自动控制理论 控制系统的数学模型2.2
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第2章 自动控制系统的数学模型
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
第2章 自动控制理论基础
C (S ) K G (S ) R( S ) S 1
如直流电机的励磁回路（回路电感L和电阻R）：当励磁电
压输入u时，其输出励磁电流i就相当于一个惯性环节。
di(t ) L Ri (t ) u (t ) dt
I (S ) 1 G (S ) U (S ) L S 1 R
Z1， Z2 ， Z m为传递函数零点； P 1，-P 2， Pn为传递函数极点
由前述讨论可知：典型二阶系统的全部性能只由两个参数：ζ、ω n所确 定，而根据闭环极点S1、S2和S平面上的位置又可确定出对应的ζ、ω n，
因此，只要闭环极点的位置确定，该系统的全部性能也就被完全确
如下述电路：
Ui(t) C
C (S ) G(S ) S R( S )
R Uo(t)
1 uo (t ) ui (t ) dt uo (t ) C R
G (S )
UO (S ) RCS U i (S ) RCS 1
相当于一个惯性环节和一个微分环节的组合，只有当RC 远远小于1时，相当于微分环节。
二
一阶系统暂态性能（第三讲）
微分方程为：
T
C (S ) K 传递函数为： G ( S ) R( S ) TS 1
C
dc(t ) c(t ) Kr (t ) dt
R(S) — R u1(t)
K C(S) TS
实例：如右图所示的电路图，微分方程 为：
2 2 1
du (t ) RC u (t ) u (t ) dt U (S ) 1 传递函数为： G (S ) U ( S ) RCS 1
开环传递函数（G0(S)）：反馈信号B(S)与误差信号E(S)之比。
02 自动控制原理—第二章
Tm J
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
自动控制原理第2章(2)
(3) 按信号流向将各框图连起来
Ur(s) + _ I1(s) 1/R1
Uc(s)
华中科技大学文华学院机电学部 自动控制理论
控制系统的结构图与信号流图
方框图等效变换 基本连接方式：串联、并联、反馈 基本连接方式：串联、并联、
1.串联方框的等效变换 1.串联方框的等效变换
R(s) C(s) G1(s) G2(s) R(s) C(s) G1(s) G2(s)
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控制系统的结构图与信号流图
例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s) 试化简如下系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)
H2(s) R(s)
_ _
G1(s)
G2(s)
_
G3(s) H3(s)
G4(s)
C(s)
H1(s)
解：①将G3(s)输出端的分支点后移得： (s)输出端的分支点后移得： 输出端的分支点后移得
x1 = xr gxc x2 = ax1 fx4 x3 = bx2 exc x4 = cx3 xc = dx4
xr x1
a x2 b -f
x3 c
-g
x4 d
-e
xc
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控制系统的结构图与信号流图
2、由系统结构图绘制信号流图 在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号， ①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框， ②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路
G(s) H(s)
R(s)
C(s) G(s) 1m G(s)H(s)
化简一般方法：移动分支点或相加点 化简一般方法： 交换相加点 合并
自动控制理论 线性系统数学模型
设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)， y
若的取A某(x一0, y平0 )衡。状A点态附为近工有作点点为，如下图中y0
y0
y0
B(x x, y y)，当 x很小时，AB段可
近似看做线性的。
0
B y f (x) A
x0 x0 x x
设f(x)在 A(x0, y0 )点连续可微，
y
则将函数在该点展开为泰勒级
G(s) = G1(s) G2(s) Gn(s)
控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流图
2、并联运算法则
因为 所以
R(s)
G1(s)
X1(s) + C(s)
G1 (s)
X1 (s) R(s)
-
G2 (s)
X 2 (s)
G
2
(s)
X2 (s) R(s)
X1(s) X2 (s) C(s)
G(s) C(s) X1 (s) X 2 (s) X1 (s) X 2 (s)
[ui (s)
u(s)]
1 R1
I1(s)
I1(s) I (s) I2(s) I(s) 1 u(s)
C1s
ui (s)
1
-
R1
I1(s)
u(s) I(s)
-
I1(s)
I2 (s)
I (s)
1 C1s
u(s)
[u(s) uo (s)]
1 R2
I 2 (s)
I 2 (s)
1 C2s
uo (s)
图3.1 RLC无源网络
解：
L
di(t) dt
Ri(t)
1 C
i(t)dt
ui(t)
自动控制原理(胡寿松)第六版-第二章-控制系统的数学模型--2
if=常数
dia La Ra ia Ea ua dt
ua
ia
Ra Ea La
M
电动机轴上机械运动方程：
d J MD ML dt
J — 负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD — 电枢电流产生的电磁转矩; ML — 合到电动机轴上的总负载转矩。 （4）列写辅助方程 Ea = ke
Ra J Tm 令机电时间常数Tm : ke k m 二阶系统 La 令电磁时间常数Ta : Ta Ra 2 Tm TaTm dML d d 1 TaTm 2 Tm ua ML dt dt ke J J dt
1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：
Ta 0
第二章 控制系统的数学模型
前言 数学模型基础
2.1 控制系统的时域数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图与信号流图
2.4 控制系统建模实例
End
前言 数学模型基础
2.2 2.3 2.4 2.5
1.定义：数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的表达式。 2.建立数学模型的目的
d nc d n1c dc d mr d m 1r dr a0 n a1 n1 an1 an c b0 m b1 m 1 bm 1 bm r dt dt dt dt dt dt
式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：
统 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合 理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
自动控制原理第二章数学模型
) （1）方程的系数 ai ( i 0 ,1 , n )、bj ( j 0,1, m为实常数。 （2）方程左端导数阶次高于方程右端。这是由于系统中含有 质量、惯性或滞后的储能元件。（n大于等于m）。 （3）方程两端各项的量纲是一致的。
相似系统——任何系统，只要他们的微分方程具有相同的形式 就是相似系统。在微分方程中占据相同位置的物 理量叫做相似量。
'
df x0 x kx ， 可得 y dx
简记为 y=kx
若非线性函数由两个自变量，如 y＝f（x1, x2）， 则在平衡点处可展成
f ( x10 , x20 ) f ( x10 , x20 ) y f ( x1 , x2 ) f ( x10 , x20 ) [ ( x1 x10 ) ( x2 x20 )] x1 x2 f ( x10 , x20 ) 1 2 f ( x10 , x20 ) 2 [ ( x x ) 2 ( x x10 )(x x20 ) 1 10 2 2! x1x2 x1 2 f ( x10 , x20 ) 2 ( x x ) ] 2 20 2 x2
dt
d 2 (t )
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§2.3 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的 非线性，如下图所示。
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§2.3 非线性微分方程的线性化
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有 诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必 非线性元件微分方程的线性化 具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或 小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直 线来代替。（分段定常系统） 一个变量的非线性函数 y=f(x) 在x0处连续可微，则可将它在该点附近用泰勒级数展开
第二章 (2.1,2.2)控制系统的微分方程、传递函数
拉氏变换的重要应用——解线性定常微分方程
求微分方程的拉氏变换，注意初值！！
求出 C ( s ) 的表达式 拉氏反变换，求得 c (t )
例1 已知系统的微分方程式，求系统的输出响应。
d 2c(t ) dc(t ) 2 2c(t ) r(t ) 2 dt dt d2 解： 在零初态下应用微分定理： 2 s 2
+
i (t )
R
–
u (t )
+
i (t )
u (t ) i (t ) R
du ( t ) 1 i (t ) dt C
di (t ) u (t ) L dt
电容
C
–
u (t )
+
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi (t )
电感
u (t )
–
L
机械系统三要素的微分方程
设系统输入量为外力，输出量为位移
d 2 x (t) m f (t) 2 dt
d uc (t ) duc (t ) LC RC uc (t ) ur (t ) 2 dt dt
2
3．机械位移系统
输入量为外力: F (t ) 输出量为位移: y (t )
dy 2 (t ) 依据牛顿定律： F m dt 2
dy (t ) d y (t ) F (t ) ky (t ) f m 2 dt dt
d 2 y (t ) dy (t ) m f ky (t ) F (t ) 2 dt dt
微分方程结构一致 二阶线性定常微分方程
不同形式的物理环节和系统可以建立相同形式的数学模型。
系统微分方程由输出量各阶导数和输 入量各阶导数以及系统的一些参数构成。 n阶线性定常系统的微分方程可描述为：
自动控制原理第2版全篇
=
△
- + - 其中:△称为系统特征式 △= 1 ∑La ∑LbLc ∑LdLeLf+…
—∑La 所有单独回路增益之和
∑L∑和dLLebLLf—c—所有所三有个互两不两接互触回不路接增益触乘回积路之增和益乘积之
Pk—从R(s)到C(s)的第k条前向通路传递函数
△k称为第k条前向通路的余子式 去掉第k条前向通路后所求的△
x0
(x x0 )
1 d 2 f (x)
2!
dx2
x0
(x x0 )2
忽略二阶以上各项，可写成
y
f
(x0 )
df (x)
dx x0
(x
x0 )
2、对于具有两个自变量的非线性函数，设输入 量 为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作 点为y0＝ f(x10, x20) 。
注意：相加点和分支点一般不能变位
25
2.3.3闭环传递函数
1、给定输入单独作用下的系统闭环传递函数
(s) G1G2 G1G2 1 G1G2H 1 Gk
2、扰动输入单独作用下的闭环系统
n
(
s)
1
G2 G1G2
H
G2 1 Gk
3、误差传递函数：误差信号的拉氏变换与输入信 号的拉氏变换之比。
（1）给定输入单独作用下的闭环系统
Er
(
s)
1
1 G1G2
H
1 1 Gk
（2）扰动输入单独作用下的闭环系统
En
(
s)
1
G2 H G1G2
H
G2H 1 Gk
4)给定输入和扰动输入作用下的闭环系统的总的输
出量和偏差输出量
自动控制原理：第2章-控制系统的数学模型可编辑全文
下图所示为三个环节串联的例子。图中，每个环节的方框图为：
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
*
上式表明，三个环节的串联可以用一个等效环节来代替。这种情况可以推广到有限个环节串联（各环节之间无负载效应）的情况，等效环节的传递函数等于各个串联环节的传递函数的乘积，如有n个环节串联则等效传递函数可表示为：
*
2. 环节的并联
环节并联的特点是各环节的输入信号相同，输出信号相加（或相减）。
2.7 闭环系统的传递函数
一.闭环系统
*
(3)开环传递函数： 假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。
(2)反馈回路传递函数：假设N(s)=0，主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。
*
(4)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。
复习拉普拉斯变换有关内容（6）
（3）积分定理
零初始条件下有：
进一步有：
例4 求 L[t]=?
解.
例5 求
解.
复习拉普拉斯变换有关内容（7）
（4）实位移定理
证明：
例6
解：
令
复习拉普拉斯变换有关内容（8）
（5）复位移定理
证明：
令
例7
例8
例9
复习拉普拉斯变换有关内容（9）
负反馈：反馈信号与给定输入信号符号相反的反馈。
正反馈：反馈信号与给定输入信号符号相同的反馈。
*
上述三种基本变换是进行方框图等效变换的基础。对于较复杂的系统,例如当系统具有信号交叉或反馈环交叉时,仅靠这三种方法是不够的。
（二）信号相加点和信号分支点的等效变换
对于一般系统的方框图，系统中常常出现信号或反馈环相互交叉的现象，此时可将信号相加点（汇合点）或信号分支点（引出点）作适当的等效移动，先消除各种形式的交叉，再进行等效变换即可。
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传递函数
双容水槽
两个串联单容水槽构成的双容水槽。其输入量 为调节阀１产生的阀门开度变化Vu，而输出量为第二个水槽的液位 增量Vh2。
双容水槽的微分方程
双容水槽的传递函数
6/26/2014 6:11:15 PM 19
现举例说明： 由于传递函数的极点就是微分方程的特征根，因此它们决定了 所描述系统自由运动的模态，而且在强迫运动中（即零初始条件 响应）也会包含这些自由运动的模态。 设某系统传递函数为 式中，前两项具有
与输入函数r（t） 相同的模态，后两 项中包含了由极点 -1和-2形成的自由 运动模态。这是系 统“固有”的成分， 但其系数却与输入 函数有关，因此可 以认为这两项是受 输入函数激而形 成的。
4
6/26/2014 6:11:15 PM
传递函数的基本概念 例１
[例1]求电枢控制式直流电动机的传递函数。 [解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为： dmc d 2 d TaTm 2 Tm Ku ua K m (Ta mc ) 方程两边求拉氏变换为：
dt dt dt
U 0 ( s) 1 1 Ts G( s) U i ( s) 1 Ts
6/26/2014 6:11:15 PM
RRC T 1 2 R1 R2
R1 R2 R2
6
传递函数的基本概念 例2
Байду номын сангаас
[例2] 求下图的传递函数：
Uo Ui R2 1
1 Cs
R2 1 Cs R1 R2 ( R1Cs 1) R2 ( R1Cs 1) R1 R2 ( R1Cs 1) R2 R1Cs R1 R2 R R2 R2 R1C ( 1 s 1) 1 1 Ts R2 R1 R2 R1 R2 R2 R1C ( )( s 1) 1 Ts R2 R1 R2
6/26/2014 6:11:15 PM
17
电加热炉
电加热炉传递函数为
6/26/2014 6:11:15 PM
18
有纯延迟单容水槽
在单容水槽中，若调节阀１距贮水槽２有一段较长的距离，则调节 阀开度变化所引起的流入量VQi变化，需要经过一段传输时间t才能 对水槽液位产生影响，其中t通常称为纯延迟时间。有纯延迟单容水 槽的微分方程为
m1
m2
(s p )(s
j 1 j l 1
i 1 n1
k 1 n2
2
2ll l2 )
或： G ( s)
2 2 ( s 1 ) ( k s 2 k k s 1) K i 1 i k 1
m1
m2
s
2 2 ( T s 1 ) ( T j l s 2 lTl 1) j 1 l 1
5
传递函数的基本概念 例2
[例2] 求下图的传递函数：
C i1
1 i1dt R1i1 R1i2 0 C
R2
ui
R1 i2
uO
R1i2 R1i1 R2 i2 ui R2 i2 uO
(
1 R1 ) I1 ( s ) R1 I 2 ( s ) 0 Cs
R1 I1 ( s ) ( R1 R2 ) I 2 ( s ) U i ( s ) R2 I 2 ( s ) U O ( s )
p1 , p2
其系数 、 由
1 1 2 2 (T1s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
p1、p2
或 T1、T2 求得；
9
传递函数的表现形式
若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：
G ( s) Kg s
2 2 ( s z ) ( s 2 s k k k) i
n1
n2
式中：
m1 2m2 m,
n1 2n2 n
从上式可以看出：传递函数是一些基本因子的乘积。这些 基本因子就是典型环节所对应的传递函数，是一些最简单、最 基本的一些形式。
6/26/2014 6:11:15 PM 10
3.传递函数的零点和极点对输出的影响
（1）传递函数的极点可受输入函数的激发，在输出 响应中形成自由运动模态。
6/26/2014 6:11:15 PM
2
传递函数的基本概念
一、传递函数的基本概念 传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下输出量 的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。 设系统或元件的微分方程为： 式中：x（t）—输入，y（t） —输出 ai , b j (i 0 ~ n, j 0 ~ m) 为常系数
6/26/2014 6:11:15 PM 11
（2）传递函数的零点不形成自由运动模态，却影响各模
态在响应中所占的比重，影响响应曲线的形状。
现举例说明： 设具有相同极点但零点不同的传递函数分别为
其极点都是-1和-2，G1（s）的零点Z1＝-0.5，G2（s）的零点 Z2＝-1.33。 在零初始条件下，它们的价跃响应分别是 ：
传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分 方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。 传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。 只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多 个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其 它的输入量一概视为零。 传递函数忽略了初始条件的影响。 传递函数传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶 次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。 传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。 传递函数与微分方程有相通性，可相互转换；
上述结果表明，模态e-t和e-2t在两个系统的单位价跃响应中所占的比重是不同的，它取决 于极点之间的距离和极点与零点之间的距离，以及零点与原点之间的距离。在极点相同的 情况下，G1(s) 的零点z1 接近原点，距两个极点的距离都比较远，因此，两个模态所占比 重大且零点z1 的作用明显；而G2(s)的零点z2距原点较远且与两个极点均相距较近，因此 两个模态所占比重就小。这样，尽管两个系统的模态相同，但由于零点的位置不同，其单 6/26/2014 6:11:15 PM 12 位价跃响应 C1(t)和 C2(t)却具有不同的形状。
交流测速发电机 在定子上有两个互相垂直放置的线圈。激 磁线圈：输入频率一定、电压一定。输出线圈：产生与角 速度成比例的交流电压u(t).
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电枢控制直流伺服电动机：
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无源网络
无源网络通常由电阻、电容和电感组成，可以用两种方法 求取无源网络的传递函数，一种方法是先列写网络的微分 方程，然后在零初始条件下进行拉氏变换，从而得到输出 变量与输入变量之间的传递函数；另一种方法是引用复数 阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。 图中，由图可直接写出电路的传递函数为
4 、 典型元部件的传递函数
电位器一种线位移或角位移变换为电压量的装置单个线 绕式圆环电位器（角位移型）。空载时的传递函数为：
由一对电位器组构成的误差检测器，空载时的传递函数为：
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测速发电机 测量角速度并转换为电压量的装置， 一般有交流和直流两种。 永磁式直流测速发电机：
bm Kg —传递系数或根轨迹增益 an 6/26/2014 6:11:15 PM
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传递函数的表现形式
写成时间常数形式：
1 1 i 1 显然：K K g n ， i , Tj , p z j i p j
zi
j 1
m
b0 Q( s ) G( s) K a0 P( s )
ai , b j —为实常数，一般n≥m 式中：
上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。 表示成零点、极点形式：
m
Y ( s ) bm Q( s ) G (s) Kg X ( s ) an P ( s )
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
式中： z i 称为传递函数的零点， p j 称为传递函数的极点。
R1 R2 R2
ui
R1
R2
uO
RRC T 1 2 R1 R2
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传递函数的表现形式
[传递函数的几种表达形式]：
Y ( s) bm s m bm1s m1 b0 表示为有理分式形式： G( s) X (s) an s n an1s n1 a0
( s 1)
i
m
(T s 1)
j j 1
i 1 n
i ,Tj
分别称为时间常数，K称为放大系数
若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若
1 1 2 为共轭复极点，则： ( s p1 )( s p2 ) s 2n s n 2
或
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(TaTm s 2 Tms 1)(s) KuUa (s) Km (Ta s 1)Mc (s)
令M c (s) 0 ，得转速对电枢电压的传递函数： Ku ( s) Gu ( s) U a ( s) TaTm s 2 Tm s 1 令 U a (s) 0 ，得转速对负载力矩的传递函数： K m (Ta s 1) (s) Gm (s) M c (s) TaTm s 2 Tm s 1 最后利用叠加原理得转速表示为： (s) Gu (s)U a (s) Gm (s)M c (s) 6/26/2014 6:11:15 PM
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