高考数列放缩法技巧全总结
高考数学备考之放缩技巧
证数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察通项的结构,剖析特征,抓住其规律放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求
∑=-n
k k
1
2
142
的值; (2)求证:
3
51
1
2
<
∑=n
k k
. 解析:(1)因为121121)12)(12(21
422+--=+-=
-n n n n n ,所以12212111
4212
+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=-
<1211212144
4
11
1
222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n
k 注意术语,如求和,奇数 技巧积累:(1)??? ??+--=-<
=1211212144
4412
2
2n n n n
n
(2))
1(1)1(1)1()1(212
11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1
11)1(1!11)!(!!11
≥--=-<-=?
=+r r r r r r n r n r n n
C T
r r
r
n r (4)2
5
)1(12311
2111)11(<-++?+
?++<+n n n n (5)
n
n n
n 2
1121)12(21--=- (6)
n n n -+<+22
1
(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n
n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221?+-?+=???? ??+-+- (9)
?
?
? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1
(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)
2
1
2121
21222)1212(21
-++
=
-++=
--+ (11) )2(1 21121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211 12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n (12) 1 11)1(1)1(1)1)(1(111 2 3 --+????? ??+- -=+-< ?= n n n n n n n n n n n n 1 1112111111 +--<-++? ??? ??+--=n n n n n n n (13) 3 212132122)12(332)13(2221n n n n n n n n n <-? >-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证:)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 解析:(1)因为 ??? ??+--=+->-12112121)12)(12(1) 12(12 n n n n n ,所以 ) 1 2131(211)12131(211) 12(1 1 2 --+>+-+>-∑=n n i n i (2))111(41)1211(4141361161412 22n n n -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出1 212642)12(531+< ????-????n n n ,再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n ++= -+>12)1(21 ,所以容易经过裂项得到 n n 13 12 11)11(2+ ++ + <-+ 再证 2 12121 21222)1212(21-++ = -++= --+ 而由均值不等式知道这是显然成立的,所以 )112(213 12 11-+<+ ++ + n n 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 解析:一方面:因为??? ??+--=-= - < 121121 2144 41 11 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +?? ??+--++-+<∑=n n k n k 另一方面:1 111)1(143132111914112 +=+-=+++?+?+>++++n n n n n n 当3≥n 时,) 12)(1(61 ++> +n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时, 21 91411)12)(1(6n n n n ++++<++ ,所以综上有 3 5191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈,,整数11ln a b k a b -≥.证 明:1k a b +>. 解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则 b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤ 0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a 1 11 ln ln ,因为)ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=, 于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1( ∑ =++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证: ∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 1 11111111111 1 11])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只 要证 ∑∑∑=++==++-+<+<--n k m m n k m n k m m k k k m k k 1 111 1 11])1[()1(])1([,即等价于 m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m k k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n n a a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T . 解析:)21(2)14(3 421)21(241)41(4)222(444421321n n n n n n n T -+-=-----=+++-++++= 所以 123)2(222322342323 23422234342)21(2)14(3422111111+?-?? =+?-?=-+=-+-=-+-=++++++n n n n n n n n n n n n n n n n T ?? ? ??---=--??= +12112123)12)(122(2231n n n n n 从而2 31211217131311231321?? ??---++-+-=+++++n n n T T T T 例7.已知11=x ,???∈=-∈-==) ,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证: *))(11(21 1 1 4 1 224 544 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>++?+ ?+ 证明: n n n n n n x x n n 222141 141 ) 12)(12(1 1 4 2 4 2 4 4 1 22= ?=> -= +-= +,因为 12++ 1(21 2 221 4 1 22n n n n n x x n n -+=++> > + 所以 *) )(11(21 1 14 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+ 二、函数放缩 例8.求证:)(6 65333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ . 解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)3 13121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ 因为??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+ ++n n n n 311212 1 9181716151413121313 1 21 6 53332327918993636511 1n n n n n =???? ??+?++??? ??++??? ??++>--- 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n n n 例9.求证:(1))2() 1(212ln 33ln 22ln ,22 ≥+--<+++≥n n n n n n α αααααα 解析:构造函数 x x x f ln )(=,得到22ln ln n n n n ≤α α ,再进行裂项)1(1111ln 2 22 +-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案 函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n 例10.求证:n n n 1 211)1ln(1 1 3121+++ <+<++++ 解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n 解析: 1 )1(3 2]1)1(ln[++- >++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4 )1(1ln 54ln 43ln 3 2 ln >∈-<+++++ n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1 2111)('--=--= x x x x f ,令0)('>x f 有21< 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以2 11 ln -≤ +n n n ,所以)1*,(4 )1(1ln 54ln 43ln 32 ln >∈-<+++++ n N n n n n n 例14. 已知112111,(1).2 n n n a a a n n +==+++证明2n a e <. 解析: n n n n n a n n a n n a )21)1(11(2 1))1(11(1+++<+++ =+, 然后两边取自然对数,可以得到 n n n a n n a ln )2 1 )1(11ln(ln 1++++ <+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路: ?+++ ≤+n n n a n n a )21 11(2 1?++++ ≤+n n n a n n a ln )2 1 11ln(ln 2 1 n n n n a 2 1 1ln 2 +++ ≤。于是 n n n n n a a 21 1ln ln 2 1++≤ -+, . 221122 11)21 (111ln ln )211()ln (ln 1 1211 11 1 <--=--+ -≤-?++≤---=+-=∑ ∑ n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 21e a a a n n <- 注:题目所给条件ln(1)x x +<(0x >)为一有用结论,可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当然,本题还可用结论 )2)(1(2≥->n n n n 来放缩: ?-+-+ ≤+) 1(1 ))1(11(1n n a n n a n n ? +-+ ≤++)1)() 1(1 1(11n n a n n a .)1(1 ))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 111)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 112<-<+-+?-<+-+?∑∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i , 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <-+<+ 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >?在0>x 上恒成立. (I)求证:函数 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数; (II)当)()()(:,0,0212121x x f x f x f x x +<+>>证明时; (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立, 求证:). ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 2 1 *22 222222 N n n n n n n ∈++>++++++ 解析:(I)0)()(')('2 >-= x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数 (II)因为 ),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数,所以 )()()()(212 111 2 1211 1x x f x x x x f x x x x f x x f +?+< ?++< )()()()(212 122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+++< 两式相加后可以得到)()()(2121x x f x f x f +<+ (3) ) ()()() (21211 121211 1n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++++++++< )()()()(212122212122n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++++++++< …… )()()()(21212121n n n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++++++++< 相加后可以得到: )()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++ 所以) l n ()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ 令2 )1(1 n x n += ,有 ??? ??++++++-22222222)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21n n ???? ??++++????? ??+++++22 22222)1(13121ln )1(1413121n n ???? ??+++?+?????? ??++++ 31121ln )1(1312122 2 )2)(1(2212111++- =?? ? ??+-??? ??+- ()2)(1(2)1ln() 1(14ln 413ln 312ln 2 1 *22 222222 N n n n n n n ∈++>++++++ (方法二)? ? ? ??+-+=++≥+++> ++2111 4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22 2 n n n n n n n n n 所以) 2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2 1 22222222 +=??? ??+->++++++ n n n n n 又1 114ln +>>n ,所以 ). ()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*22 222222N n n n n n n ∈++> ++++++ 例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥ ++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k = +-> . 2 021,0)(,ln 1)ln(1ln )(. 0),ln()(ln )(, ln )(k x k x k k x x k x x g x k x x k x x g k x x k x k x x x g x x x f <>--?>->'-=---+='<<∴--+=∴=则有令 ∴函数k k x g ,2 [)(在)上单调递增,在 ]2 ,0(k 上单调递减. ∴)(x g 的最小值为 )2(k g ,即总有).2 ()(k g x g ≥ 而,2ln )()2ln (ln 2 ln )2 ()2 ()2 (k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+= ,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k += .2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴ ).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴ 三、分式放缩 姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1 21 1()5 11)(3 11)(11(+>-+ +++n n 和 1 21)21 1()611)(411)(211(+< +---n n 也可以表示成为 1 2) 12(5312642+>-???????n n n 和1 212642)12(531+???-????n n n 解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??1 22563412n n =+??n n 2126 74523 )12(2126 54321+?-??n n n ?12)122563412(2+>-??n n n 即.12)1 21 1()5 11)(311)(11(+>-+ +++n n 例20.证明:.13)2 311()711)(411)(11(3+>-+++ +n n 解析: 运用两次次分式放缩: 1 338956.232313784512-????>--????n n n n (加1) n n n n 3139 1067.342 3137 84512+????>--???? (加2) 相乘,可以得到: )13(1323875421131381057.2423137 845122 +?--????=-+? ???>??? ??--????n n n n n n n