高等数学第一章第6节夹逼准则
高数 夹逼准则与两个重要极限
对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{sin n}{n}$和$sum_{n=1}^{infty}(1 + frac{1}{n})^{n}$的级数，可以利 用两个重要极限的结论判断其收敛性。
综合应用夹逼准则和两个重要极限
在判断一些复杂级数的收敛性时，可以将夹逼准则和两个重要极限结合起来使用，通过巧妙的放缩和变换， 找到夹逼的级数或函数，从而判断原级数的收敛性。
解答
首先找到与原数列相关的不等式关系， 即∑(ξi1)^2Δxi≤∑f(ξi)Δxi≤∑(ξi)^2Δxi。然 后验证不等式两侧的数列极限是否存 在且相等。对于左侧数列和右侧数列， 当n趋向于无穷大时，其极限均为1/3 （可以通过定积分的几何意义或定积 分计算公式进行验证）。因此根据夹 逼准则，原数列的极限存在且为1/3， 即函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积 分为1/3。
利用(1+1/x)^x在x→∞时的极限为e，可以对一些涉及指数函数的 复杂表达式进行逼近处理。
在求解某些微分方程时，可以利用这两个重要极限简化方程形 式或求解过程。
在概率论与数理统计中，这两个重要极限也经常出现，例如在 求解某些概率分布或统计量的极限性质时。
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02
利用第二个重要极限求解幂函数、指数函数相关问题，如求
(1+x)^(1/x)在x=0处的极限值。
结合洛必达法则等其他求极限方法，可以求解更复杂的极限问
03
题。
拓展：其他常见极限形式及求解方法
∞/∞型极限
通过分子分母同除以某个趋于 无穷的变量来转化为0/0型极 限求解。
1^∞型极限
函数极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则首先，我们需要明确函数极限的定义。
设有函数$f(x)$在其中一点$a$的一些邻域内有定义，如果存在一个常数$L$，对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0<，x-a，<\delta$时，有$，f(x)-L，<\varepsilon$成立，则称$L$是函数$f(x)$在$x=a$处的极限，记作$\lim_{x\to a}f(x)=L$。
现在，我们来介绍夹逼准则的概念。
设有三个函数$f(x)$、$g(x)$和$h(x)$，在其中一点$a$的一些邻域内有定义。
如果存在正实数$\delta$，当$0<，x-a，<\delta$时，有$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$成立，且$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$，则可以得出结论$\lim_{x\to a}g(x)=L$。
根据夹逼准则的定义，我们可以证明一个函数的极限存在或不存在。
具体地，当我们找到两个函数$f(x)$和$h(x)$，满足$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$且$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$时，我们可以得出结论$\lim_{x\to a}g(x)=L$。
这是因为当$x$趋近于$a$时，不等式$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$右侧的函数$h(x)$和左侧的函数$f(x)$的极限都趋近于$L$，由此我们可以推断出$g(x)$的极限也趋近于$L$。
夹逼准则的重要性在于它提供了一种判断函数极限存在的方法。
它适用于各种类型的函数，包括无穷的函数，可以广泛地应用于极限的证明中。
接下来，我们将通过一些例子来说明夹逼准则的应用。
例1：证明$\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0$。
解：由于$-1\leq\sin\frac{1}{x}\leq 1$，我们可以得到以下不等式：$-x\leq x\sin\frac{1}{x}\leq x$当$x$趋近于$0$时，左侧和右侧的极限都为$0$。
高等数学(同济第六版)第一章第6节
高数夹逼准则
高数夹逼准则高数夹逼准则是微积分中的一个重要概念，它在求解极限、证明不等式等问题中具有重要的应用价值。
夹逼准则的核心思想是通过找到两个函数，一个从下方夹逼住待求的对象，另一个从上方夹逼住待求的对象，从而得到待求对象的极限或性质。
夹逼准则的应用非常广泛，不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着很多的应用场景。
下面将通过几个具体的案例来说明夹逼准则的应用。
我们来看一个经典的例子。
假设有一个数列{an}，其中an = 1/n，我们想要求这个数列的极限。
根据夹逼准则，我们可以找到两个函数，一个从下方夹逼住这个数列，另一个从上方夹逼住这个数列。
我们可以取下方的函数为0，上方的函数为1，即0<=an<=1，而且当n趋向于无穷大时，0和1也分别趋向于无穷大和无穷小。
因此，根据夹逼准则，我们可以得到an的极限为0。
除了求解极限，夹逼准则还可以用来证明不等式。
下面我们来看一个例子。
假设要证明对于任意的正实数x，都有x>0。
我们可以通过夹逼准则来证明这个不等式。
取下方的函数为0，上方的函数为x。
显然，0<=x，而且当x>0时，0和x也分别大于0和x。
因此，根据夹逼准则，我们可以得到x>0。
除了数列和不等式，夹逼准则还可以应用于求解极限的问题。
下面我们来看一个例子。
假设要求极限lim(x->0) [(sinx)/x]。
我们可以通过夹逼准则来求解这个极限。
首先，我们知道对于任意的实数x，都有-1<=sinx<=1。
因此，我们可以取下方的函数为-x，上方的函数为x，即-x<=sinx<=x。
而且当x趋向于0时，-x和x也分别趋向于0。
因此，根据夹逼准则，我们可以得到lim(x->0) [(sinx)/x]=1。
通过上面的例子，我们可以看到夹逼准则在求解极限、证明不等式等问题中的重要性。
夹逼准则的核心思想是通过寻找两个函数，一个从下方夹逼住待求对象，另一个从上方夹逼住待求对象，从而得到待求对象的极限或性质。
高等数学极限存在准则
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
A
A
A
（（ 1 x0
y h( x) y f (x) y g(x)
x0
）） 2
x0
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则. 问题: 1. 怎样使用数列夹逼准则？
回答：关键是构造数列 yn和 zn，使得对于一切正整
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC,
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 2
当 0 x 时,
2
0 cos x 1 1 cos x
2sin2 x 2
2( x)2
x2 ,
22
lim x 2 0, lim(1 cos x) 0,
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
作业
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
P55 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
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xn
存在.
xn1
3 xn ,
xn21 3 xn ,
lim
n
x2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
lim n
xn
1
2
13 .
二、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x
高数上册第一章第六节极限存在准则两个重要极限
1 当 x > 0 时 1 x x 1 x 1 由夹逼定理得 lim x[ ] 1. x 0 x
【注】记住[x]的运算性质： x 1 [ x ] x
7
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2.【单调有界准则】
如果数列xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
18
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当 x 1 时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x]
1 [ x ]1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ]1 1 1 e , lim (1 ) lim (1 ) x x [ x] 1 [ x] 1
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n
A 3 A,
2
1 13 1 13 1 13 lim x . n 解得 A , A (舍去) n 2 2 2
10
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【说明】 该方法只有在证明了极限存在时，才 能由递推公式，通过解方程的方法求 极限，否则可能导致荒谬的结论
2
)
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x ,
于是有sin x BD,
OAB的高为BD ,
高等数学1-6 同济第六版
例4. 已知圆内接正 n 边形面积为
n
2π sin n 证: lim An lim πR 2 n 2π n n
证明:
R
注: 计算中注意利用
( x ) 0 重要 !
三、单调有界数列的收敛准则
准则II ：单调有界数列必有极限。
若数列{xn}满足 x1 x2 x3 xn xn1
t 1 t t
x
e
x 1 x 1 x 故 lim (1 1 ) e ( 因 lim ( 1 ) lim ( 1 x x x) e )
x
x
例5.
解: 令 t x , 则
1 t lim (1 ) t t 1 lim
t
几何平均值 算术平均值
n
a1 a2 an a1 a2 an n
Cauchy不等式
第二步, 证明数列{xn}有界.
1 1 1 n 1 1 1 1 1 xn (1 ) (1 ) (1 )(1 ) 4 4 n 2 2 n n n
( 形如1 的情形要注意用此极限并 “凑”成标准型 )
课堂练习
求极限:
作业
P56-57
1/(2)(3)(4)(6)
2
4/(2)(3)
提示：利用单调有界数列有极限证明。 先用归纳法证明有界， 再证明单调。
下页有思考题.
思考题
(中科院2001硕士入学考题)
（研1996 ）
ε 0, 正整数 N 1 , 当n N 1 时, | yn a | ε. ε 0, 正整数 N 2 , 当n N 2 时, | zn a | ε.
高数夹逼准则与两个重要极限
高数夹逼准则与两个重要极限高数中的夹逼准则和两个重要极限是数学中非常基础而重要的概念。
夹逼准则可以帮助我们求解函数在其中一区间上的极限，而两个重要极限则可以简化我们在计算极限时的计算过程。
下面将详细介绍夹逼准则和两个重要极限。
一、夹逼准则夹逼准则是数学中一种求函数极限的方法。
它适用于其中一区间上的函数。
夹逼准则的基本思想是，如果一个函数在其中一区间内被两个函数夹住，而这两个函数恰好有相同的极限，那么被夹住的函数也会有相同的极限。
具体地说，设函数f(x)在其中一区间[a, b]上有定义。
如果存在两个函数g(x)和h(x)，满足对于所有的x∈(a, b)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim[x→a]g(x) = lim[x→a]h(x) = L，则有lim[x→a]f(x) = L。
夹逼准则的应用非常广泛，特别是可以用来求解一些比较复杂的极限。
1.正无穷大与无穷小之间的比较设函数f(x)在x→a时，当x趋于a时，f(x)的极限为正无穷大∞，即lim[x→a]f(x) = ∞。
那么对于任意的正数M，存在一个正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，<δ的x，有f(x)>M，即f(x)比任意的正数M都要大。
同样地，如果函数g(x)在x→a时，当x趋于a时，g(x)的极限为0，即lim[x→a]g(x) = 0。
那么对于任意的正数ε，存在一个正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，<δ的x，有，g(x)，<ε，即g(x)比任意的正数ε都要小。
这个极限的意义是，在计算极限时，如果我们发现函数f(x)在x→a时可以无限增大而无限接近正无穷大，那么我们可以将它近似地看作一个无穷大，这样可以简化计算过程。
同样地，如果函数g(x)在x→a时可以无限接近0，那么我们可以将它近似地看作一个无穷小。
2.正无穷大与负无穷大之间的关系如果两个函数f(x)和g(x)满足lim[x→a]f(x) = +∞，lim[x→a]g(x) = -∞，那么它们之间的关系为：当x→a时，f(x)比g(x)大无穷小。
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x0 x0 2 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 1
-2-
x
第六节
极限存在准则
x x0
两个重要极限
x x0
证
0,
lim g( x ) A, lim h( x ) A,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
所以 1 , 2 0, 使当 0 | x x0 | 1 时, 恒有 | g( x ) A | 即 A g ( x ) A 当 0 | x x0 | 2 时, 恒有
0
(2)
x x0
g ( x ) f ( x ) h( x ), lim g( x ) A, lim h( x ) A,
x x0
那末当 x x0 时, f ( x ) 的极限存在, 且 lim f ( x ) A.
y
x x0
A A A
o
y h( x ) y f ( x) y g( x )
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
1 x ) e 二 重要极限 lim(1 x x 在第二节中,利用单调有界原理证明了重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n lim(1 ) e n n 现在说明 n 换成连续变量 x , 在 x , x , x
所以
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x lim 1 x 0 x sin x sin( x ) sin t lim lim lim 1 x 0 x 0 t 0 x x t
而
所以
sin x lim 1 x 0 x
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
所以
1 x lim(1 ) e . x x
1 , x t 0, 所以 x 1
令 t
lim(1 t ) t e .
t 0
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
3 x 例9 求 lim(1 ) . x x
第 一 章 函 数 极 限 连 续
解
x 1 3 3 3 3 (lim ) 原式 lim[(1 ) ] x x x 3 x (1 ) 3 x 1 3. e
两个重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x 1 证明 lim 例4 x 0 x 证 先证 lim sin x 1. x 0 x 设单位圆圆心为O, 圆心角AOB x , (0 x ) 2 得高为AC的ACO,面积为S1 作单位圆的切线， C
圆心角为x的扇形OAB,面积为S2 , 高为BD的OAB, 面积为S3 ,
lim (1
1 x 1 t 1 t t 1 ) lim (1 ) lim ( ) t t x t 1 t 1 t 1 t 1 1 1 lim ( ) lim (1 )t lim (1 ) e. t t t t t t
3 x 2x ) . 例10 求 lim( x 2 x
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) x x2 x2
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e2 .
第六节
极限存在准则
两个重要极限
例11
第 一 章 函 数 极 限 连 续
ln(1 x) . 求 lim x 0 x ) 原式 limln(1 x
例5 解
第 一 章 函 数 极 限 连 续
例6 解
tan x . 求 lim x 0 x tan x sin x 1 sin x 1 lim lim lim lim x 0 x 0 x x cos x x 0 x x 0 cos x tan x lim 1 1 x 0 x 1 cos x 求 lim . 2 x 0 x x 2 x 2 x sin sin 2sin 1 1 2 lim 2 )2 2 lim( 原式 lim x 0 x2 2 x0 x 2 x0 x 2 ( ) 2 2 1 2 1 1 cos x 1 . 1 lim 2 2 x 0 2 x 2
第六节
极限存在准则
n
两个重要极限
例2
证
第 一 章 函 数 极 限 连 续
证明 lim n n 1. 显然 1 n n
n( n 1) 2 n (1 hn ) 1 nhn hn 2 n( n 1) 2 hn 2 2 2 n hn n 1 即 n1 n1
x 0
解
1 x
令u(1 x)
1 x
limln u ln e 1
u e
例12
ln(1 x) lim 1. x 0 x ex 1 . 求 lim x 0 x
令 u e x 1
解
原式
u lim 1 u 0 ln(1 u )
ex 1 lim 1. x 0 x
1 n2 n
).
由夹逼定理得 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
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n 1 1 n 2 , 解 2 2 2 n n n 1 n n n 1 n 1 又 lim lim 1, 2 n 1 n n n 1 n n 1 1, lim 2 lim n n 1 n 1 1 2 n
B
sin x BD, x 弧AB, tan x AC ,
且
x o D
A
S3 S2 S1 ,
sin x x tan x ,
sin x 即 cos x 1, x
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
由于
x 0
lim cos x lim 11
x 0
第六节
极限存在准则
两个重要极限
第六节
第 一 章 函 数 极 限 连 续
极限存在准则
两个重要极限
sin x 一 夹逼准则和重要极限 lim 1 x 0 x
1 x 二 重要极限 lim(1 ) e x x
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x 1 一 夹逼准则和重要极限 lim x 0 x 定理1 设 (1) 存在 0, 使当 0 | x x | 时,有
所以 lim f ( x ) A.
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
对于自变量其他的趋向过程下的极限, 也有类似 的定理, 例如夹逼准则的数列形式是:
第 一 章 函 数 极 限 连 续
定理2
如果数列 x n , yn 及 z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn ( n N , N 为某个正整数） (2) lim yn a , lim zn a ,
n n
那末数列 x n 的极限存在, 且 lim xn a . n 定理1和定理2称为夹逼准则. 注意: 夹逼准则不仅可以用来判别极限的存在性, 还可以用来求极限.
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
例1
第 一 章 函 数 极 限 连 续
求 lim(
n
1 n2 1
1 n2 2
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
arcsin x . 例7 求 lim x 0 x arcsin x 令uarcsin x u 解 lim lim 1 x 0 u 0 sin u x
arcsin x lim 1 x 0 x arctan x 同理 lim 1 x 0 x sin 2 x . 例8 求 lim x 0 sin 3 x sin 2 x sin 2 x 2 x 3 x 2 lim lim( ) . 解 x 0 sin 3 x x 0 2 x 3 x sin 3 x 3
| h( x ) A | , 即 A h( x ) A 取 min{ , 1 , 2 }, 当 0 | x x0 | 时, 恒有 A g( x ) f ( x ) h( x ) A
即恒有
x x0
| f ( x ) A | ,
时, 极限仍然存在, 且等于 e.
1 x ) e. 例8 证明 lim(1 x x 1 x 证 先证 lim (1 ) e . x x 不妨设 x 1, 取 n [ x], 由于 n x n 1, 所以
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
1 1 1 1 1 1 n1 x n
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n 1 x 1 n 1 (1 ) (1 ) (1 ) , n1 x n
由于 x n , 而
1 n 1 1 n 1 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x n n x n 1 n 1 n 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x n1 n1 n1
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n
记 hn n n 1, 则
所以
2 ) 1, 因为 lim(1 n n 1
所以 lim n n 1.
n
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第六节
极限存在准则
两个重要极限
1 x x
例3 求极限 lim (1 x 2 x 3 ) .
x
第 一 章 函 数 极 限 连 续