间距为的一维晶格的马德隆常数
固体物理习题第二章
U U R N M Q V V （ ） V0 ( ) R0 [ ( m 1) m m 2 ( n 1) n n 2 ] V R V 2 R0 R0 ( 1 N M Q 1 1 2 ) ( m n )( 2 )( )( ) 2 m 1 n 1 3 2 2 3 NAR0 R0 R0 3 NAR0 3 NAR0
2
每个氢分子可以当做球 形来处理.结合能实验值为 0.75KJ / mol, 试与计算值比较 . 解：林纳德- 琼斯势：u (r ) 4 [( )12 ( ) 6 ] r r N N个气体分子间的互作用 能为：U '{4 [( )12 ( ) 6 ]} 2 j rj rj
第二章：固体的结合
2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为：α=2㏑2. 证明：设由两种一价离子组成一无限长的一维晶格，取任一一个 负离子作为参考，用r表示相邻离子间的间距，则有： 1 1 1 1 '
r
j
2 ... aj r 2r 3r
（+、-号分别对应正离子和负离子间的相互作用） 前面有个因子2是因为以负离子作为参考左右两边都存在相互作 用. 1 1 2 1 ... 则： 2 3
j
1 12 6 ' 1 A 则 U ( R ) 2 N [ A ( ) A ( ) ] 12 12 6 6 12 R R aj aj j
U ( R ) 12 6 2 A12 16 在平衡位置处有：（ ） 6 A6 7 ) 0 有：R0 （ ） R0 2 N (12 A 12 13 R A6 R0 R0 A6 A6 A6 1 代入U ( R)有：U ( R0 ) 2 N ( ) N 4 A12 2 A12 2 A12 U ( R) bcc A6 A12 12.25 2 12.13 则： 2 ( ) 0.957 U ( R) fcc A12 A6 14.45 9.11
晶体马德隆常数的计算
参考文献
[1] 阎守胜.固体物理基础[M].北京：北京大学出版社，2000. [2] Kittle C.固体物理导论[M].北京：科学出版社，1979. [3] 王矜奉.固体物理教程[M].济南：山东大学出版社，2006.
The calculation of Madelung constant in the ion crystal
二维正方离子格子的马德隆常数与对应的 n
30
40
50
1.59236
1.59808
1.60154
1.61554
1.61554
1.61554
100
200
300
1.60851
1.61202
1.61319
1.61554
1.61554
1.61554
800
900
1000
1.61466
1.61476
1.61484
中国科技论文在线
离子晶体的马德隆常数计算
詹泸成，罗志琳
河海大学应用物理系，南京（211100）
E-mail:zhanhucheng@
摘 要:本文对马德隆常数的一般公式进行了修正，并利用 Visual Basic、Matlab 等工具对一 维离子链，二维正方离子格子，以及三维 Nacl 离子晶体修正前后的马德隆常数进行了计算 分析，结果表明：修正后的马德隆常数公式能够更快地收敛于真实值，并且更加接近于实验 值，通过对三个维度的比较，验证了离子晶体马德隆常数随着晶体配位数的增加而增大的性 质。 关键词：离子晶体；马德隆常数；修正 中图分类号：O481
=−
n1 =−n n2 =− n
(−1)n1 + n2 n12 + n22
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考02第二章_晶体的结合和弹性
d 2U ( dV 2 )V0
=
1 9V 2
0
⋅
N 2
⎡ ⎢ ⎣
−
m2 A r0m
+
n2B ⎤
r0n
⎥ ⎦
=
1 9V02
⋅
N 2
⎡⎢−m ⎣
mA r0m
+
n
nB r0n
⎤ ⎥ ⎦
=
1 9V02
⋅
N 2
⎡⎢−m ⎣
nB r0n
+
n
mA ⎤
r0m
⎥ ⎦
=
−
mn 9V02
⋅
N 2
⎡⎢− ⎣
A r0m
+
B r0n
第二章 晶体的结合和弹性 第二章 晶体的结合和弹性
2.1 有一晶体，在平衡时的体积为V0 ，原子之间总的相互作用能为U0 ，如果相距为 r 的原子间相互作用能
由下式给出： 证明：（1）体积弹性模量为
u(r) = − A + B ， rm rn
K
=
U0
mn 9V0
（2）求出体心立方结构惰性分子晶体的体积弹性模量。 解：参考王矜奉 2.2.1 根据弹性模量的定义可知
2
平衡条件
dU dr
|r = r0
=
⎛ ⎜⎜⎝
mA r m+1
0
−
nB r n+1
0
⎞ ⎟⎟⎠
=
0
得
mA r m+1
0
=
nB r n+1
0
第二章 晶体的结合和弹性
1
r0
=
⎛ ⎜⎝
nB mA
⎞n−m ⎟⎠
固体物理第一二章习题解答
第一章习题1.画出以下晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构和惯用原胞、初基原胞中的原子个数和配位数。
(1)氯化钾；（2）氯化钛；（3）硅；（4）砷化镓；（5）碳化硅（6）钽酸锂；（7）铍；（8）钼；（9）铂。
解：名称分子式结构惯用元胞布拉菲格子初基元胞中原子数惯用元胞中原子数配位数氯化钾KCl NaCl结构fcc 2 8 6 氯化钛TiCl CsCl结构sc 2 2 8 硅Si 金刚石fcc 2 8 4 砷化镓GaAs 闪锌矿fcc 2 8 4碳化硅 SiC 闪锌矿fcc 2 8 4钽酸锂LiTaO 3钙钛矿sc552、6、12O 、Ta 、Li铍Behcp简单六角2612钼 Mo bccbcc 1 2 8铂 Pt fccfcc 1 4 122. 试证明：理想六角密堆积结构的128 1.6333c a ⎛⎫== ⎪⎝⎭。
若是实际的ca值比那个数值大得多，能够把晶体视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。
证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a ，而相邻两层的最近邻原子间距为：212243⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=c a d 。
当d =a 时组成理想密堆积结构，现在有：212243⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=c a a ，由此解出：633.13821=⎪⎭⎫⎝⎛=a c 。
假设633.1>ac时，那么表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大，因此层间堆积不够紧密。
3. 画出立方晶系中的以下晶向和晶面：[101]、[110]、[112]、[121]、（110）、（211）、（111）、（112）。
解：4. 考虑指数为（100）和（001）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。
假设采纳初基原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？解：如右图所示：在立方惯用原胞中的（100）晶面，在初基原胞基矢坐标系中，在1a 、2a 、3a 三个基矢坐标上的截距为()2,,2∞，那么晶面指数为（101）。
固体物理习题解答
，在 时为
.(课本数据有误)
试计算
(1) 费米能和费米温度；
(2) 费米球的半径；
(3) 费米速度；
(4) 费米球的最大横截面积；
(5) 室温下和绝对零度附近电子的平均自由程.
解：电子数密度
.
费米波矢
(1) 费米能
费米温度
(2) 费米球的半径 (3) 费米速度
(4) 费米球的最大横截面
(5) 平均自由时间
证：比热
高温时,
，即
按 Maclaurin 公式展开 取前三项有
,其中
,
.
, 很小，于是
， ,于是
4.(3.12)设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势能为
为待定常数，平衡间距 解：平衡时，有
，求线膨胀系数 .
线膨胀系数
,
其中
,
.
即
10 / 15
1.(4.3)如果已知空位形成能为 是多少?
解：
作业 5
应满足布洛赫定理，若晶格常数为 ，电子的波函数为
(2)
.
(3)
( 是某个确定的函数)
试求电子在这些状态的波矢.
解：一维布洛赫定理为
.
(1)
(2) (3) 2(6.2)设一维电子能带可以写成
其中 为晶格常数，试求 (1) 能带的宽度； (2) 电子的平均速度； (3) 能带底部和顶部的电子有效质量.
解：(1)
马德隆常数
，对于一维晶格，选取一个正离子作为参考离子，在求和中对负离子取正号，
对正离子取负号，参考离子两边的离子是对称分布的，则有
时，由
两边积分，有
取 ，得
故由两种离子组成、间距为 的一维晶格的马德隆常数
华科固体物理考研题
华中科技大学一九九九年招收硕士研究生入学考试试题 考试科目： 固体物理 适用专业： 微电子学与固体电子学（除画图题外，所有答案都必须写在答题纸上，写在试题上及草稿纸上无效，考完后试题随答题纸交回）1.设半径为R 的硬球堆成体心立方晶格，计算可以放入其间隙位置的一个硬球的最大半径r2.已知NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为 2()n q B u r r rα=-+，其中马德隆常数 1.75α=, n = 9，平衡离子间距0 2.82r = Å，求其声学波与光学波之间的频率间隙Δω（Na 的原子量为23, Cl 的原子量为35.5, 1原子质量单位为1.67×2410-克，104.810q -=⨯静电单位电荷）3.已知碳在()铁中的扩散系数D 与温度关系的实验数据为：当温度为200度时，扩散系数D200℃ = 11210/cm -秒；温度为760℃时，D760℃ =-6210/cm 秒，试求扩散过程的激活能Q （千焦耳/摩尔）（气体常数R=8.31焦耳/摩尔·开）4.设N 个电子在边长为L 的正方形框中自由运动，在求解薜定谔方程时所得电子的本征能量220()x y E n n E =+式中，x n ，y n ，为任意正整数，0E 为基态能量，试求绝对零度时系统的费米能F E5.设晶格势场对电子的作用力为L F ，电子受到的外场力为e F ，证明电子的有效质量*m 和电子的惯性质量m 的关系为：*ee L F m F F =+六．已知Na 的费米能 0F E = 3.2ev ，在 T = 0k 下, 测知其电导率σ= 2.1×17110()cm -Ω⋅，试求该温度下Na 的电子的弛豫时间τ.（常数:104.810e cgsu -=⨯, m = 9.1×2810g -，271.0510erg s -=⨯⋅，121.610lev erg -=⨯）华中科技大学二00一年招收硕士研究生入学考试试题考试科目：固体物理适用专业：微电子学与固体电子学（除画图题外，所有答案都必须写在答题纸上，写在试题上及草稿纸上无效，考完后试题随答题纸交回）一、选择题（25分）1.晶体的宏观对称性中有（）种基本的对称操作A.7B.8C.14D.322.金刚石晶格的布拉菲格子为（）A.简立方B.体心立方C.面心立方D.六角密排3.GaAs晶体的结合方式为（）A.离子结合B.共价结合C.金属性结合D.共价结合+离子结合4.NaCl晶体的配位数是（）A.4B.6C.8D.125.KBr晶体中有3支声学波和（）支光学波A.6B.3C.6ND.3N6.体心立方晶格的晶格常数为a ，其倒格子原胞体积等于（） A.31aB.338a πC.3316a πD.3332a π 7.周期性势场中单电子本征波函数为（）A.周期函数B.旺尼尔函数C.布洛赫函数D.r k e V1 8.极低温下，固体的比热Cv 与T 的关系（）A .Cv 与T 成正比 B. Cv 与2T 成正比 C. Cv 与3T 成正比 D. Cv 与T无关9.面心立方晶格的简约布里渊区是（）A.截角八面体B.正12面体C.正八面体D.正立方体10.位错破坏了晶格的周期性，位错是（）A.点缺陷B.线缺陷C.面缺陷D.热缺陷二、简要回答下列问题（20分）1.简述金属，绝缘体和半导体在能带结构上的差异.2.为什么对金属电导有贡献的只是费米面附近的电子？3.引起固体热膨胀的物理原因是什么？4.什么是金属的功函数，写出两块金属之间的接触电势差12V 与功函数1φ、2φ之间的关系式.三、（15分）一维周期场中电子的波函数是πψax x x 3sin)(=，（a 是晶格常数），试求电子在该状态的波矢。
《固体物理》课后习题答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52 体心立方3π/ 8 ≈0.68 面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密排2π/ 6 ≈0.74 金刚石3π/16 ≈0.34解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
证明：体心立方格子的基矢可以写为面心立方格子的基矢可以写为根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为同理与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。
注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。
根据定义，面心立方的倒格子基矢为同理而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。
证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为即为平面的法线根据定义，倒格子基矢为则倒格子原胞的体积为1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足其中a 为立方边长。
解：根据倒格子的特点，倒格子与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系因此只要先求出倒格，求出其大小即可。
因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。
若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。
答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。
2010-2011(1)《固体物理》试卷A附答案
宝鸡文理学院试题课程名称 固体物理 适 用 时 间 2011年1月 试卷类别 A 适用专业、年级、班 2008级物理教育专业一、简答题（每题6分，共6×5=30分)1、试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征.2、试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
3、什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？4、周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？5、倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？二、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
（20分)三、一维晶格，晶格由两种离子组成,间距为R 0,计算晶格的Madelung 常数α。
（15分）四、用钯靶αK X 射线投射到NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为5。
9°，已知NaCl 晶胞中Na ＋与Cl －的距离为2.82×10—10m ，晶体密度为2.16g/cm 3.求:（1）X 射线的波长；（2）阿伏加德罗常数。
(20分）五、写出量子谐振子系统自由能，证明在经典极限，自由能为：（15分） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≈∑KT hw KT U F q q o ln宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准课程名称 固体物理 适 用 时 间 2011年1月 试卷类别 A 适用专业、年级、班07物理教育一、简答题(每小题6分，5×6=30分）1、试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。
解：（1）离子键：无方向性，键能相当强;（2）共价键:饱和性和方向性,其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态,为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键:依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与7r 成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O,F,N 等)相结合形成的。
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N Nv Nβ R3。式中，
v为每个原子（离子）平均所占据的体积；R为粒子间的最
短距离；是和结构有关的常数。试求下列各种结构的值： (1).简单立方点阵； (2).面心立方点阵； (3).体心立方点阵； (4).金刚石结构； (5).氯化钠型结构。
4 n1 K e
2.5 有一晶体在平衡时的体积为 V0 ，原子间总的互作用能为
U0 。若原子间互作用能由式 ur
α rn
β rm
表述，试证明晶
体的体积弹性模量为
K
U0
mn 9V0
。
证明：设晶体共含有N个原子，则总能量为
UR
1 2
i
j
u
rij
j
1 αj
马德隆常数
1 21 1 1 1 2ln2 j αj 2 3 4
2.3
设两原子间的互作用能可由 ur
表述。
rm rn
式中第一项为吸引能，第二项为排斥能； α, β 均为正的常
数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须m>n。
得到离子平衡间距作为离子带电状态的函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R0
e
nB αe2
1
n1
从而晶体的内能也作为离子带电状态的函数
（1）
U R0
U e
N αe2 R0
1
1 n
（2）
由（1）、（2）两式可知，当离子带电量加倍时，则有
R0
2e
nB
α2e2
平衡时R R0 ，则由已知条件 U R0 U0 ，得
N 2
αAm R0m
βAn R0n
U0
由平衡条件
dU R
0 dR R0
得
N 2
m α Am R0m1
n β An R0n
U0
由（1）、（2）两式可解得
αAm
N
2U0
m
n
解：题给
N Nv Nβ R3
(1)
式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平
均占据的体积。若以 N 表示晶体包含的晶胞数，V 表示晶体
中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全
等效于
V N V N nv N nβ R3
于是得
V
β nR3
1
n1
41
n1 R0
e
U 2e
4N α e2
R0 2e
1
1 n
4n
n1U e
体积弹性模量可按下式求出
K
e
n 1αe2 18R04 e
K 2e
n 1α2e2 18R04 2e
n3
由于晶体表面层的原子的数目与晶体内原子数目相比少得多，
因此可忽略它们之间的差异，于是上式简化为
UR
N 2
j
u
rij
设最近临原子间的距离为R，则有
再令
rij a j R
Am
j
1
a
m j
, An
j
1
a
n j
得到
U
N 2
αAm Rm
βAn Rn
第j个离子与参考离子的距离可表示为 roj α j R 。对于参考
离子O，它与其它离子的互作用势能为
u0
j
zoz je2 roj
U
N 2
j
zoz je2 roj
N 2R
j
zoz j αj
N 2R
zoz j
证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，相应
于平衡距离 r0 处的能量应为能量的极小值，即当 r r0 时，
ur 0
r r0
且
2 ur
r
r0
0
因为 解之有
ur
α rm
β rn
ur
r r0
m
α r0m1
8
a3
氯化钠结构
8
a3
a
1
2 2
a
0.71
3 2
a
0.77
3 4
a
1.54
1 a 1
2
2.2证明有两种离子组成的、间距为 R0 的一维晶格的马德隆常
数 μ 2ln2 。
证明：
C B A O A B C
选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。
UR
N
αe2 R
B Rn
试问当离子电荷加大1倍时，平衡离子间距、互作用势能和体
积弹性模量将受何影响？
解： 按题给
UR
N
αe2 R
B Rn
由平衡条件
U R R0
N
αe2 R02
nB R0n1
0
β n r0n1
0
r0
n m
β α
1
nm
（1）
因而
ur0
α rm
β r0n
α r0m
1
m n
其次，对应于 r0 处能量取极小值，应有
于是
2ur
r 2
r0
mm 1α
r0m 2
nn 1β
(2)
R为离子间的最短距离。题给的各种晶格均为立方格子，如令
其晶格常数为a，则有 V a3 。可由式(2)直接求出各种格子的 值。所得结果列表如下：
晶格(a)
晶包体积 晶胞中包含粒 离子间最 结构常
（V ） 子数（n） 短距离 数（ β）
简单立方 面心立方
a3
1
4
a3
体心立方
2
a3
金刚石结构
nn
R0n
1
N2Um0 mRn0n
r0n 2
0
nn 1β mm 1α
r mn 0
1
把（1）式代入，即得
nn 1β mm 1α
nβ mα
1
1
所以
n 1 1,n m
m1
这个结果表明，排斥力是短程力，与吸引力相比较，它随原
子间的距离的变化更陡峭。
2.4 有一离子晶体，其总互作用势能表示为
nR0m
βAn
N
2U0
m
n
m
R0n
利用体积弹性模量公式
得
K
R02 9V0
2U R 2
R0
K
1 9V0
N 2
mm
1αAm
R0m
nn
1βAn
R0n
1 9V0
N 2
mm
R0m
1
2U0 nR0m
N m n