初中数学《等腰三角形》讲义及练习

板块考试要求A 级要求B 级要求C 级要求等腰三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题等腰三角形1． 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． 2． 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形． 3． 等腰三角形的性质： (1)两腰相等． (2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． (4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．4． 等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形． (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．5． 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60． 6． 等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形． (2)三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．7． 等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等． 等腰直角三角形的判定：(1)顶角为90︒的等腰三角形． (2)底角为45︒的等腰三角形．知识点睛中考要求第十四讲等腰三角形板块一、等腰三角形的认识【例 1】 下列两个命题：①如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；②如果一个等腰三角形有一个内角是60，那么这个等腰三角形一定是等边三角形．则以下结论正确的是( ) A ．只有命题①正确 B ．只有命题②正确C ．命题①、②都正确D ．命题①、②都不正确【解析】 C ．【例 2】 如图，在ABC ∆ 中，AD BC ⊥于D ．请你再添加一个条件，就可以确定ABC ∆是等腰三角形．你添加的条件是 ．DCBA【解析】 BD DC =或AD 平分BAC ∠或B C ∠=∠．【例 3】 (2006年扬州中考)如图，在ABC △中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件：①EBO DOC ∠=∠；②BEO CDO ∠=∠；③BE CD =；④OB OC =．(1)上述四个条件中，哪两个条件可判定ABC △是等腰三角形(用序号写出所有情况)；(2)选择第⑴小题中的一种情形，证明ABC △是等腰三角形．重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这两个性质对于平面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助难点：等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角形底和腰，底角和顶角性质性质特点很容易混淆，而且他们在用法和讨论上很有考究，只能在练习中加以训练重、难点例题精讲OE D CBA【解析】 (1)①③，①④，②③，②④四种情况可判定ABC △是等腰三角形．(2)下面以①③两个条件证明ABC △是等腰三角形． ∵EBO DOC ∠=∠，BE CD =，BEO CDO ∠=∠， ∴EOB DOC ∠=∠， ∴OB OC =，∴OBC OCB ∠=∠． ∴EBC DCB ∠=∠，∴ABC △是等腰三角形．【例 4】 如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=，BOC α∠=．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转19060αα-=-∴°°得ADC △，连接OD ，则COD △是等边三角形；当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？ODCB A【解析】 分三种情况讨论：①要使AO AD =，需AOD ADO ∠=∠．∵190AOD α∠=-°，60ADO α∠=-°， 19060αα-=-∴°°． 125α=∴°．②要使OA OD =，需OAD ADO ∠=∠． ∵180()50OAD AOD ADO ∠=-∠+∠=°°， 6050α-=∴°°． 110α=∴°．③要使OD AD =，需OAD AOD ∠=∠． 19050α-=∴°°． 140α=∴°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，ABC △是等腰三角形．【例 5】 (2007福建晋江中考)如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法正确的个数有( )①DC '平分BDE ∠； ②BC长为2)a +；③△BC D '是等腰三角形； ④△CED 的周长等于BC 的长． A ． 1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个【解析】 由图可知△ABD ≌△EBD ，∴AD ＝DE ＝a ，DBE ∠＝45．又∵C ∠＝ABC ∠＝45，∴DC，∴BC()a＝2)a ＝△CED 的周长． 又∵△CDE ≌△C DE '，∴45DC E '∠=，∴22.5DBE BDC '∠=∠=． ∴BC C D ''=，△BC D '是等腰三角形．故②③④正确．【例 6】 如图⑴，AB AC =，BD ，CD 分别平分ABC ∠，ACB ∠．问：⑴图中有几个等腰三角形？⑵过D 点作EF ∥BC ，如图⑵，交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？ ⑶如图⑶，若将题中的ABC ∆改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段EF 与BE 、CF 有什么关系？⑷如图⑷，BD 平分ABC ∠，CD 平分外角ACG ∠．DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ．线段EF 与BE 、CF 有什么关系？⑸如图⑸，BD 、CD 为外角CBM ∠、BCN ∠的平分线，DE ∥BC 交AB 延长线于E ，交AC 延长线于F ，线段EF 与BE 、CF 有什么关系？(1)CD BA(5)(4)(3)(2)MDDDCCCBBBAA AAB CDEEE EF FF F GN【解析】 ⑴图⑴中有两个等腰三角形：ABC ∆、BCD ∆⑵图⑵中又增加了三个等腰三角形：AEF ∆、BED ∆、CFD ∆ ⑶图⑶中有两个等腰三角形：BED ∆、CFD ∆，由于ED BE =，DF CF =，EF ED FD BE CF =+=+，故EF BE CF =+ ⑷图⑷所示中仍有两个等腰三角形BED ∆、CDF ∆从而DE BE =，CF DF =，又EF ED DF BE CF =-=-，故EF BE CF =- ⑸如图⑸所示与⑶类似，EF BE CF =+板块二、等腰三角形的性质CBAEDCBAEC'DCBA【例 7】 (2008乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为( )A ．9cm Ｂ．12cm Ｃ．15cm Ｄ．12cm 或15cm【解析】 Ｃ【例 8】 已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm 【解析】 B【例 9】 (2008沈阳)若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒【解析】 Ｄ【巩固】(2007重庆中考)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为( )A ．20B ．120 C ．20或120 D ．36【解析】 当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为1:4:4 ，此时顶角为20；当顶角为钝角时，内角的度数之比为1:1:4 ，此时顶角为120．故选C ．【例10】 (2007四川自贡中考)若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25，则该三角形的一个底角为( )A ．32.5B ．57.5C ．65或57.5D ．32.5或57.5【解析】 C【例11】 (2006自贡)从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的( )A ．两腰长的和 Ｂ．周长一半Ｃ．周长 Ｄ．一腰长与底边长的和【解析】 A【例12】 (2000年常州市中考题)已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为9和12两部分，求腰长和底长．【解析】 设这个三角形的腰长为x ，底长为y ，则12292x x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得85x y =⎧⎨=⎩，或92122x x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得69x y =⎧⎨=⎩，而8，8，5和6，6，9均能组成等腰三角形．注意等腰三角形中的分类讨论．【巩固】等腰三角形的周长是50，一腰上的中线分得两个三角形的周长是32和22，求腰长． 【解析】 设这个三角形的腰长为x ，底长为y ，一腰上的中线为[](3222)5022+÷=-，根据题意可得：2502222x y x y +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩或2503222x y xy +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得20x =或1133【例13】 (05年青岛中考题)已知等腰三角形的周长为12，腰长为x ，求x 的取值范围．【解析】 122x x x +>-，且1220x ->，解得36x <<【例14】 已知等腰三角形的周长为16，三边长为整数，求底边长． 【解析】 设腰长为x ，则48x <<，则5x =，6，7，底边分别为6，4，2【巩固】已知等腰三角形的周长为20，三边长为整数，求底边长． 【解析】 设腰长为x ，202x x x +>-，且2020x ->，解得510x <<，则腰长为6、7、8、9，对应的底边长为8、6、4、2【例15】 等腰三角形中一角是另一角的2倍，求各内角的度数． 【解析】 (1)若底角是顶角的2倍，设顶角为α，则22180ααα++=︒，36α=︒，272α=︒三角形三内角依次是72︒，72︒，36︒．(2)若顶角是一底角的2倍，设底角为α，则2180ααα++=︒，45α=︒，290α=︒，三角形三内角依次是45︒，45︒，90︒．【例16】 已知BD 是等腰ABC ∆一腰上的高，且50ABD ∠=︒，求ABC ∆三个内角的度数． 【解析】 若ABC ∆为钝角三角形时，A ∠为顶角时，三内角大小为140，20，20；若ABC ∆为钝角三角形时，A ∠为底角时，三内角大小为100，40，40； 若ABC ∆为锐角三角形时，A ∠为顶角，三内角大小为40，70，70．【例17】 在ABC ∆中，AB AC =，BC BD ED EA ===．求A ∠．2x =，3BDC x ∠=，32DBC x x x ∠=-=，在BDC ∆中，可得33180x x x ++=︒，∴180()7x =︒【巩固】在ABC ∆中，AB AC =，BC BD =，AD ED EB ==．求A ∠．EDCB A【解析】 设A x ∠=，则1802ADE x ∠=︒-，12EDB x ∠=，13180(1802)22BDC x x x ∠=︒-︒--=，18019022x ACB x ︒-∠==︒-，在DBC ∆中，319022x x =︒-，解得45x =︒【例18】 (2000年威海市中考试题)等腰三角形的顶角90α>︒，如果过它的顶角顶点作一直线能够将它分成两个等腰三角形，求α．AB CD【解析】 由题意，画出图形如图所示，这里90BAC ∠>︒，ABD ∆和ADC ∆都是等腰三角形 AB AC =，AD CD =，AB BD =，∴B C DAC ∠=∠=∠，2BDA BAD C ∠=∠=∠ 设C x ∠=︒，则DAC B x ∠=∠=︒，2BAD x ∠=︒ ABC ∆中，180BAC B C ∠+∠+∠=︒∴3180x x x ++=，36x =，∴3108x α=︒=︒【例19】 ABC ∆的两边AB 和AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若150BAC DAE ∠+∠=︒，求BAC ∠． E D CB A【解析】 根据题意可得：B BAD ∠=∠，C CAE ∠=∠则BAC BAD CAE DAE B C DAE ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠ 即180150BAC BAC BAC ∠=-∠+-∠，解得110BAC ∠=【例20】 (河南省数学竞赛)如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=，在AC 上取一点E ，使得ADE AED ∠=∠，求EDC ∠的度数．AB C D E【解析】 由题设B C ∠=∠，ADE AED ∠=∠，及三角形外角定理，即EDC C AED ∠+∠=∠，有1802DAE AED ∠=︒-∠18022EDC C =-∠-∠而180250C DAE ︒=∠+︒+∠250(18022)C EDC C =∠+︒+︒-∠-∠180502EDC =+-∠故250EDC ∠=︒，即25EDC ∠=︒【例21】 (2001年龙岩市、宁德市中考试题)如图所示，已知ABC ∆中，D 、E 为BC 边上的点，且AD AE =，BD EC =，求证：AB AC =．【解析】 作AF DE ⊥于F ，∵AD AE =，∴DF EF =又BD EC =，∴BF FC =，∴AB AC =AB C D EAB CD E F考察垂直平分线的性质．【例22】 如图，ABC ∆为等边三角形，延长BC 到D ，又延长BA 到E ，使AE BD =，连接,CE DE ，求证：CDE ∆为等腰三角形．E D BA FEDBA【解析】 延长BD 到F ，使得DF BC =，连接EF ．∵ABC ∆为等边三角形， ∴60,B AB BC ∠==． 又∵,AE BD =∴BE AB AE =+=BC BD FD BD FB +=+=． ∴BEF ∆为等边三角形． ∴60,B F BE FE ∠=∠==． ∴BEC ∆≌FED ∆， ∴CE DE =．【例23】 如图，在ABC ∆中，B ∠，C ∠为锐角，,,M N D 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，满足AM AN =，BD DC =，且BDM CDN ∠=∠．求证：AB AC =．ABCD MNEFNM D C BA【解析】 分析若BDM CDN ∆∆≌，则问题迎刃而解．直接证明困难，可考虑反证法．解 若DM DN >，则在DM 上取一点E ，使DN DE =，连接BE 交AC 于F ，连接EN ． 在BED ∆与CND ∆中，BD DC =，BDE CDN ∠=∠，DE DN =，故BDE CDN ∆∆≌． 于是有EBD NCD ∠=∠，BE NC =．所以FB FC =，从而BE NCFB FC=，故EN BC ∥．从而有ENF ACB ∠=∠．但另一方面，由于DM DN >，知ABC FBC ∠>∠ACB =∠，所以11(180)()22ANM BAC ABC ACB ∠=︒-∠=∠+∠1()2ACB ACB ACB >∠+∠=∠．从而ENF MNA ACB ∠>∠>∠．矛盾．故假设不成立． 若DM DN <，同法可证假设不成立．综上所述DM DN =，于是由BDM CDN ∆∆≌知DBM DCN ∠=∠，从而AB AC =． 说明：在某些平面几何问题的证明中，反证法也是常用的方法．【习题1】(2007双柏中考)等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ． 【解析】 当腰长为9时，三边长为4、9、9；当腰长为4时，三边长为4、4、9 ，不符合三角形的三边关系，故腰长为9．【习题2】(1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为( )A ．17cmB ．5cmC ．17cm 或5cmD ．无法确定【解析】 设腰长为a ，底边长为b ，此题可分为两类，112212122a a b a a b ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩或121211222a a b a a b ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，第一类无解；第二类解为145a b =⎧⎨=⎩，故选B ．【习题3】已知等腰三角形的周长为20，腰长为x ，求x 的取值范围． 【解析】 202x x x +>-，且2020x ->，解得510x <<【习题4】(2001年江苏中考题)如下图所示，ABC ∆中，B C ∠=∠，D 在BC 上，50BAD ∠=︒，AE AD =，求EDC ∠的度数．50︒EDCBA【解析】 设B α∠=，ADE β∠=．则C α∠=，AED β∠=，由外角定理得，50ADC α∠=+︒，即50EDC βα∠+=+︒，则50EDC βα=+︒-∠．又EDC βα=∠+， ∴50EDC EDC αα∠+=+︒-∠， ∴250EDC ∠=︒，∴25EDC ∠=︒．家庭作业【备选1】ABC ∆的一个内角的大小是040，且A B ∠=∠，那么C ∠的外角的大小是( )A ．140︒B ．80︒或100︒C ． 100︒或140︒D ． 80︒或140︒【解析】 D【备选2】已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12和15两部分，求腰长和底长．【解析】 设这个三角形的腰长为x ，底长为y ，则152122x x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得107x y =⎧⎨=⎩，或122152x x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得89x y =⎧⎨=⎩，而10，10，7和8，8，9均能组成等腰三角形．月测备选。