第三节 割平面法
割平面法——精选推荐
3 割平面法割平面法是通过生成一系列的平面割掉非整数部分来得到最优整数解的方法。
目前，割平面法有分数割平面法，原始割平面法，对偶整数割平面法，混合割平面法等。
我们介绍Gomory割平面法（纯整数规划割平面法）用例子说明割平面法基本思想。
例5-8求下列问题：Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 ≤25x 1≤82x 2 ≤10x 1,x 2 ≥0,且取整数值化成标准问题Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0,且取整数值松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0松驰问题(P)用单纯形法求解得到最优解：B（8，9/4）Z=22（3/4）但不是原问题（IP）的解，（IP）可行域是OABDE内的全部方格点组成。
BD E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 1X 2引进割平面法l 1: x 1+ x 2=10割去非整数部分FBG l 2: x 1+2x 2=12 割去非整数部分HDGFGB F D E l 1O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12l 2G B F H D E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12GH E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12形成新的凸可行域OAGHE （整点凸包），它的极点G （方格点）是原规划（IP ）的最优解（8，2）Z=22。
约束条件：l 1: x 1+ x 2≤10l 2: x 1+2x 2≤12称为割平面。
问题是如何寻找割平面？松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0初始单纯形表C 2 3 0 0 0bΘC B X B X1X2X3X4X50 X3 2 4 1 0 0 250 X4 1 00 1 0 80 X50 20 0 1 10σC2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4最终单纯形表:最优解（8,9/4,0,0,11/2）Z =91/4C2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4X 2相应的方程：x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4把所有系数分解成整数和非负真分数之和。
整数规划的割平面法计算流程与举例
整数规划的割平面法计算流程与举例下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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第五章第3节 割平面解法
k k
(3)
(3) 现在提出变量(包括松弛变量)为整数的 条件(当然还有非负的条件). • 这时，上式由左边看必须是整数，但由右边 看，因为0＜fi＜1，所以不能为正，即
f i − ∑ f ik x k ≤ 0
k
(4)
由于 x1、x2 的值已都是整数，解题已完成。
做为换入变量，再按原单纯形法进行迭代，得表5 将x3做为换入变量，再按原单纯形法进行迭代，得表5-3。 表5-3
cj CB XB 1 x1 1 x2 0 x3 cj-zj b 1 1 1 2
1 x1 1 0 0 0
1 x2 0 1 0 0
0 x3 0 0 1 0
这就是一个切割方程。
• 由(5-4)式，(5-6)式，(5-7)式可知： • ① 切割方程(5-7)式真正进行了切割，至 少把非整数最优解这一点割掉了。 • ② 没有割掉整数解，这是因为相应的线性 规划的任意整数可行解都满足(5-7)式的缘 故。
例
求解下面整数规划
• max z=x1+x2 -x1+x2≤1 3x1+x2≤4 x1，x2≥0 x1，x2 整数
求一个切割方程的步骤： 1 求一个切割方程的步骤： (1) 令xi是相应线性规划最优解中为分数值的一个基 变量，由单纯形表的最终表得到
x i + ∑ a ik x k = b i
k
(1)
(2) 将bi和αik都分解成整数部分N与非负真 分数f之和，即 • bi=Ni+fi，其中0＜fi＜1 • αik=Nik+fik，其中0≤fik＜1 (2) • 而N表示不超过b的最大整数。代入(1)式得
第7章第3节 平面切割
一、平面立体截交线的性质 二、平面立体截交线的求法 1． 棱柱上截交线的求法 2． 棱锥上截交线的求法
济 南 大 学 图 学 教 研 中 心
一、平面立体截交线的性质
二、平面立体截交线的求法 平面立体截交线的求法
平面切割体三视图画法及步骤
1.先进行空间分析 先进行空间分析——什么样的基本体被何 先进行空间分析 位置面切割，出现了什么样的截平面和截 交线（几边形）。 2.画切割体三视图—— 2.画切割体三视图 画切割体三视图——先画基本体三视图， 再画截平面的投影（积聚性投影）；找出 截交线（非积聚性多边形投影）上的顶点 的投影（或交线的投影），最后判可见， 连线。
[例题1] 画平面切割体的三视图 例题1 例题
[例题2] 求立体切割后的投影 例题2 例题
4′ 5′ 1′
3″
6″
（3′） （6′）
2″ 1″
4″ 5″
（2′）
Ⅲ
2
3 ⅥBiblioteka Ⅳ1Ⅱ6
Ⅴ Ⅰ
5
4
[例题3] 求立体截割后的投影 例题3 例题
1'（2'） 2" 4" 5" 1"
Ⅱ
10"
3'（4'）
10' （5'）
3"
Ⅳ Ⅺ
Ⅰ Ⅲ
Ⅹ Ⅸ
9' 11' 5 2（4） 11 1（3） 10
（6'）
8' （7'） 6 7
6" 11" 7" 8"
9"
8 9
[例题 例题4] 例题
割平面法
§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。
3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。
如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。
这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。
而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。
当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。
即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。
下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。
3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。
如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。
3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。
下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。
例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。
为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。
为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。
据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。
割平面法-经典
割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题. 其基本的步骤是: (1) 把约束条件中所有的系数整数化; (2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只 包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
1 3 x3 x4 0 4 4 4 3 即 3x 3 x 4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所得等
式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的 松驰问题.
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 x 3 3x 1 x 2 x4 1 4
k k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
f i - f ik x k 0
k
上式即为所要求的切割方程 割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广 泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其 收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
3x 3 x 4 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最优单纯
形表之中,得 cj 1 1 0 0 0
CB
1
XB
b
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4 x5
1/4 0
x1 3/4
1
0
x2 7/4
x5 -3
0
0 0
1
0 0
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也
割平面法-运筹学整数规划
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不 符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值 的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其 下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别 求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述 下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数 条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引 得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1
1整数规划的基本特点§2分枝定界法§3割平面法§4分配问题及其解法
将松弛变量加到G1中得到LP问题G2:
G2： max z 3x1 2 x 2 2 x1 3x 2 x3 14 2 x1 x 2 x 4 9 1 1 1 s.t. x3 x 4 x5 2 2 2 1 1 x5 x 6 2 2 x j 0( j 1,,6)
第一步：把问题中所有约束条件的系数均化 为整数，若不考虑变量的整数约束，可写出一般 的线性规划问题G0：
G 0： max z 3 x1 2 x 2 2 x1 3 x 2 14 s.t. 2 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
用单纯形法求得上述问题的最终单纯形表如下：
第5章 整数规划
§1 §2 §3 §4 §5 整数规划的基本特点 分枝定界法 割平面法 分配问题及其解法 整数规划的应用举例
§3 割平面法
• 这是求解整数规划问题最早提出的一种方法， 1958年由Gomory提出。 • 他的基本思想是在整数规划问题的松弛问题中 依次引进线性约束条件，是可行域逐步缩小。 但每次切割只割去问题的部分非整数解，直到 使问题的目标函数值达到最优的整数点成为缩 小后可行域的一个顶点，这样即可用线性规划 问题的方法找出这个最优解。 • 具体步骤如下：
迭代 基变 次数 量 CB x2 x1 2 3 Cj-Zj
x1 3 0 1 0
x2 2 1 0 0
x3 0 1/2 -1/4 -1/4
x4 0 -1/2 3/4 -5/4 b 5/2 13/4
比值 bi/aij
第二步：找出非整数解变量中分数部分最大的一个基变量， 并写下这一行的约束 1 1 1 x3 x4 2 2 2 2 将上式中所有常数写成整数与一个正分数值之和得 x2 1 1 1 x2 (0 ) x3 (1 ) x4 (2 ) 2 2 2 分数项移到等式右端，整数项移到等式左端得到 1 1 1 x2 x4 2 x3 x4 2 2 2 右端也必须取整数值，又因x2 , x4 0，因此有 1 1 1 x3 x4 0 2 2 2 加上松弛变量后得Gomory约束 1 1 1 x3 x4 x5 0 2 2 2
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割平面法的基本思想是：首先不考虑 整数条件，增加另外的约束条件，把原来 的可行域切掉一部分，被切掉的部分不包 含任何整数可行解. 经过有限次的切割， 最终得到某个顶点的坐标恰好是整数，并
且是问题的最优解.
例如 求解整数规划问题
max Z x1 x2 x1 x2 1 3 x1 x2 4 x1 , x2 0 x , x 为整数 1 2
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
表3-4
S
-59 0 0 0 -1 -8
x1 x2 x3
fi 0
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
以 x1 为来源行得割平面不等式：
j m 1
x2
割平面
1
C (1, 1)
3 7 x1 , x2 = 4 4 max Z 10 4
1
x1
回到一般问题上：
整数规划（A）
max S c j x j a
j 1 n ij n
松弛问题（B）
max S c j x j a
j 1 n j 1 ij n
加入松弛变量 y1 ，得割平面方程
7 22 x3 1 22 x4 y1 1 2
将割平面方程表达的约束条件加到单纯形表 的最后一行，并把松弛变量补到最后一列
表3-3
S
-63 92 72 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 - 28 11 -1 22 7 22 -7 22 -15 11 3 22 1 22 -1 22 0 0 0 1
x2
A (3 4, 7 4)
1
C (1, 1)
3 7 x1 , x2 = 4 4 max Z 10 4
1
x1
例如 求解整数规划问题
max Z x1 x2 x1 x2 1 3 x1 x2 4 x1 , x2 0 x , x 为整数 1 2
j m 1
n
f ij x j 0
割平面不等式
yi
对上式引入松弛变量
fi 0
j m 1
割平面方程
n
f ij x j yi 0
j m 1
n
f ij x j yi f i 0
例1 用割平面法求解整数规划问题
(I)
(II) max S 7 x1 9 x2 max S 7 x1 9 x2 1 x1 3 x2 x3 6 x1 x2 2 3 x 1 x 5 7x x x 35 1 7 2 1 2 4 x1 , x2 0 且为整数 x1 ,, x4 0
fi 0
j m 1
n
f ij x j 0
f20 ( f23 x3 f24 x4 ) 0
1 2 7 22 x3 1 22 x4
表3-2
S
-63 92 72 0 1 0 0 0 1 - 28 11 -1 22 7 22 -15 11 3 22 1 22
x1 x2
xm 0
xm1 b0m1 b1m1
xn b0n
1
1
bim1 bmm1
b1n bin bmn
设 bi 0 不是整数， 再设
xi
j m 1
bij [bij ] f ij , bi0 [bi0 ] f i0 ,
ij j
n
bij x j bi 0 xi
解（1）把约束条件中的系数化为整数，加上 松弛变量，去掉整数约束，得到相应的松弛 问题(II). 用单纯形法求解问题 (II) ，得最优单纯形表
表3-2
S
-63 92 72 0 1 0 0 0 1 - 28 11 -1 22 7 22 -15 11 3 22 1 22
x1 x2
最优解为 x1 9 2, x2 7 2 ，不是整数 （2）引进以 x2 所在行为来源行的割平面：
[b ]x
ij
n
j
n
j m 1
n
f ij x j [bi 0 ] f i 0 [bi 0 ] f i 0
(0 fi 0 , fij 1)
即
xi
j m 1
[b ]x
ij
j
j m 1
n
f ij x j
整数
若要决策变量都取整数，则
fi 0
x1 x2 y1
表3-3
S
-63 92 72 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 - 28 11 -1 22 7 22 -7 22 -15 11 3 22 1 22 -1 22 0 0 0 1
x1 x2 y1
用对偶单纯形法求解，得最终单纯形表
表3-4
S
-59 0 0 0 -1 -8
x1 x2 x3
j m 1
[b ]x
n
j m 1
n
f ij x j [bi 0 ] f i 0
xi
j m 1
[b ]x
ij
n
j
n
j m 1
n
f ij x j [bi 0 ] f i 0 [bi 0 ] f i 0
(0 fi 0 , fij 1)
x j bi (i 1, , m )
j 1
x j bi (i 1, , m )
x j 0 且为整数
xj 0
设松弛问题（B）的最优单纯形表为：
表3-1
x1 S x1 xi xm b00 b10 bi 0 bm0 0 1
xi 0
x2
A (3 4, 7 4)
1
C (1, 1)
3 7 x1 , x2 = 4 4 max Z 10 4
1
x1
例如 求解整数规划问题
max Z x1 x2 x1 x2 1 3 x1 x2 4 x1 , x2 0 x , x 为整数 1 2
32 7 3 11 7 4 7
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
17 0 17 -1 7
-1 7 0 1 0 -22 7 0 -6 7 1
换基迭代，得
表3-6
S 55 x1 4 x2 3 x3 1 x4 4
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
x1 4, x2 3, S 55
2 1 1 4 6 7 1 0 1 7
请练习：
100页 习题三
第3题
（用割平面法求解）
x x 2, Z 14 答案： 1 2
作业：用割平面法求解整数规划问题
max Z 7 x1 9 x2
x1 3 x2 6 7 x1 x2 35 x1 , x2 0 且为整数
x1 x2
最优解为 x1 9 2, x2 7 2 ，不是整数 （2）引进以 x2 所在行为来源行的割平面：
fi 0
j m 1
n
f ij x j 0
f20 ( f23 x3 f24 x4 ) 0
1 2 7 22 x3 1 22 x4
割平面不等式
1 2 7 22 x3 1 22 x4 7 22 x3 1 22 x4 1 2
选择割平面的经验规则： ① 选择 f i 0 的值大的； f10
n
f20 1 2
②
f ij 小的． 若 f i 0 相等，则选择j m 1
f13 f14 21 22 3 22= 24 22 f23 f24 7 22 1 22=8 22
√
表3-2
S
-63 92 72 0 1 0 0 0 1 - 28 11 -1 22 7 22 -15 11 3 22 1 22
即
xi
j m 1
[b ]x
ij
j
j m 1
n
f ij x j
整数
f ij x j 0
若要决策变量都取整数，则
fi 0
j m 1
n
j m 1
n
f ij x j 0 fi 0
j m 1
fi 0 1
n
f ij x j 1
xi
j m 1
n
f ij x j 0 f10 ( f13 x3 f14 x4 ) 0
4 7 1 7 x4 6 7 y1 0
引进松弛变量 y2 ，得割平面方程
1 7 x4 6 7 y1 y2 4 7
如前所述，修改单纯形表
表3-5
S x1 x2 x3 y2
-59 0 0 0 -1 -8 0
x 4, x 3, Z 55 答案： 1 2
胡运权习题集 5.8(a)
Байду номын сангаас