Network Simplex Method网络单纯形法.ppt
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12(2)网络单纯形算法
A;
带有费用，容量供需量的网络图
定价
行i i的供应量
j的供应量
行j
i
）的检验数。
一个人工的初始基本可行解
z 对于每个b(j)<0，增加弧（1,j ）带有
最高的费用。
z 对于每个b(j)>0，增加弧（j,1）带有
最高的费用。
从节点1到4 发送2单位流，3单位到节点3，从节点2到1发送3单位流。
有一个节点叫做根节点。
从根节点到任意其他节点有一条唯一的路径（无方向）。
从节点1到5的路径是什么？
假设非树弧流量非0。
这将会怎么影响计算？
弧(4,3)流量多大？ 提示：节点4的供应为2。
一棵有供应和需求的树。
（假定其他弧流量是0。
）
考虑到流的上限，调整供应/需求量。
与前面的方法一样计算流。
例如，弧(4,3)的流量是多少？
的最优性条件。
这是带有弧费用的生成树。
如何选择节点势，使树的每个弧的检验数是0？
注意：弧(i,j)的检验数是c ij -πi +πj 假定π1=0。
看动画演示
首先，确定节点势，这样所有树弧的检验数是０。
下限弧(6,5)正在最小值，这是一条不符合最优性条件的弧，可以进基。
弧(5,4) 正在最大值。
满足最优性条件。
为生成树增加一条非基弧，形成一个基本回路。
调整基本回路中的流量这样供应/需求约束仍然满足。
假定弧(6,5)正处于上界流量。
调整基本回路的流量使供应/需求约束仍然满足。
《单纯形方法》课件
结论：单纯形方法在资源分配问题中具有广泛的应用前景，可以帮助企业实现资源的合理分配和优化利用，提 高生产效率和市场竞争力。
定义：通过选择一组资产，使得 在给定风险水平下，期望收益最 大化
方法：利用单纯形方法求解投资 组合优化问题
添加标题
添加标题
目标：实现投资组合的收益最大 化
添加标题
添加标题
实际应用：在金融领域中，用于 管理资产组合，降低风险并提高 收益
● a. 求解线性规划问题的有效方法 ● b. 广泛应用于经济、管理、工程等领域 ● c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法的应用前景： a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 b. 在人 工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 c. 在未来，单纯形方法将不断 优化，提高求解速度和精度
● a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 ● b. 在人工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 ● c. 在未来，单纯形方法将不断优化，提高求解速度和精度
单纯形方法在算法改进方面 的潜力
单纯形方法在优化领域的应 用前景
单纯形方法在实际问题中的 应用挑战
未来研究方向和可能的突破 点
汇报人：PPT
计算复杂度：对于大 规模问题，单纯形方 法的计算复杂度较高 ，可能需要较长的计 算时间。
单纯形方法在解决复杂问 题时的局限性
未来发展方向：与其他优 化算法的结合与改进
面临的挑战：提高算法的 稳定性和效率
未来展望：拓展应用领域， 推动相关领域的发展
单纯形方法的重要性： a. 求解线性规划问题的有效方法 b. 广泛应用于经济、 管理、工程等领域 c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法在资源分配问题中的应用：单纯形方法是一种线性规划方法，可以用于解决资源分配问题。通过构建和 求解线性规划模型，单纯形方法可以找到最优的资源分配方案，使得资源利用效率最高或满足特定的目标函数。
定义：通过选择一组资产，使得 在给定风险水平下，期望收益最 大化
方法：利用单纯形方法求解投资 组合优化问题
添加标题
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目标：实现投资组合的收益最大 化
添加标题
添加标题
实际应用：在金融领域中，用于 管理资产组合，降低风险并提高 收益
● a. 求解线性规划问题的有效方法 ● b. 广泛应用于经济、管理、工程等领域 ● c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法的应用前景： a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 b. 在人 工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 c. 在未来，单纯形方法将不断 优化，提高求解速度和精度
● a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 ● b. 在人工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 ● c. 在未来，单纯形方法将不断优化，提高求解速度和精度
单纯形方法在算法改进方面 的潜力
单纯形方法在优化领域的应 用前景
单纯形方法在实际问题中的 应用挑战
未来研究方向和可能的突破 点
汇报人：PPT
计算复杂度：对于大 规模问题，单纯形方 法的计算复杂度较高 ，可能需要较长的计 算时间。
单纯形方法在解决复杂问 题时的局限性
未来发展方向：与其他优 化算法的结合与改进
面临的挑战：提高算法的 稳定性和效率
未来展望：拓展应用领域， 推动相关领域的发展
单纯形方法的重要性： a. 求解线性规划问题的有效方法 b. 广泛应用于经济、 管理、工程等领域 c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法在资源分配问题中的应用：单纯形方法是一种线性规划方法，可以用于解决资源分配问题。通过构建和 求解线性规划模型，单纯形方法可以找到最优的资源分配方案，使得资源利用效率最高或满足特定的目标函数。
12网络单纯形法演示
注意：（i,j）的检 验数是：
cij-πi+πj
具有弧费用的生 成树。如何选择节 点势使树的检验 数为 0？
注意：（i,j）的检 验数是：
cij-πi+πj
计算生成树的单纯形乘子
计算生成树的单纯形乘子
在最小费用流问题 中有一个多余的约 束。
可以自主确定π１， 令π１＝０。
节点２的单纯形乘 子是什么？
弧 (2,6) 流 量 多大？
弧 (7,1) 的 流 量多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
弧 (1,2) 流 量 多大？
注意：有两种 方法计算弧 (1,2) 的 流 量 ， 结果都是 4。这 是不是巧合？
计算生成树的单纯形乘子
计算生成树的单形乘子
具有弧费用的生 成树。如何选择节 点势使树的检验 数为 0？
15.053
网络单纯形法演示
计算一棵生成树流
一棵有供应和 需求的树。（假 定其他弧流量 是 0）。
弧 (4,3) 的 流 量 多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
要计算流量， 重复观察树， 找出流量是 唯一确定的 弧。
弧(5,3)流量多 大？
弧 (3,2) 的 流 量多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
将一条违背弧加入到生成树中构成回路
沿回路发送流量
将(2,1)加入树中。
回路是 什么？ 可以发 送多少 流量？
沿回路发送 2 单位流量。
下一棵 生成树 是什 么？
经过一轮迭代后
更新乘子
更新的生成树
在迭代中， 加入 T 中 一条弧，从 T 中去掉 一条弧。
当前乘子与检验数
如何使 c*=0 且 其他树 弧检验 数为 0？
cij-πi+πj
具有弧费用的生 成树。如何选择节 点势使树的检验 数为 0？
注意：（i,j）的检 验数是：
cij-πi+πj
计算生成树的单纯形乘子
计算生成树的单纯形乘子
在最小费用流问题 中有一个多余的约 束。
可以自主确定π１， 令π１＝０。
节点２的单纯形乘 子是什么？
弧 (2,6) 流 量 多大？
弧 (7,1) 的 流 量多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
弧 (1,2) 流 量 多大？
注意：有两种 方法计算弧 (1,2) 的 流 量 ， 结果都是 4。这 是不是巧合？
计算生成树的单纯形乘子
计算生成树的单形乘子
具有弧费用的生 成树。如何选择节 点势使树的检验 数为 0？
15.053
网络单纯形法演示
计算一棵生成树流
一棵有供应和 需求的树。（假 定其他弧流量 是 0）。
弧 (4,3) 的 流 量 多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
要计算流量， 重复观察树， 找出流量是 唯一确定的 弧。
弧(5,3)流量多 大？
弧 (3,2) 的 流 量多大？
计算一棵生成树流
计算一棵生成树流
将一条违背弧加入到生成树中构成回路
沿回路发送流量
将(2,1)加入树中。
回路是 什么？ 可以发 送多少 流量？
沿回路发送 2 单位流量。
下一棵 生成树 是什 么？
经过一轮迭代后
更新乘子
更新的生成树
在迭代中， 加入 T 中 一条弧，从 T 中去掉 一条弧。
当前乘子与检验数
如何使 c*=0 且 其他树 弧检验 数为 0？
Network Simplex Method网络单纯形法-精选文档54页
52
Optimality
• If no arc like ki exists, then your prices can not be undercut
– A competitor could break even at best
Algebraic Description (Step 1)
• Each step begins with a feasible tree solution x defined by a tree T.
• Requirements
– The amount entering a node minus the amount leaving it is equal to its demand
– The amount shipped over any arc is nonnegative
Example
-5 1
3 1
0
12
1 43
33 0
0
2 5 -2
LP Formulation
• Let c be a row vector and x a column vector indexed by the set of arcs
– cij is the cost of shipping over ij – xij is the amount to ship over ij
– You want to ship as much as possible – You must also adjust the rest of your
schedule to conform with demand
Example
01
4 5
3
52
Optimality
• If no arc like ki exists, then your prices can not be undercut
– A competitor could break even at best
Algebraic Description (Step 1)
• Each step begins with a feasible tree solution x defined by a tree T.
• Requirements
– The amount entering a node minus the amount leaving it is equal to its demand
– The amount shipped over any arc is nonnegative
Example
-5 1
3 1
0
12
1 43
33 0
0
2 5 -2
LP Formulation
• Let c be a row vector and x a column vector indexed by the set of arcs
– cij is the cost of shipping over ij – xij is the amount to ship over ij
– You want to ship as much as possible – You must also adjust the rest of your
schedule to conform with demand
Example
01
4 5
3
52
网络单纯形算法
5
基本流
基本结构包含生成树 T,弧的集合L,弧集U, T ∪L ∪U = A. 对每个 (i,j) ∈ L, xij= 0. 对每个 (i,j)∈U, xij= uij. 选择在T中的弧流,以便每个结点满足它的供应/需求约 束. 如果流也满足上下界限制,基本结构也是可行的. 基本结构也可能不可行. 实际上,这就是对偶单纯形算法 的正常情况下.
看动画.
10
另一种替换计算单纯形乘子的方法
令πi 是在T中从结点i到结点1 (根结点)的路径的代价. 如果 (j,k) 反向的,那么使用代 价-cjk. 什么是结点4的单纯形乘子? 什么是结点6的单纯形乘子?
11
最优化条件(又一次)
生成树解的最优化条件: 以下条件是最小代价流问题的最优解的条件,对于对 偶问题,π是最佳的. 1. 基本流 x 是可行的 2. π 是单纯形乘子向量 3. For 每个非树弧(i,j) a. 如果 cπij> 0, 那么 xij= 0 b. 如果cπij< 0, 那么 xij= uij 如果弧(5,6)满足最优条件, 在弧(5,6)上的流是什么?
16
生成树,部分生成树解
结点1是根结点. 树从 根结点"悬挂".
17
结点深度和前驱
,其他
18
线
在进行深度优先搜索 的时候,获得线. 在深度优先搜索中, 每个结点指向下一个 结点.
19
寻找圈
procedure IDENTIFY CYCLE; begin 设置 i : = k 且 j : = l; while i ≠j do begin
在单纯形方法中,我们如何避免成圈?(或者说如果环绕 圈发送的流总数是0,我们做什么?) 单纯形方法的最坏情况性能是什么? 在实践中,加速性能的好的启发式方法是什么?
最优化方法之单纯形法PPT课件
3 5
4 2
1 0
0 1
9 8
x3 9 3x1 0 x4 8 5x1 0
x1 3
x1 1.6
第5页/共76页
x1取min3,1.6 1.6,
即x4 0 x4出基
得到新基
3 5
1
0
• 迭代（求新的基本可行解）
3 4 1 0 9
5
2
0
1
8
主元素
3 4 1 0 9
1
25 0
s.t 3x1 4x2 x3 9
5x1 2x2 x4 8
x1, x2 , x3 , x4 0
• 找初始基可行解
系数的增广矩阵
取初始可行基为B1
1
0
0 1
3 4 1 0 9
A
5
2
0
1
8
得基可行解 X (0) (0 0 9 8)T
目标函数值 z(0) 0
• 判断是否最优解?能否找到另一个基可行解使目标函数 值下降?
x3
3 14
x4
3 2
x1
-
1 7
x3
2 7 x4 1
x2
3 2
5 14
x3
3 14
x4
x1
1
1 7
x3
-
2
7
x4
代入目标函数：
z
17.5
5 14
x3
25 14
x4
最优解： X * (1 1.5 0 0)T z* 17.5
第10页/共76页
X (0) (0 0 9 8)T z(0) 0
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
zj cj cBB1Pj cj
第五章 单纯形法ppt课件
➢ x2+x5＝250
→ 0＝250？
➢ 显然不能得到相应的解。
编辑版pppt
9
一、问题的提出
➢ 为什么令x2＝0，x5＝0时不能得到解？ ➢ 因为其余三个变量的系数列向量为
110
201
000
➢ 该矩阵是非可逆矩阵，即去掉x2和x5后的三个约束 方程线性相关，这种情况下得不到解。
编辑版pppt
10
编辑版pppt
24
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 3、那有没有办法在求出解之前保证我 们取得的基为可行基？
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
编辑版pppt
25
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
❖ 我们首先将最优解缩小在一个有限的❖ 回顾图解法，我们知道：最优解必定在可行域的顶 点上取得，而顶点的个数总是有限的。
❖ 多维线性规划问题的可行域也存在有限个顶点。
❖ 如果能够从一个顶点开始，通过某种方式向更优顶 点转移，总会找到最优点。
❖ 首先面临的问题： ❖ 如何通过代数方法找到第一个顶点？
存在3阶单位阵
编辑版pppt （初始可行基）
26
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 基本可行解为（0，0，300，400，250） ➢ 此可行基称为初始可行基。 ➢ 对应的解称为初始基本可行解。
➢ 初始基本可行解在上页矩阵中一目了然。
编辑版pppt
27
二、单纯形法的基本思路和原理 ➢第二步：最优性检验
不存在 (200,0,100,0,50) (300,0,0,-200,-50) (0,250,50,150,0) (0,400,-100,0,150) (0,300,0,100,-50)
Network Simplex Method网络单纯形法共54页文档
• If no such arc exists then c’ ≥ 0 and so c’x’ ≥ 0.
• Hence equation (1) implies cx’ ≥ cx for every feasible solution x’, and so x’ is optimal.
• If we find such an arc e, we it to the tree T.
Transshipment Problem
• Find the cheapest way to ship prescribed amounts of a commodity from specified origins to specified destinations through a transportation network
2 0
3
9
2
2
0
2
A
x
12 14 23 24 34
2
y
0 1 10 7
1 1 1 0 0 0
2
1
0
1 1
0
3 0 0 1 0 1
4
0
1
0
1
1
3 2 0 0
c 1 7 9 3 5
3 2
b
5
0
2
• What price should you sell the commodity for at each node?
– Assume that you ship according to x
Price Setting
• You want to set the price yi at node i
• Hence equation (1) implies cx’ ≥ cx for every feasible solution x’, and so x’ is optimal.
• If we find such an arc e, we it to the tree T.
Transshipment Problem
• Find the cheapest way to ship prescribed amounts of a commodity from specified origins to specified destinations through a transportation network
2 0
3
9
2
2
0
2
A
x
12 14 23 24 34
2
y
0 1 10 7
1 1 1 0 0 0
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c 1 7 9 3 5
3 2
b
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2
• What price should you sell the commodity for at each node?
– Assume that you ship according to x
Price Setting
• You want to set the price yi at node i
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– The sum of all the demands is zero
• Each arc has a cost to ship a unit of commodity over it
43
33 1
9
5 5 -2
Schedule
• A schedule describes how much of the commodity is shipped over each arc
Network Simplex Method
Fatme Elmoukaddem Jignesh Patel Martin Porcelli
Outline
• Definitions • Economic Interpretation • Algebraic Explanation • Initialization • Termination
• What price should you sell the commodity for at each node?
– Assume that you ship according to x
Price Setting
• You want to set the price yi at node i
x 35
x 54
b 5133 2
LP Formulation
minimize cx cij xij subject to
ij
ij
xij 0
i
x ji xij bi
ji
ij
bi 0
i
LP Formulation (2)
• Let A be the matrix indexed by the set of nodes x the set of arcs
• Let b be a column vector indexed by the set of nodes
– bi is the demand at i
Example
-5 1
4 5
3
12
7
43
33 1
9
5 5 -2
c 54739 1 5
x 12
x 13
x
x x
14 23
x 25
Network
• A network is a collection of nodes connected by arcs
• Each node has a demand for the commodity
– Nodes that are sources of the commodity have a negative demand
1 1 1 1 0 0 0 0
2
1
0
0 1 1 0
0
3 0 1 0 1 0 1 0
4
0
0
1
0
0
0
1
5 0 0 0 0 1 1 1
LP Formulation (2)
minimize cx subject to
ij xij 0
Ax b
bi 0
i
Tree Solution
• A spanning tree of a network is a network containing every node and enough arcs such that the undirected graph it induces is a tree
• Has a nice economic interpretation
Economic Interpretation
• Given a spanning tree T and an associated feasible tree solution x
• Imagine you are the only company that produces the commodity
• A feasible tree solution x associated with a spanning tree T is a feasible solution with
– xij = 0 if ij is not an arc of T
Network Simplex Method
• Search through feasible tree solutions to find the optimal solution
– Ai,jk is either
• -1 if i=j • 1 if i=k • 0 otherwise
• A is known as the incidence matrix of the network
Example
-5 1
4 5
3
12
7
43
33 1
9
5 5 -2
12 13 14 23 25 35 54
– For all ji in T, yi = yj + cji – If the price was lower then you would lose
money – If the price was higher then a competitor could
3 1
0
12
1 43
33 0
0
2 5 -2
LP Formulation
• Let c be a row vector and x a column vector indexed by the set of arcs
– cij is the cost of shipping over ij – xij is the amount to ship over ij
• Requirements
– The amount entering a node minus the amount leaving it is equal to its demand
– The amount shipped over any arc is nonnegative
Example
-5 1
Transshipment Problem
• Find the cheapest way to ship prescribed amounts of a commodity from specified origins to specified destinations through a transportation network
• Each arc has a cost to ship a unit of commodity over it
43
33 1
9
5 5 -2
Schedule
• A schedule describes how much of the commodity is shipped over each arc
Network Simplex Method
Fatme Elmoukaddem Jignesh Patel Martin Porcelli
Outline
• Definitions • Economic Interpretation • Algebraic Explanation • Initialization • Termination
• What price should you sell the commodity for at each node?
– Assume that you ship according to x
Price Setting
• You want to set the price yi at node i
x 35
x 54
b 5133 2
LP Formulation
minimize cx cij xij subject to
ij
ij
xij 0
i
x ji xij bi
ji
ij
bi 0
i
LP Formulation (2)
• Let A be the matrix indexed by the set of nodes x the set of arcs
• Let b be a column vector indexed by the set of nodes
– bi is the demand at i
Example
-5 1
4 5
3
12
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33 1
9
5 5 -2
c 54739 1 5
x 12
x 13
x
x x
14 23
x 25
Network
• A network is a collection of nodes connected by arcs
• Each node has a demand for the commodity
– Nodes that are sources of the commodity have a negative demand
1 1 1 1 0 0 0 0
2
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0 1 1 0
0
3 0 1 0 1 0 1 0
4
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0
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5 0 0 0 0 1 1 1
LP Formulation (2)
minimize cx subject to
ij xij 0
Ax b
bi 0
i
Tree Solution
• A spanning tree of a network is a network containing every node and enough arcs such that the undirected graph it induces is a tree
• Has a nice economic interpretation
Economic Interpretation
• Given a spanning tree T and an associated feasible tree solution x
• Imagine you are the only company that produces the commodity
• A feasible tree solution x associated with a spanning tree T is a feasible solution with
– xij = 0 if ij is not an arc of T
Network Simplex Method
• Search through feasible tree solutions to find the optimal solution
– Ai,jk is either
• -1 if i=j • 1 if i=k • 0 otherwise
• A is known as the incidence matrix of the network
Example
-5 1
4 5
3
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9
5 5 -2
12 13 14 23 25 35 54
– For all ji in T, yi = yj + cji – If the price was lower then you would lose
money – If the price was higher then a competitor could
3 1
0
12
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33 0
0
2 5 -2
LP Formulation
• Let c be a row vector and x a column vector indexed by the set of arcs
– cij is the cost of shipping over ij – xij is the amount to ship over ij
• Requirements
– The amount entering a node minus the amount leaving it is equal to its demand
– The amount shipped over any arc is nonnegative
Example
-5 1
Transshipment Problem
• Find the cheapest way to ship prescribed amounts of a commodity from specified origins to specified destinations through a transportation network