计算马德隆常数
晶体马德隆常数的计算
参考文献
[1] 阎守胜.固体物理基础[M].北京：北京大学出版社，2000. [2] Kittle C.固体物理导论[M].北京：科学出版社，1979. [3] 王矜奉.固体物理教程[M].济南：山东大学出版社，2006.
The calculation of Madelung constant in the ion crystal
二维正方离子格子的马德隆常数与对应的 n
30
40
50
1.59236
1.59808
1.60154
1.61554
1.61554
1.61554
100
200
300
1.60851
1.61202
1.61319
1.61554
1.61554
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800
900
1000
1.61466
1.61476
1.61484
中国科技论文在线
离子晶体的马德隆常数计算
詹泸成，罗志琳
河海大学应用物理系，南京（211100）
E-mail:zhanhucheng@
摘 要:本文对马德隆常数的一般公式进行了修正，并利用 Visual Basic、Matlab 等工具对一 维离子链，二维正方离子格子，以及三维 Nacl 离子晶体修正前后的马德隆常数进行了计算 分析，结果表明：修正后的马德隆常数公式能够更快地收敛于真实值，并且更加接近于实验 值，通过对三个维度的比较，验证了离子晶体马德隆常数随着晶体配位数的增加而增大的性 质。 关键词：离子晶体；马德隆常数；修正 中图分类号：O481
=−
n1 =−n n2 =− n
(−1)n1 + n2 n12 + n22
二维三角离子晶体马德隆常数的计算
二维三角离子晶体马德隆常数的计算一、概述二维三角离子晶体的研究在固体物理学领域具有重要意义，其中马德隆常数是一个关键的物理量。
马德隆常数是用来描述晶体中离子间相互作用的强度和类型的参数，对于研究晶体的热力学性质、电子结构和声学性能等方面都具有重要意义。
本文将对二维三角离子晶体马德隆常数的计算进行深入探讨，以期为读者提供有价值的信息。
二、二维三角离子晶体的结构和性质在二维三角离子晶体中，正负电荷的离子按照一定的规则排列在平面上，形成一种特殊的晶体结构。
这种结构具有较强的几何规则性和周期性，因此在研究中具有一定的优势。
二维三角离子晶体的性质受到离子间相互作用的影响很大，而马德隆常数则是描述这种相互作用的重要参数。
三、马德隆常数的定义和物理意义马德隆常数是由英国物理学家马德隆在20世纪初提出的，它是描述晶体中离子间相互作用的参数。
马德隆常数的大小和符号决定了晶体的稳定性和各种物理性质，因此在材料科学研究中具有重要意义。
对于二维三角离子晶体来说，计算马德隆常数可以帮助我们更好地理解晶体结构和性质。
四、马德隆常数的计算方法在实际研究中，计算马德隆常数通常需要借助于复杂的计算方法和理论模型。
一般来说，我们可以通过经典力学或量子力学的理论来建立晶格模型，并在此基础上进行数值计算。
对于二维三角离子晶体来说，由于结构的特殊性，计算方法可能会更加复杂和繁琐。
五、个人观点和理解在我看来，二维三角离子晶体马德隆常数的计算是一个具有挑战性但又具有重要意义的课题。
通过对马德隆常数的准确计算，我们可以更好地理解晶体的结构和性质，为材料科学研究提供重要的参考。
未来，我希望能够进一步深入研究这一课题，为相关领域的发展贡献自己的力量。
六、总结和回顾通过本文的阐述，我们对二维三角离子晶体马德隆常数的计算有了更深入的了解。
马德隆常数作为描述晶体中离子间相互作用的重要参数，对于研究晶体的性质具有重要意义。
未来，我们需要进一步深入研究这一领域，为材料科学的发展做出更大的贡献。
氯化铯离子晶体的嵌套结构和马德隆常数的迭代计算
如果取氯离子为参考离子,就取氯心单胞为中心单胞,称为第 １
级氯心晶体.
由铯心单胞组成晶体 称 为 铯 心 晶 体,如 图 ２ 所 示,取 ２３ ＝ ８ 个
铯心单胞,组成第 １ 级铯心晶体.第 １ 级铯心晶体嵌套了第 １ 级 氯
图 １ 氯化铯结构的氯心单胞
基本计算方法是累加法,文章提出了氯化铯结构的马德隆常数的累加法公式和递推公式.氯化铯结构有两种不同的表
面,因而有两个不同的累加法的马德隆常数,两个常数都不收敛,其平均值也不代表马德隆常数.埃夫琴采用多个电
中性的埃夫琴单胞组成的晶体,提高了马德隆常数的收敛速度.埃夫琴法实际上是计算晶体内部的离子和内表面离子
５７
言编程,当层数 N 达到 ２００２ 时,结果为 １．
７６２６７４５１８６９３３０２.程序采用三重循环,运行效率肯定不高.
王矜奉等学者 [６]采用双埃夫琴法计算马德隆常数,用 C 语言计算,最好结果是 １．
７６２６７４５.
本文提出了氯化铯晶体的两种互嵌单 胞,阐 明 了 嵌 套 结 构 和 表 面 离 子 的 分 布 规 律,提 出 了 累 加 法 的 递
i
t
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No．
６Vo
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４０
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c．
２０１９
氯化铯离子晶体的嵌套结构和马德隆
常数的迭代计算
周群益１,莫云飞２∗ ,周丽丽３,侯兆阳４,刘让苏５
(
１．广东技术师范大学 天河学院,广东 广州 ５１０５４０;２．长沙学院 电子信息与电气工程学院,
湖南 长沙 ４１００２２;３．赣南医学院 信息工程学院,江西 赣州 ３４１０００;
氯心单胞,组成第 ２ 级氯心晶体.第 ２ 级氯心晶体嵌套了第 １ 级 铯
计算马德隆常数
计算马德隆常数《固体物理》马德隆常数的计算学院:物理学院学号:2011012643姓名:刘娴雅马德隆常数的计算摘要:通过分析马德隆常数的三种计算方法和其相应的使用范围,得出不同晶体结构下相应的计算方法和使用范围.关键字:马德隆常数离子晶体在固体物理学中,当计算离子晶体的结合能时,需知道马德隆常数的值, 因此,马德隆常数在离子晶体的理论研究和科学实验中占有十分重要的地位.该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数,其定义公式为:n1、n2、n3为离子晶体中任一离子相对于中心离子的坐标,?为求和遍及晶体中所有离子。
由于离子晶体为数目巨大的多粒子系统,因此马德隆常数一般情况下由实验确定。
nnn123,，，，，1,,,, 222nnnn，n，n123123离子晶体结合的性质比较简单,在近代微观理论发展初期，计算离子晶体的结合能获得很好的结果,对于验证理论起到了重要作用,所用的方法和概念在处+-以NaCl为例,由于Na和Cl都是满壳层的结构,具有球对理许多问题中还常用到.称性,考虑库仑作用时,可以看做点电荷.先考虑一个正离子的平均库仑能.如果令r表示相邻离子的距离,该能量可表示为nnn1232，，1q,1，，, (1) 2222222nnn4,,(nr，nr，nr)123012312222222(nr，nr，nr)如果以所考虑的正离子为原点, 可以表示其他各123 离子所占格点的距离,并且对于所有负离子格点，n1+n2+n3=奇数,所有正离子格n1+n2+n3点，n1+n2+n3=偶数.考虑到正负离子电荷的差别,引入因子(-1),一个原胞的能量为，，nnn22123,，，q,1q,,, (2) 222222,,4r4,,rnnn00(nr，nr，nr)123123 nnn123，，,，，1,,, (3) ,222nnnn，n，n123123α为一无量纲的数,完全决定于晶体结构,称之为马德隆常数.在具体计算中发现,求和时既有正项,又有负项,如果逐项相加,并不能得到收敛的结果.对于一维情况,其级数求和很容易计算,如两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数,利用定义很容易计算出α=2ln2,但对于三维情况,其级数收敛很慢. 1918年Madelung首先计算这种级数和,他先将晶体中点阵视为一系列中性平面点阵组成即该平面内点阵由一系列中性直线点阵组成,其上正负电荷相等且按格点周期分布.由此将电势展开成傅里叶级数并用了享克尔函数(Hankel function),进而求出马德隆常数.这种方法对于计算像氯化钠那样简单的离子晶体取得了成功.但对大多数离子晶体而言并不适用。
固体物理作业 - 副本
高等固体物理作业题 目: 马德隆常数的计算方法及实例计算 学生姓名： 学 院：理学院 专 业：物理电子学 指导教师:2013 年 12 月 7日学校代码：10128 学 号：摘要在固体物理学中，当计算离子晶体的结合能、晶格能、表面能等时，需知道马德隆常数的值，该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数，是晶体结构的一个重要的特征参数，为一无量纲的数，只取决于晶体结构，在离子晶体的研究中占有重要的地位。
本文概述了晶体马德隆常数的几种计算方法及其使用范围，并举例简述了一维离子链，二维正方离子格子，以及三维Nacl离子晶体实例的马德隆常数的计算方法。
关键词：离子晶体；马德隆常数；计算方法；实例AbstractIn solid state physics, when calculate the combined energy, attice energy, surface energy, etc. of the ionic crystals, we need to know the Madelung constant value, which is generally determined by experiment. Madelung constant is used to describe structure of ionic crystal. Madelung constant is an important feature of the crystal structure parameters. Madelung constant is a dimensionless number that only depends on the crystal structure, and plays an important role in the study of ionic crystals. This article outlines several crystal Madelung constant calculation methods and its scope of application, and an example calculation methods outlined Madelung constant one-dimensional ion chains, two-dimensional square lattice ions, as well as three-dimensional Nacl ionic crystals instance.Keywords: ionic crystals; Madelung constant; calculation methods; examples目录引言 (1)1 晶体马德隆常数的几种计算方法 (2)1.1 定义法 (2)1.2 Evjen晶胞法 (2)1.3 计算晶格静电能法 (3)1.4 小结 (4)2 马德隆常数的实例计算 (5)2.1 一维离子链的马德隆常数计算 (5)2.2 二维正方离子格子的马德隆常数计算 (6)2.3 三维离子晶体（Nacl）的马德隆常数计算 (7)参考文献 (10)引 言马德隆(Madelung)常数α是晶体结构中的一个重要的特征参数，是描述粒子晶体结构的常数。
马德隆常数计算公式
马德隆常数计算公式
马德隆常数是一种重要的数学常数，常用于计算圆周率π的近似值。
这个常数由英国数学家约翰·马德隆（John Madelaune）于1706年推导出来，因此得名。
马德隆常数的计算公式相对简单，可以通过以下式子得出：M = ∑(4/((2n-1)(2n+1))), 其中n从1开始递增，一直累加到无穷大为止。
通过这个公式，我们可以逼近得到π的值。
然而，马德隆常数不同于其他常数的地方在于它的收敛速度非常缓慢。
换句话说，要通过计算马德隆常数来得到π的精确值，需要进行无数次的累加运算。
这使得计算过程非常繁琐，甚至对于现代计算机而言也是一个巨大的挑战。
尽管马德隆常数在计算圆周率方面的应用存在一定的困难，但它在数值计算和近似计算领域仍然有着重要的意义。
它可以作为一种近似计算π的方法，尤其适用于没有高精度计算设备的时代。
在缺乏现代计算工具的情况下，数学家们通过手工计算马德隆常数，得到了种种与π相关的近似值，为后来的研究和计算提供了重要的基础。
此外，马德隆常数还引发了数学上的一些有趣问题和研究方向。
例如，我们可以探究该常数的收敛速度，研究如何加速计算马德隆常数以及优化近似π的方法等等。
这些问题激发了众多数学家的兴趣，并催生了一系列关于马德隆常数的研究成果。
总而言之，马德隆常数是一个重要而有趣的数学常数，虽然计算过程繁琐但在近似计算π和数值计算中仍然有一定的应用价值。
它不仅是对历史上数学家们智慧的体现，也激发了更多关于近似计算和数值分析的研究。
晶体马德隆常数的计算
（4）
根据公式（3）（4），编程计算（附录
2），得出得到
α
2
，
α
' 2
与
n
的对应关系，如下
表：
n
10
α2 1.54824
α2’
1.61541
n
80
α2 1.60676
α2’
1.61554
n
600
α2 1.61437
α2’
1.61554
表2 20 1.58105 1.61553 90 1.60773 1.61554 700 1.61453 1.61554
Zhan Lucheng,Luo Zhilin
Department of Physics, HoHai University, Nanjing (211100)
Abstract This paper amended the Madelung constant’s formula,then calculated and analysised the Madelung constant of one-dimensional ion,two-dimensional ion and three-dimensional ion crystal with Visual Basic and Matlab.The result was that the amended formula of Madelung constant could go to the truth more quickly and be closer to the truth. In addition,with the comparision of three kinds of crystal,we proved that Madelung constant increased when the coordination number of crystal increased. Keywords: ion crystal;Madelung constant;amend
固体物理学：第二章 晶体的结合 (2)
两粒子间的相互作用力f(r)和相互作用势能u(r)随粒子间距r变化 的一般关系如图
1：两粒子间的相互作用势能u(r) 两粒子间的相互作用势能u(r),可用下面的表达式表示
1：两粒子间的相互作用力
二. 晶体的结合能
Eb 为负值，表示晶体的能量比构成晶体的粒子处在自由状态时 的能量总和低。 Eb 的绝对值就是把晶体分离成自由原子所需要 的能量。Eb 也称为晶体的总相互作用能。
3：离子晶体：由正离子和负离子组成。
4：
二：基本特征
1. 离子晶体的模型：正、负离子—— 刚球 化合物：NaCl， CsCl是典型的离子晶体，晶体结
构如图所示。一种离子的最近邻离子为异性离子，离子 晶体的配位数最多只能是8（例如CsCl 晶体）。氯化钠 配位数是6。
2. 离子结合的特征
（1）离子键的形成 以 NaCl 为例 ，在凝聚成固体时，Na 原子失去
离子间的相互作用分为两大类：吸引作用和排斥作用。 (1) 静电引力，即正、负离子之间的库仑作用力（又称为 离子键；异极键）。
离子键无方向性和饱和性: 与任何方向的电性不同的离 子相吸引，所以无方向性；且只要是正负离子之间，则彼 此吸引，即无饱和性。
(2) 由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层电子云的交 迭产生强大的排斥力； —— 排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体。
F
+－+－+－+－
－+－+－+－+
位错
+－+－+－+－ －+－+－+－+
受力时发生错位，使正正离子相切，负负离子相切，彼此排 斥，离子键失去作用，故离子晶体无延展性 。如 CaCO3 可 用于 雕刻，而不可用于锻造，即不具有延展性 。
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《固体物理》
马德隆常数的计算
学院：物理学院
学号：**********
姓名：***
马德隆常数的计算
摘要：通过分析马德隆常数的三种计算方法和其相应的使用范围,得出不同晶体结构下相应的计算方法和使用范围.
关键字：马德隆常数 离子晶体
在固体物理学中,当计算离子晶体的结合能时,需知道马德隆常数的值, 因此,马德隆常数在离子晶体的理论研究和科学实验中占有十分重要的地位.该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数,其定义公式为:n1、n2、n3为离子晶体中任一离子相对于中心离子的坐标,∑为求和遍及晶体中所有离子。
由于离子晶体为数目巨大的多粒子系统,因此马德隆常数一般情况下由实验确定。
()∑++--
=++321321232
2211n n n n n n n n n α
离子晶体结合的性质比较简单,在近代微观理论发展初期，计算离子晶体的结合能获得很好的结果,对于验证理论起到了重要作用,所用的方法和概念在处理许多问题中还常用到.以NaCl 为例,由于Na +和Cl -都是满壳层的结构,具有球对称性,考虑库仑作用时,可以看做点电荷.先考虑一个正离子的平均库仑能.如果令r 表示相邻离子的距离,该能量可表示为
()∑++-++321321)(412122322222102n n n n
n n r n r n r n q πξ （1） 如果以所考虑的正离子为原点, 2122322
2221)(r n r n r n ++可以表示其他各离
子所占格点的距离,并且对于所有负离子格点，n1+n2+n3=奇数,所有正离子格点，n1+n2+n3=偶数.考虑到正负离子电荷的差别,引入因子(-1)n1+n2+n3,一个原胞的能量为
()r q r n r n r n r q n n n n n n 0222322222102
4)(143
21321πξαπξ-=++-∑++
（2） ()∑++--=++3213
212322211n n n n n n n n n α
（3）
α为一无量纲的数,完全决定于晶体结构,称之为马德隆常数.在具体计算中发现,求和时既有正项,又有负项,如果逐项相加,并不能得到收敛的结果.对于一维情况,其级数求和很容易计算,如两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数,利用定义很容易计算出α=2ln2,但对于三维情况,其级数收敛很慢. 1918年Madelung 首先计算这种级数和,他先将晶体中点阵视为一系列中性平面点阵组成即该平面内点阵由一系列中性直线点阵组成,其上正负电荷相等且按格点周期分布.由此将电势展开成傅里叶级数并用了享克尔函数(Hankel function),进而求出马德隆常数.这种方法对于计算像氯化钠那样简单的离子晶体取得了成功.但对大多数离子晶体而言并不适用。
因为不能满足上述中性平面的条件.因此该方法仅有历史价值.
1932年,Evjen 认为把(1)式级数中的各项合理安排使其正项和负项的贡献几乎互相抵消,使级数迅速收敛,由此提出了计算马德隆常数的方法,其基本思想是:把晶体看成是由Evjen 晶胞构成,Evjen 晶胞内所有离子的代数和为零,把这些中性晶胞对参考离子的库仑能量的贡献加起来,若离子在这个中性立方体的面上、棱上或角上,其贡献取1/2、1/4或1/8,进而计算马德隆常数.以NaCl 晶体为例,采用Evjen 方法,其收敛速度为,,,计算到第90个Evjen 晶胞时,其马德隆常数为,可见其计算是精确的.采用Evjen 晶胞方法计算NaCl 晶体马德隆常数,是一个很成功的例子,但对CsCl 晶体结构,当Evjen 晶胞最外层离子与参考离子同号时计算的马德隆常数,与当Evjen 晶胞最外层离子与参考离子异号时计算的马德隆常数迥然不同.可见利用Evjen 晶胞的方法计算马德隆常数,不便于推广使用,尤其对于复杂的离
子晶体,以参考离子为中心构造一个比一个更大的Evjen 晶胞并确定相应立方体边上、面上、棱上的正负离子数比较困难.因此,此法只适用于一些简单立方晶系的离子晶体马德隆数的计算,而不能计算复杂离子晶体的马德隆常数.
计算马德隆常数的目的是计算晶格静电能,因此不妨从晶格静电能出发计算马德隆常数.一摩尔离子晶体的晶格能UT 是指晶体内各离子间静电相互吸引能UC 和玻尔排斥能UB,即U T ≈U C+B =U C (1-1/n)=1/2N A u C 分子(1-1/n)=1/2N A*u C 晶胞/m 式中NA 、uC 分子、uC 晶胞分别为阿伏伽德罗常数和分子、晶胞的静电能,m 、n 分别为晶胞内分子数和玻恩指数;1/2是计算相互作用能时为避免重复计算而引入的,设晶体一个晶胞涉及有k 个正离子和w 个负离子,则
∑∑+≤≤-≤≤++
=
)(j 1w k j k c j k c j c j j u q u p u 晶胞 ）（晶胞晶胞n 1-1u c c B u =+ 式中j=1,2,…,k 对应于晶体内一个参考晶胞所涉及的k 个正离子的编号;j=k+1,k+2,…,k+w 对应于晶体内一个参考晶胞所涉及的w 个负离子的编号.对于立方晶胞,若离子处在界面上或棱边上或顶角上,则对应的p j 和q j 分别取1/2或1/4.其他晶胞与此类同;u +Cj ,u -Cj ,α+j ,α-j 分别为参考晶胞中第j 个离子静电能和相应的马德隆常数,其表达式为
式中i=1,2,3,…,k对应于计算时所及晶胞内正离子的编号;而i=k+1,k+2,…,k+w对应于计算时所及晶胞内负离子的编号;m i和l i的取值方法与p j和q j相同;Z+和Z-分别为正负离子价电子数;n1,n2,n3分别为晶胞沿x,y,z方向堆积数.计算时须排除离子自身相互作用,r ij为计算时所及晶胞内第i离子与参考晶胞内第j离子的间距.若用马德隆常数α来表示晶体的结合能,则有
由此可得晶体的马德隆常数α（1）为
注意α(1)只能用于二元化合物晶体,当晶体为二元以上化合物晶体时,须引入诸离子价电荷数Zj(j=1,2,…,(k+w))之间的最大公因子Z.由此,参考晶胞中第j个离子静电能和相应的马德隆常数为u+Cj,u-Cj,α+j,α-j分别为
相应的晶格能和马德隆常数α（2）分别为
其马德隆常数α(2)比α(1)具有普遍性.也可以不引入最大公因子Z来定义马德隆常数α(3),即
上述三种马德隆常数的关系为
利用这种方法可以计算出各种晶体结构的马德隆常数,如CsCl:α≈,与文献值α=比较接近,可见这种方法的精确性.
综上所述,对于简单的离子晶体,可采用定义法直接对离子晶体计算马德隆常数;对于简单立方晶系离子晶体马德隆常数的计算,宜采用Evjen晶胞的方法.对于复杂离子晶体,应使用计算晶格静电能法计
算其马德隆常数.
参考文献：
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