高等数学 1.2.7 夹逼定理
2020考研数学：夹逼准则的推论
2020考研数学：夹逼准则的推论夹逼准则是高等数学里求极限的重要方法之一，适用于函数与数列极限的计算及反常积分的计算。
在考研数学中是要求考生重点掌握的一块内容，其考查方式多样，需要考生掌握关于夹逼准则的重点题型和基本的放缩技巧，同时也要会使用并证明夹逼准则的推论：无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，下面重点讲解该推论的证明及应用。
一、夹逼准则（函数）：如果（1）当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，()()();g x f x h x ≤≤（2）0lim ()x x g x A →=，0lim ()x x h x A →=，则0lim ()x x f x →存在，且等于A 。
此准则必须对所求极限的函数进行适当放大和缩小，且经放大和缩小得到的函数的极限易求且相等。
夹逼准则的关键在于，找两个极限值相同的函数()g x 和()h x ，使得()()()g x f x h x ≤≤。
二、夹逼准则的推论：无穷小量⨯有界量=无穷小量即0lim ()0x x f x →=，且当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，存在0M >，使得()g x M ≤，则0lim ()()0x x f x g x →=。
证明：由条件可得()()()f xg x M f x ≤即()()()()M f x f x g x M f x -≤≤因为0lim ()0x x f x →=，故()00lim ()lim ()0x x x x M f x M f x →→-==，由夹逼准则可得：0lim ()()0x x f x g x →=例：求极限201lim sin x x x→分析：由于0x →时，2x 为无穷小量，1sinx 的极限虽然不存在，但1sin 1x ≤，因此为有界量，根据推论可得该极限为0。
解：由于20lim 0x x →=，且1sin 1x≤，所以201lim sin 0x x x →=以上内容即为考研数学考试对夹逼准则部分的要求，以及考生应该达到的学习的程度。
高等数学第一章第6节夹逼准则
x0 x0 2 x0 2 x0 x0 1 x0 x0 1
-2-
x
第六节
极限存在准则
x x0
两个重要极限
x x0
证
0,
lim g( x ) A, lim h( x ) A,
第 一 章 函 数 极 限 连 续
所以 1 , 2 0, 使当 0 | x x0 | 1 时, 恒有 | g( x ) A | 即 A g ( x ) A 当 0 | x x0 | 2 时, 恒有
0
(2)
x x0
g ( x ) f ( x ) h( x ), lim g( x ) A, lim h( x ) A,
x x0
那末当 x x0 时, f ( x ) 的极限存在, 且 lim f ( x ) A.
y
x x0
A A A
o
y h( x ) y f ( x) y g( x )
- 11 -
第六节
极限存在准则
两个重要极限
1 x ) e 二 重要极限 lim(1 x x 在第二节中,利用单调有界原理证明了重要极限
第 一 章 函 数 极 限 连 续
1 n lim(1 ) e n n 现在说明 n 换成连续变量 x , 在 x , x , x
所以
第 一 章 函 数 极 限 连 续
sin x lim 1 x 0 x sin x sin( x ) sin t lim lim lim 1 x 0 x 0 t 0 x x t
而
所以
sin x lim 1 x 0 x
-9-
夹逼定理
第六节 夹逼定理 无穷小的比较一． 夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )。
（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。
则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧a U 内（或X x ≥时） 满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。
（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。
则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞→)(lim ）。
注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。
（2） 定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )，结论仍然成立。
例1： 求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→xx x 。
（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(lim ，e nn n =+∞→)11(lim ）。
例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim xx x x -→（3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 212)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→三． 无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。
夹逼定理word版
一、夹逼准则及第一个重要极限1、 准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n =（2）lim n n x a →∞=，lim n n z a →∞=则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞= .证明 由lim n n x a →∞=⇒0ε∀>,1N ∃,当1n N >时，有 n x a ε-<⇒n a x ε-<又由lim n n z a →∞=⇒对上述ε，2N ∃，当2n N >时，有n z a ε-<⇒n z a ε+<取12{},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有 n n n x y z ≤≤， n a x ε-<， n z a ε+< 从而有n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即 n y a ε-<,故 lim n n y a →∞=.上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即:2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足(1) ()()()f x g x h x ≤≤ （ 当0,()U x x δ∈ (或x M >)时）；(2)0()lim ()x xx f x A→∞→=，0()lim ()x xx h x A→∞→=.则 0()lim ()x x x g x →∞→存在且等于 A .上述两个准则都称为夹逼准则. 举例 例1 求2n n→∞++++解因为2111n nn≤+++≤+又因为 lim1,lim 1n n→∞→∞==所以 由夹逼准则得21111n n →∞+++=+.3、第一个重要极限： 0sin lim 1x xx→=证明：在单位圆中， 有 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形 （如图1-35）而 sin x CB =，x AB =，tan x AD =. 所以111sin tan 222x x x <<， 即 sin tan x x x <<,从而得 sin cos 1xx x <<.因为函数sin xx 与cos x 都是偶函数，所以在区间(,0)2π-内，sin cos 1xx x<<也成立.135图-故对于一切满足不等式 02x π<<的x 都有sin cos 1xx x<< 由 0limcos 1x x →= 及夹逼准则可得0sin lim 1x xx→=.特点与用法：分出两个“0因子”： “sin x ”和“x ”，而与“0因子”无关的极限分开求. 举例例1 求 0tan lim x xx →解 00tan sin 1lim lim()cos x x x x x x x →→=⋅00sin 1lim lim 1cos x x x x x→→=⋅=.例2 求201cos lim x xx →-解 201cos lim x x x →-2202sin 2lim x x x →=20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭211122=⋅=.例3 求 1lim(1)tan 2x x x π→-解 设 1y x =-，即1x y =-，当1x →时，0y →，则1lim(1)tan2x x x π→-0(1)lim tan2y y y π→-=0lim cot2y yy π→=2lim coslim cos22sin sin222y y yyyyyy ππππππ→→=⋅=⋅2π=.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
极限存在的夹逼准则
sin x BD , x AB, tan x AC.
因为 所以
SAOB S扇形AOB SAOC ,
1 1 1 sin x x tan x, 2 2 2
o
x
D
A x
即 sin x x tan x, 对不等式进行变形有
sin x cos x 1, x
此式对
x x0 x x0
h(x)
那么函数 f (x) 的极限存在，且 lim f ( x) A. xx0 y
A
A
g (x)
f (x)
A
o
x0 2 x0 1
x0 r
x 0 x0 2 x0 1
x0 r
x
证明 0, 因 lim g ( x) A, 所以由极限的定义， 0, 当 0 | x x | 1 0 1 时，有 | g ( x) A | , 则
x x0
A g (x).
x x0
①
又因为 lim h( x) A, 所以 2 0, 当0 | x x0 | 2 时，有 | h( x) A | ， 则
h( x ) A .
由条件（1）知， 当0 | x x0 | r 时，有
《高等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学》
极限存在的夹逼准则
一、回顾
定理3 设 lim f ( x) A, lim g ( x) B, 则
⑴ lim[ f ( x) g ( x)] A B; ⑵ lim[ f ( x) g ( x)] A B;
f ( x) A , 其中B 0. ⑶ lim g ( x) B
用数列极限计算函数极限的夹逼定理
用数列极限计算函数极限的夹逼定理夹逼定理是数学分析中一个重要的极限定理，常用于计算函数的极限。
该定理要求我们使用数列的极限来夹逼函数的极限。
接下来，我将详细介绍夹逼定理的定义、证明及其在函数极限计算中的应用。
先来介绍夹逼定理的定义。
设函数 f(x)、g(x) 和 h(x) 在一些邻域内除了可能在一些点 x=a 外都有定义，且满足对于所有 x，有g(x) ≤f(x) ≤ h(x)。
如果在 x=a 处的一些邻域内，有lim(x→a) g(x) =lim(x→a) h(x) = L，那么必然有lim(x→a) f(x) = L。
换言之，如果f(x) 在 x=a 处的其中一邻域内被 g(x) 和 h(x) 夹住，并且当 x 趋于a 时，g(x) 和 h(x) 的极限都为 L，那么 f(x) 的极限也为 L。
接下来是夹逼定理的证明。
我们先证明对于数列而言，夹逼定理成立。
设有数列 a_n、b_n 和 c_n，满足对于所有 n，有a_n ≤ b_n ≤ c_n，并且当 n 趋于无穷时，有lim(n→∞) a_n = lim(n→∞) c_n = L。
我们需要证明lim(n→∞) b_n = L。
根据数列的极限定义，对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N1 和 N2，使得当 n > N1 和 n > N2 时，有，a_n - L，< ε 和，c_n - L，< ε 成立。
考虑到a_n≤b_n≤c_n，我们有以下两个不等式：a_n-L≤b_n-L≤c_n-L(1)-L≤b_n-L≤L(2)由不等式(1)和(2)可得：(b_n-L)-(b_n-L)，≤，a_n-L，<ε(3)(b_n-L)+(b_n-L)，≤，c_n-L，<ε(4)由不等式 (3) 和 (4) 可知，当 n > max{N1, N2} 时，有，b_n - L，< ε 成立。
这证明了lim(n→∞) b_n = L。
夹逼定理准则1
2
0
cos x 1
1 cos x
2 sin2
x
2
x 2
x2
,
2 2 2
即
x2 0 1 cos x ,
2
10
当x 0时, x 2 0,由夹逼定理知l：imcos x 1,
2
x0
再由1式及夹逼定理得：
lim sin x 1. x x 0
1
x
a a
x
a
,
x
由于
x
lim1
a a
e,
x x
令
1
a a
u,
由复合函数求极限的法则：
x
lim1
a
x
limua
ea.
x
x
ue
lim1
a
x
ea
x x
第七节 极限存在准则 两个重要极限
夹逼准则
推出
重要极限:
lim
x0
sin x x
1
应
极限存在准则
单调有界数列 推出 必有极限
重要极限:
lim1
1
x
e
用
x x
柯西极限存在准则
1
一、极限存在准则及重要极限
1.极限存在准则
①夹逼准则 （夹逼定理）
准则1：如果数列xn,yn及zn满足下列条件：
证：先设x 0, x 0, 可设0 x .
2
如图：A,C在单位圆周上,AOC x,
OC是半径,且AB OC , DC OC ,
夹逼定理适用条件
夹逼定理适用条件夹逼定理是微积分中的重要定理之一，它常用于求解极限问题，被广泛应用于实际问题的数学建模和物理学等领域。
本文将介绍夹逼定理的概念、适用条件以及具体的应用实例。
一、夹逼定理的概念夹逼定理又称为挤压定理、夹缝定理等，是用来确定一个无穷小量的极限值的常用方法。
它具有非常普适的适用范围，是求解许多极限问题的重要工具。
夹逼定理的基本思想是用两个已知的函数逐步夹住待求解的函数，以求解出待求解函数的极限值。
在实际应用中，夹逼定理的常见形式为“设函数f(x)、g(x)、h(x)满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且f(x)和h(x)的极限值均为L，则当x趋于a时，g(x)的极限值也是L。
”夹逼定理的适用条件分为三个方面，即夹逼定理的条件、夹逼数列的条件和夹逼函数的条件。
1.三个函数的自变量相同，即存在一个数集{x}，使得f(x)、g(x)和h(x)的值都可以表示为{x}中的某些元素；2.对于{x}中任意一个元素，f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)都成立；3.在x = a的某个去心邻域内，f(x)、g(x)和h(x)都有定义。
（二）夹逼数列的条件1.数列{a(n)}、{b(n)}、{c(n)}满足a(n) ≤ b(n) ≤ c(n)对所有n都成立；2.当n趋近于正无穷时，a(n)和c(n)的极限值都为L，即lim a(n) = lim c(n) = L；3.存在正整数N，使得当n>N时，a(n) ≤ x ≤ c(n)都成立。
1.对于x在某个去心邻域内的所有取值，都满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)；2.当x趋近于a时，f(x)和h(x)的极限值均为L。
三、夹逼定理的应用实例实例1：求解sinx/x的极限这里我们用夹逼定理来求解sinx/x的极限。
我们可以将(x/2)cosx表示为夹逼函数的形式，即-x/2 ≤ (x/2)cosx ≤ x/2。
我们知道当x趋近于0时，-x/2和x/2的极限值都为0。
高数重要知识点汇总
简变形成 “0 ”或“ ”型才能运用该法则 ；
0
（2）只要条件具备 ，可以连续应用洛必达法则 ；
（3）洛必达法则的条件是充分的 ，但不必要 ．因此 ，在该法则失效时并不
能断定原极限不存在 ．
7 ．利用导数定义求极限
参考 .资料
..
..
..
..
基本公式 lim f (x0 x0
x) f (x0) x
6 可微与可导的关系 f (x)在 x0处可微 ? f (x)在 x0 处可导 。
7 求n 阶导数 （n ≥ 2，正整数 ）
先求出 y′, y′,…′… ,总结出规律性 ， 然后写出 y(n)， 最后用归纳法证明 。 有一些
常用的初等函数的 n 阶导数公式
（ 1） y e x, y (n) ex
（ 2） y a x , y (n) a x (ln a)n
，称为皮亚诺余项 对常用的初等函数如 ex ,sin x,cos x,ln(1+ x)和 (1 x) （α 为实常数 ）等的 n阶 泰勒公式都要熟记 。 定理 2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式 ） 设 f (x)在包含 0 x 的区间 (a,b )内有 n +1 阶导数 ，在 [a,b ]上有 n阶连续导数 ，则对 x
3!
n!
x5 ... ( 1)n x 2n 1
5!
(2n 1)!
o( x2 n 1)
x2 cos x 1
x4
... ( 1)n x 2n
o( x2n)
2! 4!
2 n!
ln(1 x)
x
x2
x3 ...
( 1)n 1 x n
o( xn )
23
n
(1 x) 1 x ( 1) x2 ... ( 1)...( (n 1)) xn o( xn)
高数 1.2 极限的判别准则
1 1 1 1 2 n1 1 1 (1 ) (1 )(1 )(1 ). 2! n n! n n n
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类似地, xn1
1 1 1 1 (1 ) 2! n1 1 1 2 n1 (1 )(1 )(1 ) n! n1 n1 n1 1 1 2 n (1 )(1 )(1 ). ( n 1)! n1 n1 n1
x x x 例5 求 limcos cos cos n n 2 4 2
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(2)
定义
1 x lim (1 ) e x x 1 n lim (1 ) e n n
1 n 设 xn (1 ) n
n 1 n( n 1) 1 n( n 1)( n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n n! n
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arcsin x 2. lim ; x 0 x
解 令 arcsin x t , x sin t
x 0 则 t 0.
t arcsin x lim lim 1. x 0 t 0 sin t x
3. lim x cot x .
( x )
0
x x0 ( x )
lim h( x ) A,
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x x0 ( x )
准则I和准则I' 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
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