组合数学归纳

组合数学归纳组合数学组合数学归纳第一章排列和组合§1.1计数的基本原则一、相等原则二、加法原则三、乘法原则§1.2 排列一、n 元集的r-排列 1、n 元集的r-排列个数：()!!n n r -2、n 元集的全排列个数：!n 二、n 元集的r-可重复排列 1、n 元集的r-可重复排列个数：r n 三、多重集的排列1、多重集{}1122,,....,k k M n a n a n a =的全排列数为：()1212......!k k n n n n n n +++2、多重集{}1122,,....,k k M n a n a n a =的r-子集的全排列个数：⑴列出多重集M 的r- 子集：12,,...,s M M M ⑵分别求出多重集i M 的全排列个数，再求和§1.4 组合一、n 元集的r-组合1、n 元集的r-组合个数：()!!!n n r r n r ??= ?-??二、n 元集的r-可重复组合1、n 元集的r-可重复组合个数：1n r r +-??2、不定方程12...n x x x r +++=的非负整数解的个数：1n r r +-??3、不定方程12...n x x x r +++=的正整数解的个数：1r r n -??-??三、组合数的基本性质1.1、n n k n k = ? ?- 1.2、111n n n k k k --=+ ? ? ?-1.3、11n n n k k k -= ? ?- 1.4、11n n n k k k k -+= ? ?-1.5、1n n n k k n k -= ? ?-2、n m n n k m k k m k -= ??? ???-四、多项式定理1、多项式定理：()12112122...12(0,1,2...,)!......!!...!k k k i nn n n k n n n nk n i k n x x x x x x n n n +++=≥=+++=∑2、二项式定理：()0nnk n kk n x y x y k -=??+=∑ 3、推论：()01nnk k n x x k =??+=∑4、推论1：()0112nnn k n k =??=+=∑推论2：()()01110nk nk n k =??-=-=∑五、组合恒等式（e.g.）例1.18（P24） 01ki n i n k i k =--= ? ?-∑例1.19（P25） ()110nkk n k k =??-=∑例1.20（P25） ()10112111nn k n k k n +=??=- ?++??∑例1.21（P25） ()1,;10,.nn kk mn k n m k m n m -==-=? >∑若若例1.22（P26） 11ns m s n m m =+= ? ?+∑例1.23（P26） 0rk n m n m k r k r =+= ??? ?-∑ 202nk n n k n == ? ?∑ 例1.24（P27） () 11111k nn k k n k kk-==-??= ∑∑ 例1.25（P28） 10211n k n n n k k n -== ??? ?+-??∑§1.5 二项式反演公式1、二项式反演公式：若nn k k s n a b k =??= ∑，()n s ≥ 那么()1n n k n k k s n b a k -=??=-∑，()n s ≥.第二章容斥原理及其应用1、容斥原理：⑴设S 是有限集，(),1,2,...,i A S i n ?=，则()12111 (1)1...k k n nk i i i i k i i ni A A A A -=≤<<≤==-∑∑⑵设S 是有限集，(),1,2,...,i A S i n ?=，则()12111 (1)1...k k n nki i i i k i i ni S A S A A A =≤<<≤=-=+-∑∑⑶设S 是有限集，12,,...,n a a a 是n 个性质，以()12...k i i i N a a a 表示S 中同时具有性质12,,...,n a a a 的元素的个数，以()12''...'k i i i N a a a 表示S 中同时不具有性质12,,...,n a a a 的元素的个数()1212,,...,,,...,k i i i n a a a a a a k -是一个组合，则()()()1211111...''...'1...k k nkn i i i k i i nN a a a S N a a a =≤<<≤=+-∑∑2、容斥原理的应用：⑴n 元集重排不保位的重排数：()1!!kn k D n k =-=∑⑵()11nn n D nD -=+- ⑶()()121n n n D n D D --=-+ 第三章递推关系§3.1 差分1、△=E - I ；E=△+ I2、牛顿公式：()0nnnj j n E I j =??=?+=? ???∑()()1nnn jnj j n E I E j -==-=-∑ 3、多项式的差分设()f n 是n 的m 次多项式，则()()00101nmjk j n f k f j ==+??=? ?+??∑∑§3.2 递推关系1、常系数齐次递推关系()11...,n n k n k u a u a u n k --=++≥ 已知：011,,...,k u u u - 求解步骤：①解出111...k k k k x a x a x a --=+++的特征根()12,,;m m k λλλ≤，其中i λ为i e 重特征根；②递推关系具有通解：() 1121..i i ime nn i i ie i u cc n c n λ-==+++∑ ③把011,,...,k u u u -代入通解，分别求出k 个ij c 的值即可。

2、常系数非齐次递推关系()()11...,n n k n k u a u a u f n n k --=+++≥ 已知：011,,...,k u u u -求解步骤：①解出111...kk k k x a xa x a --=+++的特征根()12,,;m m k λλλ≤，其中i λ为i e 重特征根；②齐次递推关系具有通解：()1121..i i ime nn i i ie i u c c n c n λ-==+++∑ ③非齐次递推关系特解的求法1）若()f n 是n 的m 次多项式，且数字1为齐次递推关系特征方程的s 重特征根，则特解具有形式()*1110...s m m nm m u n A n A n A n A --=++++，并把它代入非齐次递推关系()()11...,n n k n k u a u a u f n n k --=+++≥ 求出01,,...,m A A A 的值；2）若()n f n ca =，且a 为齐次递推关系特征方程的s 重特征根，则特解具有形式*s n n u An a =，并把它代入非齐次递推关系()()11...,n n k n k u a u a u f n n k --=+++≥求出A 的值；3）综上，1）和2）的特解已求，至此，()1*121..i i ime n n i i ie n i u cc n c n u λ-==++++∑ ④把011,,...,k u u u -代入()1*121..i i i me n n i i ie n i u c c n c n u λ-==++++∑，求出k 个ij c 的值即可。

§3.3 斐波那契数1、斐波那契数的递推关系：()()()12f n f n f n =-+-，初值()()011f f ==；2、斐波那契数的通项公式：()111151152255n n f n ++??+-=- ? ? ? ???3、斐波那契数的通项公式（级数形式）：()200n n k k n k n k f n k k==--== ? ?????∑∑4、斐波那契数的应用：①以()g n 表示登上n 级台阶（其中每步只能登1级或2级）的不同方法数，令()01g =有()()g n f n = ②定理：()()021nk f k f n ==+-∑③定理：()()()()()11f n m f n f m f n f m +=+-- （应用于求解较大的斐波那契数）④阵列I 的SDR 数阵列I= 12112123n n n n n --- 的SDR 数()n u f n =；§3.4 两类Stirling 数 1、第一类Stirling 数定义：()()()()()1012...1,nk n k x x x x x n S n k x ==---+=∑，()1,S n k 为第一类Stirling 数.性质：()()()1111,,1,S n k S n k nS n k +=--证：()()()()()()()()11111,,1,n n n n x x n x x x n x S n k S n k nS n k +=-=-?+=--组合意义：恰可表示成k 个互不相交的轮换乘积的n 元置换一共有()()11,n kS n k +-种.2、第二类Stirling 数定义：()()()()120,,nnknn k k k x S n k x x S n k x ===?=∑∑，()2,S n k 为第二类Stirling 数.性质：()()()2221,,1,S n k S n k kS n k +=-+证：()()()()()()()()()()()()()()()()()()112220122221012221,,,,,,1,1,,1,n nnn nkk kk k k n nn nk k k kk k k k S n k x xx x x S n k x S n k x k k x S n k x kS n k x S n k x kS n k x S n k S n k kS n k ++===++====+==?=?=-+=+=-+?+=-+∑∑∑∑∑∑∑组合意义：n 件相异物放到k 个相同的盒子的非空方法有()2,S n k 种.第四章生成函数§4.1 常生成函数1、定义：{}n a 为一数列，则()0n n n A t a t ∞==∑为{}n a 的常生成函数2、常生成函数级数函数与初等函数的转化公式：定理4.2 ()01mn nn m at a t n ∞=??+=∑ 推广定义：()()()12...1!m m m m m n n n ---+??=转化公式： ()11nn t t ∞-=-=∑；()11n nn at a t ∞-=-=∑；()011knn n k t t n ∞-=+-??-=∑ ； ()011kn n n n k at a t n ∞-=+-??-= ∑；()1/221022111112n n n n t t n n ∞-=-??-=- ?-??∑ 转化应用：{}n a 与()0n n n A t a t ∞==∑的初等形式的相互求解3、组合意义：以k M 表示n 元集中元素i a 的可重复的次数值所组成的集合，则n 元集r-有限制的可重复组合数为()1k k knx x M k A t t ∈==∑∏展开式中r t 的系数.§4.3 指数生成函数1、定义：{}n a 为一数列，则()0!nn n a t E t n ∞==∑为{}n a 的指数生成函数2、指数生成函数级数函数与初等函数的转化公式：0!n nrtn r t e n ∞==∑转化应用：{}n a 与()0!nn n a t E t n ∞==∑的初等形式的相互求解3、组合意义：以k M 表示n 元集中元素i a 的可重复的次数值所组成的集合，则n 元集r-有限制的可重复排列数为()1!k k kx nx M k k t A t x ∈==∑∏展开式中!rt r 的系数.第五章整数的分拆§5.1 分拆的计数1、分拆数()r P n 的递推公式：定理5.1： ()22n P n ??=定理5.2： ()()()1,rr k k P n P n r n r ==->∑定理5.3： ()()()111,2n r r r k P n P n rk r n r-==-+->≥∑定理5.4： ()2220,222k k k k n P n k k k k P n n ≠+引理5.1：()()2331,423n k n k n P n n ??=+=-≥∑ 引理5.2：()212mk n k m n m =+??=+∑ 定理5.5： ()23312n P n ??+=??2、分拆数()r P n 的递推关系：()()()11k k k P n P n P n k -=-+- §5.2 完备分拆1、n-完备分拆的个数：设n+1的质因数分解式为12121...k kn p p p ααα+=，则n-完备分拆的个数为： ()1..11111kkmm ji m j i i j N αααα++-===+-??=-∑∑∏ 2、一个n-完备分拆()()()()112123121111.....1t t n q q q q q q q q q q -=-+-+-+-对应着一个121...t n q q q +=的分解 3、部分数最小的完备分拆设n+1的质因数分解式为12121...k kn p p p ααα+=，则部分数最少的n-完备分拆的部分数为：()1 1ki i i p α=-∑，部分数最少的n-完备分拆的个数为：()1212...!!!...!k k αααααα++第六章鸽笼原理鸽笼原理：设A 是m （m>1）元集，()1,2,...,i A A i n ?=且1ni i A A == ，则必有正整数()1k k n ≤≤，使得11k m A n -??≥+.组合数学的七类问题一、n 件相异物放到m 个不同的盒子1、n 件相异物放到m 个不同的盒子的不同方法数：n m2、n 件相异物放到m 个不同的盒子，且每个盒子至少有1件的不同方法数：解：设n 件相异物放到m 个不同的盒子的不同方法之集为S ，则n S m =，以()12...k i i i N a a a 表示S 中第12,,..,k i i i 个盒子都为空的元素的个数，以()12''...'ki i i N a a a 表示第12,,..,k i i i 个盒子都不为空的元素的个数，其中（{}12,,..,k i i i 为{}1,2,..,m 的一个k-子集，1k m ≤≤），根据容斥原理，题目所求的个数为：()()()1211111...''...'1...k k mkm i i i k i i mN a a a S N a a a =≤<<≤=+-∑∑另一方面，由于第12,,..,k i i i 个盒子都为空，故()()12...k ni i i N a a a m k =-，因此()()()()()()()11111 (11)0''...'111k mknm k i i mm k nnk m k nk N a a a S m k m m m k k m m k k =≤<<≤=-==+--??=+-- =-- ???∑∑∑∑即n 件相异物放到m 个不同的盒子，且每个盒子至少有1件的不同方法数为：()()()1201!,m k nk m m k m S n m k -=??--= ∑二、n 件相异物放到m 个相同的盒子1、n 件相异物放到m 个相同的盒子的不同方法数为：()()()12101111,!!mi mk ni k i i i k S n i k i i -===??--=∑∑∑2、n 件相异物放到m 个相同的盒子，且每个盒子非空的不同方法数为：()()()12011,!m k nk m m k S n m k m -=??--=∑三、n 件相同的物体放到m 个不同的盒子1、n 件相同的物体放到m 个不同的盒子的不同方法数为：不定方程12...m x x x n +++=的非负整数解的个数，即1m n n +-??2、n 件相同的物体放到m 个不同的盒子且每个盒子非空的不同方法数为：不定方程12...m x x x n +++=的正整数解的个数，即1n n m -??-??3、n 件相同的物体放到m 个不同的盒子，以()1,2,..i M i m =表示第i 个盒子可以放的个数的集合，求不同放法的种数：解：设所求为N ，则N 等于()1k k kmx x M k A t t ∈==∑∏的展开式中n t 项的系数.四、n 件相同的物体放到m 个相同的盒子1、n 件相同的物体放到m 个相同的盒子的不同方法数为：()()11m mm i r i r N P n P n --====∑∑2、n 件相同的物体放到m 个相同的盒子，且每个盒子非空的方法数为：()m P n五、把{}1122,,....,k k M n a n a n a =抽出元素放到m 个不同的盒子 1、把{}1122,,....,k k M n a n a n a =放到m 个不同的盒子的不同方法数：解：设所求方法数为N ，根据题意，分k 步完成：第i ()1,2,...i k =步的操作为：把i n 个i a 放到这m 个不同的盒子，设第j 个盒子有j x 个i a ，则12...k i x x x n +++=，即把i n 个i a 放到这m 个不同的盒子的不同方法数等于不定方程12...k i x x x n +++=的非负整数解的个数，即1i i k n n +-??；根据计数的乘法原则，11ki i i m n N n =+-??=∏2、把{}1122,,....,k k M n a n a n a =放到m 个不同的盒子且盒子非空的方法数：解：设所求为N ，设题1的方法之集为S ，则11ki i i m n S n =+-??=∏ ，以()12...si i i N a a a 表示S 中第12,...s i i i 个盒子都为空的元素的个数，根据容斥原理，有()()()1211111...''...'1...ss msm i i i s i i nN N a a a S N a a a =≤<<≤==+-∑∑另一方面由题1可知，()1211...s ki i i i i i m s n N a a a n =-+-??=∏ ，因此()()()()11111 (11111)011''...'111111s kmsi m s i i n i i k k ms i i s i i i i k m s i s i i m s n N N a a a S n m n m s n m n s n m s n m s n =≤<<≤====-==-+-??==+-+--+-=+- ? ?-+-=- ?∑∑∏∑∏∏∑∏3、把{}1122,,....,k k M n a n a n a =抽出r 个放到m 个不同的盒子的不同方法数：解：设所求为N ，N 为{}1122,,....,k k M n a na n a =的所有r-子集{}112212,,...,|...k k kx a x a x a xx x r ?+++=放到m 个不同的盒子的不同方法数之和，由题1知：12...11k ki x x x r i i m x N x +++==+-??=∑∏ ，事实上得先列出每一个r-子集{}112212,,...,|...k k k x a x a xa x x x r +++=，有点麻烦。