一维斐波那契类准晶体与其马德隆常数初探
金刚石晶体是复式格子
3、金刚石晶体是复式格子，有两个面心立方的子格子沿空间对角线位移1/4的长度套构而成，晶胞中有8个碳原子4、原胞是最小的晶格重复单元5、具有长程有序特点的固体称为晶体；原子排列短程有序长程无序的固体为非晶体；原子具有排列对称性，无平移对称性的固体是准晶体。
8.计算单胞边长为a的面心立方晶体单胞的体积、原胞的体积、单位体积的格点数、最近邻格点数、最近邻格点间距、次近邻格点数和次近邻格点间距、6、证明六角密积晶格的理想轴比为7、画出晶格常数为a的体心立方、面心立方和金刚石晶格在(111)面上的原子排列，并标明最近邻原子间距8、证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。
bcc和fcc的原胞的体积分别为，。
9、它们第一布里渊区的体积分别为，。
10、由于晶体周期性的制约，晶体只有，，，，五种转轴，常用，，，，表示11、立方体共有种对称操作正四面体共有种对称操作正六面柱共有种对称操作12.对立方晶系有、、、三种布拉菲格子。
13.按结构划分，晶体可分为个晶系，共布拉菲格子。
第二章１、共价结合中为什么有”饱和性”和”方向性”?２、什么是晶体的结合能，按照晶体的结合力的不同，晶体有哪些结合类型及其结合力是什么力？３、原子间的排斥作用取决于什么原因？４、一维原子链,正负离子间距为a,求马德隆常数５、试计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数M(1) 写出马德隆常数M的数学表达式并注明其中字母所代表的物理意义；(2) 计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数M(如图所示)，只计及参考离子周围 最近邻的24个离子(结果保留三位小数)。
第三章1.由N 个原胞组成的晶体，原胞中有n 个原子，晶体共有 个独立振动的正则频率2.声子的角频率为ω，声子的能量和动量表示为 和 。
3.一维复式原子链振动中，在布里渊区中心和边界，声学波的频率为 ；光学波的频率为 。
4.什么是固体比热的德拜模型？并简述计算结果的意义，以及德拜模型能在低温与实验结果相符合的原因？5.什么是固体比热的爱因斯坦模型？并简述计算结果的意义，爱因斯坦模型在低温下理论结果与实验数据存在偏差的根源是什么。
2.1 离子性结合、共价结合
根据实验测定了晶格常数和体变模量, 就可 以由上式确定排斥力参数 n, 而结合能可写为
NA 1 Nα q 2 1 W = −U (r0 ) = 1 − = 1 − r0 n 4πε 0 r0 n
因此根据已确定的 n 可以计算结合能
离子晶体 n >>1, 表明排斥力随距离变化很陡峻的特点
第二章 固体的结合 Cohesions in Solids
阐明原子是依靠怎样的相互作用结合成为固体的
一般固体的结合可以概括为离子性结合、共价 结合、金属性结合和范德瓦尔斯结合四种基本 形式 实际固体的结合是以这四种基本形式为基础， 可以具有复杂的性质 固体的结合可以具有两种结合之间的过渡性质 固体的结合是研究固体材料性质的重要基础
§2-1 离子性结合
靠这种形式结合的晶体称为离子晶体或极性晶体 1. 结合特点 最典型的离子晶体就是碱金属元素 Li、Na、K、 Rb、Cs 和卤族元素 F、Cl、I 之间形成的化合物 基本特点是以离子而不是以原子为结合的单位
NaCl 晶体是以 Na+ 和 Cl- 为单元结合成的晶 体, 它们的结合靠离子之间的库仑吸引作用 虽然相同电性的离子之间存在排斥作用, 但由于 正、负离子相间排列, 使每一种离子以异号的离 子为近邻, 因此库仑作用的总的效果是吸引性的 但当两个满壳层的离子接近到它们的电子云 发生显著重叠时, 就会产生强烈的排斥作用
结合能的理论值和实验值符合很好，同时给出了库仑 能，可以看出把离子晶体看成由正负离子为单元，主 要靠它们的库仑作用而结合的概念也是切合实际的
抗张强度: 晶体所能负荷的最大张力叫抗张强度, 负荷超过它时, 晶体就会断裂
d 2u =− 2 dr
df 由 dr
证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为演示课件
13/13
02/13
1) 平衡间距r0的计算
晶体内能
N
U(r)2(rmrn)
平衡条件 dU 0 dr rr0
rm0m1
n
rn1 0
0
r0
(
n
1
) nm
m
2) 单个原子的结合能
W
1 2
u
( r0
)
u(r0)(rm rn)rr0
W1(1m)(n)nm m 2 n m
习题问题讨论 二—— 晶体的结合
03/13
3) 体弹性模量
K
2U (V2 )V0
V0
晶体的体积 V NAr3 —— A为常数，N为原胞数目
晶体内能 U(r)N 2(rmrn)
U V
U r
r V
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N 2(rm m 1rnn1)3N1Ar2
V 2U 2N 2 V r r[(rm m 1rn n 1)3N 1 A r2]
习题问题讨论 二—— 晶体的结合
VV0
9mV0n2 (U0)
K
U0
mn 9V0
习题问题讨论 二—— 晶体的结合
06/13
4) 若取 m 2 ,n 1,r 0 0 0 .3 n,W m 4 eV
计算 , 的值
r0
(
n
1
) nm
m
W1(1m)(n)nm m 2 n m
W 2
r010
r02[r010 2W]
1.21-09e5 V m 107.510 19eV m 2
补充题06 你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢, 还是吸引 作用决定?
[解答]
如上图所示, 附近的力曲线越陡, 当施加一定外力, 固体的形变就 越小. 附近力曲线的斜率决定了固体的弹性性质. 而附近力曲线的斜 率主要取决于排斥力. 因此, 固体的弹性强弱主要由排斥作用决定.
计算马德隆常数
计算马德隆常数《固体物理》马德隆常数的计算学院:物理学院学号:2011012643姓名:刘娴雅马德隆常数的计算摘要:通过分析马德隆常数的三种计算方法和其相应的使用范围,得出不同晶体结构下相应的计算方法和使用范围.关键字:马德隆常数离子晶体在固体物理学中,当计算离子晶体的结合能时,需知道马德隆常数的值, 因此,马德隆常数在离子晶体的理论研究和科学实验中占有十分重要的地位.该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数,其定义公式为:n1、n2、n3为离子晶体中任一离子相对于中心离子的坐标,?为求和遍及晶体中所有离子。
由于离子晶体为数目巨大的多粒子系统,因此马德隆常数一般情况下由实验确定。
nnn123,，，，，1,,,, 222nnnn，n，n123123离子晶体结合的性质比较简单,在近代微观理论发展初期，计算离子晶体的结合能获得很好的结果,对于验证理论起到了重要作用,所用的方法和概念在处+-以NaCl为例,由于Na和Cl都是满壳层的结构,具有球对理许多问题中还常用到.称性,考虑库仑作用时,可以看做点电荷.先考虑一个正离子的平均库仑能.如果令r表示相邻离子的距离,该能量可表示为nnn1232，，1q,1，，, (1) 2222222nnn4,,(nr，nr，nr)123012312222222(nr，nr，nr)如果以所考虑的正离子为原点, 可以表示其他各123 离子所占格点的距离,并且对于所有负离子格点，n1+n2+n3=奇数,所有正离子格n1+n2+n3点，n1+n2+n3=偶数.考虑到正负离子电荷的差别,引入因子(-1),一个原胞的能量为，，nnn22123,，，q,1q,,, (2) 222222,,4r4,,rnnn00(nr，nr，nr)123123 nnn123，，,，，1,,, (3) ,222nnnn，n，n123123α为一无量纲的数,完全决定于晶体结构,称之为马德隆常数.在具体计算中发现,求和时既有正项,又有负项,如果逐项相加,并不能得到收敛的结果.对于一维情况,其级数求和很容易计算,如两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数,利用定义很容易计算出α=2ln2,但对于三维情况,其级数收敛很慢. 1918年Madelung首先计算这种级数和,他先将晶体中点阵视为一系列中性平面点阵组成即该平面内点阵由一系列中性直线点阵组成,其上正负电荷相等且按格点周期分布.由此将电势展开成傅里叶级数并用了享克尔函数(Hankel function),进而求出马德隆常数.这种方法对于计算像氯化钠那样简单的离子晶体取得了成功.但对大多数离子晶体而言并不适用。
固体物理作业 - 副本
高等固体物理作业题 目: 马德隆常数的计算方法及实例计算 学生姓名： 学 院：理学院 专 业：物理电子学 指导教师:2013 年 12 月 7日学校代码：10128 学 号：摘要在固体物理学中，当计算离子晶体的结合能、晶格能、表面能等时，需知道马德隆常数的值，该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数，是晶体结构的一个重要的特征参数，为一无量纲的数，只取决于晶体结构，在离子晶体的研究中占有重要的地位。
本文概述了晶体马德隆常数的几种计算方法及其使用范围，并举例简述了一维离子链，二维正方离子格子，以及三维Nacl离子晶体实例的马德隆常数的计算方法。
关键词：离子晶体；马德隆常数；计算方法；实例AbstractIn solid state physics, when calculate the combined energy, attice energy, surface energy, etc. of the ionic crystals, we need to know the Madelung constant value, which is generally determined by experiment. Madelung constant is used to describe structure of ionic crystal. Madelung constant is an important feature of the crystal structure parameters. Madelung constant is a dimensionless number that only depends on the crystal structure, and plays an important role in the study of ionic crystals. This article outlines several crystal Madelung constant calculation methods and its scope of application, and an example calculation methods outlined Madelung constant one-dimensional ion chains, two-dimensional square lattice ions, as well as three-dimensional Nacl ionic crystals instance.Keywords: ionic crystals; Madelung constant; calculation methods; examples目录引言 (1)1 晶体马德隆常数的几种计算方法 (2)1.1 定义法 (2)1.2 Evjen晶胞法 (2)1.3 计算晶格静电能法 (3)1.4 小结 (4)2 马德隆常数的实例计算 (5)2.1 一维离子链的马德隆常数计算 (5)2.2 二维正方离子格子的马德隆常数计算 (6)2.3 三维离子晶体（Nacl）的马德隆常数计算 (7)参考文献 (10)引 言马德隆(Madelung)常数α是晶体结构中的一个重要的特征参数，是描述粒子晶体结构的常数。
固体物理习题解答
.
(2)吸引能： 吸引
；吸引能： 排斥
.
平衡状态下, 吸引
.
排斥
(3)原子间的相互作用力
7 / 15
令
，则 极小值
故如果两个原子被拉开，当
时他们将分离.
7.证明一维单式格子的色散关系.
证：一维单式格子中第 个原子的运动方程可写为
(1)
对于上述方程有下列形式的解
(2) 这是一振幅为 ,角频率为 的简谐振动，式中 是第 个原子振动的相位因子.当第 和第 个原子的相
2.为什么晶体没有 5 次对称轴，而准晶体有 5 次对 称轴？
答：设在图 1 中，是晶体中某一晶面（纸面）上的一个
晶列，AB 是这晶列上相邻两个格点的距离.
(1)旋转角
.通过 A 处的 轴顺时针方向
转过 后，使 点转到 ,若通过 处 轴逆时针方向转
过 角后， 点转到 .经过转动后，要使晶格能自身重合，则 、 点必须是格点.由于
是产生一对缺陷所需要能量， 是原有的正、负离子对的数目.
(1)试证明：
；
(2)试求有肖特基缺陷后体积的变化 ，其中为 原有的体积.
证：(1)在晶体中形成 n 对正、负离子空位的可能情况为
与无空位相比，，晶体熵的增量为
晶体自由能
利用平衡条件(
)
(2)
，
4.(4.6)已知扩散系数与温度之间的关系为：
下列数据时锌在铜晶体中扩散的实验结果：
解：由 个原子组成的晶体总的结合能函数为
(1)
由于表面层原子的数目比晶体内部的原子数目少很多，所以可以认为所有的原子都是相同的，式(1)可以进 一步简化为
，
(2)
设最近邻原子间的距离为 ，则有
斐波那契数列(1)
摘要本论文主要研究斐波那契数列的性质及其应用，从“兔子繁殖”问题建立数学模型，引出斐波那契数列的定义；运用二阶常系数齐次线性递归方程的特征根解法推导出了斐波那契数列的通项公式。
论述并证明了有关斐波那契数列的恒等式和相关结论，涉及斐波那契数列相邻两项之比（即黄金分割比率）在广泛的应用，以及运用斐波那契数列解决一些实际数学问题。
目录绪论 (1)论文提出的背景和价值及国内外研究动态 (1)一斐波那契数列的提出 (2)1.1 问题的引出 (2)1.2 斐波那契额数列的定义迭代表示 (3)二斐波那契数列通项公式的推导 (3)2.1 线性递归数列线性递归方程及其特征方程的解法 (3)2.2 斐波那契数列通项公式的特征方程方法的推导 (4)三斐波那契数列的部分相关性质 (5)3.1 有关斐波那契数列的等式关系性质 (5)3.2 有关斐波那契数列的结论 (12)四斐波那契数列的有关应用 (13)4.1 斐波那契数列前项与后项比例极限和黄金分割比例 (13)4.2 运用斐波那契数列解决实际问题 (14)绪论论文提出的背景和价值及国内外研究动态斐波那契数列十三世纪初叶就已经提出了，但是现如今我们学习工作生活中仍然对它有所触及。
随着它的一些奇妙属性慢慢被世人所发现：从埃及金字塔到准晶体结构，从艾略特波浪理论到华罗庚的优选法（0.618），从达芬•奇的《蒙娜丽莎的微笑》到生物学的“鲁德维格定律”……吸引了国内外许多学者去研究它。
斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学、生物、金融﹑美术等领域都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波那契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
我在这片论文中主要研究了有关斐波那契数列的关系式和结论，通过观察斐波那契数列前几项，猜测推算提出结论，验证、论证命题，采用了数学建模的思想，数学归纳法，线性递归等方法论述论文。
一斐波那契数列的提出1.1 问题的引出斐波那契数列是由13世纪的意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出的。
一维非周期序列的能谱结构特性
一维非周期序列的能谱结构特性作者：万若楠来源：《科技资讯》 2012年第6期万若楠(华南理工大学广州学院广州 510800)摘要:从理论上构造两种具有代表性的一维非周期序列:伽罗华序列和菲波那契序列,并通过数值计算得到它们的电子能谱结构。
最后将两种序列的能谱结构进行了分析对比,发现两种序列虽然在结构构造方法上类似,但在电子能谱结构上有各自独特的特点。
关键词:紧束缚模型非周期序列能谱结构中图分类号:O4 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2012)02(c)-0243-011 研究背景自准晶体发现以来,对于这种新型结构的研究和探索,激起了人们的研究兴趣。
在过去的几十年中,准晶体的研究也取得了很大的进展。
尤其是在一维准晶体方面进行的研究工作更为丰富和具体。
由于一维准周期结构容易从理论上构造,所以有各种各样的一维模型相继被提出来研究。
最具代表性的有菲波那契序列、广义菲波那契序列、菲波那契类序列、图厄-莫尔斯序列、两元准周期SML序列以及伽罗华序列等等。
不过,从严格意义上来讲,有一些模型并不属于准周期序列,只能说是有确定排列规则的非周期序列。
那么以上提到的这些一维非周期序列在电子能谱结构上又有什么关系呢？本文主要选取了两种比较有代表性的序列进行了分析比较。
2 构造方法一维菲波那契序列是以兔子繁殖的方式作为类比来产生的:一只母兔(1)在每一代生一只子兔(0),而子兔在下一代将长大成为母兔,这样无限地生长下去,得到的一个序列:1011010110110……具体可由以下替代关系来得到:,这种方法被称为替代法。
一维伽罗华序列(p=2,m=10)的构造方法不同于一维准周期序列等其它一维有序序列的构造,它没有相应的替代规则。
不过可以通过一个不可约多项式来找到对应的递推关系式。
为了便于得到类似于产生上述两种序列的替代规则,本文主要利用的是如下递推关系式:。
若再给出初始条件a1～a10的值(1或0,但不能全为0),则可以得到相应的序列。
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一维斐波那契类准晶体与其马德隆常数初探
闫冰 物理学系2008级1班 0810130026
1984年，Shechtman 等人报导了在用快速冷却方法制备AlMn 合金中的电子衍射图中，发现了具有五重对称的斑点分布，斑点的明锐程度不亚于晶体的情况，说明固体材料出来晶态和非晶态之外，还有一种介于晶态和非晶态之间的新状态，即准晶态。
准晶态结构的特点是：具有长程的取向序而没有长程的平移对称序；取向序具有晶体周期性所不能容许的点群对称性；沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按照特定的序列方式排列。
透射电镜的电子衍射图及高分辨像揭示了准晶体行列、面网及晶格的特征，彭志忠教授在研究这些衍射图特征的基础上，提出了准晶体的分数维模型，并进行了含五次对称准晶体的准晶格推导，推导工作揭示了五次准晶体的平移向量恰好是黄金中值的整数幂，而其一维方向上行列结点的排列也恰与斐波那契序列相符合，即：
a b a ab aba abaab abaababa abaababaabaab abaababaabaababaababa 其中a,b 分别为两个平移周期，a/b=1.618（黄金中值）。
固体物理工作者构造了一种包括一维斐波那契准晶模型（FC(1)）和互生长模型（FC(2)）在内的一类能够用严格的高维投影法得到的准晶链模型，他们称之为斐波那契类准晶（记为FC(n)），并发现了许多重要性质。
发现准晶以来，准晶的许多物理特性得到了广泛研究。
人们发现一维斐波那契准晶的电子能谱是套层结构的，具有严格的自相似性，这主要是由于一维斐波那契链具有套层结构的原因。
马德隆常数是晶体的一个重要特征参数。
对正负离子均为单价的离子晶体来说，一个原胞的平均库仑能为：
123123
2222222221/22221/2000123123(1)(1)4()4()4n n n n n n n n n n n n q q q U n r n r n r r n n n r απεπεπε++++--=
==-++++∑∑ （1） 其中: 1232221/2123(1)1=-()n n n n n n i i r n n n r α++-±=-++∑∑ （2）
式中r i =(n 12r 2+n 22r 2+n 32r 2)
1/2为第i 个离子和参考离子之间的距离，r 为晶体中最近邻正负离子的间距。
容易验证，凡是与参考离子同号的离子，n 1+n 2+n 3=偶数；凡是与参考离子电荷异号的离子，n 1+n 2+n 3=奇数。
由等量关系可以得知，当第i 个例子与参考离子电荷同号时取正，异号时取负。
α为一无量纲的纯数值，完全决定于晶体结构，称为马德隆常数。
一旦得知马德隆常数就能计算晶格能和表面能等，因此它在离子晶体的理论研究和科学实验中占有十分重要的地位，人们尝试用不同方法计算了各种晶体的马德隆常数，但对准晶态结构的马德隆常数涉及较少。
一般来讲，准晶体材料大多由金属合金组成，而金属键中含有离子键成分，因此，对准
晶态马德隆常数的计算对探究准晶体内部结合能等内容来说都是有意义的。
斐波那契类准晶模型，即FC(n)的准周期链可以采用间接投影法得到，其中各个原子的位置到参考点的距离可以表示为：
1i n n i r i ϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
（3） 其中[x]表示取最大整数，φn 表示投影角，i 为原子序数。
φn 满足：
1
2n n n ϕσ+== （4） 是方程：210x nx --=的正根。
用该方法可以得到准晶链。
另外，可以按照斐波那契类准晶的生成规则：11,n n B B A A B AB --→→得到准晶链，两种方式得到的准晶链是一致的，皆为：
112111131
12,,
()()...(),(3)
n n n n n n n h h h S B S B A S B A B A B A B AB S S S n --------====≥ （5）
式中h 为FC(n)的代数。
由于准周期链的性质主要取决于各种单元线段（相当于准晶的“原子”）的排布序列，而不取决于单元线段的绝对大小，故为了研究问题方便我们对A,B 两种单元线段的长度进行归一化处理，使得二者的长度之比为：l
A l
B =φn 。
根据马德隆常数的定义式（2）
可知，计算斐波那契类准晶的马德隆
常数的关键是确定各个原子的位置
到参考点的距离r i 。
根据以上的准晶
链建立规则，建立一维的斐波那契点阵如图1所示，根据式（3）（4）可以直接求出第i 个离子到参考原子的距离r i 。
将r i 代入式（1），取i=1,2,3….和n=2，计算一维斐波那契点阵FC(2)的马德隆常数。
计算中，取i=1~296，n=2，求得φn =2.414214，代入（3）求得r i 后，代入（1）可求得马德隆常数的值。
利用excel 表格绘制出马德隆常数随i 的变化曲线如图2所示，由图线可以看出，马德隆常数呈振荡式收敛，且收敛速度很快。
以同样的计算过程，将式（3）（4）代入式（1），取n=3和i=1~296，得到一维单原子FC(3)点阵的马德隆常数随i 的变化曲线如图2所示，其马德隆常数收敛情况与FC(2)相似，如图2所示，一维准周期链的马德隆常数呈振荡式收敛，且收敛很快。
i 取值数目很大是为了得到较为精确的收敛结果，事实上当i=20时，FC(2)点阵马德隆常数已经基本收敛到最终结果α=0.663r 。
同样当取到i=20时，FC(3)的马德隆常数也已经基本收敛到最终的结果为α=0.711r 。
图1 一维斐波那契点阵
图2 一维斐波那契准周期链的马德隆常数收敛曲线
可见，两种点阵的马德隆常数值均小于一维晶体的马德隆常数α=(2ln2)r=1.386r，说明准晶原子间的结合能要比同维数的晶体小。
存在振荡证实了一维斐波那契准晶的电子能谱是套层结构。
准晶体特殊的结构特点和对称性使得其内部的结合能和电子能谱等都与晶体有较大不同，在结构模型构造基础上对准晶体的研究，对未来准晶态材料的制备和利用都有很大帮助。