多次相遇和追及问题详解

多次相遇和追及问题教学目标1. 学会画图解行程题2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题知识精讲板块一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．例1】（难度等级※）甲、乙两名同学在周长为300 米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4 米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？解析】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10 倍，为300 10 3000米，因为甲的速度为每秒钟跑 3.5 米，乙的速度为每秒钟跑 4 米，所以这段时间内甲共行了3.53000 3.5 1400米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200 米，可知甲还需行 3.5 4300 200 100米才能回到出发点．巩固】（难度等级※）甲乙两人在相距90 米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒 3 米，乙的速度是每秒2 米．如果他们同时分别从直路两端出发，10 分钟内共相遇几次？解析】17巩固】（难度等级※）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点 A 背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1 米，那么两人第五次相遇的地点与点 A 沿跑道上的最短路程是多少米?解析】176、运用倍比关系解多次相遇问题例2】（难度等级※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8 千米，这时是几点几分？解析】画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8 ＝12（千米）这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12 ÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8 ×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16 （千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16 千米需要16分钟. 8＋8＋16＝32.所以这时是8 点32 分。

例3】（难度等级※※）甲、乙两车分别同时从A、B 两地相对开出，第一次在离 A 地95 千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地25 千米处相遇．求A、B 两地间的距离是多少千米？解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：A、B 两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A 、B 两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个 A 、B 两地间的距离时，甲车行了95 千米，当它们共行三个A、B 两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95 ×3=285（千米），而这285千米比一个A、B 两地间的距离多25千米，可得：95 ×3-25=285-25=260（千米）．巩固】（难度级别※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 4 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 3 千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.解析】4×3=12 千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距 B 地的 3 千米，所以全程是12-3=9 千米，所以两次相遇点相距9-（3+4）=2 千米。

巩固】（难度等级※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地7 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 5 千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.解析】 4 千米巩固】（难度等级※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 6 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 4 千米处第二次相遇，求两人第 5 次相遇地点距 B 多远.解析】12 千米巩固】（难度等级※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地7 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 3 千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.解析】90 千米巩固】（难度等级※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离 A 地 3 千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距 B 地 2 千米处第二次相遇，求第2000 次相遇地点与第2001 次相遇地点之间的距离.解析】 4 千米巩固】（难度等级※※）甲、乙二人以均匀的速度分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地13千米处第二次相遇，求AB 两地之间的距离.解析】41 千米例4】（难度等级※※※）如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60 米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．1 解析】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完1圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙213共走完1+ 1＝3圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相22遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的 3 倍，即100 ×3=300 米．有甲、乙第二次相3遇时，共行走（1 圈－60）+300 ，为3圈，所以此圆形场地的周长为480 米．2巩固】（难度等级※※※）如图， A 、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B 点同时出发反向行走，他们在 C 点第一次相遇， C 离 A 点80 米；在 D 点第二次相遇， D 点离 B 点6O 米.求这个圆的周长.解析】360巩固】A、 B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，在D点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？解析】340三、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走 1 个全程；第 2 次相遇，共走 3 个全程；第 3 次相遇，共走 5 个全程；第N 次相遇，共走2N-1 个全程；注意：除了第 1 次，剩下的次与次之间都是 2 个全程。

即甲第 1 次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。

2. 同地同向出发：第1次相遇，共走 2 个全程；第 2 次相遇，共走 4 个全程；第 3 次相遇，共走 6 个全程；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差【例5】小明和小红两人在长100 米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为 6 米/秒，小红的速度为 4 米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12 分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？【解析】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：100 （6 4）10（秒）．此后，两人每相遇一次，就要合跑 2 倍的跑道长，也就是每20 秒相遇一次，除去第一次的10 秒，两人共跑了12 6010 710（秒）．求出710 秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：100 （6 4）10（秒），（12 60 10）（10 2）35L 10，共相遇35 1 36（次）。

注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．例6】A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达 B 地时，乙追上甲几次？解析】甲A F E B乙第一次相遇第一次追上由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100 80 20（分钟）内所走的路程恰等于线段FA的长度再加上线段AE 的长度，即等于甲在（80 100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（180 20 ），则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B ，共需走80 （1 9） 800（分钟）乙第一次追上甲时，所用的时间为100 分钟，且与甲的路程差为一个AB全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟（100 2），所以，在甲从A到B的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300 分钟，500分钟和700 分钟．例7】（难度等级※※※）甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的，二3 人相遇后继续行进，甲到 B 地、乙到A地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，A、B两地相距千米．解析】由于甲、乙的速度比是2:3，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是 2 : 3．第一次相遇时，两人共走了一个AB的长，所以可以把AB的长看作5份，甲、乙分别走了 2 份和 3 份；第二次相遇时，甲、乙共走了三个AB ，乙走了 2 3 6份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB ，乙走了 2 5 10 份．乙第二次和第三次相距10－6=4（份）所以一份距离为：100 ÷4=25（千米），那么A、B 两地距离为： 5 ×25＝125（千米）巩固】（难度等级※※※）小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇（追上也算作相遇），则甲、乙两地的距离为千米．解析】 由 于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇，所以 两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及．①如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在 A 处相遇，第二次在 B 处相遇．由于 第一次相遇时两人合走 1 个全程，小王走了 3 千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走全程，所以这期间小王走了 3 2 6千米，由于 A 、 距离为 （6 3） 2 1.5 千米，甲、乙两地的距离为 6②如果第二次相遇为同向追及，如上图，两人第一次在 A 处相遇，相遇后小王继续向前走，小李 走到甲地后返回， 在 B 处追上小王． 在这个过程中， 小王走了 6 3 3千米，小李走了 6 3 9千 米，两人的速度比为 3:9 1:3 ．所以第一次相遇时小李也走了 9 千米，甲、乙两地的距离为 9 3 12 千米． 所以甲、乙两地的距离为 7.5千米或 12 千米．巩固】 （难度级别 ※※※） A ， B 两地相距 540 千米。