小波变换的基本原理和在内燃机振动与声学信号中的应用

−∞ ∞
9.3 盖博变换
– 主要内容
• • • • 1 2 3 4 盖博变换的引出 盖博变换定义 离散时间盖博变换和滤波器组 应用：ASK信号的盖博变换
盖博变换的引出
短时傅里叶变换（STFT）包含很多冗余信息，分析如下： 令F=Fo，STFT表示为：
X (τ , Fo ) = ( ∫ x (t ) w (t − τ ) e
图9-16 离散时间的盖博变换
e j 2π ( N −1) m / N
应用：ASK信号的盖博变换 Gabor 变换： Gabor变换是通过加窗函数的办法对 变换是通过加窗函数的办法对Fourier变换加以改进。由于经过 变换加以改进。 变换是通过加窗函数的办法对 变换加以改进 频移的窗函数往往具有较短的持续时间,所以 频移的窗函数往往具有较短的持续时间 所以Gabor 变换有比较好的 所以 局域化性能,能够较好地刻画信号中的瞬态结构 能够较好地刻画信号中的瞬态结构。 局域化性能 能够较好地刻画信号中的瞬态结构。 连续Gabor 变换公式 变换公式: 连续
−∞
+∞
− j 2 π F o ( t −τ )
dt ) e − j 2 πFoτ
如图9-12所示，信号x(t)通过了以Fo为中心的带通滤波器，滤 波器的带宽是B，所以可以 得出如下结论 X(t) x (τ , Fo )
BPF
B
e − j 2 π F oτ
F
FO
图9-12 STFT的带通滤波器解释
盖博变换
1)如果希望覆盖整个有效频率范围，需要若干个带通滤波器，设 B是相应滤波器带宽。将频率变量F离散化，F=kFO, F ≤ B。 2)每个滤波器的输出在τ=mTo时刻采样，根据采样定理要求To ≤
O
1/B。 上述结论推导出了在时域和频域都离散化的盖博展开： X[m,k]=X(mTo, kFO) 由离散参数To ≤ 1/B，Fo ≤B可得约束条件 Fo To ≤1 通过盖博变换，信号x(t)被展开成有限基函数的组合，即
a、 式中， 式中， τ
1 a
t −τ x(t ) ∗ ψ ∫R a
dt
分别为尺度参数和平移参数； 分别为尺度参数和平移参数； x ( t ),ψ a ,τ ( t )
代表内积。 代表内积。
小波变换特点
小波变换是一种窗口大小（窗口面积）固定， 形状可变， 小波变换是一种窗口大小（窗口面积）固定，但形状可变，时 窗口大小 窗和频窗都可以改变的时频局域化分析方法， 低频（大尺度） 窗和频窗都可以改变的时频局域化分析方法，在低频（大尺度） 时频局域化分析方法 部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率， 高频（ 部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频（小 尺度）部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，被誉 尺度）部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率， 为数学显微镜。 数学显微镜。
S
X[m, k] =
x[ n ] = ∑
n = −∞
N −1
X[m, k] = ( ∑ x [ n ] w [ − ( mM − n )] e − j 2 π k ( n − mM 可以将上述表达式写成卷积形式：
x[ n ] =
k = 0 m = −∞ +∞
∑
+∞
n = −∞
x[ n ]w[ n − mM ]e − j 2πkn / N ∑
s ( t ) = e ∑ a k p TX ( t − ( k − 1 ) T ) 选择个矩形函数g(t)作为窗函数k = 1对其进行盖博变换 可以得到 作为窗函数， 可以得到: 选择个矩形函数 作为窗函数，对其进行盖博变换,可以得到
jθ K
|G |= e 1)T ∑1 k( i0 ) < ∫(/ 2m ) + =1)s T1PTX ((t l− +( k −T时: ) e 为定值, 1) 时 当 m 为定值 mT1 > l (T 且 T k m −1
小波变换的基本原理和在内燃机振动 与声学信号中的应用
姓名： 学号： 姓名：景国玺 学号：10608118 机械与能源学院 2008.10
主要内容
第一部分： 第一部分：小波分析简介 第二部分： 第二部分：小波时频分析 第三部分： 第三部分：小波分析示例 第四部分： 第四部分：离散小波分析变换 第五部分： 第五部分：内燃机振声信号时频特性研究 第六部分： 第六部分：总结
离散时间盖博变换和滤波器组
它定义由M通道的带通滤波器和N抽取构成的滤波器组。图916给出了该滤波器组的图示。为了保证通过滤波器组后数据率 不减小，所以要求M≤N。M=N为临界采样，M<N时称滤波器 组是过采样的。
M
X[m,0]
e j 2π 0 m / N
M X[m,1]
e j 2π 1m / N
M X[m,N-1]
第一部分： 第一部分：小波分析简介
• 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论，统一了 几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波， 图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处 理等。 小波分析是纯数学、 小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完 美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析” 美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的 结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。 结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。 小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在计算 机应用、信号处理、图象分析、非线性科学、地球 科学和应用技术等已有重大突破，预示着小波分析 进一步热潮的到来。
−∞
∞
它是在整个时间轴范围内积分，表示了信号的全局特性，当需要分 析信号的局部特性时，它就不适合再使用了。
9.2 短时傅立叶变换
确定信号局部频率特性的一个比较简单的方法是在时刻 窗，然后计算其傅立叶变换。
τ
附近对信号加
X (τ , F ) = STFT {x(t )} = FT {x(t ) w(t − τ )} = ∫ x(t ) w(t − τ )e − j 2π Ft dt
上述X[m,k]可以表示为滤波和采样的形式， X[m,k]
X[m, k] = e
j 2πkFoTo m
( ∫ x(t ) w(t − mTo )e − j 2πkFo ( t − mTo ) dt )
−∞
+∞
其中，圆括号部分是带通滤波器的输出在t=mTO采样值。该滤波器组如 图 9-14所示。
盖博变换
第一部分： 第一部分：小波分析简介
何为小波？ 何为小波？
设函数 ψ ( t ) ∈ L1 ( R) I L2 ( R) ， 则称
∫
+∞
−∞
ψ (t )dt = 0,
ψ (t )
为一个基本小波或母小波。 为一个基本小波或母小波。 基本小波或母小波
(连续 小波函数，定义a为尺度，b为时变参数 连续)小波函数，定义 为尺度， 为时变参数 连续 小波函数 为尺度
ASK mn jθ
1 g
( m1 +1 / 2Tg )
K
j( w − nΩ 1 )t
/ T g2 dt
应用：ASK信号的盖博变换
以上公式说明对应信号码元的一个周期内非幅度跳变点附近的各点,对其 以上公式说明对应信号码元的一个周期内非幅度跳变点附近的各点 对其 进行Gabor 变换 若m(时间 固定 则Gabor 变换的幅度值就为一个关于 的 变换,若 时间 固定,则 时间) 变换的幅度值就为一个关于n 进行 经过平移的抽样函数,且平移至 且平移至n 也即此处取最大值,就是说此时 经过平移的抽样函数 且平移至 = w 1 处,也即此处取最大值 就是说此时 也即此处取最大值 时频平面的纵切面是抽样数。我们知道ASK信号的载频频率是固定的 那 信号的载频频率是固定的,那 时频平面的纵切面是抽样数。我们知道 信号的载频频率是固定的 么由公式可知ASK信号时频图像中的峰值平台应该都集中于一条频率一 么由公式可知 信号时频图像中的峰值平台应该都集中于一条频率一 定的直线上。理论上来，讲如果窗函数选择的较小(相对于码元宽度 就 相对于码元宽度) 定的直线上。理论上来，讲如果窗函数选择的较小 相对于码元宽度 ,就 会出现多个相等峰值连续出现的情况,从而形成峰值平台 此外,从公 从而形成峰值平台。 会出现多个相等峰值连续出现的情况 从而形成峰值平台。此外 从公 式 还可看出,码元幅值的变化在 还可看出 码元幅值的变化在Gabor 变换系数图上同样表现为峰值平台的 码元幅值的变化在 幅度值变化。这样,我们就可以根据 我们就可以根据Gabor 变换系数图上峰值平台幅度值 幅度值变化。这样 我们就可以根据 的个数,来推断 来推断ASK的阶数 。 的阶数M。 的个数 来推断 的阶数
式中： 窗函数） 式中： ，而γ( t) 与g ( t)（窗函数） 满足双正 交关系( 为了工程实践,必须对上述公式进 交关系 T0 = 2π/ 1 , 0 = 2π/ T1) ：为了工程实践 必须对上述公式进 行离散化,具体方法参考文献 具体方法参考文献。 行离散化 具体方法参考文献。 很多常用的窗口函数都可以用来构造Gabor基函数 最常用的是矩形函 基函数,最常用的是矩形函 很多常用的窗口函数都可以用来构造 基函数 数和高斯函数。 其中： 数和高斯函数。假设有矩形函数 ，其中：
第9章 时频展开简介
目录 9.1 概述 9.2 短时傅立叶变换 9.3 盖博变换 9.4 小波变换
9.1 概述
傅立叶变换在信息、控制与计算机领域取得了广泛的应用，它不仅 是一种有效的数学工具，还归结于直观性、数学上的完美性、和计 算上的有效性。
X ( F ) = FT {x(t )} = ∫ x(t )e− j 2π Ft
x (t ) =
∑
m ,k
x [ m , k ]e m , k ( t )
盖博变换的定义 基信号em ,k (t )是加窗的复指数，其时移和频移都是离散的