控制点高斯投影变形的处理方法

控制点高斯投影变形的处理方法袁锐;徐柏松【摘要】As for Gauss projection length deformation among the starting control points going beyond the relevant specification requirement in control survey, three methods are summarized to resolve the above problem, i.e. the central meridian transition, projection side re-choosing method and forcible tie by dimension. The last one is especially recommended, which may provide the reference for the similar engineering survey.%针对控制测量中因高斯投影变形引起的起算控制点之间长度变形值超出规范要求的问题,总结出包括中央子午线换带法、投影面重新选择法和尺度强制约束法在内3种解决该问题的方法,其中重点推荐尺度强制约束法,以期为类似的工程测量提供参考.【期刊名称】《港工技术》【年(卷),期】2012(049)001【总页数】3页(P65-67)【关键词】高斯投影;中央子午线;坐标转换;起算点【作者】袁锐;徐柏松【作者单位】中交第二航务工程勘察设计院有限公司,湖北武汉430071;中交第二航务工程勘察设计院有限公司,湖北武汉430071【正文语种】中文【中图分类】P221我国采用的1954北京坐标系、1980西安坐标系和2000国家大地坐标系等平面坐标系，都是利用高斯正形投影方法把地球表面的地物绘制成平面图。

将球面上的地物投影到平面上时，无论用什么方法都不可避免地存在变形问题，但只要将投影变形控制在一定的限度内，就可以保证测绘和工程施工的精度满足规范要求。

在测量工作中经常会遇到控制点的高斯投影变形问题，有的工程项目就因施工控制网的投影变形较大引起的技术问题而拖延了工期，给施工单位造成了不小的经济损失。

因此，研究探讨工程测量中，高斯投影变形的解决方法非常必要。

结合业内人士的研究成果，提出3种解决方法：尺度强制约束法、中央子午线换带法和投影面重新选择法。

1 尺度强制约束法在测量行业内，尺度强制约束法通常也称为“一点一方位”法，即假设某测区内2个已知控制点A、B 的坐标值分别为（XA，YA）和（XB，YB），由于高斯投影变形，两点间的实测距离D和理论距离D1相差ΔD。

通常用来解决高斯投影变形问题的最简单方法是假设方向线AB的坐标方位角TAB不变，以A点或B点中的任何1个点为基准，根据实测距离来改正另一点的坐标，如以 A（XA，YA）为基准点，则B 点的改正坐标XB’=XA+D·cos TAB；YB’=YA+D·sin TAB。

即可将 A（XA，YA）和B’（XB’，YB’）作为起算点布设控制网，这就是尺度强制约束法的具体步骤。

以南京某大型企业码头工程为例，在开工前业主单位向施工方提供了2个测量控制点，其平面坐标系为北京54坐标系3度带，中央子午线为东经120°，高程系统为吴淞高程系。

表1 南京某大型企业码头工程测量控制点的已知坐标测量控制点编号北京54系坐标高程H/m X/m Y/m 1157 GPS E级 3 567 443.779 391 596.554 13.078 YB46 GPS E级 3 567 276.601 391 645.204 11.159控制点等级根据两测控点的平面坐标值可计算出两点间的理论距离D1=174.113 m。

用全站仪实测20多次得到高精度的测距数据，最大值与最小值之间相差约2 mm，取观测平均值得到两点间实测距离D=174.091 m，实测距离与理论距离相差ΔD=D1-D=22 mm，ΔD/D=1/7 714。

根据《水运工程测量规范》（JTJ203—2001）的相关规定，施工控制网起算点的精度要求为ΔD/D≤1/20 000，显然业主提供的2个控制点的误差已经超限（国家测量规范规定，施工控制网起算点的精度要求为ΔD/D≤1/40 000）。

根据测量学中关于高斯投影距离的改化公式ΔD=0.5D·y2/R2，其中D为两点间的实际距离；R为地球半径；y为两点至中央子午线的平均距离[1]。

取两测控点Y 坐标的平均值Y0=391 620.879 m，则y=500 000-Y0=108 380 m，取 R=6 367 km，求得ΔD=25 mm，经过改化后的距离D2=ΔD+D=174.116 m，ΔD2=D2-D1=3.0 mm，则ΔD2/D=1/58 037，其精度值完全能够满足上述规范的要求。

经过以上分析计算，查明控制点距离误差的原因是施工区域距离东经120°中央子午线较远，误差属于由高斯投影变形引起的正常现象，只需要用尺度强化约束法对该线段进行高斯投影的距离改化即可以解决。

以1157为基准点，可求得YB46的改正坐标X’=3 567 276.622 m，Y’=391 645.198 m；以 1157点和改正后的YB46点坐标为起算点，布设本工程的一级附合导线施工控制网。

工程实践证明，该方法很好地解决了控制网的变形问题，已完成全部工程项目的施工任务并顺利通过竣工验收。

2 中央子午线换带法由高斯投影的原理可知，只有中央子午线上的投影完全没有变形，距离中央子午线越远，高斯投影的长度变形就越大。

仍以第1节中的工程为例，令R=6 367 km，取ΔD=1/20 000，可以求出y=63.67 km，说明在距离东经120°中央子午线东、西两侧各63.67km范围内的所有地物，其投影变形均小于1/20 000，能满足《水运工程测量规范》对测量控制点起算点的精度要求。

据此可将通过测区的经线定义为中央子午线，同样按3°分带进行高斯投影，以解决高斯投影的长度变形问题，即中央子午线换带法。

中央子午线换带法通常被称为坐标换带，包括直接换带法和间接换带法。

间接换带法是将第1带（东带或西带）的平面坐标换算为第2带（西带或东带）的平面坐标，具体步骤是：先根据第1带中某点的平面坐标（x，y）和中央子午线经度，利用高斯投影坐标的反向计算公式换算成该点的大地坐标（B，L）；再根据该点的大地坐标（B，L）和第2带的中央子午线经度，利用高斯投影坐标的正向计算公式，求得该点在第2带中的平面坐标。

由于坐标的换带计算要以椭球面上的大地坐标为过渡参数，因而称其为间接换带法。

该方法理论严密、精度高，且通用性强，适用于6°带间、3°带间和6°带与3°带之间的换带坐标计算，由于计算量较大可借助计算机完成，现已成为最基本的坐标换带计算方法。

间接换带法的操作程序是：先把已知控制点A（XA，YA）的北京54系坐标值转化为WGS-84大地坐标值 A（BA，LA），再由 A（BA，LA）转换为新中央子午线下的平面坐标 A（XA’，YA’），然后用 A（XA’，YA’）作为测区控制网的起算点。

由于平面坐标与大地坐标转换的公式十分复杂在此不再赘述，可详见文献[2]。

这里主要介绍用坐标转换软件完成相应计算的过程。

仍以南京项目的1157点和YB46点为例，说明用Convert软件进行坐标转换计算的情况。

Convert软件中的坐标转换界面，见图1。

图1 Convert软件中的坐标转换界面具体的操作步骤如下：1）打开软件，选择“xyH→BLH”转换方式，输入中央子午线经度120：00：00和1157点的北京54系坐标（x，y）和高程（H）数据，注意一定不要遗漏掉转换点的高程数据；2）点击“转换”按钮，求出 1157点的WGS-84大地坐标坐标值（B，L），并记录下来；3）计算出 1157点的经度值 L=118：51：00.09430，由此可以确定在换带计算中采用的中央子午线经度L0=118：50：00，需要说明L0的取值并不是唯一的，一般以L±10′为妥，并要兼顾取整；4）返回Convert软件的初始界面，选择“BLH→xyH”方式，输入新设置的中央子午线经度L0=118：50：00，在输入由步骤2）计算所得的1157点的WGS-84 大地坐标坐标值（B，L）和高程（H）数据；5）点击“转换”按钮，求出经换带计算后1157点的平面坐标和高程值。

同样重复上述步骤，即可求出YB46点在中央子午线L0=118：50：00下的平面坐标值。

经换带计算后测量控制点的平面坐标，见表2。

表2 换带后测量控制点的平面坐标测量控制点编号北京54系坐标高程H/m X/m Y/m 1157 GPS E级 3 566 863.750 501 573.524 13.078 YB46 GPS E级 3 566 697.134 501 623.978 11.159控制点等级根据表2中测量控制点的平面坐标值可求得两点的理论距离D1=174.088 m，与实测距离相比ΔD=D-D1=0.003 m，|ΔD|/D=1/58 030，已经能够满足《水运工程测量规范》和国家测量规范的要求，上述两点经换带计算后的平面坐标值可作为布设施工控制网的起算数据。

3 投影面重新选择法投影面重新选择法的计算原理，见图2。

图2 投影面重新选择法的计算原理如图2所示，设A、B两点在大地水准面上的距离为D，在参考投影面上的长度为D2，地球半径为R，参考投影面与大地水准面的高差为H，则D2=D·（H+R）/R=D（1+H/R），ΔD2=D2-D=D·H/R。

该方法解决高斯投影变形的思路是：选择适当的H值可获得新的参考投影面，将施工区域的所有元素投影到该参考投影面上，使其投影的长度变形与高斯投影的长度变形大小相等、方向相反，彼此抵消。

上述2个因素影响下长度投影变形的和ΔD+ΔD2=0.5 D·y2/R2+D·H/R，令ΔD+ΔD2=0，可得 H=-0.5y2/R，负号表示新的投影面在大地水准面向下H的深度。

从以上分析可以得出结论：自大地水准面向下选择适当的高程可得到新的参考投影面，该投影面上的长度变形可以相互抵消，在该投影面上面布设控制网即可解决高斯投影的变形问题。

4 结论1）当两控制点间边长的理论计算值与实测值不符时，应先根据控制点与中央子午线的距离，根据公式计算出该区域高斯投影的变形量，然后判断误差是否由于高斯投影变形而引起。

如果不是就要认真查明误差产生的原因，如控制点的坐标有误、提供的资料有误、仪器测量误差等，切勿将偏差一概归为高斯投影变形问题。