固体物理重点计算题详细解答

1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩rr r r r r r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r 31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r r Q ，223,,,0,()224,,022i j k a a a a a i j k a a ⨯==-++r r r r r r r r 213422()()4a b i j k i j k a aππ∴=⨯⨯-++=-++r r r r r r r 同理可得：232()2()b i j k a b i j k aππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+-⎪⎩rr r r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r 3123,,222(),,2222,,222a a a a a a a a a a a a a -Ω=⋅⨯=-=-r r r Q ，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ⨯=-=+-r r r r r r r 213222()()2ab j k j k a aππ∴=⨯⨯+=+r r r r r同理可得：232()2()b i kab i jaππ=+=+r rrr r r即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

所以，体心立方的倒格子是面心立方。

1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l的晶面系，面间距d满足：22222()d a h k l=++，其中a为立方边长.解：简单立方晶格：123a a a⊥⊥r rv，123,,a ai a aj a ak===vv vv v v由倒格子基矢的定义：2311232a aba a aπ⨯=⋅⨯r rrr r r，3121232a aba a aπ⨯=⋅⨯r rrr r r，1231232a aba a aπ⨯=⋅⨯r rrr r r倒格子基矢：123222,,b i b j b ka a aπππ===v v v vv v倒格子矢量：123G hb kb lb=++v v vv，222G h i k j l ka a aπππ=++vv v v晶面族()hkl的面间距：2dGπ=v2221()()()h k la a a=++22222()adh k l=++2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为（2ln 2=α）。

证明：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有(1)11112[...]234j ij r r r r r rα±'==-+-+∑ 前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为234(1) (34)n x x x x x x +=-+-+Q l 当X=1时，1111...2234n -+-+=l 2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 ()m n u r r r αβ=-+试求：（1）平衡间距0r ；（2）结合能W （单个原子的）；（3）体弹性模量； （4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====，计算α及β的值。

解：（1）求平衡间距r 0 由0)(0==r r dr r du ，有：m n n m n m m n n m r r n r m --++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒=-1101.0100αββαβα结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w 表示）（2）求结合能w （单个原子的）题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。

显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U min 即：n m r r r U W 000)(βα-+=-= （可代入r 0值，也可不代入）（3）体弹性模量 由体弹性模量公式：0220209r r U V r k ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= （4）m = 2，n = 10，οA r 30=， w = 4eV ，求α、β22n α∴=l818105210⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=αβαβr ① )5(54)(802010.200代入αβαβα=-=+-=r r r r r U K K KeV r r U W 454)(200==-=⇒α ② 将οA r 30=，J eV 1910602.11-⨯=代入①②211523810459.910209.7mN m N ⋅⨯=⋅⨯=⇒--βα 详解：（1）平衡间距r 0的计算 晶体能()()2m n N U r r rαβ=-+ 平衡条件00r r dU dr ==，11000m n m n r r αβ++-+=，10()n m n r m βα-= （2）单个原子的结合能01()2W u r =-，00()()m n r r u r r r αβ==-+，10()n m n r m βα-= 1(1)()2m n m m n W n m βαα--=- （3）体弹性模量0202()V U K V V ∂=⋅∂ 晶体的体积3V NAr =，A 为常数，N 为原胞数目 晶体能()()2m n N U r r rαβ=-+ U U r V r V ∂∂∂=∂∂∂1121()23m n N m n r r NAr αβ++=- 221121[()]23m n U N r m n V V r r r NAr αβ++∂∂∂=-∂∂∂ 022222000001[]29m n m n V V UN m n m n V V r r r r αβαβ=∂=-+-+∂ 由平衡条件01120001()023m n V V UN m n V r r NAr αβ++=∂=-=∂，得00m n m n r r αβ=022*******[]29m n V V U N m n V V r r αβ=∂=-+∂ 02220001[]29m n V V UN m n m n V V r r αβ=∂=-+∂2000[]29m n N nm V r r αβ=--+ 000()2m n N U r r αβ=-+ 020220()9V V Umn U V V =∂=-∂ 体弹性模量009mn K U V = （4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====10()n m n r m βα-=，1(1)()2m n m m n W n m βαα--=- 1002W r β=，20100[2]r W r βα=+ -95101.210eV m β=⨯⋅，1929.010eV m α-=⨯⋅3.2、讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其2N 个格波解，当M = m 时与一维单原子链的结果一一对应。

解：质量为M 的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m 的原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。

牛顿运动方程2221212121222(2)(2)n n n n n n n n m M μβμμμμβμμμ+-+++=---=---&&&& N 个原胞，有2N 个独立的方程设方程的解[(2)]2[(21)]21i t na q n i t n aq n Ae Be ωωμμ--++==，代回方程中得到22(2)(2cos )0(2cos )(2)0m A aq B aq A M B βωβββω⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩ A 、B 有非零解，2222cos 02cos 2m aq aqM βωβββω--=--，则 12222()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M ωβ+=±-+两种不同的格波的色散关系1222212222()4{1[1sin ]}()()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M m M mM aq mM m M ωβωβ+-+=+-++=--+一个q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.当M m =时4cos 24sin 2aq m aq m βωβω+-==， 两种色散关系如图所示：长波极限情况下0q →，sin()22qa qa ≈， (2)q m βω-=与一维单原子晶格格波的色散关系一致.3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为β和10β，令两种原子质量相等，且最近邻原子间距为2a 。

试求在0,q q a π==处的()q ω，并粗略画出色散关系曲线。

此问题模拟如2H 这样的双原子分子晶体。

（注 ：课本中的c 即为此题中的β k 对应q)答：（1）浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。

第2n 个原子和第2n ＋1个原子的运动方程：212222112121122112222()()n n n n n n n nm m μββμβμβμμββμβμβμ+-+++=-+++=-+++&&&& 体系N 个原胞，有2N 个独立的方程方程的解：1[(2)]221[(21)]221i t n aq n i t n aq n Ae Beωωμμ--++==，令221122/,/m m ωβωβ==，将解代入上述方程得： 11222222212121122222221212()()0()()0i aq i aq i aq i aq A ee B e e A B ωωωωωωωωωω--+--+=+-+-=A 、B 有非零的解，系数行列式满足： 11222222212121122222221212(),()0(),()i aq i aq i aq i aq e e ee ωωωωωωωωωω--+--+=+-+- 1111222222222222121212()()()0i aq i aq i aq i aq e e e e ωωωωωωω--+--++= 1111222222222222121212()()()0i aq i aq i aq i aq e e e e ωωωωωωω--+--++=因为1ββ=、210ββ=，令2222012010,10c c m mωωωω====得到 222400(11)(10120cos )0aq ωωω--+= 两种色散关系：220(1120cos 101)qa ωω=±+当0q =时，220(11121)ωω=±，0220ωωω+-==当q a π=时，220(1181)ωω=±，00202ωωωω+-==（2）色散关系图：44.2、写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数2k a π=的0级波函数。