2018年高考数学二轮复习专题四立体几何第1讲空间几何体的三视图及表面积和体积的计算问题课件文
解析
(1)设点P在平面A1ADD1的射影为P′，在平面C1CDD1的射
影为P″，如图所示.
∴三棱锥 P－BCD 的正视图与侧视图分别为△P′AD 与△P″CD， 1 1 因此所求面积 S＝S△P′AD＋S△P″CD＝2×1×2＋2×1×2＝2.
(2) 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图①，
故其侧视图为图②.
(2)(2017· 泰安模拟 ) 某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直
角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于( )
A.4 2
B. 34
C. 41
D.5 2
解析
(1)由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面
的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项 B 可以是几何 体的俯视图. (2)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面 垂直于底面，高为 5 的三棱锥 P－ABC(如图所示). 棱锥最长的棱长 PA＝ 25＋16＝ 41.
2 2
法二
1 (估值法)由题意知， V 圆柱<V 几何体<V 圆柱， 又 V 圆柱＝π×32×10 2
＝90π，∴45π<V 几何体<90π.观察选项可知只有 63π 符合.
答案 B
3.(2017· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直 径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( 3π π π A.π B. 4 C.2 D.4 解析 如图画出圆柱的轴截面 ABCD，O 为球
画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去
一部分后所得，则该几何体的体积.63π D.36π
解析
法一
(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个
圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.
将圆柱补全， 并将圆柱体从点 A 处水平分成上下两部分.由图可知， 1 该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的2， 1 所以该几何体的体积 V＝π×3 ×4＋π×3 ×6× ＝63π. 2
心.球半径 R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为 1 OM＝ . 2 3 ∴ 底面圆半径 r ＝ OA －OM ＝ ，故圆柱体积 V ＝ π·r2· h＝ 2
2 2
)
π·
3π 32 ×1＝ . 4 2
答案 B
4.(2017· 全国Ⅰ卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面
上， SC 是球 O 的直径 . 若平面 SCA⊥平面 SCB ， SA ＝ AC ， SB ＝
考 点 整 合 1.空间几何体的三视图 (1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、 高平齐、宽相等.
(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正
视图与侧视图确定几何体.
2.空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch(c 为底面周长，h 为高)； 1 ②S 锥侧＝2ch′(c 为底面周长，h′为斜高)； 1 ③S 台侧＝ (c＋c′)h′(c′，c 分别为上下底面的周长，h′为斜高)； 2 ④S 球表＝4πR2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； 1 ②V 锥体＝3Sh(S 为底面面积，h 为高)； 4 ③V 球＝3πR3.
BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________. 36π
解析 如图，连接 OA，OB，因为 SA＝AC，SB ＝BC，所以 OA⊥SC，OB⊥SC. 因为平面 SAC⊥平面 SBC， 平面 SAC∩平面 SBC ＝SC，且 OA⊂平面 SAC，所以 OA⊥平面 SBC. 设球的半径为 r，则 OA＝OB＝r，SC＝2r， 1 1 1 13 所以 VA－SBC＝ ×S△SBC×OA＝ × ×2r×r×r＝ r ， 3 3 2 3 13 所以3r ＝9⇒r＝3，所以球的表面积为 4πr2＝36π.
解析
由题知， 该几何体的直观图如图所示， 它是一个球(被过球心
O 且互相垂直的三个平面)
1 7 1 切掉左上角的8后得到的组合体，其表面积是球面面积的 8和三个4 7 1 2 圆面积之和，易得球的半径为 2，则得 S＝8×4π×2 ＋3×4π×22 ＝17π.
答案 A
2.(2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 如图，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗实线
高考定位
1.三视图的识别和简单应用； 2.简单几何体的表
面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解
答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的
计算作为其中的一问.
真题感悟
1.(2016· 全国Ⅰ卷)如图，某几何体的三视 图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 互相垂直的半径 . 若该几何体的体积是 28π ，则它的表面积是( 3 A.17π B.18π ) C.20π D.28π
【训练1】 (1)(2017· 兰州模拟)如图，在底面边长为1，高为2的正 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三 棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之和为( )
A.1 C.3
B.2 D.4
(2)(2016· 天津卷 ) 将一个长方体沿相邻三个面的对角
线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图 如图所示，则该几何体的侧视图为( )
答案 (1)B (2)C
探究提高
1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画
法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2) 根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整
实线和虚线所对应的棱、面的位置.
(3)确定几何体的直观图形状.
热点一 空间几何体的三视图与直观图
【例1】 (1)“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体
积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个 曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个 扣合(牟合)在一起的方形伞 (方盖).其直观图如图，图中四边形 是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同 时，它的俯视图可能是( )
高三数学二轮复习：立体几何
专题四 立体几何
第1讲 空间几何体
[考情考向分析]
1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视 图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图 的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体.
跟踪演练3 (1)(2018·咸阳模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，
AB⊥BC，若AB＝2，BC＝3，PA＝4，则该三棱锥的外接球的表面积为
A.13π C.25π
B.20π
√D.29π
解析 答案
(2)(2018·四川成都名校联考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，
√ 记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则SS12 等于
例3 (1)(2018·百校联盟联考)在三棱锥P－ABC中，△ABC和△PBC均为
边长为3的等边三角形，且PA＝326 ，则三棱锥P－ABC外接球的体积为
13 13 A. 6 π
10 10 B. 3 π
√C.5
15 2π
55 D. 6 π
解析 答案
(2)(2018·衡水金卷信息卷)如图是某三棱锥的三视
跟踪演练1 (1)(2018·衡水模拟)已知一几何体的正(主)视图、侧(左)视 图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是
√
解析 答案
(2)(2018·合肥质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱 A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于 截面以下部分的几何体的侧(左)视图为
2018年高考数学(理)二轮复习教师用书：第1部分重点强化专题专题4第8讲空间几何体的三视图、表面积和体积
立体几何第8讲 空间几何体的三视图、表面积和体积题型1 几何体的三视图、表面积和体积(对应学生用书第27页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．画几何体的三视图应遵循：“长对正、高平齐、宽相等”． 2．柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； (2)S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；(3)S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．3．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； (2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；(3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)．4．球体的体积公式V ＝43πR 3；表面积公式S ＝4πR 2(其中R 为球的半径)．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查多面体的体积问题)如图81，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )图81A ．64 B.643 C ．16 D.163[思路分析] 三视图―→直观图―→多面体的体积． [解析] 利用正方体还原几何体，如图中的三棱锥D ABC 所示，由三视图可知△ABC 的边BC ＝2，BC 边上的高为4，三棱锥D ABC 的高为CD ＝4，故三棱锥D ABC 的体积为V ＝13×12×2×4×4＝163.故选D.[答案] D【典题2】 (考查组合体的表面积问题)(2016·全国Ⅰ卷)如图82，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图82A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[思路分析] 三视图―→球体的78―→球体的半径―→几何体的表面积．的14，得[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.[答案] A【典题3】 (考查立体几何中的数学文化题)(2017·武昌区模拟)(立体几何中的数学文化题)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图83所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )图83A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4[思路分析] 数学文化信息提取―→空间几何体的体积―→量的计算．[解析] 该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π≈3)，解得x ＝1.6.故选B. [答案] B [类题通法]1.在长方体或正方体中根据三视图还原几何体的直观图，能快速确定几何体中线面位置关系.2.空间几何体的体积与表面积求法三视图中数据的还原：分析三视图，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.割补法：求不规则几何体的体积或表面积时，通过割补转化成规则几何体求解. 等积变换：涉及三棱锥的体积，注意灵活选择底面和对应的高.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点(如图84)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为()图84C [过点A ，E ，C 1的平面与棱DD 1相交于点F ，且F 是棱DD 1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.]2．某几何体的三视图如图85所示，则该几何体的表面积为( )图85A.＋22π2＋1B ．13π6C.＋2π2＋1D ．＋22π2＋1C [由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为22π＋1＋2π×2＋32π＝＋2π2＋1，选C.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 2、T 3、T 4、T 5、T 6、T 11、T 14、T 15、T 16、T 17、T 19)题型2 球与几何体的切接问题(对应学生用书第28页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解. 2．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R . (3)棱长为a 的正方体的面对角线长等于内切球的直径，即2a ＝2R .(4)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h ，底面外接圆半径为x ，则该几何体外接球半径R 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋x 2.■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查与球有关的几何体的切、接问题)(2016·南昌二模)一个几何体的三视图如图86所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为()图86A.8π3 B ．16π3C.48π3D ．64π3[思路分析] 三视图―→空间几何体―→确定球心―→求半径R .[解析] 由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ABC ，其中HS 是三棱锥的高，由三视图可知HS ＝23，HA ＝HB ＝HC ＝2，故H 为△ABC 外接圆的圆心，该圆的半径为2. 由几何体的对称性可知三棱锥S ABC 外接球的球心O 在直线HS上，连接OB .设球的半径为R ，则球心O 到△ABC 外接圆的距离为OH ＝|SH－OS |＝|23－R |，由球的截面性质可得R ＝OB ＝OH 2＋HB 2＝|23－R |2＋22，解得R ＝433，所以所求外接球的表面积为4πR 2＝4π×163＝64π3.故选D. [答案] D【典题2】 (考查与球有关的最值问题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3[思路分析] 先计算球与直三棱柱三个侧面相切时球的半径，再计算球与直三棱柱两底面相切时球的半径，半径较小的球即为所求．[解析] 由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R .因为△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，所以R ≤2.又2R ≤3，所以R ≤32，所以V max ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.故选B. [答案] B[类题通法] 多面体与球接、切问题的求解策略涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点一般为接、切点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，进而画出内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，找到球的半径或直径与该几何体已知量的关系，列方程组求解.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC 的体积的最大值为( ) A.833B ．33C. 3 D ．2 3A [取AB 中点D ，连接SD ，CD ，可知当SD ⊥AB 时棱锥体积最大．因为平面SAB ⊥平面ABC ，交线为AB ， 所以SD ⊥平面ABC . 解正三角形ABC 可得：S △ABC ＝43，球半径R ＝OC ＝43 3，SD ＝R 2－OD 2＝2.故棱锥体积为13×2×43＝833.]2．如图87，在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为6的等边三角形．若AB ＝4，则四面体ABCD 外接球的表面积为________．图8764π [由题意知四面体ABCD 的外接球与如图中正三棱柱的外接球是同一个球，记E 、F 分别为△AC ′D ′和△BCD 的中心，连接EF ，则EF 的中点O 为四面体ABCD 外接球的球心．连接AO ，AE ，BF ，因为底面是边长为6的正三角形，所以AE ＝23×6×sin60°＝23，OE ＝12AB ＝2，所以R 2＝OE 2＋AE 2＝16，则外接球表面积S ＝4πR 2＝64π.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 1、T 7、T 8、T 9、T 10、T 12、T 13、T 18、T 20)三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第29页)1．(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图88所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )【导学号：07804058】图88A ．10B ．12C ．14D ．16B [观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.]2．(2017·全国Ⅱ卷)如图89，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()图89A ．90πB ．63πC ．42πD ．36πB [法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π故选B.法二：(估值法)由题意知，12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V 几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合题意．故选B.]3．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B ．3π4C.π2D ．π4B [设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h＝34π×1＝3π4.故选B.]4．(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图810，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()图810A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B [ 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.]5．(2015·全国Ⅱ卷)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144πD ．256π C [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O ABC ＝V C AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ABC 最大，为13∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ABC 最大×12R 2×R ＝36， ∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C.]6．(2017·全国Ⅰ卷)如图811，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________.图811415 cm 3[如图，连接OD ，交BC 于点G ，由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝36BC . 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ， 三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x ×3x ＝33x 2，则三棱锥的体积 V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x ＝3·25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4.令f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415.∴三棱锥体积的最大值为415 cm 3.]。
2018届高考数学复习——立体几何：(一)空间几何体的结构特征及三视图、表面积和体积(解析版)
【知识归纳梳理】一、空间几何体的结构特征 1.多面体的结构特征(1)棱柱⎩⎪⎨⎪⎧底面：互相平行侧面：都是四边形，且每相邻两个面的交线都平行且相等(2)棱锥⎩⎪⎨⎪⎧底面：是多边形侧面：都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截,截面与底面之间的部分.2.旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到,也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到.[注意] (1)认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的结构特征时,易忽视定义,可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识.(2)台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行. 二、空间几何体的三视图与直观图 1.空间几何体的三视图(1)空间几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法①基本要求：长对正,高平齐,宽相等.②画法规则：正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽； ③看不到的线画虚线.[注意] 若相邻两物体的表面相交,则表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的区别. 2.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用 斜二测_画法,基本步骤是： (1)在已知图形中取互相垂直的x 轴、y 轴,两轴相交于点O ,画直观图时,把它们画成对应的x ′轴、y ′轴,两轴相交于点O ′,且使∠x ′O ′y ′＝ 45°(或135°) .(2)已知图形中平行于x 轴、y 轴的线段,在直观图中分别平行于 x ′轴、y ′轴 .(3)已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中长度 保持不变 ,平行于y 轴的线段,长度变为 原来的一半 .(4)在已知图形中过O 点作z 轴垂直于xOy 平面,在直观图中对应的z ′轴也垂直于x ′O ′y ′平面,已知图形中平行于z 轴的线段,在直观图中仍平行于z ′轴且长度 不变 .[注意] 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝24S 原图形,S 原图形＝22S 直观图.三、空间几何体的表面积和体积 1.空间几何体的表面积当圆台的上底面半径与下底面半径相等时,得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时,得到圆锥,由此可得：S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl [注意] 组合体的表面积应注意重合部分的处理. 2.空间几何体的体积(1)柱体:V 柱体＝Sh ；V 圆柱＝πr 2h .(2)锥体:V 锥体＝13Sh ；V 圆锥＝13πr 2h .(3)台体:V 台体＝13(S ＋SS ′＋S ′)h ；V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2).3.球体(1)球的表面积公式：S ＝4πR 2；球的体积公式V ＝43πR 3(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为a,则|OJ|＝r＝a2(r为内切球半径).②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆,则|GO|＝R＝2 2a.③正方体的外接球：截面图为正方形ACC1A1的外接圆,则|A1O|＝R′＝3 2a.(3)正四面体与球：如图,设正四面体的棱长为a,内切球的半径为r,外接球的半径为R,取AB的中点为D,连接CD,SE 为正四面体的高,在截面三角形SDC内作一个与边SD和DC相切,圆心在高SE上的圆.因为正四面体本身的对称性,内切球和外接球的球心同为O.此时,CO＝OS＝R,OE＝r,SE＝23a,CE＝33a,则有R＋r＝23a,R2－r2＝|CE|2＝a23,解得R＝64a,r＝612a.【第1讲：空间几何体的结构特征及三视图】题型1:空间几何体的结构特征【典型例题】[例1](1)设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点；⑤直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥.其中真命题的序号是________.解析：命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的；③正确,如图1,PD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可证明∠P AB,∠PCB为直角,这样四个侧面都是直角三角形；命题④由棱台的定义知是正确的；⑤错误,当以斜边为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥.如图2所示,它是由两个同底圆锥形成的.答案：①③④(2)以下命题：①直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台.其中正确的命题序号是________.【答案】③[例2](1)用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是()A.圆柱B.圆锥C.球体D.圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体.(2)下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选DA错误,如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥；B错误,如图2,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥；C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.图1图2【变式训练】1.判断正误(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面()答案：(1)×(2)×(3)√2.下面是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中,真命题的编号是________.【答案】②④3.给出四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】A题型2:空间几何体的三视图与直观图【典型例题】[例1](1)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为()【答案】 C(2)如图由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图,其中小立方体中的数字表示相应位置的小立方体的个数,则该几何体的侧视图为()解析：选C由俯视图知侧视图从左到右能看到的小立方体个数分别为2,3,1.(3)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,则该三棱锥的侧视图可能为 ()【答案】B(4)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图为()【答案】C(5)如图所示,E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是______.(填序号)【答案】②[例2](1)(2014·福建)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【答案】A[考向1]因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形,故选A.(2)(2014·课标Ⅰ)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱[解析] B[由题知,该几何体的三视图为一个三角形,两个四边形,分析可知该几何体为三棱柱,故选B.](3)(教材例题改编)已知空间几何体的三视图如图,则该几何体是由__________________组合而成.答案：圆柱和正四棱柱(4)(教材习题改编)如图,长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′,则剩下的几何体是________,截去的几何体是________.答案：五棱柱三棱柱(5)(2015·北京朝阳期末)一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4[解析] D[满足条件的四棱锥的底面为矩形,且一条侧棱与底面垂直,如图所示,易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形.][例3](1)利用斜二测画法得到的以下结论,正确的是__________.(写出所有正确的序号)①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形.【答案】①②④(2)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边AB平行于y轴,BC,AD平行于x轴.已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2,则原平面图形的面积为()A.4 cm2B.4 2 cm2C.8 cm2D.8 2 cm2解析：选C依题意可知∠BAD＝45°,则原平面图形为直角梯形,上下底面的长与BC,AD相等,高为梯形ABCD的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm2.(3)(2014·湖北)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②解析：选D在空间直角坐标系O-xyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.选D.【变式训练】1.(2011·课标全国)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为()【答案】D2.(2015·成都一诊)若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形,则这个几何体的俯视图不可能是()[解析]C[由题意知,俯视图的长度和宽度相等,故C不可能.]3.(2015·南阳三模)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为()解析：选C当正视图为等腰三角形时,则高应为2,且应为虚线,排除A,D；当正视图是直角三角形,由条件得一个直观图如图所示,中间的线是看不见的线P A形成的投影,应为虚线,故答案为C.4.(2015·桂林一调)已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()[解析]C[选项A,B,D中的俯视图,正方形内的线应该为另一条对角线,当四棱锥的直观图为右图时,它的三视图是C.]5.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是________.答案：②③6.(2016天津文)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )A B C D【答案】B7.(2015·东北三校联考)利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是________.答案：①②8.(2015·福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是()解析：选A由直观图可知,在直观图中多边形为正方形,对角线长为2,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对角线长为2 2.9.(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是()【答案】D[考向1]由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,圆台的下底面和圆柱的底面恰好重合.10.(2014·江西)一个几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是()【答案】B俯视图为在水平投射面上的正投影,结合几何体可知选B.【第2讲：空间几何体的三视图与表面积和体积】题型3:空间几何体的三视图与表面积【典型例题】[例1](1)(2015·北京石景山一模)正三棱柱的侧(左)视图如图所示,则该正三棱柱的侧面积为________.解析：由侧(左)视图知：正三棱柱的高(侧棱长)为2,底边上的高为3,所以底边边长为2,侧面积为3×2×2＝12.答案：12(2)(2014·日照一模)如图是一个几何体的正视图和侧视图,其俯视图是面积为82的矩形.则该几何体的表面积是().A.8B.20＋8 2C.16D.24＋8 2解析由已知俯视图是矩形,则该几何体为一个三棱柱,根据三视图的性质,俯视图的矩形宽为22,由面积82,得长为4,则该几何体的表面积为S＝2×12×2×2＋22×4＋2×2×4＝20＋8 2.答案 B(3)(2014·许昌模拟)如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的表面积为().A.4πB.32π C .3π D .2π解析 由三视图可知,该几何体是一个圆柱,S 表＝2×π×⎝⎛⎭⎫122＋π×1×1＝3π2. 答案 B (4)(2016·湖南长沙联考)已知某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是________.【解析】 由题意知,该几何体是一个侧放的圆锥,圆锥底面位于右侧,底面圆的半径为1,圆锥的高为2,易知其母线长为5,所以其表面积为S ＝π·1×(1＋5)＝5π＋π. 【答案】 5π＋π (5)(2016·课标III)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.18＋36 5B.54＋185C.90D.81解析 B [考向2]由图可知,该几何体为四棱柱,S 表＝2S 底＋2S 前＋2S 侧 ＝2×32＋2×3×6＋2×3×32＋62 ＝18＋36＋185＝54＋18 5.[例2](1)已知棱长为a ,各面均为等边三角形的四面体S -ABC ,则它的表面积为________.解析：过S 作SD ⊥BC ,∵BC ＝a ,∴SD ＝32a∴S △SBC ＝34a 2,∴表面积S ＝4×34a 2＝3a 2.答案：3a 2 (2)(2015·北京)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( ) A.2＋ 5 B.4＋ 5 C.2＋2 5 D.5【解析】作出三棱锥的示意图如图①,在△ABC 中,作AB 边上的高CD ,连接SD . 在三棱锥S -ABC 中,SC ⊥底面ABC ,SC ＝1,底面三角形ABC 是等腰三角形,AC ＝BC ,AB 边上的高CD ＝2,AD ＝BD ＝1,斜高SD ＝5,AC ＝BC ＝ 5.∴S 表＝S △ABC ＋S △SAC ＋S △SBC ＋S △SAB ＝12×2×2＋12×1×5＋12×1×5＋12×2×5＝2＋2 5.(3)(2015·遵义模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为( ) A.3＋ 6 B.3＋ 5 C.2＋ 6 D.2＋ 5＝ 2.解析：选C 由三视图还原为空间几何体,如图所示,则有OA ＝OB ＝1,AB 又PB ⊥平面ABCD , ∴PB ⊥BD ,PB ⊥AB ,∴PD ＝22＋1＝5,P A ＝2＋12＝3, 从而有P A 2＋DA 2＝PD 2,∴P A ⊥DA ,∴该几何体的侧面积S ＝2×12×2×1＋2×12×2×3＝2＋ 6.(4)(2016·北京房山一模)某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 63.C[考向1]由三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥,直观图如图所示,其中P A⊥面ABCD,P A＝1,AD＝1,CD＝1,AB＝2,PD＝2,PC＝3,而在Rt△P AB中,PB＝P A2＋AB2＝12＋22＝5＞3,故最长的侧棱为PB,其长度为5,故选C.(5)(2014·课标Ⅰ)如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6 2B.4 2C.6D.4【解析】由三视图可知该几何体为图中棱长为4的正方体中的三棱锥P-ABC.由图②可知,最长棱为PC＝42＋42＋22＝6.[例3](1)已知某几何体的三视图的正视图和侧视图是全等的等腰梯形,俯视图是两个同心圆,如图所示,则该几何体的表面积为________.解析由三视图知该几何体为上底直径为2,下底直径为6,高为23的圆台,则几何体的表面积S＝π×1＋π×9＋π×(1＋3)×232＋22＝26π.答案：26π(2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.解析 如图所示：该几何体为长为4,宽为3,高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1,高为1的圆柱后剩下的部分.∴S 表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38. 答案 38 (3)(2015·课标Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π,则r ＝( ) A.1 B.2 C.4 D.8解析 B 由题意知,该几何体是由半个圆柱与半个球组合得到的.则表面积S ＝2πr 2＋2×12πr 2＋4r 2＋2πr 2＝5πr 2＋4r 2＝20π＋16,∴r ＝2.(4)[2014重庆理]某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的表面积为( ) A.54 B.60 C.66 D.72俯视图左视图正视图3245【答案】B【解析】在长方体中构造几何体'''ABC A B C -,如右图所示, 4,'5,'2,3AB A A B B AC ====,经检验该几何体的三视图满足 题设条件.其表面积'''''''''ABC ACC A ABB A BCC B A B C S S S S S S ∆∆=++++,3515615146022=++++=,故选择BC'B'A'C BA(5)(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( ) A.21＋ 3 B.18＋ 3 C.21 D.18解析 A 由三视图知,该多面体是由正方体割去两个角后剩下的部分,如图所示,则S ＝S 正方体－2S 三棱锥侧＋2S 三棱锥底＝24－2×3×12×1×1＋2×34×(2)2＝21＋ 3.【变式训练】 1.(2015·北京西城期末)已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,那么此三棱柱正(主)视图的面积为________.解析：由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形,其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高,另一边是棱长.因为侧(左)视图中三角形的边长为2,所以高为3,所以正视图的面积为2 3. 答案：2 3 2.(2015·云南一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆,那么这个空间几何体的表面积等于( )A.100πB.100π3C.25πD.25π3解析：选A 易知该几何体为球,其半径为5,则表面积为S ＝4πR 2＝100π. 3.(2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ).A.1B. 2C.2－12D.2＋12解析 由俯视图的面积为1可知,该正方体的放置如图所示,当正视图的方向与正方体的侧面垂直时,正视图的面积最小,其值为1,当正视图的方向与正方体的对角面BDD 1B 1或ACC 1A 1垂直时,正视图的面积最大,其值为2,由于正视图的方向不同,因此正视图的面积S ∈[1,2].故选C. 答案 C 4.(2014·陕西)将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D .π解析：选C 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为1,高为1,其侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π. 5.(2013·临沂一模)具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为( ).A.3B.7＋3 2C.72π D .14解析 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2(1×3＋1×1＋3×1)＝14. 答案 D 6.(2015·山东淄博模拟)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,形成的三棱锥A -BCD 的正(主)视图与俯视图如图所示,则其侧(左)视图的面积为( )A.22B.12C.24D.14解析 D 由正(主)视图与俯视图可得三棱锥A -BCD 的一个侧面与底面垂直,其侧(左)视图是直角三角形,且直角边长均为22,所以侧(左)视图的面积为S ＝12×22×22＝14.7.(2016·西安一模)如图,网格纸中的小正方形的边长均为1,图中粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积为( ) A.12(22＋32＋4) B.12(22＋32＋8) C.12(22＋2＋8) D.12(22＋22＋8)解析 B 根据三视图可知该几何体是底面为直角三角形的三棱锥,其表面积S ＝12×2×2＋12×2×3＋12×2×3＋12×2×11＝12(22＋32＋8),故选B.8.(2016·课标Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π解析C S表＝πr2＋2πr×4＋12×2πr×R＝4π＋16π＋2π22＋（23）2＝28π.9 .(2013重庆文)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.180B.200C.220D.240【答案】D10.(2014浙江理)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【答案】D【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,其中直三棱柱的侧棱长为3,底面是直角边长分别为3、4的直角三角形,四棱柱的高为6,底面为矩形,矩形的两相邻边长为3和4, ∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138(cm2).11.(2017北京理)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( ).A.3 2B.2 3C.2 2D.2解析几何体四棱锥如图所示,最长棱为正方体的体对角线,即22222223l++=故选B.12.(2017全国1理)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( ). A.10 B.12 C.14 D.16解析 由三视图可画出立体图,如图所示,该多面体只有两个相同的梯形的面, ()24226S =+⨯÷=梯,6212S =⨯=全梯.故选B.题型4:空间几何体的三视图与体积 【典型例题】 [例1](1)(2013·陕西)某几何体的三视图如图所示,则其体积为________.解析 该几何体为一个半圆锥,故其体积为V ＝13×12×π×12×22＝π3.答案 π3(2)(2015·惠州二调)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左(侧)视图均为半径是2的圆,则这个几何体的体积是( )A.16πB.14πC.12πD.8π解析：选D 由三视图可知,该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余的部分,由于球的 (3)(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示,则四棱台的体积是( ).A.4B.143C.163D.6解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形；下底面是边长为2的正方形,高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V ＝13(12＋12×22＋22)×2＝143,故选B.答案 B (4)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.解析 [考向3]【解析】 由题可知锥体的高为1,底面积为12×23×1＝3,∴V 锥＝13×3×1＝33.【答案】 33[例2](1)(2015·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm ),则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323 cm 3D.403cm 3解析 C 由题意得,该几何体由一个正方体与一个正四棱锥组合而成,所以体积V ＝23＋13×22×2＝323.(2)(2017山东理)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .解析 该几何体的体积为21112211242V π=π⨯⨯⨯+⨯⨯=+.(3)某几何体的三视图如图所示(单位：cm ),则该几何体的体积(单位：cm 3)是( ).A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3解析 由三视图可知,直观图是由半个圆锥与一个三棱锥构成,半圆锥体积为()2111=13232S π⨯π⨯⨯=,三棱锥体积为211=213=132S ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭,所以几何体体积1212S S S π=+=+.故选A.(4)(2013·课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.16＋8π B .8＋8π C.16＋16π D .8＋16π解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2,圆柱的底面半径为2、高为4.所以V ＝2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.故选A.(5)(2015·广东中山模拟)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位：cm 3)为________.解析 π＋33[由三视图,该组合体上部是一个三棱锥,下部是一圆柱由图中数据知V 圆柱＝π×12×1＝π三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形,且边长是2,故其高即为三棱锥的高,高为3,故棱锥高为3由于棱锥底面为一等腰直角三角形,且斜边长为2,故两直角边长都是2,底面三角形的面积是12×2×2＝1, 故V 棱锥＝13×1×3＝33,故该几何体的体积是π＋33.] [例3](1)(2015·山东实验模拟)设下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( ) A.2π3 B.8－π3 C.8－2π D . 8－2π3解析D[由三视图可知,几何体为正方体内挖去一个圆锥,所以该几何体的体积为V 正方体－V 锥＝23－13(π×12×2)＝8－23π.](2)(2013·辽宁)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________.解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱,圆柱底面圆半径为2,高为4,故体积为16π；正四棱柱底面边长为2,高为4,故体积为16,所以几何体的体积为16π－16. (3)(2015·河南天一联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.12＋π B .8＋π C .12－π D .6－π解析 C [由三视图可知,原几何体是底面边长为2的正方形,高为3的棱柱,里面挖去一个半径为1的球,所以所求几何体的体积为12－π,故选C.](4)(2017全国2理)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( ). A.90π B .63π C.42π D .36π解析 该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半,如图所示.2211π310π3663π22=-=⋅⋅-⋅⋅⋅=V V V 总上.故选B.466(5)(2015·唐山统考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.8π＋16B.8π－16C.8π＋8D.16π－8解析：选B 由三视图可知：几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱.半圆柱的高为4,底面半圆的半径为2,直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形,高为4,故几何体的体积V ＝12π×22×4－12×4×2×4＝8π－16.[例4](1)(2014·福州模拟)如图所示,已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1,且AA 1⊥底面ABC ,则三棱锥B 1－ABC 1的体积为 ( ).A.312B.34C.612D.64解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积,三棱锥A －B 1BC 1的高为32,底面积为12,故其体积为13×12×32＝312. (2)(2012·山东)如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1－EDF 的体积为________.[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积.因为E ,F 分别为AA 1,B 1C 上的点,所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12,F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1,所以＝13×12×1＝16. [优美解法] E 点移到A 点,F 点移到C 点,则＝＝13×12×1×1×1＝16.。
2018年高考数学二轮复习专题5立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积及体积课件
• (2)空间几何体的直观图 • 空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画 法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平 行长不变，垂直长减半”．
• 1．未注意三视图中实、虚线的区别 • 在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画 成虚线． • 2．不能准确分析组合体的结构致误 • 对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、 体积是和还是差． • 3．台体可以看成是由锥体截得的，此时截面一定与底面平行． • 4．空间几何放置的方式不同时，对三视图可能会有影响．
核心知识整合
• 1．柱体、锥体、台体、球的表面积与体积
名称 棱柱 体积 表面积 S 棱柱＝2S 底面＋S 侧面
Sh V 棱柱＝__________ ．
(S 为底面积，h 为高)
1 3Sh V 棱锥＝__________
棱锥
S 棱锥＝S 底面＋S 侧面
(S 为底面积，h 为高) 棱台 1 V 棱台＝3h(S＋ SS′＋S′) (S、S′为底面积，h 为高) S 棱台＝S 上底＋S 下底＋S 侧面
知识网络构建
第一讲
空间几何体的三视图、表面积及体积
1
高考考点聚焦
2
3 4 5
核心知识整合
高考真题体验 命题热点突破 课后强化训练
高考考点聚焦
高考考点 空间几何体的三 视图与直观图的
考点解读 1.根据某几何体的部分三视图，判断该几何体的其他三视
图；或者已知某几何体的三视图，判断该几何体的形状
[ 解析]
方法 1：(割补法)
由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚 线部分所得，如图所示． 将圆柱补全，并将圆柱从点 A 处水平分成上下两部分．由 图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆 1 1 2 2 柱体积的2， 所以该几何体的体积 V＝π×3 ×4＋π×3 ×6×2＝ 63π． 故选 B．
高考数学大二轮复习专题五立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积和体积课件理
【解析】
(1)如图，连接OA，OB.
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径， 知OA⊥SC，OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，
OA⊥SC，知OA⊥平面SCB. 设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，
∴三棱锥 S－ABC 的体积
1 1 r3 V＝ ×2SC·OB·OA＝ ， 3 3
2
【答案】
(1)36π
9 (2) π 2
互动探究答案
解析 设该球的球心为 O，三棱锥为 A－BCD，依题
意可知：VA－BCD＝VO－ABC＋VO－BCD＋VO－CDA＋VO－DAB， 1 1 1 1 1 即 S△BCD·h＝ S△ABC·r＋ S△BCD·r＋ S△CDA·r＋ 3 3 3 3 3 1 3 6 1 3 1 3 2 2 S△DAB·r.所以 × ×3 · ×3＝ × ×3 ·r＋ × 3 4 3 3 4 3 4 1 3 1 3 6 2 2 ×3 ·r＋ × ×3 ·r＋ × ×3 ·r.解得：r＝ .所以 3 4 3 4 4
(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解．
热点三 体积
由空间几何体的结构特征求表面积、
厦门模拟)已知圆锥的底面直径为 例2 (1)(2018· 2 3π ，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面 3π 积为 A．1 C．3 B．2 D．4
(2)(2018· 天津 ) 已知正方体 ABCD － A1B1C1D1 的棱长
面是面积为 8 的正方形，所以圆柱的高为 2 2，底面圆 的直径为 2 2，所以该圆柱的表面积为 2×π×( 2)2＋ 2 2π×2 2＝12π.故选 B. 答案 B
3 ． (2018· 浙江 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位：
[推荐学习]2018年高考数学二轮复习第二部分专题四立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积及体积课时
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第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：先观察俯视图，由俯视图可知选项B 和D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D 正确．答案：D2．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2 B.92 C.32D ．3解析：由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S 底＝12(1＋2)×2＝3.所以V ＝13x ·3＝3，解得x ＝3.答案：D3．(2017·衡阳第二次联考)如下图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为( )A ．6π B.23π＋ 3 C ．4πD ．2π＋ 3解析：此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球拼接而成，表面积为S ＝4π2＋12×2×2π＝4π. 答案：C4．(2017·惠州模拟)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.323 B.163 C.83 D.43解析：由三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥P ABD 与三棱柱ABC AB 1C 1的组合体，其直观图如图所示．由几何体的体积为V 几何体＝V 三棱柱＋V 三棱锥＝12×(2)2×2＋13×12×(2)2×2＝83.答案：C5．(2017·郴州模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )(导学号 54850117)A.414148π B.414π C ．4πD.4π3解析：由三视图知该几何体为四棱锥，侧面为左视图，PE ⊥平面ABC ，E 、F 分别是对应边的中点，底面ABCD 是边长为2的正方形， 设外接球的球心到平面ABCD 的距离为h ， 则h 2＋2＝12＋(2－h )2， 所以h ＝34，R 2＝4116.所以几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝414π.答案：B 二、填空题6．(2017·成都七中质检)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是______．解析：由题可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可知如右俯视图，且三棱锥高为h ＝1，则体积V ＝13Sh ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×1＝33.答案：337．球面上有不同的三点A 、B 、C ，且AB ＝BC ＝AC ＝3，球心到A ，B ，C 所在截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为________．解析：设球的球心为O ，△ABC 的中心为O ′，在等边△ABC 中，边长AB ＝3，则O ′A ＝23×32×3＝ 3.依题意，R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R 22＋O ′A 2，得R ＝2.所以S 球＝4πR 2＝16π. 答案：16π8.(2017·江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．解析：设球半径为R ，则圆柱底面圆半径为R ，母线长为2R . 又V 1＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 2＝43πR 3，所以V 1V 2＝2πR 343πR3＝32.答案：32三、解答题9．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6， 故AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 10．(2017·沈阳质检)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点．(导学号 54850118)(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ； (2)求三棱锥C 1ABC 的体积．(1)证明：因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点， 所以A 1O ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ， 且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，所以A 1O ⊥平面ABC .(2)解：因为A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离． 由(1)知A 1O ⊥平面ABC 且A 1O ＝AA 21－AO 2＝3，所以VC 1ABC ＝VA 1ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×12×2×3×3＝1.11．(2017·贵阳调研)如图，四边形ABCD 为菱形，G 是AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形， 所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥BE .因为BE ∩BD ＝B ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)解：设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°， 可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x . 由BE ⊥平面ABCD ，BG ⊂平面ABCD 知BE ⊥BG ， 故△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x . 由已知得，三棱锥E ACD 的体积V E ACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63.故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E ACD 的侧面积为3＋2 5.。
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：8.1 空间几何体及其三视图和直观图、表面积与体积
体 积 V=S 底 h V= S 底 h
3 1 3 1
V= (S 上+S 下+ ������上 ������下 )h V= πR3
3 4
第八章
知识梳理 双击自测
8.1 空间几何体及其三视图和直观图、表面积与体积
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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1.(教材改编)有一个几何体的三视图如图所示,这个几何体应是一 个( )
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解析
答案
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知识梳理 双击自测
8.1 空间几何体及其三视图和直观图、表面积与体积
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5.已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB= 2 ,下底AB=3,以下 底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积 为 . 如图所示 ,作出等腰梯形 ABCD 的直观图 ,
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从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断是棱台.
A.棱台
ALeabharlann B.棱锥 C.棱柱 D.都不对
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答案
第八章
知识梳理 双击自测
8.1 空间几何体及其三视图和直观图、表面积与体积
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2.下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的 表面积为( )
第八章
立体几何
8.1
空间几何体及其三视图和 直观图、表面积与体积
第八章
8.1 空间几何体及其三视图和直观图、表面积与体积
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2018版高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 第8讲 空间几何体的三视图、表
第8讲 空间几何体的三视图、表面积和体积题型1 几何体的三视图、表面积和体积(对应学生用书第27页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．画几何体的三视图应遵循：“长对正、高平齐、宽相等”． 2．柱体、锥体、台体的侧面积公式(1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长，h 为高)； (2)S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)；(3)S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′，c 分别为上下底面的周长，h ′为斜高)．3．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； (2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；(3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (不要求记忆)．4．球体的体积公式V ＝43πR 3；表面积公式S ＝4πR 2(其中R 为球的半径)．■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查多面体的体积问题)如图81，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )【导学号：07804054】图81A ．64 B.643 C ．16 D.163[思路分析] 三视图―→直观图―→多面体的体积． [解析] 利用正方体还原几何体，如图中的三棱锥D ABC 所示，由三视图可知△ABC 的边BC ＝2，BC 边上的高为4，三棱锥D ABC 的高为CD ＝4，故三棱锥D ABC 的体积为V ＝13×12×2×4×4＝163.故选D.[答案] D【典题2】 (考查组合体的表面积问题)(2016·全国Ⅰ卷)如图82，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图82A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π[思路分析] 三视图―→球体的78―→球体的半径―→几何体的表面积．[解析] 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A.[答案] A【典题3】 (考查立体几何中的数学文化题)(2017·武昌区模拟)(立体几何中的数学文化题)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图83所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 为( )图83A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4[思路分析] 数学文化信息提取―→空间几何体的体积―→量的计算．[解析] 该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x 、3、1的长方体，∴组合体的体积V ＝V 圆柱＋V 长方体＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＋(5.4－x )×3×1＝12.6(其中π≈3)，解得x ＝1.6.故选B. [答案] B [类题通法]1.在长方体或正方体中根据三视图还原几何体的直观图，能快速确定几何体中线面位置关系.2.空间几何体的体积与表面积求法三视图中数据的还原：分析三视图，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.割补法：求不规则几何体的体积或表面积时，通过割补转化成规则几何体求解. 等积变换：涉及三棱锥的体积，注意灵活选择底面和对应的高.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点(如图84)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为( )【导学号：07804055】图84C [过点A ，E ，C 1的平面与棱DD 1相交于点F ，且F 是棱DD 1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.]2．某几何体的三视图如图85所示，则该几何体的表面积为( )图85A.＋22π2＋1B ．13π6C.＋2π2＋1D ．＋22π2＋1C [由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为22π＋1＋2π×2＋32π＝＋2π2＋1，选C.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 2、T 3、T 4、T 5、T 6、T 11、T 14、T 15、T 16、T 17、T 19)题型2 球与几何体的切接问题(对应学生用书第28页)■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解. 2．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R . (3)棱长为a 的正方体的面对角线长等于内切球的直径，即2a ＝2R .(4)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h ，底面外接圆半径为x ，则该几何体外接球半径R 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋x 2.■典题试解寻法………………………………………………………………………·【典题1】 (考查与球有关的几何体的切、接问题)(2016·南昌二模)一个几何体的三视图如图86所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )【导学号：07804056】图86A.8π3 B ．16π3C.48π3D ．64π3[思路分析] 三视图―→空间几何体―→确定球心―→求半径R .[解析] 由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ABC ，其中HS 是三棱锥的高，由三视图可知HS ＝23，HA ＝HB ＝HC ＝2，故H 为△ABC 外接圆的圆心，该圆的半径为2.由几何体的对称性可知三棱锥S ABC 外接球的球心O 在直线HS 上，连接OB .设球的半径为R ，则球心O 到△ABC 外接圆的距离为OH ＝|SH －OS |＝|23－R |，由球的截面性质可得R ＝OB ＝OH 2＋HB 2＝|23－R |2＋22，解得R ＝433，所以所求外接球的表面积为4πR 2＝4π×163＝64π3.故选D.[答案] D【典题2】 (考查与球有关的最值问题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3[思路分析] 先计算球与直三棱柱三个侧面相切时球的半径，再计算球与直三棱柱两底面相切时球的半径，半径较小的球即为所求．[解析] 由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R .因为△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，所以R ≤2.又2R ≤3，所以R ≤32，所以V max ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.故选B.[答案] B[类题通法] 多面体与球接、切问题的求解策略涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点一般为接、切点或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，进而画出内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，找到球的半径或直径与该几何体已知量的关系，列方程组求解.■对点即时训练………………………………………………………………………·1．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC 的体积的最大值为( )【导学号：07804057】A.833B ．33C. 3 D ．2 3A [取AB 中点D ，连接SD ，CD ，可知当SD ⊥AB 时棱锥体积最大．因为平面SAB ⊥平面ABC ，交线为AB ， 所以SD ⊥平面ABC . 解正三角形ABC 可得：S △ABC ＝43，球半径R ＝OC ＝43 3，SD ＝R 2－OD 2＝2.故棱锥体积为13×2×43＝833.]2．如图87，在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为6的等边三角形．若AB ＝4，则四面体ABCD 外接球的表面积为________．图8764π [由题意知四面体ABCD 的外接球与如图中正三棱柱的外接球是同一个球，记E 、F 分别为△AC ′D ′和△BCD 的中心，连接EF ，则EF 的中点O 为四面体ABCD 外接球的球心．连接AO ，AE ，BF ，因为底面是边长为6的正三角形，所以AE ＝23×6×sin 60°＝23，OE ＝12AB ＝2，所以R 2＝OE 2＋AE 2＝16，则外接球表面积S ＝4πR 2＝64π.]■题型强化集训………………………………………………………………………·(见专题限时集训T 1、T 7、T 8、T 9、T 10、T 12、T 13、T 18、T 20)三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第29页)1．(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图88所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )【导学号：07804058】图88A ．10B ．12C ．14D ．16B [观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.]2．(2017·全国Ⅱ卷)如图89，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )图89A ．90πB ．63πC ．42πD ．36πB [法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π故选B.法二：(估值法)由题意知，12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V 几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合题意． 故选B.]3．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B ．3π4C.π2D ．π4B [设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B.]4．(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图810，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()图810A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛B [ 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)．故选B.]5．(2015·全国Ⅱ卷)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144πD ．256πC [如图，设球的半径为R ，∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12R 2.∵V O ABC ＝V C AOB ，而△AOB 面积为定值，∴当点C 到平面AOB 的距离最大时，V O ABC 最大，∴当C 为与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，体积V O ABC 最大为13×12R 2×R ＝36， ∴R ＝6，∴球O 的表面积为4πR 2＝4π×62＝144π.故选C.]6．(2017·全国Ⅰ卷)如图811，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________.【导学号：07804059】图811415 cm 3[如图，连接OD ，交BC 于点G ，由题意，知OD ⊥BC ，OG ＝36BC . 设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ， 三棱锥的高h ＝DG 2－OG 2＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12×23x ×3x ＝33x 2，则三棱锥的体积 V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x ＝3·25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4.令f ′(x )＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80，则V ≤3×80＝415.∴三棱锥体积的最大值为415 cm 3.]。
高考数学二轮立体几何第1讲 空间几何体的三视图、表面积及体积
1．求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，
即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
2．求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、 锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积．
题型二 求空间几何体的体积
[例 3] (1)(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若 圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中
心，则该圆柱的体积为________．
(2)(2019·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为 2， 下底为 4 的直角梯形，俯视图是一个边长为 4 的等边三角形，则该几何体的体积为______．
[解题方略]
求空间几何体体积的常用方法 公式法 直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算
(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对
应的棱、面的位置；
(3)确定几何体的直观图形状． 3．由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路 先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分视图
的可能形状．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．
考点一 空间几何体的三视图、直观图与截面图
[例 1] (1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部
分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如
图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图
高考数学专题四_1_第1讲_空间几何体的三视图、表面积与体积_学案_word版含解析
专题四立体几何与空间向量第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ空间几何体的三视图及侧面展开问题·T71.“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现,这“两小”或“一小”主要考查三视图,几何体的表面积与体积,空间点、线、面的位置关系(特别是平行与垂直)．2．考查一个小题时,此小题一般会出现在第4～8题的位置上,难度一般；考查两个小题时,其中一个小题难度一般,另一个小题难度稍高,一般会出现在第10～16题的位置上,此小题虽然难度稍高,主要体现在计算量上,但仍是对基础知识、基本公式的考查.空间几何体的截面问题·T12卷Ⅱ圆锥的侧面积·T16卷Ⅲ三视图的识别·T3三棱锥的体积及外接球问题·T102017卷Ⅰ空间几何体的三视图与直观图、面积的计算·T7卷Ⅱ空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T4卷Ⅲ球的内接圆柱、圆柱的体积的计算·T82016卷Ⅰ有关球的三视图及表面积的计算·T6卷Ⅱ空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T6卷Ⅲ空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T9直三棱柱的体积最值问题·T10空间几何体的三视图(基础型)一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．由三视图还原到直观图的三个步骤(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状．[注意]在读图或者画空间几何体的三视图时,应注意三视图中的实线和虚线．[考法全练]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )解析：选A.由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是虚线,结合榫头的位置知选A.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A ．217B ．2 5C ．3D ．2解析：选B.由三视图可知,该几何体为如图①所示的圆柱,该圆柱的高为2,底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图,如图②所示,连接MN ,则MS ＝2,SN ＝4,则从M 到N 的路径中,最短路径的长度为MS 2＋SN 2＝22＋42＝2 5.故选B.3．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使得平面ABD ⊥平面CBD ,形成的三棱锥C -ABD 的正视图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( )A.12B.22C.24D.14解析：选D.由三棱锥C -ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C -ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形,如图所示,所以三棱锥C -ABD 的侧视图的面积为14,故选D.4．(2018·长春质量监测(二))如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线条画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥中最长棱的长度为( )A ．2 B. 5 C ．2 2D ．3解析：选D.如图,三棱锥A -BCD 即为所求几何体,根据题设条件,知辅助的正方体棱长为2,CD ＝1,BD ＝22,BC ＝5,AC ＝2,AB ＝3,AD ＝5,则最长棱为AB ,长度为3.5．(2018·石家庄质量检测(一))如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗线表示的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的四个面中,最小面的面积是( )A ．2 3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C.在正方体中还原该几何体,如图中三棱锥D -ABC 所示,其中正方体的棱长为2,则S △ABC ＝2,S △DBC ＝22,S △ADB ＝22,S △ADC ＝23,故该三棱锥的四个面中,最小面的面积是2,选C.空间几何体的表面积和体积(综合型)柱体、锥体、台体的侧面积公式 (1)S 柱侧＝ch (c 为底面周长,h 为高)． (2)S 锥侧＝12ch ′(c 为底面周长,h ′为斜高)．(3)S 台侧＝12(c ＋c ′)h ′(c ′,c 分别为上下底面的周长,h ′为斜高)．柱体、锥体、台体的体积公式 (1)V 柱体＝Sh (S 为底面面积,h 为高)． (2)V 锥体＝13Sh (S 为底面面积,h 为高)．(3)V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S ,S ′分别为上下底面面积,h 为高)(不要求记忆)．[典型例题]命题角度一 空间几何体的表面积(1)(2018·潍坊模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A ．4＋23B ．4＋4 2C ．6＋2 3D ．6＋4 2(2)(2018·合肥第一次质量检测)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A ．5π＋18B ．6π＋18C ．8π＋6D ．10π＋6【解析】 (1)由三视图还原几何体的直观图如图所示,易知BC ⊥平面P AC ,又PC ⊂平面P AC ,所以BC ⊥PC ,又AP ＝AC ＝BC ＝2,所以PC ＝22＋22＝22,又AB ＝22,所以S △PBC ＝S △P AB ＝12×2×22＝22,S △ABC ＝S △P AC ＝12×2×2＝2,所以该几何体的表面积为4＋4 2.(2)由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的,故该几何体的表面积为2×12×4π×12＋2×12×π×12＋2×3＋12×2π×1×3＝8π＋6.【答案】 (1)B (2)C求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的基本思路是将立体几何问题转化为平面几何问题,即空间图形平面化,这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差得几何体的表面积．命题角度二 空间几何体的体积(1)(2018·武汉调研)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.12B.22C.33D.23(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 互相垂直,SA 与圆锥底面所成角为30°.若△SAB 的面积为8,则该圆锥的体积为________．【解析】 (1)由三视图知,该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中,截去一个三棱柱AA 1D 1BB 1C 1和一个三棱锥C -BC 1D 后剩下的几何体,即如图所示的四棱锥D -ABC 1D 1,四棱锥D -ABC 1D 1的底面积为S 四边形ABC 1D 1＝2×2＝22,高h ＝22,其体积V ＝13S 四边形ABC 1D 1h ＝13×22×22＝23.故选D.(2)由题意画出图形,如图,设AC 是底面圆O 的直径,连接SO ,则SO 是圆锥的高．设圆锥的母线长为l ,则由SA ⊥SB ,△SAB 的面积为8,得12l 2＝8,得l ＝4.在Rt △ASO 中,由题意知∠SAO ＝30°,所以SO ＝12l ＝2,AO ＝32l ＝2 3.故该圆锥的体积V ＝13π×AO 2×SO ＝13π×(23)2×2＝8π.【答案】 (1)D (2)8π求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当分割或补形,转化为易计算体积的几何体．[对点训练]1．(2018·洛阳第一次统考)一个几何体的三视图如图所示,图中的三个正方形的边长均为2,则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示,该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥后剩余的部分,其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.2．(2018·唐山模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．3 B.113 C ．7D.233解析：选B.由题中的三视图可得,该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体,长方体的长,宽,高分别为2,1,2,体积为4,切去的三棱锥的体积为13,故该几何体的体积V ＝4－13＝113.故选B.多面体与球(综合型)[典型例题]命题角度一 外接球(2018·南宁模拟)三棱锥P -ABC 中,△ABC 为等边三角形,P A ＝PB ＝PC ＝3,P A ⊥PB ,三棱锥P -ABC的外接球的体积为( )A.272π B.2732πC ．273πD ．27π【解析】 因为三棱锥P -ABC 中,△ABC 为等边三角形,P A ＝PB ＝PC ＝3,所以△P AB ≌△PBC ≌△P AC .因为P A ⊥PB ,所以P A ⊥PC ,PC ⊥PB .以P A ,PB ,PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示),则正方体的外接球同时也是三棱锥P -ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33,所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P -ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝⎛⎭⎫3323＝2732π,故选B.【答案】 B解决多面体的外接球问题,关键是确定球心的位置,方法是先选择多面体中的一面,确定此面外接圆的圆心,再过圆心作垂直此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置．命题角度二 内切球已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于( )A.7π6B.4π3C.2π3D.π2【解析】 当注入水的体积是该三棱锥体积的78时,设水面上方的小三棱锥的棱长为x (各棱长都相等),依题意,⎝⎛⎭⎫x 43＝18,得x ＝2.易得小三棱锥的高为263,设小球半径为r ,则13S 底面·263＝4·13·S 底面·r ,得r ＝66,故小球的表面积S ＝4πr 2＝2π3.故选C.【答案】 C求解多面体的内切球的问题,一般是将多面体分割为以球心为顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径．命题角度三 与球有关的最值问题(2018·高考全国卷Ⅲ)设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3【解析】 如图,E 是AC 中点,M 是△ABC 的重心,O 为球心,连接BE ,OM ,OD ,BO .因为S △ABC ＝34AB 2＝93,所以AB ＝6,BM ＝23BE ＝23AB 2－AE 2＝2 3.易知OM ⊥平面ABC ,所以在Rt △OBM 中,OM ＝OB 2－BM 2＝2,所以当D ,O ,M 三点共线且DM ＝OD ＋OM 时,三棱锥D -ABC 的体积取得最大值,且最大值V max ＝13S △ABC ×(4＋OM )＝13×93×6＝18 3.故选B.【答案】 B多面体与球有关的最值问题,主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题,二是球的半径确定的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下,截面的最值问题．[对点训练]1．(2018·福州模拟)已知圆锥的高为3,底面半径为3,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积等于( )A.83π B.323π C ．16πD ．32π解析：选B.设该圆锥的外接球的半径为R ,依题意得,R 2＝(3－R )2＋(3)2,解得R ＝2,所以所求球的体积V ＝43πR 3＝43π×23＝323π,故选B.2．(2018·洛阳第一次联考)已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱均相切,则球O 的体积为( ) A.823πB.833πC.863π D.1623π解析：选A.将正四面体补成正方体,则正四面体的棱为正方体面上的对角线,因为正四面体的棱长为4,所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切,所以球O 为正方体的内切球,即球O 的直径为正方体的棱长22,则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π,故选A.3．已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点在同一球面上,底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内,当四棱锥的体积取得最大值时,其表面积等于16＋163,则球O 的体积等于( )A.42π3B.162π3C.322π3D.642π3解析：选D.由题意得,当四棱锥的体积取得最大值时,该四棱锥为正四棱锥．因为该四棱锥的表面积等于16＋163,设球O 的半径为R ,则AC ＝2R ,SO ＝R ,如图,所以该四棱锥的底面边长AB ＝2R ,则有(2R )2＋4×12×2R × （2R ）2－⎝⎛⎭⎫22R 2＝16＋163,解得R ＝22,所以球O 的体积是43πR 3＝6423π.故选D.一、选择题1．(2018·长沙模拟)如图是一个正方体,A ,B ,C 为三个顶点,D 是棱的中点,则三棱锥A -BCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图,下图为俯视图)( )解析：选A.正视图和俯视图中棱AD 和BD 均看不见,故为虚线,易知选A.2．(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.将三视图还原为直观图,几何体是底面为直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,如图所示．易知,BC ∥AD ,BC ＝1,AD ＝AB ＝P A ＝2,AB ⊥AD ,P A ⊥平面ABCD ,故△P AD ,△P AB 为直角三角形, 因为P A ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD , 所以P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,且P A ∩AB ＝A ,所以BC ⊥平面P AB ,又PB ⊂平面P AB ,所以BC ⊥PB ,所以△PBC 为直角三角形,容易求得PC ＝3,CD ＝5,PD ＝22, 故△PCD 不是直角三角形,故选C.3．(2018·沈阳教学质量监测(一))如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3解析：选A.由三视图可得该几何体为半圆锥,底面半圆的半径为2,高为2,则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3,故选A.4．(2018·西安八校联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A.4π3B.5π3 C ．2＋2π3D ．4＋2π3解析：选B.由三视图可知,该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1,高为2的半圆柱组合而成的组合体,故其体积V ＝23π×13＋12π×12×2＝5π3,故选B.5．(2018·长春质量检测(一))已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ,半径为R 的球面上,AB ＝6,BC ＝23,且四棱锥O -ABCD 的体积为83,则R 等于( )A ．4B ．2 3 C.479D.13解析：选A.如图,设矩形ABCD 的中心为E ,连接OE ,EC ,由球的性质可得OE ⊥平面ABCD ,所以V O ABCD ＝13·OE ·S 矩形ABCD ＝13×OE ×6×23＝83,所以OE ＝2,在矩形ABCD 中可得EC ＝23,则R ＝OE 2＋EC 2＝4＋12＝4,故选A.6．(2018·南昌调研)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )A.23B.43 C ．2D.83解析：选A.由三视图可知,该几何体为三棱锥,将其放在棱长为2的正方体中,如图中三棱锥A -BCD 所示,故该几何体的体积V ＝13×12×1×2×2＝23.7．(2018·辽宁五校协作体联考)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是三棱锥的三视图,则此三棱锥的体积是( )A ．8B ．16C ．24D ．48解析：选A.由三视图还原三棱锥的直观图,如图中三棱锥P ABC 所示,且长方体的长、宽、高分别为6,2,4,△ABC 是直角三角形,AB ⊥BC ,AB ＝2,BC ＝6,三棱锥P -ABC 的高为4,故其体积为13×12×6×2×4＝8,故选A.8．将一个底面半径为1,高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体,能切割出的圆柱的最大体积为( ) A.π27 B.8π27 C.π3D.2π9解析：选B.如图所示,设圆柱的半径为r ,高为x ,体积为V ,由题意可得r 1＝2－x2,所以x ＝2－2r ,所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1),设V (r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1),则V ′(r )＝2π(2r －3r 2),由2π(2r －3r 2)＝0得r ＝23,所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫233＝8π27.9．(2018·福州模拟)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为 ( )A ．14B ．10＋4 2 C.212＋4 2 D.21＋32＋4 2解析：选D.由三视图可知,该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体,如图所示．所以该多面体的表面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫22－12×1×1＋12×(22－12)＋12×22＋2×22＋12×32×(2)2＝21＋32＋42,故选D.10．(2018·太原模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体中最长的棱长为( )A ．3 3B ．2 6 C.21D ．2 5解析：选B.由三视图得,该几何体是四棱锥P -ABCD ,如图所示,ABCD 为矩形,AB ＝2,BC ＝3,平面P AD ⊥平面ABCD ,过点P 作PE ⊥AD ,则PE ＝4,DE ＝2,所以CE ＝22,所以最长的棱PC ＝PE 2＋CE 2＝26,故选B.11．(2018·南昌调研)已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 满足AB ＝22,∠ACB ＝90°,P A 为球O 的直径且P A ＝4,则点P 到底面ABC 的距离为( )A. 2 B ．2 2 C. 3D ．2 3解析：选B.取AB 的中点O 1,连接OO 1,如图,在△ABC 中,AB ＝22,∠ACB ＝90°,所以△ABC 所在小圆O 1是以AB 为直径的圆,所以O 1A ＝2,且OO 1⊥AO 1,又球O 的直径P A＝4,所以OA ＝2,所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2,且OO 1⊥底面ABC ,所以点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2.12．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334B.233C.324D.32解析：选A.记该正方体为ABCD -A ′B ′C ′D ′,正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,即共点的三条棱A ′A ,A ′B ′,A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图,连接AB ′,AD ′,B ′D ′,因为三棱锥A ′AB ′D ′是正三棱锥,所以A ′A ,A ′B ′,A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′,B ′C ′,BB ′,AB ,AD ,DD ′的中点E ,F ,G ,H ,I ,J ,连接EF ,FG ,GH ,IH ,IJ ,JE ,易得E ,F ,G ,H ,I ,J 六点共面,平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行,且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22,所以该正六边形的面积为6×34×⎝⎛⎭⎫222＝334,所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334,故选A.二、填空题13．(2018·洛阳第一次联考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________．解析：由题图可知该几何体是一个四棱锥,如图所示,其中PD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是一个对角线长为2的正方形,底面积S ＝12×2×2＝2,高h ＝1,则该几何体的体积V ＝13Sh ＝23.答案：2314．(2018·福州四校联考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________．解析：在长、宽、高分别为3,33,33的长方体中,由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C -BAP ,其中底面BAP 是∠BAP ＝90°的直角三角形,AB ＝3,AP ＝33,所以BP ＝6,又棱CB ⊥平面BAP 且CB ＝33,所以AC ＝6,所以该几何体的表面积是12×3×33＋12×3×33＋12×6×33＋12×6×33＝27 3. 答案：27 315．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515,则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示,设S 在底面的射影为S ′,连接AS ′,SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515,所以SA 2＝80,SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°,所以∠SAS ′＝45°,AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π,所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π16．(2018·潍坊模拟)已知正四棱柱的顶点在同一个球面上,且球的表面积为12π,当正四棱柱的体积最大时,正四棱柱的高为________．解析：设正四棱柱的底面边长为a ,高为h ,球的半径为r ,由题意知4πr 2＝12π,所以r 2＝3,又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12,所以a 2＝6－h 22,所以正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝⎝⎛⎭⎫6－h 22h ,则V ′＝6－32h 2,由V ′>0,得0<h <2,由V ′<0,得h >2,所以当h ＝2时,正四棱柱的体积最大,V max ＝8.答案：2。