概率论的起源
标志着概率论的诞生引自
1901年，意大利人拉查里尼 再次重复了“布丰投针”试验，他 投了3408根针，结果得出π的近 似值为3.1415929。
实验（一）
抛掷次数 实验结果 频数 频率
正面向上
反面向上
实验（二）
抛掷 次数
实验பைடு நூலகம்结果
1 2 3 4 5 6
频数
频率
结论：
事件A的概率： 一般地，在大量重复进行同一实验时事 件A发生的频率m/n总是接近于某个常数， 在它附近摆动，这个常数叫做事件A的 概率，记作P（A）。
（1）频率m/n总在P(A)附近摆动，
发表的《论赌博中的计算》，是最早的概 率论著作。这些数学家的著述中所出现的 第一批概率论概念（如数学期望）与定理 （如概率加法、乘法定理），标志着概率 论的诞生……引自《数学史教程》李文林 高等教育出版社 1999年8月
[材料2] 概率论在我国的研究也是比较 早的。1880年华衡芳就翻译了《决疑数 学》十卷，是我国第一部概率论著作。 解放前，也有一些人在国外做过一些概 率论方面的研究工作。但是由于当时生 产力的极端落后和国民党反动政府对于 科学事业的漠不关心，使概率论得不到
第十章
第二部分
概
率
概率论产生、发展的背景（简介）
[材料1] 概率论起源于博奕问题。15-16世 纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹 的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束， 该如何分配赌金”等概率问题。1654年左 右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似 的合理分配赌金问题，并用组合方法给出正 确解答。他们的通信引起了荷兰数学家惠更 斯（1629-1695）的兴趣，后者在1657年
作赌博手段，一局中若掷出正面，则德 海尔胜，否则保罗胜。约定谁先胜三局 谁就能得到所有的12枚金币。已知他们 在每局中取胜的可能性是相同的。比赛 开始后，保罗胜了一局，德海尔胜了两 局。这时一件意外的事中断了他们的赌 博。
概率的起源和发展
概率的起源和发展概率是数学中一个重要的分支，它研究的是随机事件发生的可能性。
概率论的起源可以追溯到古希腊时期，当时的数学家们对于掷骰子、抽牌等随机事件产生了浓厚的兴趣。
然而，正式的概率理论的发展却要追溯到17世纪的法国数学家布莱兹·帕斯卡和皮埃尔·德·费尔马。
他们在解决赌博问题中引入了概率的概念，并提出了概率的基本规则。
概率的发展经历了几个重要的阶段。
首先是古典概率论，它主要研究的是等可能事件的概率计算。
例如，掷硬币的结果可以是正面或反面，两种可能性是等可能的，因此每种结果的概率都是1/2。
古典概率论的基本原理是等可能性原理，即所有可能结果的概率之和为1。
然而，古典概率论无法处理复杂的实际问题，因此在20世纪初，概率论经历了一次重大的变革，诞生了现代概率论。
现代概率论的奠基人是俄国数学家安德烈·科尔莫哥洛夫。
他在20世纪30年代提出了概率论的公理化体系，建立了概率论的数学基础。
现代概率论引入了概率空间、随机变量、概率分布等概念，并提出了概率的公理化定义和计算方法。
在现代概率论的基础上，概率统计学得以发展。
概率统计学是利用概率论的方法来研究和解释实际数据的科学。
它包括描述统计学和推断统计学两个方面。
描述统计学主要研究如何通过统计指标和图表来描述和总结数据的特征，例如均值、方差、频率分布等。
推断统计学则研究如何通过样本数据对总体参数进行推断和假设检验。
随着计算机技术的发展，概率论在实际应用中发挥着越来越重要的作用。
例如，在金融领域，概率论被广泛应用于风险管理和金融衍生品的定价。
在人工智能领域，概率论被用于机器学习算法中的概率模型，例如朴素贝叶斯分类器和隐马尔可夫模型。
概率论还在医学、生物学、物理学等领域中发挥着重要作用。
总结起来，概率的起源可以追溯到古希腊时期，而现代概率论则是在20世纪初由科尔莫哥洛夫奠定的。
概率的发展经历了古典概率论和现代概率论两个阶段，最终演变为概率统计学。
概率论发展简史
一、概率论发展简史1（２0世纪以前得概率论概率论起源于博弈问题。
15—１6世纪，意大利数学家帕乔利(L、Ｐacｉoli,1４45－1517）、塔塔利亚（N、Taｒtaglia,1499-1５５7)与卡尔丹(G、cａrdaｎo,1501－１576）得著作中都曾讨论过俩人赌博得赌金分配等概率问题.165７年，荷兰数学家惠更斯(C、Huyｇens，162９-1695)发表了《论赌博中得计算》,这就是最早得概率论著作.这些数学家得著述中所出现得第一批概率论概念与定理,标志着概率论得诞生.而概率论最为一门独立得数学分支，真正得奠基人就是雅格布•伯努利(Jacｏb Bｅrｎｏｕlｌi,1654－１7０5）。
她在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称得极限定理，在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利之后,法国数学家棣莫弗(A、de Moivre,１６67－17５4）把概率论又作了巨大推进，她提出了概率乘法法则，正态分布与正态分布率得概念，并给出了概率论得一些重要结果。
之后法国数学家蒲丰（C、de Bｕffｏｎ，1707—１788)提出了著名得“普丰问题”，引进了几何概率.另外,拉普拉斯、高斯与泊松(S、Ｄ、Ｐoisson，17８1－1840）等对概率论做出了进一步奠基性工作。
特别就是拉普拉斯,她就是严密得、系统得科学概率论得最卓越得创建者，在1８12年出版得《概率得分析理论》中,拉普拉斯以强有力得分析工具处理了概率论得基本内容，实现了从组合技巧向分析方法得过渡,使以往零散得结果系统化,开辟了概率论发展得新时期。
泊松则推广了大数定理,提出了著名得泊松分布。
19世纪后期,极限理论得发展称为概率论研究得中心课题,俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。
她建立了关于独立随机变量序列得大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯得极限定理。
切比雪夫得成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展得进程.19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域得应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释得需要,另一方面,科学家们在这一时期发现得一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在得矛盾与含糊之处。
概率论的发展简史
概率论的发展简史一、概率论的起源概率论起源于17世纪中叶，那时候人们对赌博中的一些问题特别感兴趣呢。
比如说掷骰子，那些赌徒们就想知道各种点数出现的可能性。
像意大利的一些数学家就开始思考这些问题啦，他们想要找到一种数学方法来计算赌博中的概率。
这就像是在黑暗中摸索着打开一扇通往新世界的门。
当时有个叫吉罗拉莫·卡尔达诺的家伙，他可算是早期对概率有深入思考的人。
他写了一些关于赌博中的概率计算的东西，虽然那时候还没有形成完整的概率论体系，但已经算是迈出了很重要的一步啦。
二、概率论的初步发展1. 法国数学家帕斯卡和费马的贡献到了17世纪，法国那可是数学发展的一个重要地方呢。
帕斯卡和费马就开始对概率论进行了更加深入的研究。
他们之间还通过书信交流对赌博中的概率问题进行讨论。
比如说掷骰子几次能出现某个特定的点数组合之类的问题。
他们的研究为概率论奠定了更坚实的基础，就像给一座大楼打了很牢固的地基一样。
2. 雅各布·伯努利的工作雅各布·伯努利也对概率论贡献很大哦。
他写了一本猜度术，在这本书里，他提出了很多重要的概念，像大数定律的雏形就在这本书里出现啦。
这就好比在概率论的花园里种下了一棵很茁壮的树苗。
三、概率论的成长与成熟1. 拉普拉斯的推动拉普拉斯是个很厉害的数学家。
他在概率论方面的工作让概率论更加成熟了。
他写了概率的分析理论，这本书就像是概率论发展史上的一座丰碑。
他把概率论应用到很多实际的领域，比如天文学等。
他的工作让概率论不再只是赌徒们的小玩意儿，而是成为了一门真正有广泛应用价值的学科。
2. 泊松分布的出现泊松也是概率论发展过程中的一个重要人物呢。
他提出的泊松分布，在很多领域都有应用，像描述一些稀有事件发生的概率之类的。
就好像是在概率论的百宝箱里又多了一件很有用的工具。
四、现代概率论的发展1. 概率论与其他学科的融合现在呀，概率论已经和很多学科融合在一起啦。
比如在物理学中，量子力学里就有概率论的影子。
概率的起源和发展
概率论的起源与发展一、 概率的起源：三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。
掷骰子是他们常用的一种赌博方式。
因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。
有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。
这是什么原因呢？后人称此为著名的德·梅耳问题。
二、 数学家们参与赌博：又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得5局便算赢家。
如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。
参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。
他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。
后来，这些问题被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。
帕斯卡和费尔马两人一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”—— 正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的43，赢了3局的拿这个钱的41。
为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A 赢，或者 B 赢。
若是 A 赢满了5局，钱应该全归他；A 如果输了，即 A 、B 各赢4局，这个钱应该对半分。
现在，A 赢、输的可能性都是21，所以，他拿的钱应该是21×1+21×21=43；当然，B 就应该得41。
他们将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。
概率论的起源与发展
概率论的起源与发展
1概率论起源
概率论是一门研究不确定性理论的学科，旨在提供聪明的方法来分析不确定性。
概率论起源于17世纪，当时很多知识都是以威尔士随机数字模型的形式表达出来的，但概率论的发展是一个漫长的过程。
2主要发展史
（1）早期的概率论是由法国科学家斯特劳斯·马夫斯·贝尔（Stroëlle de Maupertuis）首先提出的。
他的著作《大自然的规律》中提出了概率理论的概念，用以解释大自然中存在的相互作用。
（2）1730年，拉斐尔·康登·富勒（Laplace）提出量化概率模型，概率论向形式化方向发展。
（3）18纪和19纪，科学家和数学家为概率论提供了更全面的理论基础，为概率论做出了贡献。
他们帮助概率论形成了一种独立学科。
（4）20世纪初，数学家保罗·莫菲斯和卡尔·柯本基克加深了概率的理论，并将它们应用到了实际问题。
1930年，普拉特·穆勒引入了统计方法，在大数定律中提出了可积性现象论证。
3现状
现在，概率论能够用于构建模型，分析复杂的系统及其运行情况，以及协助决策。
它在诸多领域都有广泛的应用，其中包括商业、
经济学、金融、社会科学等。
概率论也可以用于18大赌博游戏，例如赌徒的概率计算、黑板博弈以及弱势认知博弈。
概率论的创立与发展过程
概率论的创立与发展过程概率论是一门研究随机现象与事件发生的可能性的数学学科。
它的创立和发展过程可以追溯到17世纪，包括概念的提出、公理化和数学推理的发展。
概率论的起源可以追溯到古希腊和古罗马时期。
在古希腊，一些哲学家和数学家开始研究掷骰子、赌博和裁判的公正性等问题。
其中最著名的是古希腊哲学家赫拉克利特提出的“一切都是由偶然性引起的”。
古罗马时期的拉普拉斯和卡西尼等人也对概率问题进行了探索。
然而，真正的概率论的发展可以追溯到17世纪学院时期。
法国数学家帕斯卡尔被认为是概率论的奠基者之一。
在他的著作《有关圣奥纳西的信件》中，帕斯卡尔详细讨论了一个涉及赌博的问题，这个问题被称为帕斯卡悖论。
帕斯卡尔的研究对后来概率论的发展产生了深远的影响。
在18世纪，瑞士数学家伯努利兄弟进一步发展了概率理论。
他们提出了伯努利概率模型，用于描述在一系列重复试验中事件发生的概率。
之后，法国数学家拉普拉斯在他的著作《统计自然中之智慧》中将概率论与统计学相结合，建立了概率论的数学框架。
拉普拉斯将概率定义为事件发生的可能性与所有可能结果的比值，同时他提出了拉普拉斯定理，该定理描述了大数定律。
与此同时，正规化概率理论也得到了更严谨的推导。
在20世纪初，俄国数学家科尔莫哥洛夫创立了公理化概率论，即利用一组公理来系统定义概率的性质和运算规则。
科尔莫哥洛夫的公理化概率论奠定了现代概率论的基础，成为概率论的完整体系。
随着科技的进步和数学研究的深入，概率论的应用领域也不断扩展。
概率论已经被广泛地应用于金融、统计学、工程、计算机科学等领域。
它被用于模型设计和预测，如股市走势预测、风险管理和信号处理等。
总之，概率论的创立和发展经历了一个漫长的过程。
从古希腊的哲学思考到数学家们的推理，再到公理化和数学框架的建立，概率论逐渐成为一门重要的数学学科，并广泛应用于各个领域。
随着科学技术的发展，概率论的应用领域仍在不断扩展，为现代社会的发展做出了重要贡献。
概率论简史
费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：
情况 １ ２ ３ ４
胜者 甲甲 甲乙 乙甲 乙乙
前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。
帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。
数理统计的内容
有一类随机事件，它具有两个特发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做"古典概型"。
在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
四、概率论理论基础的建立：
概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的"大数定律"。所谓"大数定律"，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。
现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。
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概率论的起源及公理化
概率论起源于博奕问题。
15至16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题。
1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题，并用组合的方法给出了正确的解答。
他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯（，1629―1695）的兴趣。
惠更斯在1657年发表了《论赌博中的计算》，这本书成为了最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理），标志着概率论的诞生。
一般认为，概率论作为一门独立的数学分支，其真正的奠基人是雅各布?伯努利.他在遗著《猜测术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理：若在一系列独立试验中，事件A 发生的概率为常数且等于p ，那么对任意ε>0以及充分大的试验次数n,有
P {|n
m - p |<ε}>1-η(η为任意小的正数)， 其中m 为n 次试验中事件A 出现的次数。
伯努利定理刻画了大量经验观测中频率呈现的稳定性，作为大数定律的最早形式而在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利之后，棣莫弗（，1667―1754）、蒲丰（，1707―1788）、拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步的奠基性的贡献。
其中棣莫弗和高斯各自独立地引进了正态分布，蒲丰提出了投针问题和几何概率，泊松陈述了泊松大数定律。
特别是拉普拉斯1812年出版的《概率的分析理论》，以强有力的分析工具处理概率论的基本内容，使以往零散的结果系统化，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，开辟了概率论发展的新时期。
正是在这部书里，拉普拉斯给出了概率的古典定义：事件A 的概率P(A)等于一次试验中有利于事件A 的可能的结果数与该试验中所有可能的结果数之比。
19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫在这方面做出了重要贡献，他在1866年建立了关于随机变量序列的大数定律，使伯努利定理和泊松大数定律成为其特例。
切比雪夫还将棣莫弗―拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理，他的成果后来被他的学生马尔可夫等发扬光大。
19世纪末，概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要。
同时，科学家们发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。
1899年法国学者贝特朗提出了著名的“贝特朗悖论”：在半径为r 的圆内随机选择弦，计算弦长超过圆内接正三角形边长的概率。
根据“随机选择”的不同意义，可以得到不同答案。
（1） 如图5（Ⅰ）,考虑与某确定方向平行的弦，则弦心距小于2r 的弦长大于圆内接正三角形边长，大于圆内接正三角形边长的弦的中点的轨迹的长度为r ，是直径的一半，所求概率为2
1； （2） 如图5（Ⅱ）,考虑从圆上某固定点P 引出的弦，则所求概率为
31； （3） 如图5（Ⅲ）,随机的意义理解为：弦的中点落在圆的某个部分的概率与
该部分的面积成正比，因为长度大于圆内接正三角形边长的弦的中点落在半径为2
r 的同心圆内，因此所求概率为4
1。
图5
这类悖论说明概率的概念是以某种确定的实验为前提的，这种试验有时由问题本身所明确规定，有时则不然.这些悖论的矛头直指概率概念本身，特别地，拉普拉斯的古典概率定义开始受到猛烈批评。
此时，无论是概率论的实际应用还是其自身发展，都要求对概率论的逻辑基础作出更严格的考察。
俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯?米西斯最早尝试对概率论进行严格化，
他们都提出一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。
作为测度论的奠基人，法国数学家博雷尔首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，他的工作激起了数学家们沿这一崭新的方向的一系列探索，其中尤以前苏联数学家科尔莫戈罗夫的研究最为卓著。
从20世纪20年代中期起，科尔莫戈罗夫就开始从测度论途径探讨整个概率论理论的严格表述，其结果是1933年以德文出版的经典著作《概率论基础》.他在这部著作中建立起集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数正交性与随机变量独立性的类比等等，这种广泛的类比终于赋予了概率论以演绎数学的特征。
科尔莫戈罗夫公理化概率论中的第一个基本概念，是所谓的“基本事件集合”?奔偕杞?行某种试验，这种试验在理论上应该允许任意次重复进行，每次试验都有一定的、依赖于机会的结果，所有可能结果的总体形成一个集合（空间）E，就称之为基本事件集合。
E的任意子集，即由可能的结果事件组成的任意集合，被称为随机事件。
在科尔莫戈罗夫的公理化理论中，对于所考虑的每一个随机事件，都有一个确定的非负实数与之对应，这个数就叫作该事件的概率。
科尔莫戈罗夫提出了6条公理，整个概率论大厦可以从这6条公理出发建筑起来.科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐获得了数学家们的普遍承认。
由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。