组合数学归纳

组合数学归纳

组合数学

组合数学归纳

第一章排列和组合

§1.1计数的基本原则一、相等原则二、加法原则三、乘法原则§1.2 排列

一、n 元集的r-排列 1、n 元集的r-排列个数：

()!

!

n n r -

2、n 元集的全排列个数：!n 二、n 元集的r-可重复排列 1、n 元集的r-可重复排列个数：r n 三、多重集的排列

1、多重集{}1122,,....,k k M n a n a n a =的全排列数为：

()1212......!

k k n n n n n n +++

2、多重集{}1122,,....,k k M n a n a n a =的r-子集的全排列个数：⑴列出多重集M 的r- 子集：12,,...,s M M M ⑵分别求出多重集i M 的全排列个数，再求和

§1.4 组合

一、n 元集的r-组合

1、n 元集的r-组合个数：()!

!!n n r r n r ??= ?-??

二、n 元集的r-可重复组合

1、n 元集的r-可重复组合个数：1n r r +-??

2、不定方程12...n x x x r +++=的非负整数解的个数：1n r r +-??

3、不定方程12...n x x x r +++=的正整数解的个数：1r r n -??

-??

三、组合数的基本性质

1.1、n n k n k = ? ?- 1.2、111n n n k k k --=+ ? ? ?-

1.3、11n n n k k k -= ? ?- 1.4、11n n n k k k k -+= ? ?-

1.5、1n n n k k n k -

= ? ?-

2、n m n n k m k k m k -= ??? ???-

四、多项式定理

1、多项式定理：()12

112122...12(0,1,2...,)

!......!!...!

k k k i n

n n n k n n n n

k n i k n x x x x x x n n n +++=≥=+++=

∑

2、二项式定理：()

0n

n

k n k

k n x y x y k -=??+=

∑ 3、推论：()01n

n

k k n x x k =??

+=

∑

4、推论1：()0112n

n

n k n k =??=+=

∑

推论2：()()01110n

k n

k n k =??-=-=

∑

五、组合恒等式（e.g.）

例1.18（P24） 01k

i n i n k i k =--

= ? ?-

∑

例1.19（P25） ()110n

k

k n k k =??-=

∑

例1.20（P25） ()1011

2111n

n k n k k n +=??=- ?

++??

∑

例1.21（P25） ()

1,;

10,.

n

n k

k m

n k n m k m n m -==-=? >∑若若

例1.22（P26） 11n

s m s n m m =+

= ? ?+

∑

例1.23（P26） 0r

k n m n m k r k r =+

= ??? ?

-

∑ 2

02n

k n n k n == ? ?∑ 例1.24（P27） () 1

1

111

k n

n k k n k k

k

-==-??= ∑

∑ 例1.25（P28） 1

0211n k n n n k k n -=

= ??? ?+-??

∑

§1.5 二项式反演公式

1、二项式反演公式：

若n

n k k s n a b k =??= ∑，()n s ≥ 那么()1n n k n k k s n b a k -=??

=-

∑，()n s ≥.

第二章容斥原理及其应用

1、容斥原理：

⑴设S 是有限集，(),1,2,...,i A S i n ?=，则()

1211

1 (1)

1...k k n n

k i i i i k i i n

i A A A A -=≤<<≤==-∑∑

⑵设S 是有限集，(),1,2,...,i A S i n ?=，则

()

1211

1 (1)

1...k k n n

k

i i i i k i i n

i S A S A A A =≤<<≤=-=+-∑∑

⑶设S 是有限集，12,,...,n a a a 是n 个性质，以()

12...k i i i N a a a 表示S 中同时具有性质12,,...,n a a a 的元素的个数，以()

12''...'k i i i N a a a 表示S 中同时不具有性质

12,,...,n a a a 的元素的个数()

1212,,...,,,...,k i i i n a a a a a a k -是一个组合，则

()()

()

121111

1...''...'1...k k n

k

n i i i k i i n

N a a a S N a a a =≤<<≤=+-∑∑

2、容斥原理的应用：

⑴n 元集重排不保位的重排数：()

1!!

k