ewald能量与马德隆常数
固体物理知识点
1.稻草、石墨烯和金刚石是一种元素组成的吗？为何存在外型和性能方面存在很大差异？同为碳元素，从微观角度来说碳元素的排列不同决定了宏观上性质及外型不同2.固体分为晶体、非晶体和准晶体，它们在微观上分别觉有什么特点？ 晶体的宏观特性有哪些？晶体有哪些分类？晶体长程有序，非晶体短程有序，准晶体具有长程取向性，没有长程的平移对称性；晶体宏观特性：自限性，解理性，晶面角守恒，晶体各向异性，均匀性，对称性，以及固定的熔点；晶体主要可以按晶胞、对称性、功能以及结合方式进行分类。
原胞是一个晶格中最小的重复单元，体积最小，格点只在顶角上，面上和内部不含格点。
晶胞体积不一定最小，格点不仅在顶角上，还可以在内部或面心上。
3.简单晶格与复式晶格的区别？简单晶格的晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的情况完全相同； 复式晶格的晶体由两种或两种以上原子组成，同种原子各构成和格点相同的网格，这些网格的相对位移形成复式晶格。
4.假设体心立方边长是a,格点上的小球半径为R ，求体心立方致密度。
1=81=28N ⨯+ 单胞中原子所占体积为33148=33V N R R ππ⋅=4R = 体心立方体体积为32V a =致密度为3312423=8V V aπρ⎫⨯⎪⎝⎭== 5.晶面的密勒指数为什么可用晶面的截距的倒数值的比值来表征（把基矢看做单位矢量），提示：晶面一般用面的法线来表示，法线又可以用法线与轴的夹角的余弦来表示。
晶面的法线方向与三个坐标轴的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
6.简立方[110]等效晶向有几个,表示成什么？110随机排列，任意取负，共12种，表示为<110>。
7.倒格子矢量Kh=h1b1+h2b2+h3b3 的大小，方向和意义(矢量Kh 这里h 为下标，h1, b1, h2, b2, h3, b3里的数字均为下标，b1, b2, b3 为倒格子原胞基矢)，提示：从倒格子性质中找答案。
《固体物理学》基础知识训练题及其参考答案
《固体物理》基础知识训练题及其参考答案说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。
第一章作业1：1.固体物理的研究对象有那些？答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。
2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。
非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。
3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。
有那些单质晶体分别属于以上三类。
答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。
常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。
面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。
常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。
六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。
常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。
4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。
答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格；金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格；Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。
宇宙学中的基本常数
哈勃常数测量的历史Physics Today 2013 no.10
年龄矛盾
哈勃测得的H0值太大，由此估计宇宙年龄只有20亿年，比 地球（45亿年）还年轻！20多年后巴德发现哈勃混淆了不 同星族造父变星光度的差别（贫金属的II型比I型暗1.5星等）， 经他修订后的距离增加一倍，H0值减小一半。随后30年桑 德奇组一直声称50 km s-1Mpc-1 ±10％ ，德•德沃古勒组 坚持测量值为100 km s-1Mpc-1±10％。这些测定所引的 误差显然太小，两者没有交集。如果取两个值的平均，推算 出宇宙的年龄（约90亿年）仍然小于银河系中最古老的星团 （约130亿年）！年龄矛盾的最终解决需要两个途径：伊巴 谷卫星精确的距离测量，这在一定程度上降低了计算恒星的 年龄；发现宇宙膨胀正在加速，这意味着宇宙的年龄较老。
这些“世纪”问题对全世界物理学家、天文学家、数学家提 出了重大挑战。期待着我们联合起来寻求新的突破。
谢谢！
Saul Perlmutter，
Adam Riess，
Brian Schmidt
奖给宇宙加速膨胀的发现
WMAP观测结果的约束
宇宙成分分配
Ostriker & Steinhardt, 2003, Science, 300, 1909
暗能量：73%；暗物质：23%； 发光物质：0.4%（恒星和发光气体0.4%；辐射0.005%）； 不可见的普通物质： 3.7%（星系际气体3.6%；中微子0.1%； 超重黑洞0.04%）
物质和能量密度决定空间几何
将哈勃参数代入第二个弗里德曼方程得：
第二章材料中的化学键
R
马德隆势
U I
JI
QJ RJ RI
R：正负离子最近邻距离
9
马德隆常数的计算：一维离子线
一维离子线
R
2
1 R
1 2R
1 3R
1 4R
2
1
1 2
1 3
1 4
ln(1 x) x x x2 x4 23 4
2 ln 2
Madelung常数的计算：Ewald方法
10
马德隆常数的计算：Ewald方法
材料研究中的理论与计算
第二章：材料中的化学键
提纲 金属键与均匀电子气模型 离子晶体与离子键 共价晶体：共价键 共价性与离子性的“半定量”表征 范德华作用与分子晶体
蒋鸿 2016.03.013
参考文献
[A&M] Solid State Physics，Chapters 18,19
[ASIC] 麦松威，周公度，李伟基《高等无机结构化学》，第3，4章 [Kittle8ed] C. Kittle, Introduction to Solid State Physics (8ed)，
Eg
Aa I c
e VMa VMc
Epaol Epcol
1 2
WVB WCB
12
共价键与共价晶体
13
共价键
[Kittle8ed] 14
共价晶体：band vs bond
E
p
sp3 anti-bonding
p band
z
s s band sp3 bonding
这个示意图有 什么问题？
Sn Ge Si C 1/a
成键强度
[Kittle8ed]
[Cox87] 典型的共价半导体带隙随着体积减小而增加。 15
固体物理作业 - 副本
高等固体物理作业题 目: 马德隆常数的计算方法及实例计算 学生姓名： 学 院：理学院 专 业：物理电子学 指导教师:2013 年 12 月 7日学校代码：10128 学 号：摘要在固体物理学中，当计算离子晶体的结合能、晶格能、表面能等时，需知道马德隆常数的值，该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数，是晶体结构的一个重要的特征参数，为一无量纲的数，只取决于晶体结构，在离子晶体的研究中占有重要的地位。
本文概述了晶体马德隆常数的几种计算方法及其使用范围，并举例简述了一维离子链，二维正方离子格子，以及三维Nacl离子晶体实例的马德隆常数的计算方法。
关键词：离子晶体；马德隆常数；计算方法；实例AbstractIn solid state physics, when calculate the combined energy, attice energy, surface energy, etc. of the ionic crystals, we need to know the Madelung constant value, which is generally determined by experiment. Madelung constant is used to describe structure of ionic crystal. Madelung constant is an important feature of the crystal structure parameters. Madelung constant is a dimensionless number that only depends on the crystal structure, and plays an important role in the study of ionic crystals. This article outlines several crystal Madelung constant calculation methods and its scope of application, and an example calculation methods outlined Madelung constant one-dimensional ion chains, two-dimensional square lattice ions, as well as three-dimensional Nacl ionic crystals instance.Keywords: ionic crystals; Madelung constant; calculation methods; examples目录引言 (1)1 晶体马德隆常数的几种计算方法 (2)1.1 定义法 (2)1.2 Evjen晶胞法 (2)1.3 计算晶格静电能法 (3)1.4 小结 (4)2 马德隆常数的实例计算 (5)2.1 一维离子链的马德隆常数计算 (5)2.2 二维正方离子格子的马德隆常数计算 (6)2.3 三维离子晶体（Nacl）的马德隆常数计算 (7)参考文献 (10)引 言马德隆(Madelung)常数α是晶体结构中的一个重要的特征参数，是描述粒子晶体结构的常数。
晶体马德隆常数的计算
图 2 二维正方离子格子修正前后的马德隆常数与 n 之间的关系图
图中“+”对应的是修正前的马德隆常数α2 与 n 的关系，“*”对应的是修正后的马德
隆常数
α
' 2
与
n
的关系。
4．三维离子晶体（Nacl）的马德隆常数计算
∑ 三维 Nacl 晶体的马德隆常数一般表达式为α = −
(−1)n1+n2 +n3
∑ α1'
=
− n−1 (−1)n1
n n1 =− n+1
2 1
−1× 2
(−1)−n (−n)2
− 1 × (−1)n 2 n2
（n1≠0）
（2）
根据公式（1）（2）经过编程计算(附录 1)，得到α1 ，α1' 与 n 的对应关系，如下表 ：
n
10
α1 1.29127
α1’
1.39127
n
80
α1 1.37387
（4）
根据公式（3）（4），编程计算（附录
2），得出得到
α
2
，
α
' 2
与
n
的对应关系，如下
表：
n
10
α2 1.54824
α2’
1.61541
n
80
α2 1.60676
α2’
1.61554
n
600
α2 1.61437
α2’
1.61554
表2 20 1.58105 1.61553 90 1.60773 1.61554 700 1.61453 1.61554
1.61554
1.61554
1.61554
《固体物理学》房晓勇习题参考解答
………………（4）
(
d 2U dr d ⎧ 1 ⎡ N mA nB ⎤ ⎫ ) = ⋅ ⎨ ( m +1 − n +1 ⎥ ⎬ 2 V0 dV dV dr ⎩ 3NBr 2 ⎢ r ⎦ ⎭r = r0 ⎣2 r
=
1 N ⋅ 9V02 2
⎡ m 2 A n 2 B 3mA 3nB ⎤ ⎢ − m + n − m + n ⎥ ……………（5） r0 r0 r0 ⎦ ⎣ r0
得
mA nB = r0m +1 r0n +1
1
⎛ nB ⎞ n − m r0 = ⎜ ⎟ ⎝ mA ⎠
d 2U m(m + 1) A n(n + 1) B mA | =− + = − m+ 2 2 r = r0 m+ 2 n+2 dr r0 r0 r0 ⎡ n(n + 1) B ⎤ mA = − m+ 2 ⎡ ⎢m + 1 − n−m ⎥ ⎣ m + 1 − ( n + 1) ⎤ ⎦ mAr r 0 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
在体心立方结构中，每个晶胞有 2 个原子，N 个原子有 N/2 个晶胞，又因为 a =
N N⎛ 2 ⎞ 4N 3 3 V0 = a 3 = ⎜ R0 ⎟ = R0 2 2⎝ 3 ⎠ 9
12 12 ⎛ A6 ⎞ ε A62 mnε A6 3 mnε A6 3 mn mn ε3 3 =N × = = = K = U0 A ⎜ ⎟ 12 3 3 1/ 6 9V0 2 A12 24 A12 R0 A12 ⎠ 4N 3 3 2σ 3 ⎡ ⎤ ⎝ ⎛ ⎞ 2 A 9 R0 24 A12 ⎢⎜ 12 ⎟ σ ⎥ 9 A ⎢ ⎥ ⎣⎝ 6 ⎠ ⎦ 5/ 2
马德隆常数计算公式
马德隆常数计算公式
马德隆常数是一种重要的数学常数，常用于计算圆周率π的近似值。
这个常数由英国数学家约翰·马德隆（John Madelaune）于1706年推导出来，因此得名。
马德隆常数的计算公式相对简单，可以通过以下式子得出：M = ∑(4/((2n-1)(2n+1))), 其中n从1开始递增，一直累加到无穷大为止。
通过这个公式，我们可以逼近得到π的值。
然而，马德隆常数不同于其他常数的地方在于它的收敛速度非常缓慢。
换句话说，要通过计算马德隆常数来得到π的精确值，需要进行无数次的累加运算。
这使得计算过程非常繁琐，甚至对于现代计算机而言也是一个巨大的挑战。
尽管马德隆常数在计算圆周率方面的应用存在一定的困难，但它在数值计算和近似计算领域仍然有着重要的意义。
它可以作为一种近似计算π的方法，尤其适用于没有高精度计算设备的时代。
在缺乏现代计算工具的情况下，数学家们通过手工计算马德隆常数，得到了种种与π相关的近似值，为后来的研究和计算提供了重要的基础。
此外，马德隆常数还引发了数学上的一些有趣问题和研究方向。
例如，我们可以探究该常数的收敛速度，研究如何加速计算马德隆常数以及优化近似π的方法等等。
这些问题激发了众多数学家的兴趣，并催生了一系列关于马德隆常数的研究成果。
总而言之，马德隆常数是一个重要而有趣的数学常数，虽然计算过程繁琐但在近似计算π和数值计算中仍然有一定的应用价值。
它不仅是对历史上数学家们智慧的体现，也激发了更多关于近似计算和数值分析的研究。