整数规划(割平面法)
割平面法——精选推荐
3 割平面法割平面法是通过生成一系列的平面割掉非整数部分来得到最优整数解的方法。
目前，割平面法有分数割平面法，原始割平面法，对偶整数割平面法，混合割平面法等。
我们介绍Gomory割平面法（纯整数规划割平面法）用例子说明割平面法基本思想。
例5-8求下列问题：Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 ≤25x 1≤82x 2 ≤10x 1,x 2 ≥0,且取整数值化成标准问题Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0,且取整数值松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0松驰问题(P)用单纯形法求解得到最优解：B（8，9/4）Z=22（3/4）但不是原问题（IP）的解，（IP）可行域是OABDE内的全部方格点组成。
BD E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 1X 2引进割平面法l 1: x 1+ x 2=10割去非整数部分FBG l 2: x 1+2x 2=12 割去非整数部分HDGFGB F D E l 1O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12l 2G B F H D E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12GH E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12形成新的凸可行域OAGHE （整点凸包），它的极点G （方格点）是原规划（IP ）的最优解（8，2）Z=22。
约束条件：l 1: x 1+ x 2≤10l 2: x 1+2x 2≤12称为割平面。
问题是如何寻找割平面？松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0初始单纯形表C 2 3 0 0 0bΘC B X B X1X2X3X4X50 X3 2 4 1 0 0 250 X4 1 00 1 0 80 X50 20 0 1 10σC2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4最终单纯形表:最优解（8,9/4,0,0,11/2）Z =91/4C2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4X 2相应的方程：x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4把所有系数分解成整数和非负真分数之和。
割平面法
31/7=4+3/7 于是，（1）式变为
4 1 3 x4 ( 1 ) x3 (3 ) x5 4 7 7 7
⑵
将所有整数项放在等式的左边，非整数值项放 在右边，得
3 4 1 x4 x3 3x5 4 x3 x5 7 7 7
⑶
⑶式左边是一个整数值，右边是一个小于１的 数。由于是等式，所以，右边应该是一个小于 或等于０的整数值，即
二、构造割平面约束的方法
在松弛问题的最优表中，设 b的分量bko不是 整数，将其分成整数与非负分数之和，即
bko Nko fko, 其中N ko为不超过bko的最大整数， fko为非负真分数; bko 所在行中的每一个非基 变量xj的系数分成整数与非负分数两部分：
ako , j Nko , j fko , j
１、求出松弛问题的最优解，若全部变量为整数解， 停止计算；否则转２。
２、构造割平面方程 •构造方法 割平面约束具备两个性质： ⑴ 已获得的非整数最优解不满足该线性约束， 从而保证在以后的解中不可能再出现。
⑵ 所有的整数解皆满足该线性约束，从而保 证整数规划问题的最优解始终都保留在每次所 形成的、新的线性规划问题的可行域中。 我们通过下面的例子来说明构造这种线性约束 的思路。
第二节 解纯整数规划的割平面法
一、 割平面方法的基本思想和步骤
二、构造割平面约束的方法
三、示例
一、 割平面方法的基本思想和步骤
•基本思想： 在IP问题的松弛问题中依次引进线性约束（称 Gomory约束或割平面），使问题的可行域逐步缩 小，所割去的区域仅包含问题的部分非整数解；当 规划问题的最优解恰好位于缩小的可行域的一个顶 点时，算法结束。 •求解步骤
割平面法-经典
割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题. 其基本的步骤是: (1) 把约束条件中所有的系数整数化; (2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只 包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
1 3 x3 x4 0 4 4 4 3 即 3x 3 x 4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所得等
式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的 松驰问题.
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 x 3 3x 1 x 2 x4 1 4
k k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
f i - f ik x k 0
k
上式即为所要求的切割方程 割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广 泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其 收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
3x 3 x 4 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最优单纯
形表之中,得 cj 1 1 0 0 0
CB
1
XB
b
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4 x5
1/4 0
x1 3/4
1
0
x2 7/4
x5 -3
0
0 0
1
0 0
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也
割平面法-运筹学整数规划
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不 符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值 的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其 下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别 求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述 下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数 条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引 得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1
《运筹学》第5章 整数规划(割平面法)
第５章整数规划（割平面法）求解整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2≤144x1+2x2≤18x1,x2≥0，且为整数解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9x1,x2≥0，且为整数利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：表1最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x3,x4 0，所以必有：1/2-(1/2x3+1/2x4)<1由于(2)式右端必为整数，于是有：1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3)或x3+x4≥1 (4)这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：2x1+2x2≤11 (5)从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。
图1在(3)式中加入松弛变量x5，得：-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2x i≥0，且为整数，i=1,2,…,5该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
割平面法求解整数规划问题实验报告
运筹学与最优化MATLAB 编程实验报告割平面法求解整数规划问题一、 引言：通过对MATLAB 实践设计的学习，学会使用MATLAB 解决现实生活中的问题。
该设计是在MATLAB 程序设计语言的基础上，对实际问题建立数学模型并设计程序，使用割平面法解决一个整数规划问题。
经实验，该算法可成功运行并求解出最优整数解。
二、 算法说明：割平面法有许多种类型，本次设计的原理是依据Gomory 的割平面法。
Gomory 割平面法首先求解非整数约束的线性规划，再选择一个不是整数的基变量，定义新的约束，增加到原来的约束中，新的约束缩小了可行域，但是保留了原问题的全部整数可行解。
算法具体设计步骤如下：1、首先，求解原整数规划对应的线性规划,*)(min x c x f =⎩⎨⎧≥≤0..x bAx t s ，设最优解为x*。
2、如果最优解的分量均为整数，则x*为原整数规划的最优解；否则任选一个x*中不为整数的分量，设其对应的基变量为x p ，定义包含这个基变量的切割约束方程con jj ij p b x r x =+∑，其中x p 为非基变量。
3、令][ij ij ij r r r -=，][con con con b b b -=，其中[]为高斯函数符号，表示不大于某数的最大整数。
将切割约束方程变换为∑∑-=-+jjij con con jj ij p x r b b x r x ][][，由于0<ij r <1，0<con b <1，所以有1<-∑jj ij con x r b ，因为自变量为整数，则∑-jj ij con x r b 也为整数，所以进一步有0≤-∑jj ij con x r b 。
4、将切割方程加入约束方程中，用对偶单纯形法求解线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤=∑00..,*)(min x x r b b Ax t s x c x f j j ij con ，然后在转入步骤2进行求解，直到求出最优整数解停止迭代。
6第六章 整数规划(3-4节)
max z 7 x1 9 x 2 6 x1 3 x 2 x 3 x 4 35 7 x1 x 2 x 、x 0， 整 数 1 2
x 3 6 x1 3 x 2 x 4 35 7 x1 x 2
第36页
将上式代入割平面约束：
优解为止。
第2页
一、割平面的概念
通过举例来阐述割平面的概念 。
例：
maxz 7 x1 9 x 2 x1 3 x 2 6 7 x1 x 2 35 x 、x 0， 整 数 1 2
第3页
x1
C 3
2 D
B A 4
5
7
x2
可行域：ABCD
1 1 最优解：C点，其坐标为 ( x1 , x2 ) (4 ,3 ) 2 2
第27页
解：（1）利用单纯型法求解原问题的松弛问题 B ：
cj
CB XB b
7
x1
9
x2
0
x3
0
x4
θi
9
7
x2
x1
7/2
9/2
0
1
1
0
7/22
-1/22
1/22
3/22
c j– z j
0
0
-28/11 -15/11
第28页
（2）构造割平面约束 x1 = 9/2 = 4 + 1/2 x2 = 7/2 = 3 + 1/2
N
4
5
7
x2 Q
割去的部分 EFGCE 中不包含任何整数解。
第6页
新增加的线性约束条件切割掉了原问题可行域的一
部分，但该可行域内不包含任何整数可行解，所有
割平面法
§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。
3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。
如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。
这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。
而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。
当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。
即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。
下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。
3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。
如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。
3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。
下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。
例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。
为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。
为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。
据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。
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割平面法
求解整数规划问题：
Max Z=3x1+2x2
2x1+3x2?14
4x1+2x2?18
x1,x2?0，且为整数
解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：Max Z=3x1+2x2
2x1+3x2+x3=14
2x1+x2+x4=9
x1,x2?0，且为整数
利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：
表1
最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4
根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)
将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2
把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)
由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x3,x4?0，所以必有：
1/2-(1/2x3+1/2x4)<1
由于(2)式右端必为整数，于是有：
1/2-(1/2x3+1/2x4)?0 (3)
或
x3+x4?1 (4)
这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：
2x1+2x2?11 (5)
从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部
分区域，使点E，2)成为可行域的一个极点。
图1
在(3)式中加入松弛变量x5，得：
-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)
将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：
Max Z=3x1+2x2
2x1+3x2+x3=14
2x1+x2+x4=9
-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2
x i?0，且为整数，i=1,2,…,5
该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
具体计算过程见表2：
表2
由此得最优解为：x1=7/2, x2=2, z=58/4
该最优解仍不满足整数约束条件，因而需进行第二次切割。
为此，从表2中抄下非整数解x1的约束方程为：
x1+x4-1/2x5 = 7/2
按整数、分数归并原则写成：
x1+x4-x5-3 = 1/2-1/2x5?0 (7)
这就是一个新的割平面方程，用基变量来表示，得：
x1+x2?5 (8)
在(7)中加入松弛变量x6，得：
-1/2x5+x6=-1/2 (9)
将(9)式增添到前一个问题的约束条件中去，得到又一个新的整数规划问题，对它求解可以在表2中加入(7)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
具体计算过程见表3：
表3
由此得最优解为：x1=4, x2=1,z=14。
该最优解符合整数条件，因此也是原整数规划问题的最优解。
从图1中可以看出，由(8)式表示的割平面约束，不仅割去线性规划可行域中剩下的不含整数解域，而且使最优整数解x1=4, x2=1（即图2中的G点），成为新的线性规划可行域的一个极点。
图2。