利用夹逼准则求极限精编版
2.5-2夹逼准则推出一个重要极限
第5节 极限存在准则 两个重要极限 连续复利
夹逼准则推出一个重要极限
作为准则Ⅰ´的应用，可以证明一个重要的极限
lim sin x 1 x0 x
C B
如右图，设单位圆 O,
圆心角 AOB x, (0 x )
2 作单位圆的切线 ，得ACO .
o
x
D
A
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为 BD , 于是有sinx BD, x 弧 AB, tanx AC,
x
sin x
x
.
解 令 t x , 则当 x 时 , t 0 ,
lim
x
sin x
x
lim sin(t + )
t0
t
lim sin t t0 t
1.
THANK YOU
x 0
x
2 lim sin x lim cos x
x 0 x
x 0
2.
例4 求 lim sin 3 x .
x0 x
解 原式 3 lim sin t 3 x
t 0 t
3.
例5 解
求
lim
x 0
1
cos x2
x.
2 sin 2 x
原式
lim
x 0
1 lim 2 x 0
x2 sin 2
x 2
2( x )2 2
x2 2
,
lim x 2 0, x0 2
lim(1 cos x) 0, x0
lim cos x 1. x0
lim sin x 1. x0 x
夹逼准则推出一个重要极限
二、利用重要极限求极限（1）
例3 求 lim sin 2 x .
极限的夹逼定理及应用
极限的夹逼定理及应用在数学领域，极限是一个重要且基础的概念。
极限的夹逼定理是一种常见的极限求解方法，它在数学推导以及实际应用中扮演着关键的角色。
本文将介绍极限的夹逼定理的定义、原理以及其在数学和科学领域的应用。
一、极限的夹逼定理的定义和原理极限的夹逼定理，又称为夹逼准则或夹逼定理，是在求解极限问题时经常使用的方法之一。
它是基于一个基本观察：如果一个函数在某个点附近夹在两个趋于相同极限的函数之间，那么这个函数也将趋于相同的极限。
具体来说，设函数f(x)，g(x)，h(x)在点x=a的某个去心邻域内，满足以下条件：1. 对于所有的x，都有g(x)≤f(x)≤h(x)；2. lim[x→a]g(x)=lim[x→a]h(x)=L。
那么，当x趋近于a时，函数f(x)也将趋近于L，即lim[x→a]f(x)=L。
这个夹逼定理的原理直观而简洁。
通过将一个函数夹在两个已知极限相同的函数之间，我们可以确定该函数的极限值。
二、极限的夹逼定理的应用1. 极限的证明：极限的夹逼定理可以用于证明某个函数的极限存在或者不存在。
通过找到两个较为容易求解极限的函数，将待求解函数夹在两者之间，即可得到待求函数的极限值。
2. 应用于数列的极限求解：在数列的极限求解过程中，夹逼定理也起到了重要的作用。
通过将待求解的数列夹在两个已知数列之间，可以求得数列的极限。
3. 积分和导数的计算：夹逼定理在计算积分和导数时也有广泛的应用。
通过将待求解函数夹在两个已知函数之间，可以确定积分和导数的范围和结果。
4. 物理学中的应用：夹逼定理在物理学中也有许多应用。
例如，当我们研究一个系统的性质时，往往需要通过夹逼定理来确定其边界条件或者极限行为。
总结：极限的夹逼定理是数学中一种重要的计算方法，它可以用于证明极限的存在性、求解数列极限以及计算积分和导数等。
在实际应用中，夹逼定理在数学、物理学以及其他科学领域都有广泛的应用。
通过夹逼定理，我们可以更加准确地求解和分析各种问题，为我们的研究和实践提供有力的数学工具和理论支持。
利用夹逼定理求极限
利用夹逼定理求极限
夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于通过构造夹逼函数来确定极限值的情况。
夹逼定理的原理是，当存在两个数列lim an = lim bn = L，且对于所有n，都有an ≤ cn ≤ bn，那么有lim cn = L。
具体的步骤如下：
1. 首先，确定要求解的极限表达式。
2. 根据给定的函数表达式，找到一个或多个夹逼函数。
3. 判断夹逼函数的极限是否存在，并求出它们的极限值。
4. 利用夹逼定理，得出原极限的极限值。
以下是一个例子：
求lim (3n^2 - 2n + 1)/(2n^2 + 3n)。
解：首先，我们可以发现夹逼函数an = 3n^2/(2n^2 + 3n)和bn = (3n^2 + 4n)/(2n^2 + 3n)都可以夹住原函数。
然后，我们计算an和bn的极限：
lim an = lim (3n^2/(2n^2 + 3n)) = 3/2
lim bn = lim ((3n^2 + 4n)/(2n^2 + 3n)) = 3/2
根据夹逼定理，我们可以得出lim (3n^2 - 2n + 1)/(2n^2 + 3n) = 3/2。
所以，利用夹逼定理，我们成功求得了极限值。
通过构造夹逼函数，夹逼定理可以帮助我们确定复杂函数的极限值，但需要注意选择夹逼函数时要考虑函数的性质和区间的选择。
1-05-极限的存在准则(精编版)
π
2
)
扇形OAB的圆心角为x , ∆OAB的高为BD, 于是有 sin x = BD , x = 弧AB , tan x = AC ,
sin x ∴ sin x < x < tan x , 即 cos x < < 1, x 上式对于 −
π
2
< x < 0也成立.当0 < x <
2
π
2
时,
2
x x 2 x 0 < cos x − 1 = 1 − cos x = 2sin , < 2( ) = 2 2 2 2 x Q lim = 0,∴ lim(1 − cos x ) = 0, x→0 2 x →0 sin x ∴ lim cos x = lim1 = 1,∴ lim = 1. x→0 x →0 x→0 x
单调数列
几何解释: 几何解释
x1 x 2 x 3x n x n + 1
A
M
x
例5 证明数列 xn = 3 + 3 + L + 3 ( n重根
式)的极限存在 .
证
显然xn +1 > xn ,∴ { xn }是单调递增的; 又 Q x1 = 3 < 3, 假定xk < 3, xk +1 = 3 + xk < 3 + 3 < 3, ∴ { xn }是有界的;∴ lim xn 存在.
x→x0 ( x→∞)
称为夹逼准则 或称为两边夹定理 两边夹定理。 准则 I和准则 I’称为夹逼准则 或称为两边夹定理。 和 称为 有人形象地称之为“ 有人形象地称之为“Sandwich Theorem”。 。
夹逼法例题
夹逼法例题【原创版】目录1.夹逼法的定义和概念2.夹逼法的应用范围和条件3.夹逼法的解题步骤和方法4.夹逼法的例题解析5.夹逼法在实际问题中的应用正文一、夹逼法的定义和概念夹逼法，又称为夹逼定理，是一种求极限的方法。
它是通过构造两个函数，分别从左右两侧逼近目标函数，通过比较这两个函数的极限值，得到目标函数的极限值。
夹逼法广泛应用于数学分析、物理学和经济学等领域。
二、夹逼法的应用范围和条件夹逼法适用于求解以下类型的问题：1.求函数在某一点的极限值；2.求解无穷小量和无穷大量；3.求解连续函数的值域。
应用夹逼法的条件：1.两个函数在给定区间内连续；2.两个函数在给定区间内单调；3.两个函数在给定区间内的极限值存在且相等。
三、夹逼法的解题步骤和方法1.构造两个函数，分别从左右两侧逼近目标函数；2.证明这两个函数在给定区间内连续、单调；3.求出这两个函数在给定区间内的极限值；4.比较这两个函数的极限值，得到目标函数的极限值。
四、夹逼法的例题解析例题：求函数 f(x) = sinx / x 在 x 趋近于 0 时的极限值。
解：构造两个函数 g(x) = sinx 和 h(x) = 1 / x，分别从左右两侧逼近目标函数 f(x)。
1.证明 g(x) 和 h(x) 在区间 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 内连续、单调；2.求出 g(x) 和 h(x) 在区间 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 内的极限值，分别为 -1 和+∞；3.比较 g(x) 和 h(x) 的极限值，得到 f(x) 在 x 趋近于 0 时的极限值为 -1。
五、夹逼法在实际问题中的应用夹逼法在求解实际问题中的应用非常广泛，如求解物理学中的电磁场问题、经济学中的边际效用等。
(2021年整理)利用夹逼准则求极限
（完整）利用夹逼准则求极限编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）利用夹逼准则求极限）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）利用夹逼准则求极限的全部内容。
利用夹逼准则求极限 夹逼准则的使用方法：定理1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小.要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍,并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。
题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限. 证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项,则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)()(lim 1)()(limx x x n x n βαβα==例1.求)21 (4)121(lim 222nn n n n ++++++∞→.解：.11lim 22lim 22lim 2121lim222222==++=++=++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n由推论1，.1221 (4)1212122222→+≤++++++≤+←n n nn n n nn n由夹逼准则可得所求极限为1.例2。
求).1...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞→解：.11lim 111lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n由推论1,.011 (2111022222)→++≤+++++++++≤++←n n nn n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0。
夹逼定理word版
一、夹逼准则及第一个重要极限1、 准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n =（2）lim n n x a →∞=，lim n n z a →∞=则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞= .证明 由lim n n x a →∞=⇒0ε∀>,1N ∃,当1n N >时，有 n x a ε-<⇒n a x ε-<又由lim n n z a →∞=⇒对上述ε，2N ∃，当2n N >时，有n z a ε-<⇒n z a ε+<取12{},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有 n n n x y z ≤≤， n a x ε-<， n z a ε+< 从而有n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即 n y a ε-<,故 lim n n y a →∞=.上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即:2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足(1) ()()()f x g x h x ≤≤ （ 当0,()U x x δ∈ (或x M >)时）；(2)0()lim ()x xx f x A→∞→=，0()lim ()x xx h x A→∞→=.则 0()lim ()x x x g x →∞→存在且等于 A .上述两个准则都称为夹逼准则. 举例 例1 求2n n→∞++++解因为2111n nn≤+++≤+又因为 lim1,lim 1n n→∞→∞==所以 由夹逼准则得21111n n →∞+++=+.3、第一个重要极限： 0sin lim 1x xx→=证明：在单位圆中， 有 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形 （如图1-35）而 sin x CB =，x AB =，tan x AD =. 所以111sin tan 222x x x <<， 即 sin tan x x x <<,从而得 sin cos 1xx x <<.因为函数sin xx 与cos x 都是偶函数，所以在区间(,0)2π-内，sin cos 1xx x<<也成立.135图-故对于一切满足不等式 02x π<<的x 都有sin cos 1xx x<< 由 0limcos 1x x →= 及夹逼准则可得0sin lim 1x xx→=.特点与用法：分出两个“0因子”： “sin x ”和“x ”，而与“0因子”无关的极限分开求. 举例例1 求 0tan lim x xx →解 00tan sin 1lim lim()cos x x x x x x x →→=⋅00sin 1lim lim 1cos x x x x x→→=⋅=.例2 求201cos lim x xx →-解 201cos lim x x x →-2202sin 2lim x x x →=20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭211122=⋅=.例3 求 1lim(1)tan 2x x x π→-解 设 1y x =-，即1x y =-，当1x →时，0y →，则1lim(1)tan2x x x π→-0(1)lim tan2y y y π→-=0lim cot2y yy π→=2lim coslim cos22sin sin222y y yyyyyy ππππππ→→=⋅=⋅2π=.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
用数列极限计算函数极限的夹逼定理
核心提示：1、夹逼定理（英文：Squeeze Theorem、Sandwich Theorem），也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。
2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间
1、夹逼定理（英文：Squeeze Theorem、Sandwich Theorem），也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。
2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。
应用
1、设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a。
2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用夹逼准则求极限精
编版
MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】
利用夹逼准则求极限
夹逼准则的使用方法：
定理1用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。
要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。
题型1夹逼准则常用于求若干项和的极限
推论1极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。
证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)()
(lim 1)()(lim
x x x n x n βαβα== 例1.求)21 (4)
12
1(
lim 2
2
2
n
n n n n ++
+++
+∞
→.
解：.11lim 22lim 22lim 2
121
lim
22
2222==++=++=++∞
→∞→∞→∞
→n n n n n n n n n n n n n
由推论1，.12
21 (4)
12
1212
2
2
2
2
→+≤
++
+++
+≤
+←
n n n
n n n n
n n
由夹逼准则可得所求极限为1.
例2.求).1
...2111(lim 222n
n n n n n n n +++++++++∞→
解：.11lim 1
1
1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1，.01
1...2111022222→++≤+++++++++≤++←n n n
n n n n n n n n n n n
由夹逼准则可得所求极限为0.
例3.求)....2211(lim 222
n
n n n
n n n n n +++++++++∞→ 解： 由推论1，
2
1112)1(...221112)1(2122222→++⋅+<+++++++++<++⋅+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为2
1
.
由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩
接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧
例4.求!
2lim n n
n ∞→.
解：).(4
2...322212!20放到第二项最大！n n n n ≤⨯⨯⨯⨯=<
且0!
4
lim =∞→n n .故由夹逼准则可知.0!2lim =∞→n n n 例5.求).1(lim
>∞
→ααn
n n
解：设),0(1>+=h h α则 从而,)1(202
h n n n
-<
<
α因为
,0)1(2
lim 2=-∞→h n n 由夹逼准则可知.0lim
=∞
→n
n n
α
例6.求.1
)
!sin(lim 3
2+∞→n n n n
解：由于,1
11)!sin(0333
232323
2n
n n n n n n n n n ==<+≤+≤
(三角函数有界性) 即33
231
1)!sin(1n
n n n n <+<-,而,01lim 1lim 33==-∞→∞→n n n n
由夹逼准则可知.01
)
!sin(lim 3
2=+∞→n n n n
例7.求.)321(lim 1
n
n n
n ++∞
→
解：原式.]1)3
2
()31[(3lim ]1)32()31[(3lim 1
1n n n n n n n n ++=++=∞→∞→
因为1)32()31(0<+<n n ,31)3
2
()31(1<++<n n ,
两边同时乘以n 3得到133213+<++<n n n n , 再两边同时开n 次方根得到.33]321[311n
n
n n
⨯<++<
当∞→n 时,.3lim 3133lim 3)33(lim 11
左边右边===⨯=⨯=⨯=∞
→∞
→∞
→n n n n
n
故由夹逼准则可得.3)321(lim 1=++∞
→n
n n
n 例8.求[].lim
x
x x ∞
→
解：由取整函数的性质可知[].1x x x ≤≤-
当,
0时>x [][]；即111,1≤≤-≤≤-x x x x x x x x x 当,0时<x [][]；即111,1≥≥-≥≥-x
x x x x x x x x 因为，1)1
1(lim =-∞→x
x 由夹逼准则可得[].1lim
=∞→x x x 例9.求).0,0(lim 0
>>⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+
→b x b x x αα 解由取整函数的性质可知)0(1≠≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-x x
b
x b x b ,
当0>x 时，各项乘以
α
x
得到α
αααb
x b x x b ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<
- 因为,)(
lim 0
α
ααb
x b
x =-+→由夹逼准则可得.lim 0ααb x b x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→。