)的单调性，即可判断B项；根据g(x)的单调性，即可得出f(x)为凹函数，进而判断C、D. 【详解】对于A项，由于函数f(x)=e x+xlnx−x2的导函数为g(x)，则g(x)=e x+lnx−2x+1.设ℎ(x)=e x−x，则ℎ′(x)=e x−1，当x=0时，有ℎ′(0)=e0−1=0，当x<0时，有ℎ′(x)=e x−1<0，所以ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减；当x>0时，有ℎ′(x)=e x−1>0，所以ℎ(x)在(−∞,0)上单调递增.所以，ℎ(x)在x=0处取得唯一极小值，也是最小值ℎ(0)=1>0，所以，ℎ(x)>0，即e x−x>0，所以e x>x.又x>0时，g′(x)=e x+1x −2>x+1x−2≥0，故g(x)=e x+lnx−2x+1在定义域(0,+∞)上为增函数，因此g(x)无最小值，故A正确；对于B项，因为e 12<2，所以e−4<1e<12=lne12<ln2，所以g(e−4)=e e−4+lne−4−2×e−4+1<e ln2−4−2e−4+1=−1−2e−4<0.又因为g(1)=e+ln1−2+1=e−1>0，根据零点存在定理可知，存在x0∈(e−4,1)，使得g(x0)=0.又由A知g(x)=e x+lnx−2x+1在定义域(0,+∞)上为增函数，所以，当0<x<x0时，有g(x)<0，所以f(x)在(0,x0)单调递减；当x>x0时，有g(x)>0，所以f(x)在(x0,+∞)单调递增.故f(x)在x=x0处取得最小值，故B错误；又g(x)=e x+lnx−2x+1在定义域(0,+∞)上为单调递增函数，可知f(x)=e x+xlnx−x2在(0,+∞)上为凹函数，可得f(2021)+f(2023)2>f(2021+20232)，即f(2021)+f(2023)>2f(2022)，故C正确，D错误．故选：AC．【点睛】三、填空题(共9 分)13.(1x2−2x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则(1x2−2x)n的展开式中系数最大的项的系数为________．【答案】1792【解析】【分析】先求得n，然后根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由C n2=C n6得n=8，所以(1x2−2x)n的展开式的通项为C8r⋅(1x2)8−r⋅(−2x)r，当展开式的项的系数最大时，r为偶数，比较C80⋅(−2)0=1,C82⋅(−2)2=112,C84⋅(−2)4=1120，C86⋅(−2)6=1792,C88⋅(−2)8=256，得当r=6时，展开式中项的系数最大，该项系数为1792．故答案为：179214.小明准备用9万元投资A,B两种股票，已知这两种股票的收益独立，且这两种股票的买入价都是每股1元，每股收益的分布列如下表所示．若投资A种股票a万元，则小明两种股票的收益期望和为________万元．股票A每股收益的分布列股票B每股收益的分布列【答案】10.8【解析】【分析】结合离散型随机变量公式先求出E(X),E(Y)，由题知两种股票的收益期望和为E(aX)+E((90000−a)Y)，化简即可求解.【详解】E(X)=−1×0.3+0×0.2+3×0.5=1.2；E(Y)=−3×0.4+4×0.6=1.2．若投资A股票a元，则投资B股票90000−a元，E(aX)+E((90000−a)Y)=aE(X)+(90000−a)E(Y)=90000×1.2=108000，即小明两种股票的收益期望和为10.8万元．15.已知ω>0，函数f(x)=sinωx与g(x)=cosx的图象在[0,π]上恰有两个交点，则ω的值为________．【答案】32##1.5【解析】作出f(x)，g(x)图象，由两图象在[0,π]上恰有两个交点分析知，第二个交点只能落在(π,−1)上，分析f(x)图象，进而得解.【详解】作出f(x)，g(x)图象，观察图象可知，第二个交点只能落在(π,−1)，f(x)最低点对应横坐标靠前，两图象至少有三交点，靠后两图象只有1交点，因此由f(x)图象可知，34T=34⋅2πω=π，解得ω=32.故答案为：32四、双空题(共3 分)表示位于第i行、第j列的数．表格中a3,4的值为________，2023在该数阵中共出现________次．【答案】(1). 37(2). 6【解析】【分析】根据每行每列都是等差数列，可得第一行、第二行、第三行…的公差依次是3，5，7，…，可以得到第i行的公差为2i+1，可求出a i,j的表达式，求出a3,4；令a i,j=2023，得2023=2ij+i+j+6，即j=−12+40352(2i+1)，i和j都是正整数，4035必是2i+1的倍数，由此讨论即可得解.【详解】第一列第i个数a i,1=10+3(i−1)=3i+7，又因为第一行、第二行、第三行…的公差依次是3，5，7，…，可以得到第i行的公差为2i+1，于是有a i,j=3i+7+(2i+1)(j−1)=2ij+i+j+6．因此a3,4=2×3×4+3+4+6=37．当2023出现在数阵中时，2023=2ij+i+j+6，即j=−1+4035()．因为i和j都是正整数，故4035必是2i+1的倍数，又因为舍去使i 或j 为0的解，共得到6组满足条件的i 和j ，因此2023在数阵中共出现6次．故答案为：①37 ②6.五、应用题(共 6 分)影响一个城市消费水平的原因有很多，其中一个重要的指标就是该城市的月平均工资.2022年“双十一”已经过去，某机构借助国内几个主要的网购交易平台，统计了部分城市“双十一”当天的人均交易额（单位：百元）如下表：通过查阅人社局的报告，我们得到了上述七个城市的2022年的月平均工资（单位：百元）如下表：17. 从散点图可以发现，月平均工资与双十一交易额之间大致成正相关关系，即月平均工资越高，双十一当天的人均交易额越高，请求出人均交易额y （百元）与月平均工资x （百元）的经验回归方程（保留小数点后两位有效数字）； 18. 若长沙市2023年的月平均工资为62百元，请预测长沙市在今年双十一中的人均交易额．附：参考公式：b̂=∑x i n i=1y i −n⋅x̅⋅y̅∑x i 2ni=1−n⋅x̅2，a ̂=y ̅−b̂⋅x̅．参考数据：∑x i 27i=1=43136，∑x i 7i=1y i =2605.4，y ̅=4.7，x̅=78．【答案】17. y ̂=0.07x −0.76 18. 3.58百元【解析】【分析】（1）由b ̂=∑x i ni=1y i −n⋅x̅⋅y̅∑x i 2n i=1−n⋅x̅2先求出b ̂，再由a ̂=y ̅−b ̂⋅x̅求出a ̂，即可求出回归方程；（2）将x =62代入回归方程，可求对应y 值. 【17题详解】b ̂=∑x i ni=1y i −n⋅x̅⋅y ̅∑x i 2n i=1−n⋅x̅2=2605.4−7×78×4.743136−7×78×78≈0.07， a ̂=4.7−0.07×78=−0.76，所以人均交易额y （百元）与月平均工资x （百元）的经验回归方程为y =0.07x −0.76；【18题详解】所以预测长沙市在今年双十一中的人均交易额为3.58百元．六、其它(共 6 分)如图所示，四边形ABCD 是圆台EF 的轴截面，M 是上底面圆周上异于C ，D 的一点，圆台的高EF =√3，AB =2CD =4．19. 证明：△AMB 是直角三角形；20. 是否存在点M 使得平面ADM 与平面DME 的夹角的余弦值为√55？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】19. 证明见解析 20. 答案见解析【解析】【分析】（1）易证EF ⊥ME ，对△EMF 由勾股定理求出FM ，由AF =BF =MF 可得证；（2）取AB ⌢的中点N ，连接FN ，以F 为原点，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别为x ，y ，z 轴，设M(sinθ,cosθ,√3)，求出平面ADM 的法向量和平面EDM 的法向量，结合向量夹角公式求出cosθ,sinθ，进而得解. 【19题详解】由题设，EF ⊥上底面圆E ， ∴ME ⊂上底面圆E ，∴EF ⊥ME ， ∵EF =√3，ME =1，∴MF =2，又AB =4，∴AF =BF =MF ， ∴△AMB 是直角三角形；【20题详解】假设存在点M 使得平面ADM 与平面DME 夹角的余弦值为√55，如图，取AB⌢的中点N ，连接FN ，以F 为原点， FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易知A (0,−2,0)，D(0,−1,√3)，E(0,0,√3)，设M(sinθ,cosθ,√3)，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,√3)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(sinθ,cosθ+1,0)，设m ⃗⃗⃗=(x,y,z )是平面ADM 的法向量， m⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0y +√3z =0令y =−√3sinθ，则m ⃗⃗⃗=(√3(cosθ+1),−√3sinθ,sinθ)，易知平面EDM 的一个法向量为n ⃗⃗=(0,0,1)，由题意得cos ⟨m ⃗⃗⃗,n ⃗⃗⟩=|m ⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|√3(cosθ+1)2+3sin 2θ+sin 2θ√55，解得cosθ=−12，此时sinθ=±√32．故存在点M (±√32,−12,√3)，使得平面ADM 与平面DME 夹角的余弦值为√55．七、解答题(共 12 分)如图，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b 2+c 2=a 2−bc ．21. 求角A 的大小；22. 若M 是线段BC 上的点，AM =1，MC =3MB ，求b +3c 的最大值．【答案】21. A =23π；22. 8. 【解析】【分析】（1）利用已知，结合余弦定理求解即得.（2）延长AM 至D 使得MD =3AM ，利用比例式与平行线间关系，结合余弦定理、基本不等式求解即得. 【21题详解】在△ABC 中，由b 2+c 2=a 2−bc 及余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，而A ∈(0,π)，所以A =23π.【22题详解】延长AM 至D 使得MD =3AM ，连接CD ，显然MD AM=3=MC MB，则AB//CD ，于是CD AB =MC MB =3，即CD =3c ，AD =4，∠ACD =π3，在△ACD 中，由余弦定理得AD 2=AC 2+CD 2−2AC ⋅CD ⋅cos∠ACD ，即16=b 2+9c 2−3bc ，因此(b +3c )2−16=9bc ≤3×(b+3c 2)2，解之得b +3c ≤8，当且仅当b =3c =4时取等号，所以当b =4，c =43时，b +3c 取得最大值8．设数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n 2，n ∈N ∗．23. 求{a n }的通项公式； 24. 若数列{b n }满足b n =a na n+1−1，其前n 项和为S n ，数列{c n }满足c n =a na n +1，其前n 项积为T n ，求证：S n +2T n =2．【答案】23. a n =22n−1，n ∈N ∗24. 证明见解析【解析】【分析】（1）通过两边取对数构造等比数列，先求等比数列通项，再求{a n }；（2）用裂项法求S n ，再求出T n ，最后求和证明结论. 【23题详解】由题意可知a n >0，n ∈N ∗，则由a n+1=a n 2，两边取对数可知lna n+1=2lna n ，故{lna n }是首项为lna 1=ln2，公比为2的等比数列，所以lna n =2n−1ln2=ln22n−1，即a n =22n−1，n ∈N ∗；【24题详解】由（1）可知a n =22n−1，故b n =a n a n+1−1=22n−122n−1，c n =a n a n +1=22n−122n−1+1，故T n =c 1c 2⋯c n =22+1×2222+1×222222+1×⋯×22n−122n−1+1=21+2+22+⋯+2n−1(2+1)(22+1)⋯(22n−1+1)=22n −1(2−1)(2+1)(22+1)⋯(22n−1+1)=22n −1(22−1)(22+1)⋯(22n−1+1)=22n −122n−1，而b n =22n−122n−1=(22n−1+1)−1(22n−1−1)(22n−1+1)=122n−1−1−122n−1，故S n =b 1+b 2+⋯+b n =(121−1−122−1)+(122−1−1222−1)+⋯+(122n−1−1−122n−1)=1−122n −1，所以S n +2T n =1−122n−1+2×22n −122n−1=1−122n−1+22n22n−1=1+22n −122n−1=2，得证！八、问答题(共 6 分)已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为12，定点P (−4,0)．25. 求椭圆C 的方程；26. 设直线AB 与椭圆C 分别交于点A,B （P 不在直线AB 上），若直线PA ，PB 与椭圆C 分别交于点M ，N ，且直线AB 过定点Q (−52,32)，问直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【答案】25.x 24+y 23=126. 直线MN 的斜率为定值1 【解析】【分析】（1）由长轴长和离心率可求出a,c ，结合关系式可求出b ，进而求出椭圆C 的方程；（2）可设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 3,y 3)，N (x 4,y 4)，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗得{−4=x 1+λx 31+λ0=y 1+λy 31+λ，将A ，M 代入椭圆整理得x 1−λx 31−λ=−1，联立x 1+λx 31+λ=−4求得x 1,x 3，同理求得x 2,x 4，结合k AQ =k BQ ，化简求出y 4−y 3，x 4−x 3由k MN =y 4−y 3x 4−x 3即可求解.【25题详解】由椭圆C 的长轴长为4可知a =2，又椭圆C 的离心率为12，所以ca=12，所以c =1，b =√3，因此椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；【26题详解】直线MN 的斜率为定值，定值为1，证明：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 3,y 3)，N (x 4,y 4)，， AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，有{−4=x 1+λx31+λ0=y 1+λy 31+λ ，因为A ，M 在椭圆上，所以x 124+y 123=1，x 324+y 323=1，因此1−λ2=(x 124+y 123)−λ2(x 324+y 323)，整理得1−λ2=x 12−λ2x 324+y 12−λ2y 323=x 12−λ2x 324，即4=x 12−λ2x 321−λ2=x 1+λx 31+λ⋅x 1−λx 31−λ，因此x 1−λx 31−λ=−1，联立x1+λx31+λ=−4，解之有{x1=−52−32λx3=−52−32λ，同理{x2=−52−32μx4=−52−32μ，又因为直线AB过定点Q(−52,32)，所以y2−32x2+52=y1−32x1+52，将y1+λy3=0，y2+μy4=0，x1=−52−32λ，x2=−52−32μ代入，有−μy4−32−32μ=−λy3−32−32λ，整理得y4−y3=32λ−32μ，又x4−x3=(−52−32μ)−(−52−32λ)=32λ−32μ，所以k MN=y4−y3x4−x3=1．综上，直线MN的斜率为定值1．九、解答题(共6 分)已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R)．27. 讨论函数y=f(x)−a的零点个数；28. 若a>−1且函数y=f(x)−a有两个零点x1，x2，证明：|x1−x2|<(2a +1)2．【答案】27. 答案见解析28. 证明见解析【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，分a≥0和a<0两种情况，分别利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理，即可判断函数的零点个数；（2）结合（1）知a的范围，利用导数求得f(x)在点(−2a ,f(−2a))处的切线方程y=a2x+ln(−2a)−1，从而求出a=a2x+ln(−2a )−1的解x3=2+2a−2aln(−2a)，进而推出x2<x3，即可将原不等式转化为x3−1<(2a+1)2，利用构造函数，结合函数的单调性，即可证明原不等式.【27题详解】由题意知f(1)=a，故f(1)−a=0，因此函数y=f(x)−a必有一个零点x=1，由f(x)=lnx+ax(a∈R)有f′(x)=1x +a=1+axx(x>0)，当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，设ℎ(x)=f(x)−a，函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，则ℎ(e−2)=−2+a(e−2−1)<0，ℎ(2)=ln2+a>0，结合f(1)−a=0，此时函数y=f(x)−a在(0,+∞)上恰有一个零点1；当a<0时，令f′(x)>0有0<x<−1a ，令f′(x)<0有x>−1a，因此函数f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减，此时函数ℎ(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减，当a=−1时，f(x)max=f(1)=1，函数y=f(x)−a=lnx−x+1恰有一个零点1；当a<0且a≠−1时，f(−1a )>f(1)=a，则ℎ(−1a)=f(−1a)−a>0，又x>0且x取值无限小时，lnx取负的无限小值，ax无限趋近0，ℎ(x)可取负的无限小值，由一次函数y=−ax(a<0)的增长速度远远大于对数函数y=lnx的增长速度可知，当x→+∞时，ℎ(x)=f(x)−a=lnx+ax−a可取负的无限小值，因此，当a<0时，函数y=f(x)−a恰有两个零点．综上：当a<0且a≠−1时，函数y=f(x)−a恰有两个零点，当a≥0或a=−1时，函数y=f(x)−a恰有一个零点；【28题详解】由（1）可知，−1<a<0且函数y=f(x)−a必有一个零点1，不妨令x1=1，函数f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减，f′(−2a )=a2，因此f(x)在点(−2a,f(−2a))处的切线方程为y=a2x+ln(−2a)−1，令a=a2x+ln(−2a)−1，解之有x3=2+2a−2aln(−2a)，当−1<a<0时，1<−1a <−2a，知x2<x3，所以要证明|x1−x2|<(2a +1)2，只需证明x3−1<(2a+1)2，即证明1+2a −2aln(−2a)<(2a+1)2；令t=−2a (t>2)，则1+2a−2aln(−2a)<(2a+1)2等价于1−t+tlnt<(t−1)2，令g(t)=1−t+tlnt−(t−1)2=tlnt+t−t2=t(lnt+1−t)，令G(t)=lnt+1−t，G′(t)=1t −1=1−tt<0，因此函数G(t)在(1,+∞)上单调递减，因为G(t)=lnt+1−t<G(1)=0，故g(t)<0，所以当−1<a<0时，|x1−x2|<(2a +1)2；【点睛】难点点睛：本题考查应用导数研究函数的单调性和证明不等式，考查学生的逻辑推理以及数学运算能力．难点在于第二问不等式的证明，解答时要利用导数的几何意义求得f(x)在点(−2a ,f(−2a))处的切线方程，从而求出a=a2x+ln(−2a)−1的解x3=2+2 a −2aln(−2a)，推出x2<x3，即可将原不等式转化为x3−1<(2a+1)2，利用构造函数，结合函数的单调性，解决问题.。

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湖南省十所重点中学联考
理科综合答案
1-5：D C A C C 6-10 D C D C B 11-14 B C C C 15—22 D C B A A C B D 23（8分）（1）氧气（O 2）（2分）
（2）①先将自来水放在光下曝晒一段时间再用来孵卵（除氯）（2分）
②充入氧气（或在容器中加入适量绿藻，增加氧气）（2分）
（3）由于缺碘，影响蝌蚪体内甲状腺激素的合成。

（2分） 24、（10分）（1）5.6 （2分）（2）D （2分）（3）共生(2分) A （2分） (4) 0 (2分) 25、（12分）（1）（2）①使藻类环境贫营养化(或减少矿质离子浓度)（2
分） ②磷是藻类大量
繁殖(或富营养化)的重要条件之一
（2分）
③不能（1分）
修改步骤：增加一组只有磷而无氮的水环境。

（2分）
（注：只对修改步骤给分）
结论：如果藻类不能生长良好，则说明氮也是藻类大量繁殖和生长的重要营养元
素。

（2分）（注：反面结论也给分）
26、（14分）
（1）Br 2、 H 2 、 FeCl 3 （每空2分，共6分）
（2）
（2分） H ˙+.Br •
••
•: H :Br •
••
•:
（3）①2Fe 3+
+Fe=3Fe 2+
（3分）
②2Fe 2+
+4Br -+3Cl 2=2Fe 3+
+2Br 2+6Cl - （3分）
27、（12分）
（1）2CH 2OH CH 3—CH 2OH
（CH 3也可以在邻或间位）（每个2分，共4分）
（2）⑥ CH CH 32+H 2O
（3分，未注明条件的记2分）。

消去（1分） O
⑧ CH CH 3+CH 3COOH CH O C CH 3+H 2O
3
（标准同⑥）。

酯化（或取代）（1分） 28、（每空2分，共10分）
（1）①④②③
（2）吸收CO 时，CO 2也被吸收了。

（3）在吸收CO 时，O 2将Cu 2Cl 2氧化，且使O 2减少。

（4）N 2、NH 3；用硫酸吸收NH 3后，再测N 2的体积。

（或通过盛有硫酸的洗气瓶洗气后，再……。

）
29、（18分）（1）①盐酸的物质的量浓度a mol.L -1
(“盐酸的物质的量浓度” 2分,“a ” 1分,单位1分，共4分)
② （每空2分,共8分)
(2)
2.06; 2.45或2.46 (每空3分,
共6分，有效数字位数不对，共扣1分)
30、（共12分）
（1） ClO 4F （3分）（2）HClO 4+F 2=ClO 4F+HF （3分）（3） F 2 （2分）（4）液氨（2分）； HF （2分）。

31题：1、（3分） B D C
2、（1）电路连接如图示（7分）
说明：没有连接接点扣2分使用限流接法零分。

（2）（7R ，它与左部电阻的并
ΛΛ120
100
=
x
R R 并① 又ΛΛ4
.2220
=
+x R R 并② 由①、②两式得ΛΛΩ=12
500
并R ③ （3分）
又50
50+=R R
R 并 ΛΛΩ=∴250R ④ （2分）
由功率R U P 2=知ΛΛw P 40250
1002
==
额⑤ （2分） 32题：（16分）设小行星的质量为M ，半径为R ，卫星的环绕速度为V ，质量为m ，由牛顿定律得：
ΛΛR
GM
V =
① （4分）设地球的质量为M '，半径为R '，行星的密度与地球密度可认为相等，有即
ΛΛ3)(R
R M M '
='② （4分）又mg R
m
M G =''2
得 ΛΛM R g G ''=2③ （3分）这里的g 为地球表面的重力加速度由①、②、③式得：
ΛΛR gR V '
=
2
④ （3分）把264
/10,104.6,
106.1s m g m R m R =⨯='⨯=代入④式得
ΛΛ)/(20s m V =⑤ （2分）
33题：（17分）（1）ΛΛV U 20=有（4分）
（2）要求粒子能从磁场右侧射出，偏转半径r 应满足条件
即ΛΛ)/(1026s m m
qBd
V N ⨯=≥
（4分）这里的N V 为粒子进入磁场时的速度大小，粒子在电场中的加速度大小恒为：
ΛΛ)/(104212s m dm
qU
a ⨯==
（3分）粒子通过两极间距D 可以先加速，后减速至N 极小孔处，恰以速度N V 进入磁场，设加速时间为t ，由匀变速运动规律有：
得ΛΛ)(1061.01046226
62
2
s a
V aD t N --⨯=⨯=+=
（4分）所以，在s t T
61039.0~0),2
(~0-⨯-即内进入电容器的粒子，都能从磁场右侧射出……（2分）
34题：（1）（10分）烧断细线后，A 对C 的滑动摩擦力和B 对C 的滑动摩擦力分别为：
由题意B A u u 2=，则B A f f =，所以烧断细线A 、B 向两边运动时，木板C 静止不动……（3分）
因为A 和B 组成的系统所受合外力为零，动量守恒，设滑行的初速度分别为A V 、
B V 则由动量守恒定律：
得B B A
B
A V V m m V 2==
……（3分）由运动学公式a
V S 22
=，得A 、B 在木板C 上滑行距离之比：
2212)()(2:2222
2=⨯=⋅==A B B A B B A A B A u u V V a V a V l l ……（4分）（2）（12分）
由（1）可知，烧断细线后，A 滑行L 3
2
停止，B 滑行L 31停止，因此A 会滑离C 板。

（2分）
烧断细线时，弹簧的弹性势能完全转化为A 、B 的初动能（因为弹簧的长度可忽略，故弹开物体过程中可认为机械能守恒），有关系式
则02
23
22121E mV V m E A A A KA ===
……（3分） A 从释放到滑离C 的过程中，由动能定理得滑离时A 的动能又由（1）可知：03
1
232E L mg u L mg u B A =⋅⋅+⋅
即：0E L mg u A =⋅……（2分）所以00061
213221E E E mgL u E E A KA KA =-=-
='
……（2分） A 滑离C 时的速度m
E m E V KA
A 320='
=
'
因物块B 最终仍停在C 上，由A 、B 、C 系统动量守恒，设C 的最终速度为'
C V ，有：得m
E V V m m m V A A C B A C 0
39131=
'='+=
'
……（3分）。