多人多次相遇与追及
五年级奥数思维多人多次的相遇与追及
多人多次的相遇与追及【知识导学】本讲我们要学习多个对象之间的行程问题．在本讲的学习中，大家一定要重视线段图的作用．本讲行程问题最大的特点就是“繁”——人多、车多、过程多．怎么解决这样复杂的问题呢？首先，必须有勇气，只要有勇气，你就敢面对这样的问题，积极开动脑筋去想；其次，必须有耐心，只要有耐心，你就能动手去画图，细致地分析每一组数量关系，再花上些时间，题目自然能够搞定．一、从不同的角度想问题，同一段路程通过不同的角度去分析，会有不同的发现．二、两人的运动时间相同时，他们的路程倍数关系就等于速度倍数关系．【例题精讲】【例1】叮叮、咚咚两人从A地，铛铛从B地同时出发，相向而行．叮叮的速度为每小时7千米，铛铛的速度为每小时5千米．出发3小时后，叮叮与铛铛相遇．又过了1小时，咚咚也与铛铛相遇．请问：咚咚的速度是多少？【及时巩固】叮叮、咚咚两人从A地，铛铛从B地同时出发，相向而行．叮叮的速度为每小时6千米，铛铛的速度为每小时4千米．出发3小时后，叮叮与铛铛相遇．又过了1小时，咚咚也与铛铛相遇．请问：咚咚的速度是多少？【例2】甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A地出发到B地去．出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？【及时巩固】叮叮、咚咚两人从A地，铛铛从B地同时出发，相向而行．铛铛出发5小时后遇到叮叮，6小时后遇到咚咚．已知叮叮每小时行2千米，咚咚每小时行1.6千米，请问：铛铛每小时能行多少千米？【例3】A、B两城相距48千米，甲、乙两人从A城，丙从B城同时出发，相向而行．甲、乙、丙三人的速度分别是每小时4千米、2千米、2千米．请问：出发多长时间后，甲正好在乙和丙的中点？【及时巩固】老贺、老刘和老郭同时出发，其中老刘从A出发往B走，另外两人从B出发往A走．已知A、B两地相距28千米，老贺、老刘和老郭分别以每小时1千米、2千米、3千米的速度前进．那么在出发后多久，老郭正好在老贺与老刘的中点？【例4】A、B 两城相距 48 千米，甲、乙两人从A 城，丙从B 城同时出发，相向而行．甲、乙、丙三人的速度分别是每小时 4 千米、2 千米、 2 千米．请问：出发多长时间后，丙正好在甲和乙的中点？【及时巩固】老贺、老刘和老郭同时出发，其中老刘从A 出发往B 走，另外两人从B 出发往A 走．已知A、B 两地相距 28 千米，老贺、老刘和老郭分别以每小时 1 千米、2 千米、3 千米的速度前进．那么在出发后多久，老刘正好在老郭与老贺的中点？【例5】甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 3 倍．现在甲从A 地向B 地行进，乙、丙两人从B 地向A 地前行．三人同时出发，出发时，甲、乙步行，丙骑车．甲走了 6 千米时遇到丙，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进．试问：甲骑车行多少千米后遇到乙？甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，两人仍按原来的方向继续前进．试问：乙骑车到达A地时，甲离B地有多远？【及时巩固】甲、乙、丙三人步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的 2 倍．现在甲从A 地向B 地行进，乙、丙两人从B 地向A 地前行．三人同时出发，出发时甲、乙步行，丙骑车．甲走了 6 千米时遇到丙，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按原来的方向继续前进．试问：甲骑车行多少千米后遇到乙？甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，两人仍按原来的方向继续前进．试问：乙骑车到达A 地时，甲离B 地有多远？【课后作业】1. 北京和唐山之间的铁路长 210 千米，甲、乙两辆列车分别从北京和唐山同时出发，甲车的速度是每小时 57 千米，乙车的速度是每小时 90 千米．在甲车出发时，同时有一辆列车丙也从北京开出，车速为每小时 120 千米，那么当乙、丙相遇时，列车甲距离唐山多少千米？2. 甲、乙两人同时从A 骑车出发前往B 地，其中甲的速度为 12 米/ 秒，乙的速度为8 米/ 秒．出发后 10 分钟，甲遇到了迎面走来的丙，又过了 2 分 40 秒，乙也遇到了丙．那么丙的速度等于多少？3. 老贺、老郭和老刘同时出发，分别以每小时 1 千米、3 千米、1 千米的速度前进．其中老贺从A 出发往B 走，另外两人则从B 出发往A 走．已知A、B 两地相距 36 千米，那么在出发后多久，老郭正好在老贺与老刘的中点？4. 老贺、老郭和老刘同时出发，分别以每小时 1 千米、3 千米、1 千米的速度前进．其中老贺从A 出发往B 走，另外两人则从B 出发往A 走．已知A、B 两地相距 36 千米，那么在出发后多久，老贺正好在老郭与老刘的中点？5. 甲、乙两人从A 出发，丙从B 出发，三人出发时间相同，且相向而行．在出发时，甲和丙的速度相同，而乙是他们的 4 倍．当甲前进了 5 千米时，乙、丙两人相遇，而且两人相遇之后速度大小相互交换但方向保持不变．当甲、丙相遇时，两人也相互交换速度，但方向保持不变，那么当乙到达B 点时，甲在距离B 点多少千米的地方？。
通用版小学五年级奥数《多次相遇和追及问题》讲义(含答案)
一、由简单行程问题拓展出的多次相遇问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键 几个全程多人相遇追及的解题关键 路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求知识框架多次相遇与追及问题数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 1】甲、乙两车同时从A 地出发，不停的往返行驶于A ，B 两地之间。
已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地。
问：甲车的速度是乙车的多少倍？【巩固】 甲、乙二人从相距 60千米的两地同时相向而行，6时后相遇。
如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。
问：甲、乙二人的速度各是多少？例题精讲【例 2】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【巩固】A、B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D 点第二次相遇．已知C离A有75米，D离B有55米，求这个圆的周长是多少米？【例 3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【巩固】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【例 4】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑。
多人相遇和追赶问题
多人相遇和追赶问题简介多人相遇和追赶问题是一个有趣而具有挑战性的数学问题。
这个问题涉及到若干个人以不同的速度在同一条直线上行走。
他们的目的地可能相同也可能不同。
当他们在某个时间点相遇时，我们需要确定是哪些人相遇了，以及在什么位置。
问题描述假设有A、B、C三个人，分别表示为A、B、C。
他们在同一条直线上行走，每个人都以不同的速度运动。
我们想知道当他们在某个时间点相遇时，他们的位置和相遇的人。
解决方案解决多人相遇和追赶问题的一种常用方法是使用相对速度。
我们可以计算出每对人之间的相对速度。
然后，我们可以根据相对速度和初始位置，解决方程组来确定他们相遇的时间点和位置。
算法步骤1. 计算出每对人之间的相对速度。
例如，A和B的相对速度为(A的速度 - B的速度)。
2. 选择一个确定的时间点t，计算每个人在该时间点的位置。
例如，A在时间t的位置为A的初始位置 + A的速度 * t。
3. 检查每对人之间的相对位置，如果他们在该时间点相遇，则记录下来。
4. 根据记录的相遇情况和位置，得出结论。
示例假设A的速度为3，B的速度为5，C的速度为4。
他们的初始位置分别为A的位置为0，B的位置为10，C的位置为5。
我们想知道在什么时间点他们会相遇以及相遇位置。
1. 计算相对速度：- A和B的相对速度为3 - 5 = -2- A和C的相对速度为3 - 4 = -1- B和C的相对速度为5 - 4 = 12. 选择一个时间点t，假设t为2。
计算每个人在时间点2的位置：- A在时间2的位置为0 + 3 * 2 = 6- B在时间2的位置为10 + 5 * 2 = 20- C在时间2的位置为5 + 4 * 2 = 133. 检查相对位置：- A和B位置相差14，相对速度为-2，无法相遇- A和C位置相差7，相对速度为-1，无法相遇- B和C位置相差7，相对速度为1，无法相遇由于在时间点2无人相遇，我们可以选择不同的时间点重复上述步骤，直到找到相遇的时间点和位置。
第2讲：多人多次的相遇与追及(教学设计)-2023-2024学年四年级下册数学人教版
第2讲：多人多次的相遇与追及（教学设计）-2023-2024学年四年级下册数学人教版一、课程基本信息1. 课程名称：第2讲：多人多次的相遇与追及2. 教学年级和班级：2023-2024学年四年级下册数学3. 授课时间：2023年3月15日星期三下午第一节课4. 教学时数：45分钟课程目标：1. 让学生理解多人多次相遇与追及的概念，掌握计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的思维能力和团队合作能力。
教学内容：1. 多人多次相遇2. 多人多次追及3. 相遇与追及的计算方法教学过程：1. 导入（5分钟）教师通过实际生活中的例子，引发学生对多人多次相遇与追及的兴趣，引导学生思考如何用数学知识解决此类问题。
2. 讲解多人多次相遇（10分钟）教师通过讲解和示例，让学生理解多人多次相遇的概念，并掌握计算方法。
3. 讲解多人多次追及（10分钟）教师通过讲解和示例，让学生理解多人多次追及的概念，并掌握计算方法。
4. 小组合作（15分钟）学生分成小组，共同完成一个多人多次相遇与追及的实际问题，培养学生的团队合作能力。
5. 总结与作业（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，布置相关的作业，帮助学生巩固所学知识。
教学资源：1. 教材：四年级下册数学人教版2. 教具：黑板、粉笔、PPT等3. 学具：练习本、铅笔、橡皮等教学评价：1. 学生能理解多人多次相遇与追及的概念，掌握计算方法。
2. 学生能运用数学知识解决实际问题。
3. 学生能积极参与小组合作，提高团队合作能力。
二、核心素养目标三、学习者分析1. 学生已经掌握了哪些相关知识：学生在之前的学习中已经了解了简单的相遇与追及问题，能够运用基本的速度和时间关系来解决一些简单的相遇与追及问题。
2. 学生的学习兴趣、能力和学习风格：四年级的学生对生活中的数学问题通常比较感兴趣，他们喜欢通过实际操作和游戏来学习。
在学习风格上，他们喜欢合作学习，能够通过小组讨论来解决问题。
高斯小学奥数四年级下册含答案第03讲_多人多次相遇与追及
第三讲多人多次相遇与追及在之前的课程中，我们已经学过了如何处理两个对象之间的相遇追及问题．本讲我们进一步学习过程更为复杂的三个对象之间的行程问题．本讲中画线段图非常重要，你还记得画行程图要注意什么吗？例题1有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走40米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米．A 、B 两地相距2700米．甲从A 地，乙、丙从B 地同时出发相向而行．请问，甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇？「分析」全程已知，三个人的速度也都已知，那么甲乙的相遇时间、甲丙的相遇时间都是可以计算出来的． 练习1有冰冰、雪雪、霜霜三个人，冰冰每秒钟走4米，雪雪每秒钟走5米，霜霜每秒钟走6米．A 、B 两地相距990米．雪雪从A 地，霜霜、冰冰从B 地同时出发相向而行．请问，雪雪与霜霜相遇之后多少秒又与冰冰相遇？例题2叮叮、咚咚两人开车从A 地，铛铛则从B 地同时出发，相向而行．叮叮的速度为每小时70千米，铛铛的速度为每小时50千米．出发3小时后，叮叮与铛铛相遇．又过了1小时，咚咚也与铛铛相遇．请问：咚咚的车速是多少？「分析」请在图中把过程补全，并标出相应的数据，例如速度、时间、路程等．然后注意分析，看看哪个过程是可以计算的？ 练习2小春、小秋两人从A 地，小夏则从B 地同时出发，相向而行．小春的速度为每小时60千米，小夏的速度为每小时40千米．出发3小时后，小春与小夏相遇．又过了1小时，小秋也与小夏相遇．请问：小秋的速度是多少？A 地B 地叮叮咚咚铛铛例题3甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米，两车同时从A 地出发到B 地去，出发6小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？「分析」本题的运动过程和上题类似吗？请先把图补充完整，仍然是标出数据进行分析，看看哪个过程是可以计算的？ 练习3甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时60千米和每小时45千米，两车同时从A 地出发到B 地去，出发7小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车．又过了1小时，乙车也遇到了这辆卡车．请问：这辆卡车的速度是多少？通过前面几道例题，同学们会发现解决多人多次的相遇与追及等更为复杂的行程问题，画线段图是相当重要的．然而我们不但要学会画图，还要学会看图．“横看成岭侧成峰”，同一个对象从不同的角度去观察往往会有不同的认识．就像例题4中红色的那条线段，既可以看成甲、乙两车的路程差，也可以看成乙车与卡车的路程和．当运动过程趋于复杂时，尤其需要这种从不同角度看待问题的思维习惯，这样才能充分利用好题目中的条件．A 地B 地甲车卡车乙车例题4甲、乙、丙三人走路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米．如果甲从A 地，乙和丙从B 地同时出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A 、B 两地间的距离为多少米？「分析」请自己画出详细的线段图，好好分析一下，还能像前面两个例题那样一段一段计算吗？如果不能，该怎么办呢？ 练习4刘备、关羽、张飞三人，刘备每分钟走40米，关羽每分钟走60米，张飞每分钟走50米．如果刘备从A 地，关羽和张飞从B 地同时出发相向而行，刘备和关羽相遇后，过了10分钟又与张飞相遇，求A 、B 两地间的距离为多少米？上面几道例题的运动过程是一样的，在这样的运动过程里面，会有两次相遇运动和一次追及运动．在这个运动过程中有一段路程既是路程和又是路程差，需要同学们格外注意．接下来我们来看一下和速度倍数相关的行程问题．大家想象一下，如果甲、乙两人同时出发同向前进，甲的速度是乙的3倍，那么5分钟后，甲的路程是乙的几倍？30分钟后，甲的路程又是乙的几倍？2个小时后，甲的路程又是乙的几倍？其实上述问题的答案都是3倍．不管时间过了多久，只要甲、乙两人的时间相同，他们路程的倍数关系就等于速度的倍数关系． 例题5A 、B 两城相距48千米，甲、乙、丙三人分别以每小时4千米、2千米、2千米的速度行走．甲、乙两人从A 城，丙从B 城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，甲正好在乙和丙的中点？「分析」速度分别是4、2、2，那么我们可以把三人的路程分别设为几份呢？请试着画出线段图，标份数进行分析．A B甲乙 丙例题6A 、B 两城相距50千米，甲、乙、丙三人分别以每小时4千米、2千米、2千米的速度前进．甲、乙两人从A 城，丙从B 城同时出发，相向而行．请问：出发多长时间后，丙正好在甲和乙的中点？「分析」同上题，还是需要把路程设份数，画出线段图进行分析．但要注意，丙在甲、乙的中点，应该是在甲、丙相遇错开后发生的．形象的来说，本讲行程问题最大的特点就是“繁”——人多、车多、过程多．怎么解决这样复杂的问题呢？首先，必须有勇气，只要有勇气，你就敢面对这样的问题，积极开动脑筋去想． 其次，必须有耐心，只要有耐心，你就能动手去画图，细致的分析每一组数量关系，再花上些时间，题目自然能够搞定．或许有人会说，这根本不是什么解题技巧，画线段图、分析倍数关系才是解题．其实，这些只是技巧中的皮毛，真正的技巧是一种智慧，而勇气和耐心就是这种智慧的内涵． 课堂内外换个角度看问题有这样一个故事：有个年轻人为贫所困，便向一位老者请教．老者问：“你为什么失意呢？”年轻人说：“我总是这样穷．”“你怎么能说自己穷呢？你还这么年轻．”“年轻又不能当饭吃．”年轻人说．老者一笑：“那么，给你一万元，让你瘫痪在床，你干吗？”“不干．”“把全世界的财富都给你，但你必须现在死去，你愿意吗？”“我都死了，要全世界的财富干什么？”老者说：“这就对了，你现在这么年轻，生命力旺盛，就等于拥有全世界最宝贵的财富，又怎能说自己穷呢？”年轻人一听，又找回了对生活的信心．美国心理学家艾里斯曾提出一个叫“情绪困扰”的理论．他认为，引起人们情绪结果的因素不是事件本身，而是个人的信念．所以，许多在现实中遭遇挫折的人，往往认为“自己倒霉”，“想不通”，这些其实都是本人的片面认识和解释，正是这种认识才产生了情绪的困扰．实际情况是，人们的烦恼和不快，常常与自己的情绪有关，同自己看问题的角度有关．能否战胜挫折，关键在于自己要有主心骨，任何情况下都不被一时的失意和不快左右，永远怀AB甲乙丙着希望和信心，就能从逆境和灾难中解脱出来．再拿前面提到的那个自认为很穷的年轻人来说吧，其实，穷与富只是相对而言，并没有一个客观标准．一个人即使没有多少物质财富，但他有青春和生命，有奋发进取的精神状态，就不能说他穷．如果一个人热爱生命，就会感到充实和富有．概而言之，任何事情都不是绝对的，就看你怎么去对待它．作业1.小竹、小松两人从A地，小梅则从B地同时出发，相向而行．小竹的速度为每小时55千米，小梅的速度为每小时45千米．出发4小时后，小竹与小梅相遇．又过了1小时，小松也与小梅相遇．A、B两地相距多少千米？小松每小时走多少千米？2.甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时80千米和每小时65千米，两车同时从A地出发到B地去，出发8小时后，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，这时乙车与卡车相距多少千米？又过了1小时，乙车也遇到这辆卡车．这辆卡车每小时行多少千米？3.哈利、罗恩、赫敏三人，哈利每分钟走60米，罗恩每分钟走50米，赫敏每分钟走45米．如果哈利从A地，罗恩和赫敏从B地同时出发，相向而行．哈利和罗恩相遇2分钟后，又与赫敏相遇．当哈利和罗恩相遇时，赫敏和罗恩相距多少米？A、B两地间的距离为多少米？4.东、西两城相距60千米．小明从东向西跑，每小时跑8千米；小光从西向东走，每小时走4千米；小亮骑自行车从东向西，每小时骑行11千米．3人同时动身，途中小亮遇见小光即折回向东骑，遇见了小明又折回向西骑，再遇见小光又折回向东骑，如此不断往返，直到三人在途中相遇为止．则小亮共行了多少千米？5.老贺、老郭和老刘同时出发，分别以每小时1千米、3千米、1千米的速度前进．其中老贺从A出发往B走，另外两人则从B出发往A走．已知A、B两地相距36千米，在出发后多少小时，老郭正好在老贺与老刘的中点？第三讲 多人多次相遇与追及1. 例题1答案：3分钟详解：甲和乙相遇时的路程和是2700千米，速度和是100米/分，所以相遇时间是270010027÷=分钟．甲和丙相遇时的路程和也是2700千米，速度和是90千米/时，所以相遇时间是27009030÷=分钟，又过了3分钟甲和丙才相遇．2. 例题2答案：40千米/时详解：首先画出线段图（如下图），有两次相遇，其中还隐藏了一次追及问题． AB 全程：()70503360+⨯=千米咚咚和铛铛相遇时间是4小时，他们速度和是：360490÷=千米/时， 那么咚咚的速度是905040-=千米/时．3. 例题3答案：32千米/时详解：首先画出线段图，包括两次相遇和一次追及．在这类型的题目中，有一段非常重要的路程（即红色部分标出的）．这段是甲车、乙车6个小时行驶的路程差，也是乙车和卡车1个小时的路程和．如果能够求出这段路程是多少，就可以将两个运动过程联系起来．甲车和乙车的速度差是12千米/时，6个小时行驶的路程差是72千米．所以乙车和卡车1个小时行驶的路程和是72千米．乙车和卡车的速度和是72172÷=千米/时．所以卡车的速度是724032-=千米/时．4. 例题4答案：16500米详解：画出线段图如下，从出发到①时刻，有甲和乙的相遇、乙和丙的同向行驶，由甲、乙相遇求AB 距离、即路程和，速度和已知，需要求时间．乙、丙同向行驶，A 地B 地咚 铛50km/h70km /h 叮A 地 B 地甲车乙车52千米40千米速度差已知，如果知道路程差就可以求时间．①→②时间内，是甲、丙的相遇过程，时间为15分钟，知道速度和，可得①→②甲、丙路程和为()4060151500+⨯=米．接下来的关键和例4是一样的，路程和同时也是路程差，即乙、丙路程差为1500米，追及时间为()150********÷-=分钟，即从出发到①时刻共150分钟，全程为()506015016500+⨯=米．5. 例题5答案：6小时详解：先将行程图补充完整（见下图）．设甲走了“4”，乙和丙都走了“2”．此时甲在乙、丙中点，所以图中红色线段表示的路程是相等的，都是“2”．所以全程是“8”，即48千米，所以“1”是6千米，甲走了“4”是24千米，速度是4千米/时，所以行走时间是6小时．另外一个方法是，乙、丙的速度是一样的，其实，乙、丙中点始终就是全程的中点．所以甲行驶到乙、丙中点时，甲一定也在全程的中点，所以甲走了24千米，速度是4千米/时，行走时间仍然是6小时．6. 例题6答案：10小时详解：先将行程图补充完整（见下图）．设甲走了“4”，乙和丙都走了“2”．此时丙在甲、乙中点，所以图中红色线段表示的路程是相等的，都是“1”．所以全程是“5”，即50千米，所以“1”是10千米．甲走了“4”是40千米，速度是4千米/时，所以行走时间是10小时．B乙 丙 50米/40米/60米/分千米/时 A B 甲乙 4千米/2千米/A B2千米/4千米/7. 练习1答案：20分钟详解：雪雪和霜霜相遇时的路程和是990千米，速度和是11米/分，所以相遇时间是9901190÷=分钟．雪雪和冰冰相遇时的路程和也是990千米，速度和是9千米/时，所以相遇时间是9909110÷=分钟，又过了20分钟雪雪和冰冰才相遇．8. 练习2答案：35千米/时详解：有两次相遇，其中还隐藏了一次追及问题． AB 全程：()60403300+⨯=千米小秋和小夏相遇时间是4小时，他们速度和是：300475÷=千米/时， 那么小秋的速度是754035-=千米/时．9. 练习3答案：60千米/时简答：首先画出线段图，包括两次相遇和一次追及．在这类型的题目中，有一段非常重要的路程（即红色部分标出的）．这段是甲车、乙车7个小时行驶的路程差，也是乙车和卡车1个小时的路程和．如果能够求出这段路程是多少，就可以将两个运动过程联系起来．甲车和乙车的速度差是15千米/时，7个小时行驶的路程差是105千米．所以乙车和卡车1个小时行驶的路程和是105千米．乙车和卡车的速度和是1051105÷=千米/时．所以卡车的速度是1054560-=千米/时．10. 练习4答案：9000米简答：画出线段图如下，从出发到①时刻，有刘和关的相遇、关和张的同向行驶，由刘、关相遇求AB 距离、即路程和，速度和已知，需要求时间．关、张同向行驶，速度差已知，如果知道路程差就可以求时间．①→②时间内，是刘、关的相遇过程，时间为10分钟，知道速度和，可得①→②；刘、张路程和为()405010900+⨯=米．接下来的关键和例4是一样的，路程和同时也是路程差，即关、张路程差为900米，追及时间为()900605090÷-=分钟，即从出发到①时刻共90分钟，全程为A 地B 地 甲车乙车 60千米45千米()4060909000+⨯=米．11. 作业1答案：400；35简答：全程长：()55454400+⨯=千米，小松与小梅用了5小时相遇，所以小松的速度为：40054535÷-=千米∕时．12. 作业2答案：120；55简答：8小时内甲、乙两车的路程差为()80658120-⨯=千米．甲、乙两辆车的路程差就是后面1小时内乙车与卡车的路程和，所以卡车的速度为：12016555÷-=千米∕时．13. 作业3答案：210；4620简答：哈利和赫敏2分钟内的路程和也是罗恩和赫敏的路程差，根据这个关系可知当哈利和罗恩相遇时，赫敏和罗恩相距()26045210⨯+=米．可求出哈利与罗恩相遇所用的时间是()210504542÷-=分，全程为()4260504620⨯+=米．14. 作业4答案：55简答：小亮行驶的总时间就是小明、小光的相遇时间：()60845÷+=小时，所以路程为55千米．15. 作业5答案：6简答：当老郭在老贺与老刘的中点时，老郭的路程是“3”份，老贺和老刘的路程都是“1”份．这时老郭和老刘相距“2”份，老郭和老贺也相距“2”份，全程36千米相当于是“6”份，“1”份是6米，也即老贺走了616÷=小时，老郭正好在老贺与老刘的中点．B关 张 60米/50米/40米/分。
苏科版四(下)奥数教案第3讲~多人多次相遇与追及
四（下）奥数第3讲~多人多次相遇与追及【知识精讲】在之前的课程中，我们已经学过了如何处理两个对象之间的相遇与追及问题，本讲我们进一步学习过程更为复杂的三个对象之间的行程问题。
本讲中画线段图非常重要。
第一部分：复习基本相遇问题：速度和×相遇时间=路程和路程和÷速度和=相遇时间路程和÷相遇时间=速度和1：甲、乙两车从相距1500千米的两地同时出发，相向而行。
甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米，请问：出发多少小时后两车相遇？2：一辆巴士和一辆小轿车同时从A、B两地出发，相向而行。
巴士每小时行50千米，小轿车每小时行60千米，3小时后两车相遇，请问：A、B两地相距多少千米？3：A、B两艘船同时从相距150千米的两个码头出发，相向而行，3小时相遇，A船每小时航行25千米，请问：B船每小时航行多少千米？基本追及问题：速度差×追及时间=路程差路程差÷速度差=追及时间路程差÷追及时间=速度差1：圆圆、乐乐两人分别从相距30千米的两地同时向南行驶，圆圆骑自行车每小时行14千米，乐乐步行每小时走4千米，请问：多少小时后圆圆可以追上乐乐？2：蚂蚁在蜘蛛前面几百米处，同时出发同向而行，蜘蛛每分钟跑55米，蚂蚁每分钟爬1米，10分钟后蜘蛛追上了蚂蚁，请问：开始时蚂蚁距蜘蛛多少米？第二部分：多人相遇例1: 有A、B、C三个人，A每分钟走20米，B每分钟走40米，C每分钟走30米。
甲、乙两地相距3000米。
A从甲地，B、C从乙地同时出发相向而行。
请问：A在与B相遇之后多少分钟又与C相遇？练1:有圆圆、乐乐、静静三人，圆圆每秒钟走2米，乐乐每秒钟走4米，静静每秒钟走6米。
A、B 两地相距4800米。
圆圆从A地，乐乐、静静从B地同时出发相向而行，请问：圆圆与静静相遇后多少秒又与乐乐相遇？例2：有A、B、C三人，A每分钟走30米，B每分钟走70米，C每分钟走20米。
多次相遇和追及知识点总结
多次相遇和追及知识点总结一、多次相遇的原因1.1 巧合多次相遇有时是由于巧合造成的。
比如在一个大城市里，人口众多，交通繁忙，有时候我们可能会在街头、商场或者公园里多次遇到同一个人，这并不一定是有意为之，而是一种巧合。
1.2 共同兴趣有时候多次相遇是因为双方有着共同的兴趣爱好或者活动范围重叠，比如在同一个健身房锻炼、在同一个书店购书、在同一个音乐演出现场欣赏演出等等。
1.3 心理影响心理因素也可能导致多次相遇，比如我们对某人或某事情产生了强烈的情绪反应，就会在不同的时间和地点内多次遭遇到对方或者事件，这在心理学上被称为心理影响。
1.4 时间和地点限制有时多次相遇也可能是由于时间和地点的限制造成的，比如在同一个学校上学、在同一个公司工作、在同一个社区居住等等。
二、追及的原因2.1 感情因素在感情关系中，追及常常是因为对方产生了浓厚的兴趣和喜爱，比如爱慕、暗恋、追求等等。
2.2 工作需求在工作学习中，追及常常是因为需要和对方交流合作，比如合作项目、同事关系、师生关系等等。
2.3 人际交往在人际交往中，追及可能是因为想要与对方建立更深的人际关系，比如交友、拓展人脉、寻求帮助等等。
2.4 实现目标有时候追及也可能是为了实现自己的目标和利益，比如在商务活动中追求合作伙伴、在竞选中追求选民支持、在演艺圈中追求粉丝认可等等。
三、多次相遇和追及的应对方法3.1 积极主动对于多次相遇和追及，我们应该积极主动面对，不要因为害羞、胆怯或者被动而逃避和躲避。
3.2 理性思考在面对多次相遇和追及时，我们应该保持冷静和理性思考，不要因为情绪激动或者冲动而做出错误的决定。
3.3 坚持原则在处理多次相遇和追及时，我们应该坚持自己的原则和底线，不要为了迎合他人或者利益而做出妥协和让步。
3.4 寻求帮助如果遇到困难和问题，我们应该寻求他人的帮助和支持，不要孤立无援，因为团结一致可以力量倍增。
四、多次相遇和追及的影响4.1 关系发展多次相遇和追及可能会影响人际关系的发展，有时候会让关系更加紧密，有时候会让关系更加疏远。
小学高级奥数第14讲-多人多次相遇和追及问题
例七
甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走 70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相 遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
练一练
甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走80米，乙每分钟走90米，丙每分钟走 100米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相 遇后，又经过5分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少同时相向而行，6时后相遇。 如果二人的速度各增加1千米／时，那么相遇地点距前一次相遇 地点1千米。问：甲、乙二人的速度各是多少？
练一练
如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按 相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相 遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇。求此圆形场地的周长。
课后作业
<作业2>
在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇， 再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？
课后作业
<作业3>
小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米／时、48千米／时和42千米／ 时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿 车后30分又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？
例六 甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同 时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙。求A，B两地的距离。
练一练
小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们 两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲 地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇. 问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多人多次相遇与追及
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
多人多次相遇与追及
教师:_＿＿_＿__＿__ 科目; ＿_＿＿__＿___ 学生：＿____＿__ 上课时间:＿＿＿__＿__
【专题知识点概述】
本讲包含两个知识点,一是多次相遇追及问题，即两个对象在固定的长度上不断地往返运动,他们之间相遇追及问题;二是多人相遇追及问题,即在同一直线上，３个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
【授课批注】
多人多次是行程中重点,而画图是多人多次的重点，划出一个好的示意图，就等于问题
已经解决三分之二了,剩下的三分之一才是解题技巧。
所以如何画图，如何画好图是行
程问题的关键，需要反复练习，熟能生巧，做题才能得心应手,发挥自如。
一、多次相遇与全程的关系
1. 两地相向出发:第1次相遇，共走1个全程;
第2次相遇,共走3个全程;
第3次相遇,共走５个全程;。
，。
；
第N次相遇,共走2N-1个全程；
【授课批注】
除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米,以后每次都走2N米。
２. 同地同向出发:第1次相遇，共走2个全程；
第2次相遇,共走4个全程；
第3次相遇，共走6个全程;。
, 。
；
第N次相遇，共走2N个全程;
二、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键几个全程
多人相遇追及的解题关键路程差
【重点难点解析】
1.多人多次相遇追及的画图
2.多次多次相遇追及的解题关键
【竞赛考点挖掘】
1.近两年来杯赛的热门考点
2.常常与数论结合出题
【习题精讲】
【例１】(难度级别※※）
甲、乙二人以均匀的速度分别从A、Ｂ两地同时出发，相向而行,他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地３千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离．
【例2】（难度级别※※)
Ａ,B两地相距540千米。
甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间,都是到达一地之后立即返回,乙车较甲车快。
设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。
那么两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？
【例３】（难度级别※※）
甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走６０米，乙每分钟走６7.5米，丙每分钟走７5米,甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发,丙与乙相遇后,又经过2分钟与甲相遇,求东西两镇间的路程有多少米?
【例4】(难度级别※※)
小王的步行速度是4．8千米／小时，小张的步行速度是5.4千米/小时,他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10．8千米/小时,从乙地到甲地去．他们3人同时出发,在小张与小李相遇后5分钟,小王又与小李相遇．问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？
【例5】（难度级别※※※)
甲、乙、丙三人行路,甲每分钟走60米，乙每分钟走6５米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？
【例6】（难度级别※※※）
小张与小王分别从甲、乙两村同时出发,在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3．５千米处第一次相遇,在离乙村2千米处第二次相遇．问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)？
【例7】（难度级别※※※)
快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、9分、12分追上骑车人。
已知快、慢车的速度分别为6０千米／时和40千米/时，求中速车的速度。
【例8】（难度级别※※※)
甲、乙、丙三辆车先后从Ａ地开往B地，乙比丙晚出发５分,出发后４5分追上丙；甲比乙晚出发１5分,出发后1时追上乙。
甲和丙的速度比是多少？
【例9】(难度级别※※※）
甲、乙、丙三辆车同时从Ａ地出发到Ｂ地去,出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也
超过去了，又过了2分丙车也超了过去。
已知甲车每分走10０0米，乙车每分走800米,丙车每分
钟走多少米？
【例10】(难度级别※※※）
铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用2２秒,通过骑车人用2６秒，这列火车的车身总长是多少?
【例１１】(难度级别※※※)
学校组织军训,甲、乙、丙三人步行从学校到军训驻地。
甲、乙两人早晨6点一起从学校出发，甲每时走5千米,乙每时走４千米,丙上午8点才从学校出发，下午6点甲、丙同时到达军训驻地。
问:丙在何时追上乙？
【例1２】(难度级别※※※)
甲、乙、丙三人同时从Ａ向B跑，当甲跑到B时,乙离Ｂ还有20米,丙离B还有４０米；当乙跑到B时，丙离B还有24米。
问:（1）A, B相距多少米?（２)如果丙从Ａ跑到Ｂ用24秒，那么甲的速度是多少?
【例１３】（难度级别※※※※※）
小王的步行速度是５千米/小时，小张的步行速度是6千米/小时,他们两人从甲地到乙地去.小李骑自
行车的速度是10千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后3０分钟，
小王又与小李相遇．问:小李骑车从乙地到甲地需要多少时间?
【例14】（难度级别※※※)
甲从A地出发前往B地，２小时后,乙、丙两人同时从B地出发前往A地，结果甲和丙相遇在C
地,甲和乙相遇在Ｄ地.已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的1．5倍，A、Ｂ两地之间的距离
是298千米,C、D两地之间的距离是25千米.求丙的速度．
【例１5】(难度级别※※※）
甲从Ａ地出发前往B地，1小时后,乙、丙两人同时从B地出发前往A地,结果甲和丙相遇在C地，
甲和乙相遇在D地．已知甲和乙的速度相同，丙的速度是乙的1.5倍,A、B两地之间的距离是220
千米,Ｃ、D两地之间的距离是２０千米．求丙的速度.
【例1６】(难度级别※※※）
甲从A地出发前往B地,1小时后,乙也从A地出发前往Ｂ地,又过1小时,丙从Ｂ地出发前
往A地，结果甲和丙相遇在C地,乙和丙相遇在D地．已知乙和丙的速度相同，丙的速度
是甲的2倍,C、D两地之间的距离是50千米．求乙出发１小时后距Ｂ地多少千米。
【例１7】（难度级别※※※）
李华以每小时步行4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到,半小时后，营地老师闻
讯前往迎接，每小时比李华多走1．2千米。
又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到,结果
三人同时在途中某地相遇。
问骑车人每小时行驶多少千米？
【例２0】(难度级别※※※※※）
甲、乙、丙三人，甲每分钟走４0米,丙每分钟走６0米,甲、乙两人从A、B地同时出发相向而行，
他们出发1５分钟后,丙从B地出发追赶乙。
此后甲、乙在途中相遇,过了7分钟甲又和丙相遇,又
过了６3分钟丙才追上乙,那么A、B两地相距多少米？
【作业】
1．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、Ｂ两地同时出发,相向而行，他们第一次相遇地点离A地７千米,相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回,在距B地５千米处第二次相遇,求两次相遇地点之间的距离．
【答案】4千米
２．甲、乙二人以均匀的速度分别从Ａ、B两地同时出发,相向而行,他们第一次相遇地点离Ａ地6千米,相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距Ｂ地4千米处第二次相遇,求两人第5次相遇地点距B 多远.
【答案】12千米
3.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发,相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，
相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回,在距B地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.
【答案】90千米
４．甲、乙二人以均匀的速度分别从Ａ、B两地同时出发,相向而行，他们第一次相遇地点离A地3千米,相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回,在距B地2千米处第二次相遇，求第2０00次相遇地点与第2001次相遇地点之间的距离.
【答案】4千米
5.甲、乙二人以均匀的速度分别从Ａ、B两地同时出发，相向而行,他们第一次相遇地点离A地18千米，相遇后二人继续前进,走到对方出发点后立即返回，在距B地1３千米处第二次相遇,求AB两地之间的距离.
【答案】41千米。