香港中文大学课程与教学学系 黄毅英
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從各地數學課程改革看數學教育面對的幾個問題
香港中文大學課程與教學學系?黃毅英
引言
進入新世紀之際
各國不約而同進行教育改革
以數學教育而言
新課程亦可謂是應運而生
其中包括
* 美國：繼1989年國家數學教師議會發展《數學課程及評鑒標準》之後
2000年經廣泛諮詢後
最終年再發表《學校數學的原理與標準》
其中出現了「加州數學戰爭」的插曲
由1992年的加州數學新課程引起
最後「回到基本」
敲定爲1999年、一般人認爲較「保守」的課程標準
* 英國：1989年推出《國家課程》
經過不斷的修訂後於2000年由「教育就業署和資歷及課程局」頒佈「千禧版」的《國家課程》
2004年又頒佈了關於高中數學教育的《讓數學算數》（Making Mathematics Count1）.
* 澳紐：澳洲於1990年發表《澳洲學校數學國家宣言》
嗣後各省陸續發展其數學課程
例如維多利亞省於2000頒佈其新的數學課程框架
紐西蘭亦於1992年頒佈了《紐西蘭課程中之數學》
* 歐陸：其他歐洲國家亦進行了數學課程改革
例如德國在1991年統一後
各省重組其學校課程, 法國、荷蘭等均有新的數學課程
* 中國於1992年推行義務教育及一綱多本政策
1997年推行多綱多本
2001及2004年分別頒佈基礎教育數學課程及高中課程
其中改革亦帶來不同的意見
* 臺灣於1996年推行「建構數學課程」
2001年推行「九年一貫數學課程」
中間爭論不斷（甚至要求「暫停建構」）
到2003年再次修訂
其中亦有回到早期課程的味道
* 香港1996年推行的目標爲本課程惹來不少爭論
至1997年教育署進行了數學課程全面檢討
2000年前後頒佈了新中小學數學課程
與此同時
有關方面推行教育改革
帶來更多的爭議
* 澳門回歸後1999年頒佈第一份數學課程
現正作進一步的修訂
* 日本：日本差不多每隔十年修訂數學課程一次
最近一次爲了加進「綜合學習」
於2000年修訂的數學課程內容削減了30％
帶來反對聲音
甚至有人以「日本數學戰爭」來形容
最後於2002年推行
* 其他亞洲國家：南朝鮮2000年的課程加入了選修課
並削減了30％的課程內容以騰出學習資訊科技的時間
新加坡在1997年新修課程後
又於2001年再度修訂以引入高階思維
馬來西亞於2001年提出「智慧型學校」的概念
發展相關的數學課程
其中大量引進資訊科技
此外
泰國、越南、菲律賓等於新千禧期間亦紛紛推出其新課程
改革的背景與元素
各地新課程的數學內容不盡相同
改革步伐亦各異
但綜觀相關文件
不
難發現以下「共通語言」：
* 資訊科技教學
* 高階思維
* 道德價值
* 一般共通能力
* 生活數學
* 專題研習
* 愉快學習
* 態度
* 選修數學與核心課程
* 基本能力
* 學習範疇
* 評准、達成指標2
筆者於「香港教育會議─04」發表的「第三份香港數學教育另類報告」3中
以香港爲例
分析了教改在上述改革元素之外的一些特式
其中包括（一）以社會急速轉型、轉向「知識型」爲由
以經濟全球化作幌子
製造危機感
聲言全民動員
改轅易轍是其基調
不信任業界爲骨幹
；（二）將教育製品化、商業化、指標化、評核化的扭曲
把整個教育界陷入「忙、茫、盲」4中；（三）教師愈來愈「不務正業」
花費大量時間精力於優質教育基金申請書的撰寫、家教會聯誼活動、學校自評、準備質素保證視學文件、學校網頁與宣傳單張製作等非教學亦非備課的工作上；（四）不少所謂「具有良好意願」的新猷倒果爲因
例如優質教育基金已不是學校本來有此計劃於是希望得到資助
而是一種「功課」、一種可以在外牆「掛橫額」的項目
一種與同區學校競爭的本錢
在中學是要羅致好的「生源」
在小學便是要避免縮班的命運
「教改」的下一個環節「課改」
亦引出了兩個重要的問題
首先是學科在課程與學習的位置
按筆者的分析
「...學科與課程的關係在《學會學習》中其實是改變了
在這框架裡
堅稱學科自主其實是一種很傳統、守舊的課程觀與學習觀
情況再不是教授各學科的同時要兼顧練內力
而是內功才是最後心法
是比學科更高一層的層次
學科只是一種陪襯」5
此外
就是將所有學科擬合到一個合模的框架
亦試圖統一監控課堂教學的每一個細節
這與上面所說的不信任業界
把教育指標化的趨勢轅出一轍
而隨後的考改、師改、校改與師訓改亦是沿著這個軌迹前進
在報告書的結尾
筆者提出一個自強運動的想法
就是不應再只作回應性的批評
而是更須逐步形成「業界」的專業立場
一些較宏觀的議題
在「第三份報告書中」
筆者已列出了幾個議題
而對於其中的一些
某程度的討論其實已經展開了
* 數學課程發展
學科與整體課程發展的關係恐怕不是今天
又或不只是本港的問題
自然地
宏觀的教育及課程可以有它的發展
故此不少有用的跨學科想法
不斷有所提出（如發現法、活動教學、課程統整等）
個別學科需要跟著這些大方向走
有其合理性
除了大方向與及學科特性的平衡外
我們也可自問
在「抗衡」跨學科政策壟斷（數學）科發展的不良政策之餘
數學科本身的課程應
該是怎樣的、應該朝著哪個方向走等是否也應發展出其想法呢？
* 數學課程內容
這是「過程與內容」的老問題
在數學課程全面檢討中
似乎得到一個共識（「妥協」？）就是「過程能力」寄存在學科內容中發展（見「第三份報告」）
於是筆者就曾嘗試鉤劃一些以認識論為基礎的課程主線
但顯然地
一些新課程中較重視探究性的內容（如數型、空間想像力等）似乎暫時未能完全融入傳統上數學課程內容的發展脈絡
故此給人一個與其他內容格格不入的印象
筆者無意說要剔除這些課題
我們是否需要再花點功夫進一步理順這些新課題與舊有課題的關係呢？
* 生活與數學
不少論者（如黃家鳴先生6）已有不少討論
我們下一節再講述
* 個別與課程分殊
如何既能處理個別差異又不會增加篩選壓力呢？
* 學習與評核
一方面
近年出現了愈來愈多的「高利害關係」的評核
與此同時
我們又確實有評核更廣泛學習範圍的必要
這正是2001年中文大學研討會的討論課題7
隨著基本能力測驗、增值指標、學習成果架構等之訂定
這個議題似乎再值得拿出來討論
* 資訊科技的專題研習
近年對這些教學手段的濫用有不少批評
但與此同時
亦有一些保守的教師借助這些批評拒絕探討資訊科技與專題研習（在某些教學處境）的好處？
接著是一些較具體的議題
筆者確信是當前極須業界一起討論的
從一題多解到多重表像
* 一題多解
在「香港數學教育會議－04」中
梁淑坤教授的演講裏
已談到台灣在建構課程的推論中所出現的問題
本意是容許學生各自各行建構
故此各人的建構可以是有所不同
例如12?4可以用12 + 12 + 12 + 12
亦可以用（12?2）? 2......不過扭曲了
變成了學生就同一題必須提供多解8
甚或認為「傳統」的12 ? 4不是老師所要的答案！這與新數學時期的亂像如一丘之貉（老師要求學生答出 2 + 3 = 3 + 2
而不是5
因為老師在教加法的交換性質9）
究竟是容許一題多解呢？題目的設置促成一題多解的可行性呢？還是要求學生一題必須提供多解呢？這些都是值得深思的
* 開放題
與此相關的就是「操練題」與「開放題」、「操作法則」與「概念」（又或操作性理解、概念性理解等）的關係
雖然一般人似乎貶低前者
並有不少相關之提法
如「先瞭解概念
後應用」、又或「以應用題強化概念理解」等；愈來愈多學者（如Sfard10, Tall11）指出操作法則不只是概念形成的階梯
而且法則本身是概念的組成部分
至於開放題
伍鴻熙教授已指出不是題目愈開放愈好12
沒有數學意味的開放題容易變得放任自流
例如筆者曾聽過這麼的一
個案例（確切數字忘記了）：車輪半徑20cm
以每分鐘10圈的轉速
問7分鐘後汽車走了多遠？（a）42m
（b）44m
（c）43.96m
有學生選了（a）（其實是用了? = 3）
當老師要他解釋時
他說這是由於車輪「打滑」（「跣胎」）
但這其實不是一個數學的解釋！
近年有人提出「變式教學」作爲「基本功」與高層次思維能力的橋梁1314,值得進一步探討
* 多重表像
多重表像（multiple representations）的提出
其原意可能起碼有雙重意義
為了方便起見
我們暫只說單一概念的算式（代數）表示和圖示兩種
首先
可能是要適應不同人的學習性向
簡言之
有些人較喜歡以代數方式思考
另一些人喜歡用圖像
提供兩者就可以同時滿足這兩種人
此外
多重表像可強化內部表像的結構
用極簡化的方式去形容
就是強化腦袋中不同概念間的連結（數學與圖形、運算、逆運算）
這對於概念形成及關係的提取與運用甚有幫助15
我們也可這麼說
多重表像本身其實是一種學習目的
因為若能同時瞭解單一概念的算式及圖象表示
這個學習者對這個概念的理解（雖然仍只是一個概念）是豐富得多了
如果用這個角度考慮
對一單一概念又是否提供愈多表像愈好？若否
多少個才算適當？
這中間也可以有不同的處境
現隨便舉一些例以便可作進一步的反思
1. 三角比：似乎三角比（起碼在中學階段）很難不用輔助圖象（單位圓也好
直角三形也好）去定義
更何況是瞭解
2. 函數：蕭文強老師已指出
函數在歷史上有不同的表示方式
其實它們代表了函數在不同時期的定義
也可以說是函數這個概念的不同面相
3. 筆者「何不畫個表」一文16所說的基本上只是協助思考
只是用代數方法解決問題的恐怕大有人在
4. 如圖二的圖像表示除了協助瞭解代數式展開外
還有豐富瞭解的作用
對於不少學生
用代數方式瞭解
可能更直接
在實際解決數題時
借助圖像可能變得麻煩
不過我所覺得學生若只會代數表示實在太陝窄了
5. 如在圖三的圖像表示就可能太沒數學意義了17！
又以分數為例
即是3個蛋糕分給4個人的結果（分物、代數表示）
同時亦可以用 表示
但一些學生對的錯誤也是過份依賴這個「圖像思維」所至
而比較分數又要用另一套圖像
（圖五）
分數乘法／除法又要轉用另一種圖示
於是乎學生要額外「記清」分數用「月餅」、分數加法用「長條」......！--尤有甚者
這些門圖像表示往往是要考的！
這
當然亦衍生另一大堆問題
用一個誇張的描述
假若傳統上
小學的四則共有100個概念
以往都是用代數算術方式學習的
現變為每個概念都均須以代數及圖像方式去理解（且操作應用）
那是否由學100樣東西變成學200樣東西（或更多
因有相互關係）呢？所以我們可以看到
這已不只是學習問題
而是課程和課程要求的問題
這就是台灣的建構數學課程所出現的其中一個問題
1 1982年英國發表了極具影響力之報告書
名爲《數學算術》（Mathematics Counts）
2 Wong, N. Y., Han, J.W., & Lee, P. Y. (2004). The mathematics curriculum: Towards globalisation or Westernisation? In L. Fan, N. Y. Wong, J. Cai, & S. Li (Eds.), How Chinese learn mathematics: Perspectives from insiders. Singapore: World Scientific. （待刊）
3 黃毅英（2004）
第三份香港數學教育另類報告--天翻地覆教改話滄桑
載鄧幹明、黃家樂、李文生、莫雅慈（編）
《香港數學教育研討會─2004論文集》頁8-29
香港：香港大學教育學院及香港數教育學會
4 語出「周祝瑛（2003）
《誰捉弄了台灣教改？》
臺北：心理出版社
」
5 黃毅英（2002）
解讀《學會學習》
載蔡寶瓊、黃家鳴（編）
《姨媽姑爹論盡教改》（頁188-200）
香港：進一步出版社
6 黃家鳴(1998)
數學文字題及課業的處境應該有多真實？《數學教育》7期
44-54
7 黃毅英（2001）
在質素保證與產出為本課程間尋找出路
載梁淑坤(編)
《評核與數學教育─「數學課程全面檢討：之後又如何？」研討會跟進論文集》
1-14
香港：香港中文大學課程與教學學系及香港數學教育學會
8 見黃毅英（2003）
"建構主義教學"：慎防重蹈 "新數學運動"的覆轍
《數學教學》2003年3期
4-5
9 見梁鑑添（1980）
評論近二十年來中學數學課程改革
《抖擻》38期
64-75
83
後載《抖擻》編輯委員會（1981）
《香港數學教育論叢》
44-56
又載蕭文強（1995）（編）
《香港數學教育的回顧與前瞻》
31-56
香港：香港大學出版社
10 Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36.
11 Tall, D. (1998). Information technology and mathematics education: Enthusiasms, possibilities and realities. Plenary lecture, Eighth International Congress on Mathematical Education, Seville, Spain, 14-21 July 1996. In C. Alsina, J. M. Alvarez, M. Niss, A. Pérez, L. Rico, & A. Sfard (Eds.), Proceedings of the 8th International Congress on Mathematical Education (pp. 65-82). Sevilla, Spain: Sociedad Andaluza de Educación Matemática "Thales".
12 Wu, H. (1994). The role of open-ended problems in mathematics education. Journal of Mathematical Behavior, 13(1), 115-128.
13
Wong, N. Y. (2004). The CHC learner's phenomenon: Its implications on mathematics education. In L. Fan, N. Y. Wong, J. Cai, & S. Li (Eds.), How Chinese learn mathematics: Perspectives from insiders. Singapore: World Scientific.（待刊）
14 Zhang, D., & Dai, Z. (2004). "Two basics": mathematics teaching approach and open ended problem solving in China. Regular lecture delivered at the 10th International Congress of Mathematics Education, Copenhagen.
15 Hiebert, J., & Carpenter, T.P. (1992). Learning and teaching with understanding. In D.A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp.65-97). New York: Macmillan.
16 黃毅英（2001）何不畫個表？《數學教育》13期
36-38
17 見黃毅英（2002）
《數學教育實地觀察─II》
香港：[0]香港數學教育學會
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