二位NaCl晶体马德隆常数的计算
晶体马德隆常数的计算
参考文献
[1] 阎守胜.固体物理基础[M].北京：北京大学出版社，2000. [2] Kittle C.固体物理导论[M].北京：科学出版社，1979. [3] 王矜奉.固体物理教程[M].济南：山东大学出版社，2006.
The calculation of Madelung constant in the ion crystal
二维正方离子格子的马德隆常数与对应的 n
30
40
50
1.59236
1.59808
1.60154
1.61554
1.61554
1.61554
100
200
300
1.60851
1.61202
1.61319
1.61554
1.61554
1.61554
800
900
1000
1.61466
1.61476
1.61484
中国科技论文在线
离子晶体的马德隆常数计算
詹泸成，罗志琳
河海大学应用物理系，南京（211100）
E-mail:zhanhucheng@
摘 要:本文对马德隆常数的一般公式进行了修正，并利用 Visual Basic、Matlab 等工具对一 维离子链，二维正方离子格子，以及三维 Nacl 离子晶体修正前后的马德隆常数进行了计算 分析，结果表明：修正后的马德隆常数公式能够更快地收敛于真实值，并且更加接近于实验 值，通过对三个维度的比较，验证了离子晶体马德隆常数随着晶体配位数的增加而增大的性 质。 关键词：离子晶体；马德隆常数；修正 中图分类号：O481
=−
n1 =−n n2 =− n
(−1)n1 + n2 n12 + n22
二维三角离子晶体马德隆常数的计算
二维三角离子晶体马德隆常数的计算一、概述二维三角离子晶体的研究在固体物理学领域具有重要意义，其中马德隆常数是一个关键的物理量。
马德隆常数是用来描述晶体中离子间相互作用的强度和类型的参数，对于研究晶体的热力学性质、电子结构和声学性能等方面都具有重要意义。
本文将对二维三角离子晶体马德隆常数的计算进行深入探讨，以期为读者提供有价值的信息。
二、二维三角离子晶体的结构和性质在二维三角离子晶体中，正负电荷的离子按照一定的规则排列在平面上，形成一种特殊的晶体结构。
这种结构具有较强的几何规则性和周期性，因此在研究中具有一定的优势。
二维三角离子晶体的性质受到离子间相互作用的影响很大，而马德隆常数则是描述这种相互作用的重要参数。
三、马德隆常数的定义和物理意义马德隆常数是由英国物理学家马德隆在20世纪初提出的，它是描述晶体中离子间相互作用的参数。
马德隆常数的大小和符号决定了晶体的稳定性和各种物理性质，因此在材料科学研究中具有重要意义。
对于二维三角离子晶体来说，计算马德隆常数可以帮助我们更好地理解晶体结构和性质。
四、马德隆常数的计算方法在实际研究中，计算马德隆常数通常需要借助于复杂的计算方法和理论模型。
一般来说，我们可以通过经典力学或量子力学的理论来建立晶格模型，并在此基础上进行数值计算。
对于二维三角离子晶体来说，由于结构的特殊性，计算方法可能会更加复杂和繁琐。
五、个人观点和理解在我看来，二维三角离子晶体马德隆常数的计算是一个具有挑战性但又具有重要意义的课题。
通过对马德隆常数的准确计算，我们可以更好地理解晶体的结构和性质，为材料科学研究提供重要的参考。
未来，我希望能够进一步深入研究这一课题，为相关领域的发展贡献自己的力量。
六、总结和回顾通过本文的阐述，我们对二维三角离子晶体马德隆常数的计算有了更深入的了解。
马德隆常数作为描述晶体中离子间相互作用的重要参数，对于研究晶体的性质具有重要意义。
未来，我们需要进一步深入研究这一领域，为材料科学的发展做出更大的贡献。
固体物理作业 - 副本
高等固体物理作业题 目: 马德隆常数的计算方法及实例计算 学生姓名： 学 院：理学院 专 业：物理电子学 指导教师:2013 年 12 月 7日学校代码：10128 学 号：摘要在固体物理学中，当计算离子晶体的结合能、晶格能、表面能等时，需知道马德隆常数的值，该值一般由实验确定。
马德隆常数是描述离子晶体结构的常数，是晶体结构的一个重要的特征参数，为一无量纲的数，只取决于晶体结构，在离子晶体的研究中占有重要的地位。
本文概述了晶体马德隆常数的几种计算方法及其使用范围，并举例简述了一维离子链，二维正方离子格子，以及三维Nacl离子晶体实例的马德隆常数的计算方法。
关键词：离子晶体；马德隆常数；计算方法；实例AbstractIn solid state physics, when calculate the combined energy, attice energy, surface energy, etc. of the ionic crystals, we need to know the Madelung constant value, which is generally determined by experiment. Madelung constant is used to describe structure of ionic crystal. Madelung constant is an important feature of the crystal structure parameters. Madelung constant is a dimensionless number that only depends on the crystal structure, and plays an important role in the study of ionic crystals. This article outlines several crystal Madelung constant calculation methods and its scope of application, and an example calculation methods outlined Madelung constant one-dimensional ion chains, two-dimensional square lattice ions, as well as three-dimensional Nacl ionic crystals instance.Keywords: ionic crystals; Madelung constant; calculation methods; examples目录引言 (1)1 晶体马德隆常数的几种计算方法 (2)1.1 定义法 (2)1.2 Evjen晶胞法 (2)1.3 计算晶格静电能法 (3)1.4 小结 (4)2 马德隆常数的实例计算 (5)2.1 一维离子链的马德隆常数计算 (5)2.2 二维正方离子格子的马德隆常数计算 (6)2.3 三维离子晶体（Nacl）的马德隆常数计算 (7)参考文献 (10)引 言马德隆(Madelung)常数α是晶体结构中的一个重要的特征参数，是描述粒子晶体结构的常数。
《固体物理学》房晓勇习题参考解答
………………（4）
(
d 2U dr d ⎧ 1 ⎡ N mA nB ⎤ ⎫ ) = ⋅ ⎨ ( m +1 − n +1 ⎥ ⎬ 2 V0 dV dV dr ⎩ 3NBr 2 ⎢ r ⎦ ⎭r = r0 ⎣2 r
=
1 N ⋅ 9V02 2
⎡ m 2 A n 2 B 3mA 3nB ⎤ ⎢ − m + n − m + n ⎥ ……………（5） r0 r0 r0 ⎦ ⎣ r0
得
mA nB = r0m +1 r0n +1
1
⎛ nB ⎞ n − m r0 = ⎜ ⎟ ⎝ mA ⎠
d 2U m(m + 1) A n(n + 1) B mA | =− + = − m+ 2 2 r = r0 m+ 2 n+2 dr r0 r0 r0 ⎡ n(n + 1) B ⎤ mA = − m+ 2 ⎡ ⎢m + 1 − n−m ⎥ ⎣ m + 1 − ( n + 1) ⎤ ⎦ mAr r 0 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
在体心立方结构中，每个晶胞有 2 个原子，N 个原子有 N/2 个晶胞，又因为 a =
N N⎛ 2 ⎞ 4N 3 3 V0 = a 3 = ⎜ R0 ⎟ = R0 2 2⎝ 3 ⎠ 9
12 12 ⎛ A6 ⎞ ε A62 mnε A6 3 mnε A6 3 mn mn ε3 3 =N × = = = K = U0 A ⎜ ⎟ 12 3 3 1/ 6 9V0 2 A12 24 A12 R0 A12 ⎠ 4N 3 3 2σ 3 ⎡ ⎤ ⎝ ⎛ ⎞ 2 A 9 R0 24 A12 ⎢⎜ 12 ⎟ σ ⎥ 9 A ⎢ ⎥ ⎣⎝ 6 ⎠ ⎦ 5/ 2
2014年第二章固体的结合(全部)
d (
dU ) 2 dV V ( d U ) V dV dV 2 V
平衡时：
K V0 (
d 2U )V dV 2 0
K 0
• NaCl晶体原胞体积：V=2Nr03
q 2 6b A B U ( r ) N n N n 4 r r r r 0
1 n 2 n1 n 2 n 3
2 /
(4) 一些马德隆常数值： NaCl：1.748 CsCl: 1.763 ZnS 1.638 马德隆常数与离子晶体的结构排列相关。计算马德 隆常数可采用埃夫琴晶胞法（课外参考）。 二、离子晶体的排斥能
2
q 2 (1) n1 n2 n3
2 2 2 2 2 4 0 (n1 r 2 n2 r n3 r ) 2 1 n1 n2 n3 1
2 2 VA VB c A B c A B 2 m
2m
2 1
2
2m
2 2 VA1 VA2 VB1 VB 2 V12
状态方程： ＝E
忽略电子－电子间的相互作用V12 ，用分子轨道法 来简化波动方程。
K V0 ( r d d 2U d A B )V 0 ( )( n ) dV 2 0 2 dr 3 dr 3 r r r r0 ) r r0
3
1 d2 A B ( n ) r r0 18r0 dr 2 r r
1 2 A n(n 1) B n2 18r0 r0 3 r0 1 (n 1) A 3 18r0 r0 (n 1)q 2 4 4 0 18r0
令
(r1，r2)＝1 (r1)2 (r2)
晶体马德隆常数的几种计算方法
晶体马德隆常数的几种计算方法
宋金璠;李书义
【期刊名称】《南阳师范学院学报》
【年(卷),期】2006(5)3
【摘要】通过分析马德隆常数的三种计算方法和其相应的使用范围,得出不同晶体结构下相应的计算方法和使用范围.
【总页数】3页(P32-34)
【作者】宋金璠;李书义
【作者单位】南阳师范学院,物理系,河南,南阳,473061;南阳师范学院,物理系,河南,南阳,473061
【正文语种】中文
【中图分类】O481
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晶体马德隆常数的计算
（4）
根据公式（3）（4），编程计算（附录
2），得出得到
α
2
，
α
' 2
与
n
的对应关系，如下
表：
n
10
α2 1.54824
α2’
1.61541
n
80
α2 1.60676
α2’
1.61554
n
600
α2 1.61437
α2’
1.61554
表2 20 1.58105 1.61553 90 1.60773 1.61554 700 1.61453 1.61554
Zhan Lucheng,Luo Zhilin
Department of Physics, HoHai University, Nanjing (211100)
Abstract This paper amended the Madelung constant’s formula,then calculated and analysised the Madelung constant of one-dimensional ion,two-dimensional ion and three-dimensional ion crystal with Visual Basic and Matlab.The result was that the amended formula of Madelung constant could go to the truth more quickly and be closer to the truth. In addition,with the comparision of three kinds of crystal,we proved that Madelung constant increased when the coordination number of crystal increased. Keywords: ion crystal;Madelung constant;amend
固体物理学：第二章 晶体的结合 (2)
两粒子间的相互作用力f(r)和相互作用势能u(r)随粒子间距r变化 的一般关系如图
1：两粒子间的相互作用势能u(r) 两粒子间的相互作用势能u(r),可用下面的表达式表示
1：两粒子间的相互作用力
二. 晶体的结合能
Eb 为负值，表示晶体的能量比构成晶体的粒子处在自由状态时 的能量总和低。 Eb 的绝对值就是把晶体分离成自由原子所需要 的能量。Eb 也称为晶体的总相互作用能。
3：离子晶体：由正离子和负离子组成。
4：
二：基本特征
1. 离子晶体的模型：正、负离子—— 刚球 化合物：NaCl， CsCl是典型的离子晶体，晶体结
构如图所示。一种离子的最近邻离子为异性离子，离子 晶体的配位数最多只能是8（例如CsCl 晶体）。氯化钠 配位数是6。
2. 离子结合的特征
（1）离子键的形成 以 NaCl 为例 ，在凝聚成固体时，Na 原子失去
离子间的相互作用分为两大类：吸引作用和排斥作用。 (1) 静电引力，即正、负离子之间的库仑作用力（又称为 离子键；异极键）。
离子键无方向性和饱和性: 与任何方向的电性不同的离 子相吸引，所以无方向性；且只要是正负离子之间，则彼 此吸引，即无饱和性。
(2) 由于泡利不相容原理，两个离子的闭合壳层电子云的交 迭产生强大的排斥力； —— 排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体。
F
+－+－+－+－
－+－+－+－+
位错
+－+－+－+－ －+－+－+－+
受力时发生错位，使正正离子相切，负负离子相切，彼此排 斥，离子键失去作用，故离子晶体无延展性 。如 CaCO3 可 用于 雕刻，而不可用于锻造，即不具有延展性 。
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考虑边长为2nr0的晶胞，则可由此方法找到对 的晶胞， 考虑边长为 的一般式， 于n的一般式，可以计算： 的一般式 可以计算： α～1.61 ～
1 1 1 1 ∴α = 4 × × − 4 × × ≈ 1.293 2 1 4 2
考虑边长为4r 的晶胞，则最近邻有4个异号的 考虑边长为 0的晶胞，则最近邻有 个异号的 离子，距离为r 全部属于这个晶胞； 离子，距离为 0；全部属于这个晶胞； 次近邻有4个同号的离子， 次近邻有 个同号的离子，距离为 2r0 ；全部 个同号的离子 全部 属于这个晶胞； 属于这个晶胞； 第三近邻有4个同号的离子，距离为2r0；只有 第三近邻有 个同号的离子，距离为 个同号的离子 1/2属于这个晶胞； 属于这个晶胞； 属于这个晶胞 第四近邻有8个异号的离子， 第四近邻有 个异号的离子，距离为 个异号的离子 属于这个晶胞； 有1/2属于这个晶胞有4个异号的 考虑边长为 0的晶胞，则最近邻有 个异号的 离子，距离为r 但是只有1/2属于这个晶胞 属于这个晶胞； 离子，距离为 0；但是只有 属于这个晶胞； 次近邻有4个同号的离子， 次近邻有 个同号的离子，距离为 2r0 ;但是只 个同号的离子 但是只 属于这个晶胞； 有1/4属于这个晶胞； 属于这个晶胞
习题选讲 试计算二维NaCl晶体的马德隆常数 试计算二维 晶体的马德隆常数 答：
Qα =
∑(
n 1n 2 n 3
(−1)
2 1
n1 + n 2 + n 3 2 2 2 3
n +n +n
)
∴α =
∑(
n1n 2 n 3
(−1)
2 1
n1 + n 2 2 2
n +n
)
第一章 晶体结构
NaCl二维晶胞 以中心 －离子为参考离子 其它离 二维晶胞, 以中心Cl 离子为参考离子, 二维晶胞 其中, 子坐标为 子坐标为 n1r0、 n2r0、其中 r0为最近邻离子 距离, 为正或负整数, 则有： 距离 n1、n2为正或负整数 则有：
5r0 ；只 只
第五近邻有4个同号的离子， 第五近邻有 个同号的离子，距离为 ；8r0 个同号的离子 属于这个晶胞； 有1/4属于这个晶胞； 属于这个晶胞
只
1 1 )+ ∴α = ( 4 × − 4 × 1 2 1 1 1 1 1 1 (-4 × × + 8 × × - 4× × ) ≈ 1.6077 2 2 2 4 5 8