山东省潍坊市2017-2018学年高二数学上学期期中试题

2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.a ，R b ∈，下列命题正确的是（ ） A ．若b a >，则22b a > B ．若b a >，则22b a > C ．若b a >，则22b a > D ．若b a ≠，则22b a >2.点（3,1）和点（-4,6）在直线023=+-a y x 两侧，则a 的范围是（ ）A ．7-<a 或24>aB ．247<<-aC ．7-=a 或24=aD ．724<<-a 3.在等差数列{}n a 中，01=a ，公差0≠d ，若921a a a a m +++= ，则m 的值为（ ） A ．37B ．38C ．19D ．364.《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆周上，AB CD ⊥于点C ，设a AC =，b BC =，直接通过比较线段OD 与线段CD 的长度可以完成的“无字证明”为（ ）A ．)0,0(>>>>++m a b abm a m b B ．)0,0)((2222>>+≥+b a b a b a C.)0,0(2>>≤+b a ab b a abD ．)0,0(2>>≥+b a ab ba 5.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ，b ，c 成等比数列，且a c 2=，则=B cos （ ）A ．41 B ．43 C.42 D ．32 6.若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3002x y x y x ，则y x z 2-=的最小值为（ ）A ．-7B ．-3 C.1 D ．97.已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为22，则1172a a +的最小值为（ ） A ．1B ．8C.22D ．48.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若6)(22+-=b a c ，3π=C ，则ABC∆的面积为（ ） A ．3B ．239 C.233 D ．339.若关于x 的不等式0242>---a x x 在区间（1,4）内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2-<aB ．2->aC.6->a D ．6-<a10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 表示ABC ∆的面积，若C c A b B a sin cos cos =+，)(41222a cb S -+=，则B ∠=（ ） A ．︒90 B ．︒60 C.︒45 D ．︒3011.定义np p p n+++ 21为n 个正数1p ，2p ，···n p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121+n ，又41+=n n a b ，则=++201620153221111b b b b b b （ ） A ．20142013B ．20152014C.20162015D ．2015112.已知0>>b a ，则ba b a a -+++14的最小值为（ ） A ．2103 B ．4 C.32D ．23第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2=b ，1=c ，︒=45B ,则角C 的值是 ．14.已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且11=a ，7321=++a a a ，则=10S ．（填数值）15.对于使M x f ≤)(成立的所以常数M 中，我们把M 的最小值叫做)(x f 的上确界，若正数a ，R b ∈且1=+b a ，则ba 221--的上确界为 ． 16.给出下列命题：①ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a >，则B A cos cos <； ②a ，R b ∈，若b a >，则33b a >； ③若b a <，则xa xb a b ++<； ④设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112016=-S S ，则12017>S . 其中正确命名的序号是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知a ，b ，c 分别是ABC ∆中角A ，B ，C 的对边，且C b B c cos 3sin =. （1）求角C 的大小；（2）若3=c ，B A sin 2sin =，求ABC ∆的面积ABC S ∆. 18. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=a ，606=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足)(1++∈=-N n a b b n n n 且31=b ，且数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和n T . 19. 已知函数)(1)(2R a ax ax x f ∈--=.（1）若对任意实数x ，0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式32)(-<x x f .20. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0)cos(3sin =++C A a A b . （1）求角B 的大小；（2）若1=+c a ，求边b 的取值范围.21. 某科研小组研究发现：一棵水果树的产量 w (单位:百千克)与肥料费用(单位:百元)满足如下关系: ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+=)52(134)20(121)(2x xx x x ω.此外，还需要投入其它成本(如施肥的人工费等)x 2百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为)(x L （单位：百元）. （1）求)(x L 的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点),(n S n 在函数x x x f 42)(2+=图像上；（1）证明{}n a 是等差数列；（2）若函数x x g -=2)(，数列{}n b 满足)(n g b n =，记n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 前n 项和n T ； （3）是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，14)(2+-+=n a x x x f n对任意+∈N n 恒成立？若存在，求出最大的实数λ，若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:BBADB 6-10: ABCAC 11、12：CD 二、填空题13.︒30 14.1023 15.29- 16.①②④ 三、解答题17.解析：（1）由C b B c cos 3sin =及正弦定理CcB b sin sin =， 得C C cos 3sin =，所以3tan =C ，又π<<C 0，故3π=C .（2）由B A sin 2sin =及BbA a sin sin =，得b a 2=. 由3=c 及余弦定理C ab b a c cos 2222-+=， 得ab b a -+=229.所以32=a ，3=b . 故2332333221sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC . 18. 解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，93=a ，606=S ，⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+∴6025669211d a d a ， 解得⎩⎨⎧==∴251d a ，322)1(5+=⨯-+=∴n n a n （2）321+==-+n a b b n n n ，31=b ，当2≥n 时，1121)()(b b b b b b n n n +-++-=-[][][]33123)2(23)1(2++⨯+++-++-= n nn n n n n 232)1(22+=+-⨯= 当1=n 时，31=b 适合上式，所以n n b n 22+=.)211(21)2(11+-=+=n n n n b n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21111115131412131121n n n n T n )2(21)1(2143211121121+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=n n n n 19. （1）当0=a 时，01)(<-=x f 恒成立；当0≠a 时，要使对任意实数x ，0)(<x f 恒成立，需满足⎩⎨⎧<---=∆<0)1(4)(02a a a ， 解得04<<-a ，故实数a 的取值范围为04≤<-a . （2）由不等式32)(-<x x f 得02)2(2<++-x a ax ， 即0)1)(2(<--x ax .方程0)1)(2(=--x ax 的两根是11=x ，)0(22>=a ax . ①当0<a 时，02<a 02<a ，不等式的解为ax 2<或1>x ； ②当0=a 时，不等式的解为1>x ； ③当20<<a 时，a 21<不等式的解为ax 21<<； ④当2=a 时，a21=，不等式无解； ⑤当2>a 时，a 21>，不等式的解为12<<x a. 20. （1）由已知得：0cos 3sin =-B a A b ，由正弦定理，得0cos sin 3sin sin =-B A B A ，0sin ≠A ，则0cos 3sin =-B B ，即3tan =B ，又),(πo B ∈，则3π=B . （2）1=+c a ，即a c -=1，21cos =B ，∴由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，即 )1(313)(2222a a ac c a ac c a b --=-+=-+=41)21(32+-=a ，由10<<a ，得1412<≤b ，121<≤b .21. 解析：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+-≤≤-+=--=)52(314864)20(31682)(16)(2x x x x x x x x x w x L （2）当20≤≤x 时42)2()(max ==L x L当52≤<x 时43)1(3148267)1(31867)(=+++-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=x x x x x L 当且仅当)1(3148+=+x x 时，即3=x 时等号成立. 答：当投入肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润为4300元. 22. 解析：（1）由题意，n n S n 422+=，当1=n 时，611==S a ， 2≥n 时，[])1(4)1(2)42(221-+--+=-=-n n n n S S a n n n ，当1=n 时，62411=+==S a ，也适合上式∴数列{}n a 的通项公式为24+=n a n ，*∈N n ；{}n a 是等差数列.（2） 函数x x g -=2)(， ∴数列{}n b 满足n n n g b -==2)(，又n n n b a c ⋅= ，n n n T ----⨯+++⨯+⨯+⨯=∴2)24(21421026321 ，···① )1(322)24(2)24(2102621+----⨯++⨯-++⨯+⨯=∴n n n n n T ，···② ①-②得：nn n n n n T ⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⨯+⋅++++⨯=+----21)52(52)24()222(426211321 ， 121)52(10-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=∴n n n T .（3）假设存在实数λ，使得当λ≤x 时，014)(2≤+-+-=n a x x x f n对任意+∈N n 恒成立， 即142+≤+-n a x x n任意+∈N n 恒成立， 24+=n a n ，1241241+-=++=+=∴n n n n a c n n 是递增数列， 所以只要124c x x ≤+-，即0342≥+-x x ，解得1≤x 或3≥x .所以存在最大的实数1=λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*∈N n 恒成立.。