夹逼定理练习
夹逼法例题
夹逼法例题【原创版】目录1.夹逼法的定义和概念2.夹逼法的应用范围和条件3.夹逼法的解题步骤和方法4.夹逼法的例题解析5.夹逼法在实际问题中的应用正文一、夹逼法的定义和概念夹逼法，又称为夹逼定理，是一种求极限的方法。
它是通过构造两个函数，分别从左右两侧逼近目标函数，通过比较这两个函数的极限值，得到目标函数的极限值。
夹逼法广泛应用于数学分析、物理学和经济学等领域。
二、夹逼法的应用范围和条件夹逼法适用于求解以下类型的问题：1.求函数在某一点的极限值；2.求解无穷小量和无穷大量；3.求解连续函数的值域。
应用夹逼法的条件：1.两个函数在给定区间内连续；2.两个函数在给定区间内单调；3.两个函数在给定区间内的极限值存在且相等。
三、夹逼法的解题步骤和方法1.构造两个函数，分别从左右两侧逼近目标函数；2.证明这两个函数在给定区间内连续、单调；3.求出这两个函数在给定区间内的极限值；4.比较这两个函数的极限值，得到目标函数的极限值。
四、夹逼法的例题解析例题：求函数 f(x) = sinx / x 在 x 趋近于 0 时的极限值。
解：构造两个函数 g(x) = sinx 和 h(x) = 1 / x，分别从左右两侧逼近目标函数 f(x)。
1.证明 g(x) 和 h(x) 在区间 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 内连续、单调；2.求出 g(x) 和 h(x) 在区间 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 内的极限值，分别为 -1 和+∞；3.比较 g(x) 和 h(x) 的极限值，得到 f(x) 在 x 趋近于 0 时的极限值为 -1。
五、夹逼法在实际问题中的应用夹逼法在求解实际问题中的应用非常广泛，如求解物理学中的电磁场问题、经济学中的边际效用等。
夹逼定理例题
夹逼定理例题夹逼定理，也称作中值定理，是一种经典定理，由美国数学家卢伊兹夹尔在1885年提出。
它被用来证明一个函数在一个闭区间上是单调的。
英文原版称之为Intermediate Value Theorem，即「中值定理」。
夹逼定理的数学证明夹逼定理的定义如下：设f(x)为区间[a,b]上的连续函数，若存在实数c，使得f(a)<c<f(b)，则存在x∈[a,b]，使得f(x)=c。
证明如下：因为f(x)是[a,b]上的连续函数，所以f(x)在[a,b]上是一个闭区间，由定理可知，闭区间上的连续函数是有定界的，即f (a) m f (b)设f (a) < c < f (b) 且f (c) = k由于f (x)是连续函数，可以令f (a) < m 且 m < c此时，根据闭区间上的连续函数是有定界，存在实数x，使得 f(x)≤k，且x∈[a,c]同理可以知道f(x)≥k，且x∈[c,b]由于f (a) < c < f (b)并且f (c) = k所以f (x)的定义域是[a,b]，其值域为[f (a),f (b)]由此得到f(x)=k，其中x∈[a,b]综上，得证。
夹逼定理的应用夹逼定理在数学中用于证明一个函数在一个闭区间上是单调的，即在闭区间上存在唯一的解。
它也可以帮助解决积分问题。
因为，给定一个函数，可以根据它在闭区间上的单调性来求解积分。
夹逼定理在随机变量的分布曲线中也有应用，给定概率密度函数f(x)，在一个闭区间[a,b]上，只要满足夹逼定理的条件，就可以证明随机变量X的分布曲线在[a,b]上是单调的。
夹逼定理的例题例1：证明函数f(x)=x2+2x-2在区间[-2,2]上是单调的解：由夹逼定理可知，若f(x)在[a,b]上是单调的，则必须满足f(a)≤m≤f(b)我们考虑函数f(x)=x2+2x-2，在[-2,2]上，f(-2)=-2+2(-2)-2=-8f(2)=2+2×2-2=2由此可以知道f(-2)<m<f(2)，而且f(x)在[-2,2]上是连续函数，因此可以满足夹逼定理的要求，故f(x)=x2+2x-2在区间[-2,2]上是单调的。
夹逼定理
第六节 夹逼定理 无穷小的比较一． 夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )。
（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。
则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧a U 内（或X x ≥时） 满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。
（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。
则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞→)(lim ）。
注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。
（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )，结论仍然成立。
例1： 求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→xx x 。
（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(lim ，e nn n =+∞→)11(lim ）。
例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim xx x x -→（3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 212)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→三． 无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
夹逼法则解题例说
解析:由题目可知a = 6,6 = 8,c = 10,e = y,
双曲线的通径丨PQ丨=近=单，由定理1有
a
3
I PQ I +1 MN I
2 _), —f* 丿曰 i mtv i 8
\bfx\-\af2\ = e^可尉 mm =©•
定理2 F是抛物线的焦点,E是抛物线的准线 与其对称轴的交点，经过E和F作两条平行直线，分 别与抛物线相交于两点和M,N两点，则
解析：因为 ln(% + y + 1) + ln(i; -y -2) W (兌 + y + 1) - 1 + (x - y - 2) - 1 = 2x - 3,而兌』又满足 2光- 3 W ln(A； + y + 1) + In(兀 - y-2),所以 2兀-3 =ln(i; 4- y 4- 1) + ln(% - y - 2),当且仅当兌 + y + 1
/(兀)+ 1,从而 an+1 - an 二 1,所以仇2018 = «i + (2018
-1)x1= 2019.
评注:本题由递推关系，通过迭代得到/(兀+ 1) M/&) +1且/(兀+ 1) W/&) +1,再利用“夹逼法 则”将不等式转化为等式.
例3 若实数兌』满足2% - 3 Wln(%+y + l) + ln(%-y-2)，贝[J xy = ________ .
参考文献
［1 ］玉云化.椭圆的一个新性质［J］-河北理科教学研究. 2009.6.
gn
夹逼法则解题例说
浙江省金华市第六中学(321000) 虞懿
实数--夹逼法
6.1(3.1)算术平方根--夹逼法一．【知识要点】1.可以用夹逼法求一个含根号的无理数的近似值。
二．【经典例题】1.已知m=34+,则以下对m 的估算正确的是（ ） A 2<m<3 B 3<m<4 C 4<m<5 D 5<m<62.国际比赛的足球场长在100m ～110m 之间，宽在64m ～75m 之间，现有一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是75602m ，问：这个足球场能用来进行国际比赛吗？3.若a,b 均为正整数，且a>7,b>22,则a+b 的最小值是（ ）A 3B 4C 5D 64．已知x 是整数，当x 取最小值时，x 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8三．【题库】【A 】1.下列各数中，界于6和7之间的数是（ ） A.28 B.43 C.58 D.392．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间【B 】1.估计18+的值在（ ）A 2到3之间B 3到4之间C 4到5之间D 5到6之间2.若两个连续整数y x ,满足y x <+<15，则y x +的值是___________3.怎样计算边长为1的正方形的对角线的长？11【C】1.(1)如图1,小明想剪一块面积为252cm的正方形纸板,你能帮他求出正方形纸板的边长吗?(2)若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开,拼成如图2所示的一个大正方形,你能帮他求出这个大正方形的面积吗?它的边长是整数吗?若不是整数,那么请你估计这个边长的值在哪两个相邻整数之间？【D】。
第5节极限存在性定理与两个重要极限
tan2 2 x 求 极 限 lim . x 0 1 cos x
1 2 解 当 x 0 时, 1 cos x ~ x , tan2 x ~ 2 x . 2 (2 x )2 原式 lim 8 . 2 x 0 1 / 2 x
13
例7
tan x sin x 求 lim . 3 x 0 sin 2 x
lim [1 ] e
1
1 x 例9 求 lim(1 ) . x x
解
1 x 1 原式 lim[(1 ) ] x x 1 1 lim . x 1 x e (1 ) x
21
2 x 例10 求 lim(1 ) . x x x x 2 2 2 2 2 2 2 [(1 ) ] [lim(1 ) ] e . 解 原 式 lim x x x x 3 x 2x ) . 例11 求 lim( "1 " x 2 x
1 n n
2
n n 1
2
lim
n
1
lim(
n
1 n 1
2
1 1 2 n 1 2 n 2
1,
) 1.
2
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.
定理(夹逼定理) 设在 x0 的某空心邻域内恒有
g( x ) f ( x ) h( x )
且有 lim g( x ) lim h( x ) A ，
4 cos x
2
e4 .
22
例13
连续复利问题
将本金A0 存入银行 , 年利率为 r, 则一年后本息 之和为 A0 (1 r ) . 如果年利率仍为 r， 但半年计一次 利息 ,且利息不取，前期的本息之和作为下期的本金 再计算以后的利息，这样利息又生利息，由于半年
夹逼法求函数极限经典例题
夹逼法求函数极限经典例题在初中数学中，函数极限经常作为一个常考概念出现。
如果求出函数极限时，你使用哪些方法呢？如果你能熟练运用夹逼法就能轻松解决。
夹逼法是函数极限学习中的一个重要方法。
夹逼法主要是利用函数的相关性质求解函数的极限。
所谓的夹逼法就是在掌握公式的前提下，使用一种特殊的夹逼法，通过夹住函数的某一元素或者函数一阶极限区域上的一个点来达到求解函数极限的目的。
本例例中求解函数极限就是利用了夹逼法的运算法则来求出某一元素或者函数上限区域上的一个点，所以我们可以说该类型题是一种典型的夹逼法求极限例题。
首先要说明一下夹逼法计算函数的极限并不是很困难的运算法则哦，主要是借助夹逼法可以得到函数的极限条件！所以当你学会夹逼题也会很轻松就能计算出函数极限区域上的一个点了！一、例题（模拟题）解：由定义可知, f (x)在坐标轴上的坐标为 x+1,函数的 f (x)的值在该坐标轴上最大值为1 (即 f (x)在坐标轴上的值为 a-1)’=x-1/n+2,由式中可以看出 f (x)的值不会大于1。
设函数 f (x)在 x轴上的最大最小值为1.分析：此题中，要求函数 f (x)在坐标轴上的最大值不小于2.由于 f (t)为一个连续 n阶数，故在坐标轴上唯一确定的是 t+2.因此，利用夹逼法可得到函数极限区的所有解中，只要 t>0即可得出极限区域上任何一个点可以包含两个素数。
因此正确答案是: a-1/2= b-1/3=0.因此 c为函数 f (x-3)在坐标轴中最大值。
解：请将原函数 f (x-3)分解成为函数 g 0、 g=2、 N 1四个解析式。
运用夹逼法能得出以下结论：此方法适合于复杂的数学题时，如直线解方程，圆解方程.当然这里要说明的是本例中使用夹逼法求极限区域上任意一个点都可以。
但在计算时一定不能仅考虑到变量间相互影响而是考虑到变量间相互独立性和对变量间相互影响。
所以要注意以下几点：求解极限区间及边界条件：首先我们要明确一点，函数有多个值之和时，若求出函数在某一个区间对应的一个极限可以省略某些值或直接将极限区间写成整数是不可行的。
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第六节 夹逼定理 无穷小的比较
一． 夹逼定理
定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：
（1）n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )。
（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞
→lim 。
则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞
→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧
a U 内（或X x ≥时）
满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。
（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。
则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞
→)(lim ）。
注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。
（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )，结论仍然成立。
例1： 求下列极限
（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222n
n n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限
（1）1sin lim 0=→x x x 。
（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→1
0)1(lim ，e n n n =+∞→)11(lim ）。
例2：求下列极限
（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim x x x x -→ （3）203cos cos lim x
x x x -→ 例3：求下列极限
（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 21
2)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→ 三． 无穷小的比较：在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。
那末两个无穷小的商的情况又如何呢？为此讨论下列极限。
尽管,3,1,,,2x Cosx Sinx x x -都是0→x 时的无穷小量，但是它们趋向于零的快慢程度不一样。
设)(x α，)(x β是当0x x →时的两个无穷小量，由极限的运算法则知：)()(x x βα+，)()(x x βα-，)()(x x βα⋅都是当0x x →时的无穷小量。
但)(/)(x x βα当0x x →时是否是无穷小量呢？
,)(x x =α，2)(x x =β，x x sin )(=γ，x x cos 1)(-=δ当0→x 时都是无穷小量，0)()(lim 0=→x x x αβ，1)
()(lim 0=→x x x αγ，21)()(lim 0=→x x x βδ，∞=→)
()(lim 0x x x βα。
1．定义：设0lim =α，0lim =β，
（1）如果0lim =α
β
，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβo =； （2）如果∞=α
βlim ，就说β是比α低阶的无穷小； （3）如果0lim ≠=c α
β，就说β是与α同阶的无穷小； （4）如果1lim =αβ，就说β与α是等价无穷小，记作βα~。
2．等价无穷小的重要性质
定理3：设/~αα , /
~ββ,且//lim αβ存在，则αβlim =//lim αβ。
推论（1）：设/~αα , /
~ββ,且//)()(lim αβx g x f 存在，则αβ)()(lim x g x f 存在，且αβ)()(lim x g x f =//
)()(lim αβx g x f 。
注：在计算极限的过程中，可将分子或分母的的乘积因子换为与其等价的无穷小，这种替换有时可简化计算，但注意在加、减运算中不能用。
例4：求下列极限
（1） x
x x x x tan sin tan lim 20-→ （2） 1tan 1tan 1lim 0---+→x x e x x 例5：当0→x 时，试比较下列无穷小的阶
（1） 232x x +=α 2x =β （2）x x cos 2=α 2x =β
3．常用的等价无穷小替换
0→x ：x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x ~1-；
2
~cos 12
x x -，x x μμ~)1(+。