(整理)高等数学(上)解题指导
《高等数学习题全解与学习指导 上册 》读书笔记思维导图
第二章 一元函数微分学及其应用
1
一、知识结构
2
二、归纳总结
3
三、例题解析
4
四、习题详解
5
章节测试二
习题2-1 导数的概念 及基本求导公式
习题2-2 导数的计算 法则
习题2-3 微分的概念 与应用
习题2-4 微分中值定 理与应用
习题2-6 函数的性 质与图形
习题2-5 泰勒中值 定理
习题2-7 微分学的 实际应用
习题3-7 定积分的几 何应用与物理应用
习题3-8 反常积分
第四章 微分方程
1
一、知识结构
2
二、归纳总结
3
三、例题解析
4
四、习题详解
5
章节测试四
习题4-1 微分方程的 基本概念
习题4-2 一阶微分方 程
习题4-3 二阶微分方 程
习题4-4 微分方程的 实际案例
感谢观看
读
书
笔
记
第一章 函数、极限与连续
一、知识结构
2
二、归纳总结
3
三、例题解析
4
四、习题详解
5
章节测试一
习题1-1 集合与函数
习题1-2 数列极限的 定义与计算
习题1-3 函数极限的 定义与计算
习题1-4 极限的证明 与性质
习题1-6 无穷小与 无穷大
习题1-5 两个重要 极限
习题1-7 函数的连 续性及其性质
05 第四章 微分方程
《高等数学习题全解与学习指导》分上、下两册。上册内容为函数与极限，一元函数微学分，一元函数积分 学，常微分方程配套习题讲解。书中各章节的主要内容都配有精心选取的例题和习题，着重训练读者对定义与概 念的理解、对定理与方法的应刚能力，培养读者解决问题的逻辑心维方法和创新能力。
高数讲义上册总复习
a
0
若 f (x) 为偶函数，即 f (x ) f ( x )
a
a
a f (x)d x 2 0 f (x)d x
若 f (x) 为奇函数，即 f (x ) f ( x )
a
a f (x)d x 0
例1：求
5 5
x 3 sin 2x x4 x2 1
d
x
例2：求 2 ( x 3 sin 2 x ) cos 2 x d x
（特别关注）
4.已知函数 f (x) 满足:
1
0
f
(ux)d u
1 2
f
(x) 1,
1
0 f ( x)d x
1,
求 f (x) .
答案： f ( x) 2(1 x).
2。二阶常系数非齐次微分方程的通解
（非齐项为 e x Pm ( x) 类型）
重点： y py qy e x Pm ( x)
六、综合证明题
（1）用单调性证明不等式
（2）利用积分中值定理和罗尔定理 证明含有中值的等式
（3）零点定理（熟练掌握函数的构造方法）
所确定,
求
d2 dx
y
2
.
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的 设
4. 函数的单调性判别，极值 5. 求曲线的凹凸区间及拐点, 例如:
例1 设 y 1 arctan 1 x2 1 ln 1 x2 1 ,
2
4 1 x2 1
求 y.
例 2 计算由曲线 y x3 6x 和 y x2 所围成
的图形的面积.
例3：求曲线
y x2, 2
y
1 1 x
2
《高等数学》(上)期末复习知识要点
1、 四则运算法则与复合运算法则（换元法）；2、 初等函数的连续性（代入法）： 00lim ()()x x f x f x →=；3、 两个重要极限：1）0sin lim1x x x→=，【特征：0sin lim 1→=】2）1lim(1)x x e x →∞+=（或1lim(1)n n e n→∞+=，10lim(1)x x x e →+=）；【特征：1lim(1)e →∞+= 】4、 存在准则：1）夹逼准则，2）单调有界准则；5、 洛必达法则：未定式00或∞∞（其它类型未定式：000,,,1,0∞⋅∞∞−∞∞必须转化）； 6、 等价无穷小量替换：只适用于乘除，加减不适用.（当0x →时，21cos 2x x −∼, sin (tan ,arctan ,arcsin ,1,ln(1)),x x x x x e x x −+∼(1)1a x x α+−∼(α为常数)等等)7、 无穷小的性质：有界量与无穷小的乘积、有限个无穷小的和与乘积均为无穷小等 8、 泰勒公式(麦克劳林公式)； 9、 微分中值定理；10、 定积分或导数定义*: 1）*【定积分定义】、设()f x 在[,]a b 上可积，则1lim ()()nb a n i b a b af a i f x dx n n→∞=−−+⋅=∑∫； 2）【导数定义】设()f x 在点a 处可导，则0()()()()lim()lim ()x ah f x f a f a h f a f a f a x a h→→−+−′′==−或.1、 函数()f x 在点0x 处连续000lim ()()lim ()lim ()()x x x x x x f x f x f x f x f x +−→→→⇔=⇔==；2、 间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间断点：无穷，振荡等.3、 连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数 4、 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处连续 5、 闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】；4）介值定理及其推论一、 极限及其求法：二、 函数的连续性《高等数学》(上)期末复习要点1、 定义： 1）0000000()()()()()limlimx x x f x f x f x x f x f x x x x →∆→−+∆−′==−∆； 2）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→−+∆−′==−∆3）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x−−−→∆→−+∆−′==−∆4）000()()()f x f x A f x A +−′′′==⇔= 2、 求导法则：【必须牢记18个基本导数公式】 1） 显函数()y f x =：I、四则运算法则： ()[()()],[()()],[],[()]()u x u x v x u x v x ku x v x ′′′′±⋅； II、复合函数的求导法则：设(),()y f u u g x ==都可导，则[()]y f g x =的导数为(){[()]}()()[()]()u g x d f g x f u g x f g x g x dx =′′′′=⋅=⋅，或dy dy du dx du dx=⋅ III、反函数的求导法则：1dy dx dxdy= IV、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：()y f x =，ln ||ln |()|y f x == （化简），y y′⇒= 2） 参数方程：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，()dy dydxg t dtdt dx == ，22()()d y dg t dg t dxdt dtdx dx=== ， 其它阶同理可求.3） 隐函数：(,)0F x y =（方程两边对x 求导，注意y 为x 的函数）10x y dyF F dx′′⇒⋅+⋅= 3、 高阶导数：234(4)()234(),(),(),,()n n n d y d y d y d y f x f x f x f x dx dx dx dx′′′′′==== 等4、 微分()dy f x dx ′=5、 关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必.三、 导数与微分1、 曲线的切线与法线方程：00()y y k x x −=−，0()k f x ′=切，01/()k f x ′=−法；2、 微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后根据定理下结论！1）Rolle 定理：()0()f a b ξξ′=<<；2）Lagrange 中值定理：()()()()()f b f a f b a a b ξξ′−=−<<；估计函数值之差3）Cauchy 中值定理：()()()()()()()f b f a f a bg b g a g ξξξ′−=<<′−；4）Taylor 中值定理：()(1)100000()()()()()()!(1)!k n nkn k f x f f x x x x x x x k n ξξ++==−+−+∑在与之间 3、 洛必达法则：00()()limlim ()()f x f x org x g x ∞∞′′，其它型未定式必须转化 4、 泰勒公式：熟悉5个常见带Peano 型余项的Maclaurin 公式5、 函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线 6、 不等式的证明：1）单调性；2）中值定理；3）凹凸性；4）最值 7、 方程根的存在性及唯一性：1）零点定理；2）Rolle 定理；3）单调性；4）极值最值等等 8、 恒等式的证明：若在区间I 上()0f x ′≡，则在区间I 上()f x C ≡2π1、 基本性质：线性，对积分区间的可加性，保号性（特别课后Ex.7：用连续性与不恒等于去等号），定积分中值定理【()()()()baf x dx f b a a b ξξ=−<<∫】，定积分的奇偶对称性、周期性.2、()()f x dx F x C =+∫与Newton-Leibniz 公式：()()bba af x dx F x =∫，（()()F x f x ′=）3、 换元法：1）第一类（凑微分法）；2）第二类：三角代换，倒代换等4、 分部积分法:1）三指动，幂不动；2）幂动，反对不动；3）凑同类所求便再现.5、 积分上限函数的导数：()()x a d f t dt f x dx =∫， ()()[()]()g x a d f t dt f g x g x dx′=⋅∫， 其中()f x 连续，()g x 可导，a 为常数，积分中的表达式()f t 必须与x 无关6、 有理函数的积分【假分式用除法化为多项式加真分式，真分式因式分解化为部分分式】以及可化为有理函数的积分【①三角函数有理式的积分：万能代换tan()2xt = ()x ππ−<<；②简单根式：线性函数或分式函数的根式讨厌要换之，开方不同最小公倍数】7、 反常积分：无穷限的反常积分或瑕积分，广义Newton－Leibniz 公式，特别注意瑕点在积分区间内部的瑕积分四、 导数的应用sin n xdx 】五、积分：不定积分，定积分，反常积分【必须牢记24个基本积分公式以及I n =∫1、 平面图形的面积：1） 直角坐标,x y ：a、 曲边梯形1{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：()baA f x dx =∫；b、 上、下型{(,)|,()()}D x y a x b g x y f x =≤≤≤≤：[()()]baA f x g x dx =−∫；c、 左、右型{(,)|,()()}D x y c y d g y x f y =≤≤≤≤：[()()]dcA f y g y dy =−∫；d、 设曲边梯形1D 的曲边由参数方程：(),()x x t y y t ==给出，则()()()b aA f x dx y t x t dt βα′==⋅∫∫【先代公式后换元】2） 极坐标,ρθ（极坐标变换cos ,sin x y ρθρθ==）： 设曲边扇形{(,)|,0()}D ρθαθβρρθ=≤≤≤≤，则21()2A d βαρθθ=∫ 2、 体积：CaseA、旋转体的体积：1） X－型或上下型{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：I、绕x 轴 2()bx aV f x dx π=∫；II、绕y 轴 2()(0)by aV xf x dx a π=≥∫2） Y－型或左右型{(,)|,0()}D x y c y d x g y =≤≤≤≤： I、绕y 轴 2()dy cV g y dy π=∫；II、绕x 轴 2()(0)dx cV yg y dy c π=≥∫CaseB、平行截面面积为已知的立体{(,,)|,(,)}x x y z a x b y z D Ω=≤≤∈，若()x AreaD A x =，则()baV A x dx =∫3、 弧长：由不同方程，代不同公式 1)():()()x x t C t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩，()s βααβ=<∫；2）:(),C y f x a x b =≤≤，()as a b =<∫；3）:(),C ρρθαθβ=≤≤，()s βαθαβ=<∫六、 定积分的应用【有公式代就代公式，否则用元素法】 （一） 一阶微分方程：(,,)0F x y y ′=，(,)y f x y ′=或(.)(,)0M x y dx N x y dy +=1、 可分离变量：()()f x dx g y dy =，积分之可得通解2、 齐次：()dy ydx xϕ=，令y u x =，可将原方程化为关于,x u 的可分离变量3、 线性：()()dyP x y Q x dx+=，通解为()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx C −∫∫=+∫；或利用常数变易法或利用积分因之法：()()P x dxx e µ∫=4、 伯努利：()()(0,1)n dyP x y Q x y n dx+=≠，令1n z y −=，可将原方程化为关于,x z 的线性． （二） 可降阶的高阶微分方程： I 、()()n yf x =【右端只含x 】：连续积分之；II 、(,)y f x y ′′′=【不显含y 】：令,y p ′=则dpy dx′′=，可将原方程化为关于,x p 的一阶． III 、(,)y f y y ′′′=【不显含x 】：令y p ′=，则dpy p dy′′=，可将原方程化为关于,y p 的一阶 （三） 概念与理论1、 概念：阶，解（特解，通解），初始条件，初值问题，积分曲线2、 线性微分方程的解的结构：1）齐次：()()0y P x y Q x y ′′′++=，通解：1122()()y C y x C y x =+，其中12(),()y x y x 为该方程线性无关的两个解． 2）非齐次：()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 通解：()*()y Y x y x =+，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解． 3）设12*(),*()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 与2()()()y P x y Q x y f x ′′′++=的特解，则12**()*()y y x y x =+为12()()()()y P x y Q x y f x f x ′′′++=＋的特解．七、 微分方程附录I——基本求导公式：1221(1)()0(2)();(3)();(4)(ln ||);1(5)()ln ;(6)(log );(01)ln (7)(sin )cos ;(8)(cos )sin ;(9)(tan )sec ;(10)(cot )csc ;(11)(sec )sec tan ;(12)x x x x a C C x x e e x xa a a x a a x ax x x x x x x x x x x αααα−′′′′====′′==>≠′′′′==−==−′=，为常数；，为常数常数且(csc )csc cot ;(13)(arcsin )(14)(arccos )(17)(sh )ch ;(18)(ch )sh .x x x x x x x x x ′′=−=′=′′==附录II——基本积分公式：122(1)1(2)1;(3)ln ||;1(4);(5)01;ln (6)sin cos ;(7)cos sin ;(8)sec tan ;(9)csc cot ;(10)sec tan sec x x x xkdx kx C k x x dx C dx x C x a e dx e C a dx C a a a xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C αααα+=+=+≠−=++=+=+>≠=−+=+=+=−+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫，为常数；，常数，常数且;(11)csccot csc;(12)tan ln |cos |;(13)cot ln |sin |;(14)sec ln |sec tan |;(15)csc ln |csc cot |;(16);(18)x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C C =−+=−+=+=++=−+∫∫∫∫∫2200;(20)(21)ln(;(22)ln ||;(23)sh ch ;(24)ch sh .1331,2422sin cos n n n C x C x C xdx x C xdx x C n n n nI xdx xdx πππ=+=++=+=+−−⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎞−===⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫ 1342,253n n n n n n ⎧⎪⎪⎨−−⎪⋅⋅⋅⋅⎪−⎩ 为正偶数；为大于1的正奇数.。
高等数学上册复习要点及解题技巧
高等数学上册复习要点及解题技巧第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）高数解题技巧高数解题的四种思维定势●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。
●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。
●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。
●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
线性代数解题的八种思维定势●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。
●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。
●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。
●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。
高等数学上册习题讲解
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy dx
dt dx
3a sin 3a cos 2
2
t
t cos t ( sin t
)
tan t
dt
d2y dx 2
d (dy ) dx dx
d (tan t) dx
d ( tan t) dt
dt
dx
d
( tan dt
t)
1 dx
sec2 t 3a cos2 t sin t
高等数学期末辅导
三、导数与微分
• 计算、应用、证明 • 导数定义（分段点可导性讨论，计算） • 复合函数求导，隐函数求导，参数方程
确定函数求导 • 导数几何意义（切线法线计算） • 单调区间，凹凸区间，求最大最小值 • 证明
高等数学期末辅导
例1. 设 存在, 且
求
解: 因为
1 lim f (1 (x)) f (1)
f (x0 )
lim
x x0
f
x
lim f x x0
x
f
(x0 ) 0
lim y x0
0
(2) 函数f (x)在点x0处极限存在的充要条件 是
函数f (x)在点x0处的左右极限存在且相 等
lim f x A
x x0
f x0 0 A且f x0 0 A
x
3x 5
26 x 1
lim 1 x
2 3x
3x5
2 5
3x5
e4
(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳
高等数学（上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。
（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。
（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系： 连续，反之不然。
高等数学解题指导：线性方程组的解法
第三章 线性方程组的解法一、基本内容提要1. 高斯消元法高斯消去法（Gauss Elimination Method ）是一种规则化的加减消元法。
基本思想是通过逐次消元计算把需要求解的线性方程组转化为上三角形方程组，即把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价(同解)的上三角形方程组的求解。
2. 高斯消元法的消元过程求解n 元线性方程组的Gauss 消元法的一般步骤，将方程组设为如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++)1()1(2)1(21)1(1)1(2)1(22)1(221)1(21)1(1)1(12)1(121)1(11 nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 可简记为)1()1(b x A=，其中b b A A ==)1()1(,。
第一步：设,0)1(11≠a 记),3,2(/)1(11)1(11n i a a l i i ==，将上式中第i 个方程减去第1个方程乘以),3,2(1n i l i =，完成第一次消元，得其同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+++)2()2(2)2(2)2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a 其中),,3,2,(,)1(11)1()2()1(11)1()2(n j i b l b b a l a a i i ij i ij ij =-=-=。
此方程组简记为)2()2(b x A =。
第二步：设,0)2(22≠a ，记),,3(/)2(22)2(22n i a a l i i ==。
将上式中第i 个方程减去第2个方程乘以),,3,2(2n i l i =，完成第二次消元。
第1-k 步：设1-k 次消元完成后得原方程组的同解方程组为)()()()()()()1(2)2(2)2(22)2(22)1(1)1(1)1(12)1(121)1(11⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++++=+++++k n n k nn k k nk k kn k kn k k kk n n k k n n k k b x a x a b x a x a b x a x a x a b x a x a x a x a 简记为)()(k k b x A=。
高等数学(上)复习要点
高等数学（上）复习要点（2019-2020第一学期）二、主要知识点第一章函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的概念。
数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限和右极限，无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和两边夹定理），两个重要极限。
函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
考试要求：1.理解函数的概念，掌握函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
2.掌握数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
3.掌握极限存在的两边夹定理，极限的四则运算法则，利用两个重要极限求极限的方法。
4.理解无穷小量的概念和基本性质，无穷小量的比较方法，无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
5.掌握函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
6.理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、零点定理，介值定理)，并会应用这些性质。
第二章导数与微分考试内容：导数和微分的概念，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线与法线，导数和微分的四则运算，基本初等函数的导数，复合函数、隐函数和参数方程确定的函数的导数，高阶导数，一阶微分形式的不变性。
考试要求：1．掌握导数的概念，理解可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义会求平面曲线的切线方程和法线方程。
2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求参数方程确定的函数与隐函数的导数。
3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4．了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
第三章微分中值定理与导数应用考试内容：微分中值定理，洛必达法则，函数单调性的判别，函数的极值，函数图形的凹凸性、拐点，渐近线，函数图形的描绘，函数的最大值与最小值。
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北航《高等数学（上）》在线作业解题指导1.（判断）若直线y=3x+b 为曲线 y=x 2+5x+4的切线,则b=3 。
（√） 考核知识点：导数的几何意义 第三章第一节 教材100页。
2.（判断）若偶函数f(x)在x=0处的导数存在,则f'(0)的值=0。
（√）考核知识点：导数的定义 教材96页。
函数的奇偶性，教材15页。
第一章第三节3. (判断) 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 dx=99,函数增量dy=ln100。
（×） 考核知识点：微分的概念及计算 第三章第四节 教材128页。
4.（判断）32331y x x x =+++,求x=2时的二阶导数: '2961y x x =++ , y'|x=2=49, y"=(y')'=(49)'=0。
（×） 考核知识点：导数的概念及计算 第三章第二节 教材102页。
5. （判断）若对开区间(a,b)中任意x,都有f'(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数。
（√） 考核知识点：导数的概念函数的连续性与可导的关系。
第三章第二节 教材104页。
6. （判断）可导的偶函数的导数为非奇非偶函数.（×）考核知识点：导数的概念，函数的奇偶性与可导的关系。
第三章第一节 教材94页。
7. （判断）函数y=6x-5+e-sin(ex)的一个原函数是6x-ecos(ex)。
（×） 考核知识点：函数的原函数的求解方法 第五章第一节 教材199页。
8. （判断）所有初等函数及其复合得到的函数的原函数也是初等函数。
（×） 考核知识点：初等函数的定义 第一章第五节 教材23页。
9.（判断）函数y=cosx 当x 趋于零是无穷小量。
（×）考核知识点：无穷小量的概念 第二章第五节 教材67页。
10（判断）设y=f(x)在区间[0,2008]上y ′存在且恒大于0，则在区间[0,2008]上y 是增函数。
（√） 考核知识点：导数和函数增减性的关系（函数的单调性）第四章第四节 教材161页。
11.（判断）在区间[0,1]上，函数y=x+tanx 的导数恒大于0，所以是区间[0,1]上的增函数，从而最大值为1+tan1.（√）考核知识点：导数和函数增减性的关系（函数的单调性） 第四章第四节 教材161页。
12.（判断）设y=f(x)在区间[0,2008]上是增函数，则在区间[0,2008]上y ′存在且大于0。
（×） 考核知识点：导数的应用（函数的单调性）第四章第四节 教材162页。
13.（判断）所有初等函数及其复合而得到的函数都是连续函数。
（×） 考核知识点：初等函数的性质 第一章第五节 教材24页。
14.（判断）初等函数在其定义域上都是可导的连续函数。
（×）考核知识点：初等函数的性质 教材24页。
可导和连续的关系 第三章第一节 教材94页。
15.（判断）函数y=cos2x 的4n 阶导数为cos2x 。
（×）考核知识点：高阶导数的求法和复合函数导数的求法 第三章第三节 教材117页。
16.（判断）对函数y=2008+x-sinx 求导可得y ′=1-cosx 。
（×） 考核知识点：导数的求法 第三章第二节 教材104页。
17.（判断）设{Xn}是无穷大量，{Yn}是有界数列，则{XnYn}是无穷大量。
（） 考核知识点：无穷大量和数列的关系 第二章第五节 教材68页。
18.（判断）设{Xn}是无穷小量，{Yn}是有界数列，则{XnYn}是无穷小量。
（） 考核知识点：无穷小量和数列的关系 第二章第五节 教材68页。
19.（判断）一个无穷大量和无穷小量的乘积既可能是无穷小量也可能是无穷大量。
（）考核知识点：无穷小量和无穷小量的关系第二章第五节教材68页。
20.（判断）函数y=tan2x+cosx在定义域上既不是增函数也不是减函数。
（）考核知识点：函数的单调性第四章第四节教材162页。
21.（判断）函数y=cosx+tan2x的值域是所有实数。
（）考核知识点：函数的最值问题第四章第五节教材166页。
22.（判断）y=tan2x 是一个增函数。
（）考核知识点：函数的单调性问题第四章第四节教材161页。
23.（判断）函数y=tan2x+cosx是一个非奇非偶的周期函数。
（）考核知识点：函数的奇偶性问题第一章第三节教材15页。
24.（判断）函数y=tan2x+cosx的定义域是所有实数。
（）考核知识点：函数的定义域的求解问题第一章第二节教材7页。
25.（判断）y=tan2x 既是偶函数也是周期函数。
（）考核知识点：函数的特性（奇偶性和周期性）第一章第二节教材16页。
26.（判断）函数y=sin2x既是周期函数也是奇函数。
（）考核知识点：函数的特性（奇偶性和周期性）第一章第二节教材16页。
27.（判断）y=arctanx 当x趋向于正无穷大时极限存在。
（）考核知识点：函数的极限问题第二章第一节教材34页。
28.（判断）设函数在开区间上连续,则函数在该区间上一定有最大最小值.（）考核知识点：函数的极值和最值问题第四章第五节教材166页。
29.（判断）连续函数y=cosx在闭区间[0,5]上存在最大最小值。
（）考核知识点：连续函数的极值和最值问题第四章第五节教材166页。
30.（判断）函数的高阶导数存在,则函数必定连续并且可微。
（）考核知识点：函数连续与可导的关系第三章第二节教材95页。
31.（判断）所有正实数组成的单调数列不一定有极限。
（）考核知识点：数列极限问题第二章第一节教材35页。
32.（判断）函数的可导和可微是等价的概念。
（）考核知识点：函数可导和可微的关系第三章第四节教材125页。
33.（判断）函数在一点的左右极限存在和函数的极限存在，不是函数在该点连续的充要条件。
（）考核知识点：函数极限和可导，连续的关系第三章第四节教材99页。
34.（判断）初等函数在其定义域上都存在反函数.（）考核知识点：初等函数的反函数第一章第四节教材18页。
35.（判断）y=sinx当x趋于零是无穷小量。
（）考核知识点：无穷小量的定义第二章第五节教材68页。
36.（判断）函数y=e x-2008当x趋向于无穷大时不是一个无穷大量。
（）考核知识点：无穷小量和无穷大量的定义第二章第五节教材67页。
37.（判断）。
（）考核知识点：定积分的计算 第六章第五节 教材270页。
38.（判断）25cos sin x xdx π⎰，设cos t x =，则216550101cos cos 66t xd x t dt π⎡⎤-=-==⎢⎥⎣⎦⎰⎰。
（）考核知识点：定积分的计算 第二章第一节 教材280页。
39.（判断）若'()f x 存在且连续，则'[()]()df x f x =⎰。
（）考核知识点：连续函数的积分 第五章第一节 教材204页 40.（判断）广义积分1211dx x -⎰收敛。
（） 考核知识点：广义积分的判定定理 第六章第六节 教材290页。
41.（判断）若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积。
（） 考核知识点：函数可积的判定定理，第五章第一节 教材199页。
42.（判断）（）考核知识点：复合函数的不定积分的求解方法 第五章第三节 教材233页。
43.（判断）（）考核知识点：不定积分的求解方法 第五章第一节 教材199页。
44.（判断）若()F x 是()f x 的原函数，则221(1)(1)2xf x dx F x c -=--+⎰。
（） 考核知识点：复合函数原函数的求解方法，第五章第三节 教材232页。
45.（判断）如果函数()f x 在区间I 上连续，则()f x 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数()F x ，使得对任一x I ∈，有'()()F x f x =。
（）考核知识点：原函数确定方法，第五章第一节 教材200页。
46.（判断）函数可积和函数可导之间既非充分也非必要条件。
（） 考核知识点：函数可积的条件，第五章第一节 教材198页。
47.（判断）（）考核知识点：洛必达法则的应用条件，第四章第二节 ，教材144页。
48.（判断）用洛必达法则计算（）考核知识点：洛必达法则的计算，第四章第二节 ，教材144页。
49.（判断）函数32231214y x x x =+-+在[3,4]-上的最大值是34.最小值是7.（） 考核知识点：函数的最值问题，第四章第五节 ，教材167页。
50.（判断）当0x >，ln(1)1xx x x<+<+。
（） 考核知识点：拉格朗日中值定理，第四章第一节 ，教材141页。
51.（判断）函数5510x x -+=有且只有一个小于1的正实根。
（） 考核知识点：函数的单调性，及函数的零点，第一章第三节 ，教材13页。
52.（判断）如果函数()f x 满足在开区间(,)a b 内可导，在区间的端点处函数值相等，即()()f a f b =，那么在(,)a b 上至少存在一点ς（a b ς<<），使得函数()f x 在改点的导数等于零，即()0f ς=。
（） 考核知识点：导数的中值定理，第四章第一节 ，教材135页。
53.（判断）一般情况下，(),y f x dy y ==∆。
（）考核知识点：微分的定理及表达式，第三章第四节 ，教材126页。
54.（判断）一般情况下，可导函数'(),()y f x dy f x dx ==。
（）考核知识点：微分的定理及表达式，第三章第四节 ，教材126页。
55.（判断）函数连续不一定可导。
（）考核知识点：函数连续与可导的关系，第三章第一节 ，教材96页. 56.（判断）函数可导必定连续，函数可微必定可导。
（）考核知识点：函数连续与可导，可微的关系，第三章第四节 ，教材96，125页. 57.（判断）方程3x =xe 至少存在一个小于1的正根。
（） 考核知识点：方程根的范围，第二章第八节 ，教材93页58.（判断）设2sin ()sin x t xF x e tdt π+=⎰，则()F x 为正常数。
（） 考核知识点：广义积分的计算，第六章第六节 ，教材316页.59.（单选）已知y= 4x 3-5x 2+3x-2, 则x=0时的二阶导数y"= ( ) A. 0 B. 10 C. 1 D.-10考核知识点：导数的运算 第三章第二节 ，教材102页。
60.（单选）以下数列是无穷大量的是（）A 数列{}n x n =B {}cos()n y n =C {}sin()n z n =D {}tan()n w n =考核知识点：数列的定义 教材34页。