夹逼定理word版
夹逼定理放大缩小建立不等式
夹逼定理放大缩小建立不等式想象一下，你有三个小伙伴，分别是小明、小红和小刚。
他们三个人站成一排，小明在最左边，小刚在最右边，小红在中间。
比如说，咱们要知道小红的身高大概是多少。
我们发现小明很矮，他的身高是1米，小刚很高，他的身高是1.5米。
而小红呢，她站在小明和小刚中间，那我们就可以说小红的身高是大于1米，小于1.5米的。
这其实就是一种简单的不等式关系，就像我们在数学里用夹逼定理建立不等式一样。
再举个例子，有一堆糖果。
我们知道这堆糖果比10颗要多，因为我们数了旁边一小堆就已经有10颗了，而这堆糖果又比20颗要少，因为我们把它和另一堆20颗的糖果比了比，明显少一些。
那这堆糖果的数量就可以用一个不等式表示出来，就是大于10颗小于20颗。
那在数学里呢，我们也经常会遇到这样的情况。
比如说有一个很奇怪的图形，我们不知道它的面积具体是多少。
但是我们可以找到两个我们熟悉的图形。
一个图形的面积我们知道是比较小的，就像一个小正方形，它的面积是4平方厘米。
另一个图形的面积是比较大的，是一个大长方形，它的面积是8平方厘米。
而我们要算面积的这个奇怪图形就夹在这两个图形中间，那这个奇怪图形的面积就肯定是大于4平方厘米，小于8平方厘米啦。
我们还可以想象在一条长长的小路上。
路的起点到一个小亭子的距离是50米，路的终点到这个小亭子的距离是80米。
那这个小亭子距离起点的距离就可以用不等式表示啦，是大于50米小于80米。
所以呀，通过找到一个东西的上下限，就像找到小伙伴的身高范围、糖果的数量范围、图形面积的范围还有小亭子距离的范围一样，我们就可以用夹逼定理来放大或者缩小，然后建立起不等式啦。
这样在很多数学问题里，我们就能大概知道一个数或者一个量的范围，是不是很有趣呢？这种方法就像是给一个神秘的东西围上了两个栅栏，这个神秘的东西就只能在这两个栅栏中间，我们就能清楚地说出它的范围啦。
以后遇到类似的问题，也可以像这样去思考哦。
高等数学第一章第6节夹逼准则
x0 x0 2 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 1
-2-
x
第六节
极限存在准则
x x0
两个重要极限
x x0
证
0,
lim g( x ) A, lim h( x ) A,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
所以 1 , 2 0, 使当 0 | x x0 | 1 时, 恒有 | g( x ) A | 即 A g ( x ) A 当 0 | x x0 | 2 时, 恒有
0
(2)
x x0
g ( x ) f ( x ) h( x ), lim g( x ) A, lim h( x ) A,
x x0
那末当 x x0 时, f ( x ) 的极限存在, 且 lim f ( x ) A.
y
x x0
A A A
o
y h( x ) y f ( x) y g( x )
- 11 -
第六节
极限存在准则
两个重要极限
1 x ) e 二 重要极限 lim(1 x x 在第二节中,利用单调有界原理证明了重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n lim(1 ) e n n 现在说明 n 换成连续变量 x , 在 x , x , x
所以
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x lim 1 x 0 x sin x sin( x ) sin t lim lim lim 1 x 0 x 0 t 0 x x t
而
所以
sin x lim 1 x 0 x
-9-
夹逼定理
第六节 夹逼定理 无穷小的比较一． 夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )。
（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。
则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧a U 内（或X x ≥时） 满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。
（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。
则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞→)(lim ）。
注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。
（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )，结论仍然成立。
例1： 求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→xx x 。
（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(lim ，e nn n =+∞→)11(lim ）。
例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim xx x x -→（3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 212)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→三． 无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。
夹逼法则解题例说
解析:由题目可知a = 6,6 = 8,c = 10,e = y,
双曲线的通径丨PQ丨=近=单，由定理1有
a
3
I PQ I +1 MN I
2 _), —f* 丿曰 i mtv i 8
\bfx\-\af2\ = e^可尉 mm =©•
定理2 F是抛物线的焦点,E是抛物线的准线 与其对称轴的交点，经过E和F作两条平行直线，分 别与抛物线相交于两点和M,N两点，则
解析：因为 ln(% + y + 1) + ln(i; -y -2) W (兌 + y + 1) - 1 + (x - y - 2) - 1 = 2x - 3,而兌』又满足 2光- 3 W ln(A； + y + 1) + In(兀 - y-2),所以 2兀-3 =ln(i; 4- y 4- 1) + ln(% - y - 2),当且仅当兌 + y + 1
/(兀)+ 1,从而 an+1 - an 二 1,所以仇2018 = «i + (2018
-1)x1= 2019.
评注:本题由递推关系，通过迭代得到/(兀+ 1) M/&) +1且/(兀+ 1) W/&) +1,再利用“夹逼法 则”将不等式转化为等式.
例3 若实数兌』满足2% - 3 Wln(%+y + l) + ln(%-y-2)，贝[J xy = ________ .
参考文献
［1 ］玉云化.椭圆的一个新性质［J］-河北理科教学研究. 2009.6.
gn
夹逼法则解题例说
浙江省金华市第六中学(321000) 虞懿
夹逼定理常用放缩
夹逼定理常用放缩引言夹逼定理（也称为夹逼准则或夹逼定理）是数学分析中一个经典的定理，它通常用来证明极限存在或不存在的问题。
夹逼定理在解决许多实际问题时都起到了关键作用。
在本文中，我们将探讨夹逼定理的常用放缩方法，通过逐步引进放缩的思路，帮助读者更好地理解和运用这一定理。
什么是夹逼定理夹逼定理是数学分析中一种用于证明极限问题的重要工具。
它可以用来判断函数或数列的极限是否存在，并得到其极限值。
夹逼定理的核心思想是通过将一个函数或数列夹在两个已知函数或数列之间，对其进行放缩，从而确定其极限。
常用放缩方法1. 引入中间函数在使用夹逼定理时，我们经常需要引入一个中间函数，将待求的函数或数列夹在这两个函数之间。
这个中间函数可以是已知的函数，也可以是我们自己构造的函数。
通过选择合适的中间函数，我们可以更好地控制待求函数或数列的范围，从而进行放缩。
2. 利用不等式对于一些函数或数列，我们可以通过确定一个下界和上界，利用不等式进行放缩。
例如，对于一个数列a n，如果我们已知b n≤a n≤c n，其中b n是一个已知的下界函数，c n是一个已知的上界函数，我们就可以通过夹逼定理得到a n的极限。
3. 递推放缩在一些递推序列的问题中，我们可以利用递推关系进行放缩。
假设有一个递推序列a n，我们已知a n≤a n+1≤c n，其中a n+1是由a n递推出的。
通过这个关系，我们可以不断放缩序列的范围，确定其极限。
4. 迭代放缩有些函数或数列的放缩可以通过迭代的方式进行。
假设我们已知g0(x)≤f(x)≤ℎ0(x)，其中g0(x)和ℎ0(x)是已知函数，f(x)是待求函数。
我们可以通过不断迭代g k(x)和ℎk(x)，即g k(x)≤g k+1(x)≤f(x)≤ℎk+1(x)≤ℎk(x)，直到g k(x)和ℎk(x)收敛到同一个函数ℎ(x)，我们就得到了f(x)的极限。
举例说明为了更好地理解夹逼定理的常用放缩方法，我们举一个具体的例子。
关于夹逼定理的理解
关于夹逼定理的理解夹逼定理是数学中的一种重要定理，它在解决数学问题时起到了至关重要的作用。
夹逼定理也被称为迫敛定理或挤压定理，它在应用于解决极限问题时特别有用。
夹逼定理的核心思想是通过比较两个函数来确定一个函数的极限。
假设我们有三个函数f(x), g(x), h(x)，且在某个区间内满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)。
如果当x趋近于某个特定值时，f(x)和h(x)都趋近于同一个数L，那么我们可以推断出g(x)也趋近于L。
夹逼定理的直观解释如下：假设我们有一个函数g(x)，我们想要确定它在某个点的极限。
但是由于g(x)的表达式过于复杂或难以处理，我们无法直接计算出极限。
这时，我们可以找到两个较为简单的函数f(x)和h(x)，它们在这个点的极限分别为L。
通过确定f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，我们可以利用夹逼定理推断出g(x)的极限也为L。
夹逼定理的应用非常广泛，特别是在解决数列和函数的极限问题时。
例如，我们想要计算函数f(x) = sin(x)/x在x趋近于0时的极限。
由于直接代入0会导致分母为0的情况，我们无法得到准确的结果。
但是，我们可以通过夹逼定理来解决这个问题。
我们知道sin(x)的极限在x趋近于0时为0，且1/x的极限在x趋近于0时为无穷大或负无穷大。
因此，我们可以推断出f(x)在x趋近于0时的极限为0。
夹逼定理的应用不仅限于数学领域，它在其他学科如物理学、经济学等也有广泛的应用。
通过夹逼定理，我们可以通过比较不同的模型或理论来确定一个问题的解或极限。
夹逼定理不仅给我们提供了一种思维方式，还能够帮助我们解决一些复杂的问题。
夹逼定理是一种重要的数学定理，在解决极限问题时起到了关键的作用。
通过比较两个函数，我们可以确定一个函数的极限。
夹逼定理不仅在数学领域有广泛的应用，还可以在其他学科中发挥作用。
通过夹逼定理，我们可以解决一些复杂的问题，推断出一个函数的极限。
夹逼定理的应用不仅提高了我们对数学问题的理解，还拓宽了我们的思维方式，使我们能够更好地解决各种问题。
夹逼定理
1 Show how sin is bounded. 3 x 1 1 , if x 0 1 sin 3 x
The problem with multiplying all three parts by x 3 is that, when x < 0 , x 3 < 0 . The inequality symbols would have to be reversed for negative values of x. One way to avoid this problem is to use absolute value.
(Section 2.6: The Squeeze (Sandwich) Theorem) 2.6.1
SECTION 2.6: THE SQUEEZE (SANDWICH) THEOREM
PART A: EXAMPLES We will formally state the Squeeze (Sandwich) Theorem later. Example 1 below is one of many basic examples in which we use the Squeeze (Sandwich) Theorem to prove that the limit of a function is 0, where the function includes a trig function. Example 1
Therefore, 0
பைடு நூலகம்( x < 0)
Now, we apply the Squeeze (Sandwich) Theorem.
1--1.6夹逼准则和重要极限
当 0 x 时, 2
2 x x x 0 cos x 1 1 cos x 2 sin2 2( ) 2 , 2 2 2
x2 lim 0, x0 2
lim(1 cos x ) 0,
x 0
lim cos x 1,
x 0
又 lim1 1,
x 0
sin x lim 1. x 0 x
高等数学
例1. 求
tan x sin x 1 lim 解: lim x 0 x 0 x x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
例2. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
sin x 0 1. lim _____ ; x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x
1 1 2. lim x sin ____ ; x x
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ; 4 (4) , (5)
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
( 2) lim yn a , lim zn a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且lim x n a .
n
n
2.重要极限
设 为某过程中的无穷小, lim sin 1
某过程
高等数学
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
高等数学
§1.6 极限存在准则及两个重要极限
sin x 1 ——夹逼准则及重要极限 lim x 0 x
一、夹逼准则
二、重要极限
高等数学
一、夹逼准则
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一、夹逼准则及第一个重要极限
1、 准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件
（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n =
（2）lim n n x a →∞=，lim n n z a →∞
=
则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞
= .
证明 由lim n n x a →∞
=⇒0ε∀>,1N ∃,当1
n N >时，有 n x a ε-<⇒n a x ε-<
又由lim n n z a →∞
=⇒对上述ε，2N ∃，当2n N >时，有n z a ε-<⇒n z a ε+<
取1
2
{},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有 n n n x y z ≤≤， n a x ε-<， n z a ε+< 从而有
n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即 n y a ε-<,
故 lim n n y a →∞
=.
上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即:
2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足
(1) ()()()f x g x h x ≤≤ （ 当0
,()U x x δ∈ (或x M >)时）；
(2)0
()
lim ()x x
x f x A
→∞→=，0()
lim ()x x
x h x A
→∞→=.
则 0(
)
lim ()
x x x g x →∞
→
存在且等于 A .
上述两个准则都称为夹逼准则. 举例 例1 求
2
n n
→∞
+
++
+
解
因为
2111
n n
n
≤+++≤
+
又因为 lim
1,lim 1n n
→∞→∞==
所以 由夹逼准则得
21111
n n →∞
+
++
=+.
3、第一个重要极限： 0sin lim 1x x
x
→=
证明：在单位圆中， 有 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形 （如图1-35）
而 sin x CB =，x AB =，tan x AD =. 所以
111
sin tan 222
x x x <<， 即 sin tan x x x <<,
从而得 sin cos 1x
x x <<.
因为函数sin x
x 与cos x 都是偶函
数，所以在区间(,0)2π
-内，
sin cos 1x
x x
<<也成立.
135
图-
故对于一切满足不等式 02
x π
<
<
的x 都有
sin cos 1
x
x x
<< 由 0
limcos 1x x →= 及夹逼准则可得
0sin lim 1x x
x
→=.
特点与用法：分出两个“0因子”： “sin x ”和“x ”，而与“0因子”无关的极限分开求. 举例
例1 求 0tan lim x x
x →
解 00tan sin 1lim lim()cos x x x x x x x →→=⋅00sin 1lim lim 1cos x x x x x
→→=⋅=.
例2 求201cos lim x x
x →-
解 201cos lim x x x →-2
2
02sin 2lim x x x →=2
0sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
2
0sin 12lim 22x x x →⎛
⎫ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
211122=⋅=.
例3 求 1lim(1)tan 2x x x π
→-
解 设 1y x =-，即1x y =-，当1x →时，0y →，则
1
lim(1)tan
2
x x x π
→-0
(1)
lim tan
2
y y y π→-=0
lim cot
2
y y
y π→=
2
lim cos
lim cos
22
sin sin
2
22
y y y
y
y
y
y
y ππππππ→→=⋅
=⋅
2
π=
.
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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