第十三章_第二节__刚体惯性力系的简化
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刚体惯性力系的简化
代入式（a）得 再解式（b）、式（c）有
a g 3
Ff
P 2
P g
g 3
P 6
FN P cos
3P 2
P
f Ff 6 3 0.192
FN
3P 9
2
（b） （c）
例13-7 均质杆 AB 重 P，B 点放在地面上，A 点与轮铰接，轮在平面上纯
滚动，轮心做匀速直线运动，速度为 v，如图 13-11（a）所示。试 求在图示位置（A 位于最高点）时，AB 杆在 A，B 两点的受力情况 （B 与地面无摩擦）。
在工程实际中，刚体绕定轴转动有几种特殊情况。
（1）转轴过质心。此时 aC 0 ，FI 0 ，在 0 的情况下，惯性力系简 化为一个力偶。
（2）刚体做匀速转动，此时 0 ，在转轴不过质心的情况下，惯性力 系简化为一个合力。
（3）转轴过质心，刚体做匀速转动，aC 0 ， 0 ，则 FI 0 ，MIO 0 。
（a）
（b） 图13-11
（c）
解 （1）取AB杆为研究对象。
（2）受力分析。AB 杆上作用的主动力为重力 P，A 点有两个约束力 FAx 和 FAy ， B 点有法向约束力 FBN ，如图 13-11（b）所示。
（3）运动分析，加惯性力。由已知条件，AB 杆为瞬时平动，即 AB 0 ，对 AB
FI FIi (miai ) aC mi 设刚体质量为 M mi ，则
FI MaC （13-8）
于是得结论：平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心 的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的 方向与加速度方向相反。
图13-5
刚体绕定轴转动
如果刚体有对称平面S，并且该平面与转轴z垂直，则惯性力系简化 为在对称平面内的平面力系。再将此平面力系向转轴与对称平面的交 点O简化，如图13-6所示。
理论力学知识点总结(15篇)
理论力学知识点总结第1篇xxx体惯性力系的简化：在任意瞬时，xxx体惯性力系向其质心简化为一合力，方向与质心加速度(也就是刚体的加速度)的方向相反，大小等于刚体的质量与加速度的乘积，即。
平面运动刚体惯性力系的简化：如果刚体具有质量对称面，并且刚体在质量对称面所在的平面内运动，则刚体惯性力系向质心简化为一个力和一个力偶，这个力的作用线通过该刚体质心，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这个力偶的力偶矩等于刚体对通过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与刚体角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。
即（10－3）定轴转动刚体惯性力系的简化：如果刚体具有质量对称面，并且转轴垂直于质量对称面，则刚体惯性力系向转轴与质量对称面的交点O简化为一个力和一个力偶，这个力通过O点，大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反；这个力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度的转向相反。
即（10－4）理论力学知识点总结第2篇定点运动刚体的动量矩。
定点运动刚体对固定点O的动量矩定义为：（12－6）其中：分别为刚体上的质量微团的矢径和速度，为刚体的角速度。
当随体参考系的三个轴为惯量主轴时，上式可表示成（12－7）（2）定点刚体的欧拉动力学方程。
应用动量矩定理可得到定点运动刚体的欧拉动力学方程（12－8）（3）陀螺近似理论。
绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体成为陀螺。
若陀螺绕的自旋角速度为，进动角速度为，为陀螺对质量对称轴的转动惯量，则陀螺的动力学方程为（12－9）其中是作用在陀螺上的力对O点之矩的矢量和。
理论力学知识点总结第3篇牛顿第二定律建立了在惯性参考系中，质点加速度与作用力之间的关系，即：其中：分别表示质点的质量、质点在惯性参考系中的加速度和作用在质点上的力。
将上式在直角坐标轴上投影可得到直角坐标形式的质点运动微分方程（6－2）如果已知质点的运动轨迹，则利用牛顿第二定律可得到自然坐标形式的质点运动微分方程（6－3）对于自由质点，应用质点运动微分方程通常可研究动力学的两类问题。
第十三章 达朗贝尔原理
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
O
η
θ
mg
dFI A y
η
3. 建立平衡方程：
ω
M
Oxi
l mg sin cosdFI 0 2 0
l
3g arccos 2 2 l
§2 刚体动力学中的达朗贝尔原理
刚体为一个质点系，其上每一个质点加上惯性 力后，成为一个分布力系，此力系应与刚体所受外 力构成平衡力系。
ma a
FW
FI
一、质点的达朗贝尔原理
则有 F FN FI 0
记 FI ma
ma FR F FN F FN ma 0
M
称为质点的惯性力， 与加速度方向相反
a FN
F
FR
F FN FI 0
ω
C i FI FIi FIin
故定轴转动刚体惯性力系简化为：
作用在转轴上，且与质心加速 度方向相反的惯性力FI=maC
在对称平面内，转向与角加速度方 向相反的惯性力偶MIO=JOα
ω α
MIO
O
FI C
aC
主矢和主矩作用在转动轴与对称平面相交的O点处
在对称面内向质心C简化
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
FI mi ai maC
主矩
mi ri ri i )
FIit
FIin
若转轴过质心，则惯性力系 简化的结果仅为一力偶，其矩与 角加速度方向相反，MIC=JCα
FI
MIO
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
二、质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
达朗伯原理
第十三章
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理 §13-2 质点系的达朗贝尔原理 §13-3 刚体惯性力系的简化 §13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
引
言
达朗贝尔原理由法国科学家达朗贝尔(J. le Rond D‘Alembert 1717--1783)在其著作《动力学专论》中提出。 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示 为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理（动静法）。 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供 了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约 束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
FI
dFI
§13-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝 对加速度有关。 FIi＝－miai 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力 为面积力，组成平面力系。 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般 力系。
一、刚体作平动
M C (F ) 0 ,
(e) M ( F ) ( J Ca ) 0 C
(e) F y (maCy ) 0
2 2 d 2 xC d y d (e) (e) C m 2 Fx , m 2 Fy , J C 2 M C ( F ( e ) ) dt dt dt
按以上方程，动静法体现不出优点，但是虚加惯性力和惯 性力偶后，动静法可以对任意点取矩（二矩式、三矩式） 这正是体现动静法优越性的地方。
B 例题4 已知：m , h , , l。 求：A、D处约束反力。 解： 取 AB 杆为研究对象
达朗贝尔原理
§13-1 惯性力· 质点的达朗贝尔原理 §13-2 质点系的达朗贝尔原理 §13-3 刚体惯性力系的简化 §13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
引
言
达朗贝尔原理由法国科学家达朗贝尔(J. le Rond D‘Alembert 1717--1783)在其著作《动力学专论》中提出。 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示 为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 达朗贝 尔原理（动静法）。 达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题提供 了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约 束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
FI
dFI
§13-3 刚体惯性力系的简化
刚体惯性力系特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝 对加速度有关。 FIi＝－miai 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力 为面积力，组成平面力系。 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般 力系。
一、刚体作平动
M C (F ) 0 ,
(e) M ( F ) ( J Ca ) 0 C
(e) F y (maCy ) 0
2 2 d 2 xC d y d (e) (e) C m 2 Fx , m 2 Fy , J C 2 M C ( F ( e ) ) dt dt dt
按以上方程，动静法体现不出优点，但是虚加惯性力和惯 性力偶后，动静法可以对任意点取矩（二矩式、三矩式） 这正是体现动静法优越性的地方。
B 例题4 已知：m , h , , l。 求：A、D处约束反力。 解： 取 AB 杆为研究对象
《理论力学》--第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
例13-7 已知：如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg, 转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心 C不在转轴上,偏心距 e 0.1mm. 当轮盘以均转速 转动. n 12000 r min 求：轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 2 an e m s 158 m s 2 1000 30
2
FI man 3160 N 1 FNA FNB mg FI 2
1 20 9.8 3160N 1680N 2
(e) Fi 为作用于第i个质点上质点系外部物体的作用力. (i) Fi 为作用于第i个质点上质点系内部的力. (e) (i) Fi Fi Fi 0 i 1,2,, n
例13-2 已知:如图所示,定滑轮的半径为r ,质量为m 均匀分布在轮缘 上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为m1 和m2 的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦 忽略不计。 求:重物的加速度.
例13-1 已知: 求:
m 0.1kg , l 0.3m , 60
v, FT .
解:
v2 FI man m l sin mg FT FI 0
Fb Fn
0, FT cos mg 0 0, FT sin FI 0
Fs f s FN f s m1 m2 g
Fs 3m1 fs FN 2m1 m2
D
§ 13-4
绕定轴转动刚体的轴承动约束力
F
x
0 FA x FB x FR x FI x 0
F
y
0 FA y FB y FR y FI y 0
第十三章 第四节 定轴转动刚体的轴承动反力
三、定轴转动刚体的静平衡和动平衡的概念 静平衡：刚体的转轴通过质心，且仅受重力作用，则刚体 在任何位置均能保持静止不动，这种现象称为静平衡。 动平衡：刚体绕定轴转动时，不出现轴承动反力的现象称 为动平衡。 (刚体的转轴为中心惯性主轴) 静平衡、动平衡试验
O x
y
ji
yi
xi
w a
x、z 刚体对通过O点的轴 y、z 的惯性积(离心转动惯量)
二、一般情况下轴承的动反力 z 1 FAy M Oy + FR x OB + M I Oy + FIR x OB F Ax A AB FAx
F Ay FBx 1 M Ox FR y OB + M I Ox FIR y OB AB 1 M Oy FR x OA + M I Oy FIR x OA AB 1 M Ox + FR y OA + M I Ox + FIR y OA AB FR z
MO O
MIO FR'
y FBy FIR
FBz
x B FBx
w a
FBy FBz
FAx、FAy、FBx、FBy由两部分组成：
(1)由主动力引起的静反力； (2)由惯性力引起的动反力。 要使动反力等于零，必须有 FIRx = FIRy = 0 MIOx = MIOy = 0
FIRx = FIRy = 0
MIOx = FIOy = 0
轴承动反力等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯 性力系对于x 轴和 y 轴之矩等于零。 FIRx = m aCx FIRy= m aCy MIOx = Jxza ―Jyzw2 MIOy = Jyza+Jxzw2 轴承动反力等于零的条件是： aC = 0(转轴必须通过质心) Jxz=Jyz = 0 (刚体对于转轴的惯性积等于零) 惯性主轴：有Jxz=Jyz = 0的z轴； 中心惯性主轴：通过质心的惯性主轴。 结论：避免出现轴承动反力的条件是：刚体的转轴应为刚 体的中心惯性主轴。
9.2刚体惯性力系的简化
平面运动 FIR miai maC IC JC
角加速度为，计算杆上惯性力系向O点和质心C简化的结果。
O
C
A
解：运动分析 向转轴O点简化
aC
l 2
4 2
FIR
maC
ml 2
4 2
MIO
FIR O
A
M IO
JO
1 ml2
3
O
FIR
C
MIC
A
向质心C点简化
FIR
maC
ml 2
4 2
M IC
JC
1 ml2
12
刚体平面运动
刚体有质量对称面，且此平面与刚体运动平面平行。
IO JO
FIR O
MIO
FIR
FInR
ri C
Mi ain
FIi
ai
FIni
刚体定轴转动
FIR O
MIO
刚体有质量对称面，且转轴与对称面垂直。
向质心C点简化
主矢
FIR FIR maC
FIR FInR
aC
MIC
C
主矩 M IC M IO MC (FIR )
FIR
M IO MC (FIR ) Jz FIR rC (Jz mrC2 )
A
l
r
A
MIO O
FInR FIR
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小结
•惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。 •惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。 向质心C点简化
平行移动 FIR miai maC IC 0
定轴转动 FIR miai maC IC JC
FIi miai mi (aC aiC ainC ) 向质心C点简化
角加速度为，计算杆上惯性力系向O点和质心C简化的结果。
O
C
A
解：运动分析 向转轴O点简化
aC
l 2
4 2
FIR
maC
ml 2
4 2
MIO
FIR O
A
M IO
JO
1 ml2
3
O
FIR
C
MIC
A
向质心C点简化
FIR
maC
ml 2
4 2
M IC
JC
1 ml2
12
刚体平面运动
刚体有质量对称面，且此平面与刚体运动平面平行。
IO JO
FIR O
MIO
FIR
FInR
ri C
Mi ain
FIi
ai
FIni
刚体定轴转动
FIR O
MIO
刚体有质量对称面，且转轴与对称面垂直。
向质心C点简化
主矢
FIR FIR maC
FIR FInR
aC
MIC
C
主矩 M IC M IO MC (FIR )
FIR
M IO MC (FIR ) Jz FIR rC (Jz mrC2 )
A
l
r
A
MIO O
FInR FIR
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小结
•惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。 •惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。 向质心C点简化
平行移动 FIR miai maC IC 0
定轴转动 FIR miai maC IC JC
FIi miai mi (aC aiC ainC ) 向质心C点简化
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t
O
IR MIF O
= ▬ aSmiri2 = ▬ JOa 刚体绕垂直于质量对称平面的转轴转动时，惯性力系向转轴与 对称面的交点O简化的结果为一个主矢和主矩。主矢的大小等 于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向 相反；主矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，转向与角加速度的； (2)简化中心为质心C的情况； (3)几种特殊情况：
O
aC C FIR
w
w wa
MI O FIR=0 MIC=0
FIR=mew2 MIO=0
FIR=0 MIO=MIC= ―JCa
1.刚体转轴不通过质心，作匀速转动 ——偏心轮匀速转动(a=0,e≠0) 2.刚体绕质心轴非匀速转动(a≠0,e=0) 3.刚体绕质心轴匀速转动(a =0,e =0)
第二节 刚体惯性力系的简化
一、刚体作平动
FIR= ―m aC
加在质心上 简化中心：质心C 惯性力系主矢 FIR= SFIi = ―m aC 惯性力系对质心C的主矩
Mi a i
ai= aC
FIi FIR
C aC
a1
FI2 M2 a2 FI1 M1
MIC=0
刚体作平动时，惯性力系简化的结果为一个通过质心的合力 FIR，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与 质心加速度的方向相反。
三、刚体作平面运动
FIR= ―m aC MIC= ―JCa 加在质心上
刚体具有质量对称平面，且刚体平行于对称平面作平面运动 的情况。 随质心的平动 平面运动 绕质心的转动
aC
a w
C
FIR
简化中心：质心C 惯性力系主矢 FIR= ―m aC 惯性力系对质心C的主矩 MIC= ―JCa
MIO
具有质量对称平面且平行于此平面作平面运动的刚体，惯性力 系向质心C简化的结果为一个主矢和一个主矩。主矢过质心C， 大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的 方向相反；主矩的大小等于刚体对质心轴的转动惯量与角加速 度的乘积，转向与角加速度的转向相反。
二、刚体作定轴转动 FIR= ―m aC MIO= ―JOa 加在转轴上 刚体具有质量对称平面，且转轴垂直于质量对称平面。 简化中心：转轴O t a i Fn 惯性力系主矢 Ii FIR= SFIi = ―m aC
aC
C
a w
ai
n
Mi
FIi
t
惯性力系对转轴O的主矩 MIO = SMO (FIi) = SMO (FIi ) = ▬ S r i ( m ir ia )
O
IR MIF O
= ▬ aSmiri2 = ▬ JOa 刚体绕垂直于质量对称平面的转轴转动时，惯性力系向转轴与 对称面的交点O简化的结果为一个主矢和主矩。主矢的大小等 于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向 相反；主矩的大小等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，转向与角加速度的； (2)简化中心为质心C的情况； (3)几种特殊情况：
O
aC C FIR
w
w wa
MI O FIR=0 MIC=0
FIR=mew2 MIO=0
FIR=0 MIO=MIC= ―JCa
1.刚体转轴不通过质心，作匀速转动 ——偏心轮匀速转动(a=0,e≠0) 2.刚体绕质心轴非匀速转动(a≠0,e=0) 3.刚体绕质心轴匀速转动(a =0,e =0)
第二节 刚体惯性力系的简化
一、刚体作平动
FIR= ―m aC
加在质心上 简化中心：质心C 惯性力系主矢 FIR= SFIi = ―m aC 惯性力系对质心C的主矩
Mi a i
ai= aC
FIi FIR
C aC
a1
FI2 M2 a2 FI1 M1
MIC=0
刚体作平动时，惯性力系简化的结果为一个通过质心的合力 FIR，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与 质心加速度的方向相反。
三、刚体作平面运动
FIR= ―m aC MIC= ―JCa 加在质心上
刚体具有质量对称平面，且刚体平行于对称平面作平面运动 的情况。 随质心的平动 平面运动 绕质心的转动
aC
a w
C
FIR
简化中心：质心C 惯性力系主矢 FIR= ―m aC 惯性力系对质心C的主矩 MIC= ―JCa
MIO
具有质量对称平面且平行于此平面作平面运动的刚体，惯性力 系向质心C简化的结果为一个主矢和一个主矩。主矢过质心C， 大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度的 方向相反；主矩的大小等于刚体对质心轴的转动惯量与角加速 度的乘积，转向与角加速度的转向相反。
二、刚体作定轴转动 FIR= ―m aC MIO= ―JOa 加在转轴上 刚体具有质量对称平面，且转轴垂直于质量对称平面。 简化中心：转轴O t a i Fn 惯性力系主矢 Ii FIR= SFIi = ―m aC
aC
C
a w
ai
n
Mi
FIi
t
惯性力系对转轴O的主矩 MIO = SMO (FIi) = SMO (FIi ) = ▬ S r i ( m ir ia )