函数的极限及函数的连续性典型例题
函数的极限及函数的连续性（一）典型例题一、重点难点分析：①
此定理非常重要，利用它证明函数是否
存在极限。
②要掌握常见的几种函数式变形求极限。
③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件
是在x=x0处左右连续。
④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。
⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。
二、典型例题例1．求下列极
限①②③④解析：①。
②。
③。
④。
例2．已知，求m,n。
解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴ x=-2是方程
x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。
例3．讨论函数的
连续性。
解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连
续的，又，∴，
∴ f(x)在x=1处连续。
由
，从而f(x)在点
x=-1处不连续。
∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。
例4．已知函数
, (a,b为常数)。
试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。
解析：∵且，∴，∴a=1, b=0。
例5．求下列函数极限①②解析：①。
②。
例6．设
，问常数k为何值时，有存在？解析：∵
，。
要使存在，只需，∴ 2k=1，故时，存在。
例7．求函数
在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？解析：由
，，∵
，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。
三、训练题：1．已知
，则2．的值是
_______。
3. 已知，则=______。
4．已知
，2a+b=0，求a与b的值。
5．已知
，求a的值。
参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0。
专升本高等数学二(函数、极限与连续)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（函数、极限与连续）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．下列四组函数中f(x)与g(x)表示同一函数的是( )A．f(x)=tanx，g(x)=B．f(x)=lnx3，g(x)=3lnxC．f(x)=，g(x)=D．f(x)=ln(x2一1)，g(x)=ln(x一1)+ln(x+1)正确答案：B解析：A、D选项中，两函数的定义域不同，C选项中，当x＜0时，f(x)≠g(x)，B选项中，f(x)=lnx3=3lnx=g(x)，定义域均为x＞0，故选B．知识模块：函数、极限与连续2．函数f(x)=是( )A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．不能确定奇偶性正确答案：B解析：由于一1＜x＜1，从而定义域关于原点对称，又f(一x)==f(x)，所以函数f(x)为偶函数．知识模块：函数、极限与连续3．= ( )A．B．1C．D．3正确答案：C解析：．知识模块：函数、极限与连续4．极限等于( )A．0B．1C．2D．+∞正确答案：D解析：因该极限属“”型不定式，用洛必达法则求极限．原式=(ex＋e－x)=+∞．知识模块：函数、极限与连续5．当x→0时，无穷小x+sinx是比x ( )A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：C解析：=2，故选C．知识模块：函数、极限与连续6．=6，则a的值为( )A．一1B．1C．D．2正确答案：A解析：因为x→0时分母极限为0，只有分子极限也为0，才有可能使分式极限为6，故[(1＋x)(1＋2x)(1+3x)+a]=1＋a=0，解得a=一1，所以=6．知识模块：函数、极限与连续7．下列四种趋向中，函数y=不是无穷小的为( ) A．x→0B．x→1C．x→一1D．x→+∞正确答案：B解析：知识模块：函数、极限与连续8．设f(x)== ( )A．4B．7C．5D．不存在正确答案：A解析：知识模块：函数、极限与连续填空题9．函数y=ln(lnx)的定义域是_________．正确答案：(1，+∞)解析：y=ln(lnx)，所以解得x＞1，故函数的定义域为(1，+∞)．知识模块：函数、极限与连续10．已知f(x)=2x2+1，则f(2x+1)= _________．正确答案：8x2+8x+3解析：用代入法得f(2x+1)=2(2x+1)2+1=8x2+8x+3．知识模块：函数、极限与连续11．=________．正确答案：解析：令．也可直接利用无穷小量代换．知识模块：函数、极限与连续12．=________．正确答案：e2解析：=e2．知识模块：函数、极限与连续13．设函数f(x)=在x=0处连续，则a=________．正确答案：3解析：因为函数f(x)在x=0处连续，则=a=f(0)=3．知识模块：函数、极限与连续14．设f(x)=在x=0处连续，则常数a与b满足的关系是________．正确答案：a=b解析：函数f(x)在x=0处连续，则有=b，即a=b．知识模块：函数、极限与连续解答题15．已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数f(x+4)的定义域．正确答案：因为f(x)的定义域是[0，1]，所以在函数f(x+4)中，0≤x+4≤1，即一4≤x≤一3，所以f(x+4)的定义域为[一4，一3]．涉及知识点：函数、极限与连续16．计算．正确答案：函数－x复合而成，利用有理化求得．故．涉及知识点：函数、极限与连续17．求．正确答案：0．∞型，先变形为，再求极限．=1．涉及知识点：函数、极限与连续18．求极限．正确答案：=1．涉及知识点：函数、极限与连续19．求极限．正确答案：原式==一15π2．涉及知识点：函数、极限与连续20．求极限．正确答案：所求极限为∞一∞型，不能直接用洛必达法则，通分变成型．涉及知识点：函数、极限与连续21．求．正确答案：涉及知识点：函数、极限与连续22．求极限．正确答案：1一，则有原式=．涉及知识点：函数、极限与连续23．若函数f(x)=在x=0处连续，求a．正确答案：由=一1．又因f(0)=a，所以当a=一1时，f(x)在x=0连续．涉及知识点：函数、极限与连续24．设f(x)=问a为何值时，f(x)在x=0连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点．正确答案：f(0)=6，(1)若f(x)在x=0处连续，应有2a2+4=一6a=6，故a=一1；(2)若x=0是f(x)的可去间断点，则应有≠f(0)，即2a2+4=一6a≠6，故a≠一1，所以a=一2时，x=0是可去间断点．涉及知识点：函数、极限与连续25．证明方程x3+x2+3x=一1至少有一个大于一1的负根．正确答案：令f(x)=x3+x2+3x+1，f(一1)=一2＜0，f(0)一1＞0，f(x)在(一1，0)上连续，由零点定理知，在(一1，0)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0，所以方程在(一1，0)内至少有一根，即方程至少有一个大于一1的负根．涉及知识点：函数、极限与连续。
函数极限与连续性知识点及典例
(3) lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数f ( x )在点x 0处不连续 (或间断 ), 并称点 x 0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
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5. 间断点的分类 (1) 跳跃间断点 如果f ( x )在点x 0处左, 右极限都
记作 lim f ( x ) = ∞ (或 lim f ( x ) = ∞ ).
x → x0 x →∞
无穷小与无穷大的关系 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大. 零的无穷小的倒数为无穷大.
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无穷小的运算性质 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 仍是无穷小 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 推论 在同一过程中 有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
∆x→0
末就 函数f (x)在 x 0 连 , 0 称为f (x)的 称 那 点 续x 连 点 续 .
定义2 lim f ( x) = f ( x0 ).
x→x0
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2. 单侧连续
若函数 f ( x )在(a , x 0 ]内有定义 , 且f ( x 0 − 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且f ( x 0 + 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续 .
高三数学复习函数的连续性
第四节 函数的连续性及极限的应用1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且0lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0lim x x →f (x )存在；(3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。
②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。
4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：lim f(x)=f(a)，如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有+x→alim f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连在右端点x=b处有-→bx续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.6. 最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。
函数的连续性极其性质
了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.无穷大量和无穷小量无穷大量我们先来看一个例子：已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。
为此我们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当时，成立，则称函数当时为无穷大量。
记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的）同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函数当x→∞时是无穷大量，记为：。
无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量。
定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量.记作：(或)注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。
无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.。
关于无穷小量的两个定理定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。
定理二：无穷小量的有利运算定理a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量.无穷小量的比较通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。
定义：设α，β都是时的无穷小量，且β在x0的去心领域内不为零，a)：如果，则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小；b)：如果，则称α和β是同阶无穷小；c)：如果，则称α和β是等价无穷小，记作：α∽β(α与β等价)例：因为，所以当x→0时，x与3x是同阶无穷小；因为，所以当x→0时，x2是3x的高阶无穷小；因为，所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小。
函数的连续性及极限的应用
函数的连续性1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且limx x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0lim x x →f (x )存在；(3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。
②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。
4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。
高考第一轮复习数学函数的连续性及极限的应用
答案：D
3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是
A.①B.②③C.①④D.③④
答案：A
4.四个函数:①fx= ;②gx=sinx;③fx=|x|;④fx=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.把你认为正确的代号都填上
答案：②③④
●典例剖析
图丁表示的是 fx存在,但它不等于函数在这一点处的函数值fx0.
●教师下载中心
教学点睛
1.函数fx在点x0处连续与fx在点x0处有极限的联系与区别:
其联系是:它要求 fx存在.
其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,fx在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于fx的定义域,也可以不属于fx的定义域,即与fx0是否有意义无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0及其附近都有定义;其次,fx在点x0处的极限值与fx在点x0处的函数值fx0可以无关,而fx在点x0处连续,要求fx在点x0处的极限值等于它在这一点的函数值fx0.我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.
1.函数fx在点x0处连续反映到函数fx的图象上是在点x=x0处是不间断的.一般地,函数fx在点x0处不连续间断大致有以下几种情况如下图所示.
图甲表示的是fx在点x0处的左、右极限存在但不相等,即 fx不存在.
图乙表示的是fx在点x0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于 fx不存在的情况.
图丙表示的是 fx存在,但函数fx在点x0处没有定义.
2.函数fx在点x0处连续必须具备以下三个条件:
函数fx在点x=x0处有定义;
函数fx在点x=x0处有极限;
教材练习-函数的极限与连续()
第1章.函数.极限和连续（约20%）1.函数（1）．理解函数的概念,会求函数的定义域.表达式及函数值,会作出1些简单的分段函数图像。
定义域的求法原则（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时含有上述4项时,要求使各部分都成立的交集例1. 求的定义域：（1）（2）（3）【提升】例2. 当是函数的定义域,求的定义域。
例3.当是函数的定义域,求的定义域。
表达式.函数值例4.下列各对函数中,两个函数相等的是———————————（ ） A．与B．与C．与D．与例5.（1）设,则=______________（2）设,则=______________奇偶性例1．讨论函数的奇偶性。
（1）（2）例2．设是定义在上的任意函数,试证（1）是偶函数。
（2）是奇函数。
【综合】.设函数的定义域是全体实数,则函数是———（ ） A．单调减函数 B．偶函数C．有界函数 D．周期函数求反函数例1.（1）（2）3角函数3角函数有正弦函数.余弦函数.正切函数.余切函数.正割函数和余割函数。
其中正弦.余弦.正切和余切函数的图形见图1-4。
2.极限（1）．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义),能依据极限概念描述函数的变化趋势。
理解函数在1点处极限存在的充分必要款件,会求函数在1点处的左极限与右极限。
性质3（数列极限几个常用的结论）：1.（）。
2.（）．例.计算极限（1）（2）（3）(4) (5) (6)(7) (8) (9)（3）．理解无穷小量.无穷大量的概念,掌握无穷小量的性质,无穷小量与无穷大量的关系。
会比较无穷小量的阶(高阶.低阶.同阶和等价)。
会运用等价无穷小量替换求极限。
无穷小量的阶的比较（以下讨论的和都是自变量在同1变化过程中的无穷小,且,而也是在这个变化过程中的极限）：（1）若,则称是比高阶的无穷小量,记作（时）,也称是比低阶的无穷小量。
（2）若（）,则称与为同阶无穷小量。
（3）若,则称与是等价无穷小量,记作或．（4）．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则),掌握两个重要极限：,,并能用这两个重要极限求函数的极限。
高三数学 函数的极限与连续性
【规范解答】 ∵li m
x→1＋
xx＋－31－2＝
li m
x→1＋
(x－1)( x＋3＋2)
x＋3－4
＝li m ( x＋3＋2)＝4，3 分
x→1＋
又∵函数 f(x)在 R 上处处连续，
∴li m f(x)＝li m f(x)＝4，
x→1＋
x→1＋
且 li m f(x)＝f(1)，∴a＋b＝4，6 分
＝li m
x→－2
x(xx－＋31)＝－25.
(2) 原 式 ＝ li m
x→2π
sin x－sin xcos x
sin cos
xx－sin
sin3x
x
＝
li
m
x→2π
sin3 x·cos x
＝ li m
x→2π
1－cos x sin2 x·cos x
＝
li
m
x→2π
1
(1＋cos x)(cos x)
x→＋∞
x→－∞
x 趋向于无穷大时，函数 f(x)的极限是 a.记作
li m f(x)＝a
___x→_∞__________.也记作当 x→∞时，f(x)→a.
对于常数函数 f(x)＝C(x∈R)，也有 li m f(x)＝C.
x→∞
2．当 x→x0 时函数 f(x)的极限 当自变量 x 无限趋近于常数 x0(但 x≠x0) 时，如果函数 f(x)无限趋近于_一__个__常__数__a__，
• 【答案】 B
• 3．若f(x)在区间[a，b]上连续，则 下列说法中不正确的是( )
• A．在(a，b)内每点都连续
• B．在a点处左连续
• C．在b点处左连续
东南大学考研课件-极限,连续,间断
东南大学
例.高阶导数问题
贺传富
东南大学
3.
贺传富
东南大学
贺传富
例 4 (1)求 f(x)ln i m 1 1 x x 2n
(2 )求 f(x ) lim (s in t)s in t x s in x t xs in x
(3 )求 f(x ) tl im x 2 e e tt (( x x 1 1 )) 1 a x
一.基本内容:
1.导数 导数与左右导数以及它们的关系 导数的几何意义 可导与连续的关系
18个基本导数公式
贺传富
东南大学
2.求导法则 四则运算求导法则;
贺传富
复合函数求导法则;
反函数求导法则; 隐函数求导法则;
由参数方程确定的函数的求导法则;
对数求导法则;
东南大学
3. 变限函数的导数:
贺传富
东南大学
2.
贺传富
东南大学
贺传富
例. 变限所定义的函数的导数:
1. 设 f(x)=xlntdt(x0),
11t 求f (x) f ( 1 )
x
2 . 设 f ( x ) 在 ( , ) 上 连 续 ,
F ( x ) = x ( x 2 t)f( t) d t( x 0 ) ,证 明 : 0
东南大学
贺传富
2)常用极限
limarctanx , limarctanx
x
2 x
2
limarccotx0, limarccotx
x
x
lim ex 0,
limex
数列函数极限和函数连续性
数列、函数极限和函数连续性数列极限定义1（N ε-语言）：设{}n a 是个数列，a 是一个常数，若0ε∀>，∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a a ε-<，则称a 是数列{}n a 当n 无限增大时的极限，或称{}n a 收敛于a ，记作lim n n a a →+∞=，或()n a a n →→+∞.这时，也称{}n a 的极限存在.定义2（A N -语言）：若0A >,∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a A >,则称+∞是数列{}n a 当n 无限增大时的非正常极限，或称{}n a 发散于+∞，记作lim n n a →+∞=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限，对于,-∞∞的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.1.2 数列极限求法的常用定理定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都是收敛数列，且有()()lim lim lim ,lim lim lim .n n n n n n n n n n nn n n a b a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是收敛数列，且有lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭. 定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理1.2.3（∞Stoltz 公式） 设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，且lim n n x →+∞=+∞（注意：不必lim n n y →+∞=+∞）.如果11limn n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），则 11limlim.n n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-定理1.2.3'（00Stoltz 公式） 设{}n x 严格减，且lim 0n n x →+∞=，lim 0n n y →+∞=.若11limn n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞）， 则 11limlimn n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-.定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim n n a a →∞=，则（1）12 (i)nn a a a a n→∞+++=，（2）若()01,2,...n a n >=，则12lim ...n n n a a a a →∞=.定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列{}{},n n a b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时，有 n n n a c b ≤≤， 则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.定理1.2.6（归结原则）设f 在()0;U x δ' 内有定义.()0lim x xf x →存在的充要条件是：对任何含于()0;U x δ' 且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等.数列极限的求法2.1 极限定义求法在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N .我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子. 例2.1.1 求lim n n a →∞，其中0a >.解：lim 1n n a →∞=.事实上，当1a =时，结论显然成立.现设1a >.记11n a α=-，则0α>. 由()11111nn a n n a αα⎛⎫=+≥+=+- ⎪⎝⎭,得 111n a a n--≤. （5）任给0ε>，由（5）式可见，当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<.即11n a ε-<.所以lim 1n n a →∞=.对于01a <<的情况，因11a>，由上述结论知1lim1nn a→∞=，故11lim lim111/n nn n a a→∞→∞===.综合得0a >时，lim 1n n a →∞=.例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.证明：由lim n n a a →∞=，则0ε∀>，存在10N >，使当1n N >时，有/2n a a ε-<, 则()111211...1......nN N n a a a a aa a a a a a ann++++-≤-++-+-++-.令11...N c a a a a =-++-，那么121 (2)na a a n N c a nnn ε+++--≤+⋅.由lim0n c n→∞=，知存在20N >，使当2n N >时，有2c n ε<.再令{}12max ,N N N =,故当n N >时，由上述不等式知121 (2)222na a a n N a nn εεεεε+++--≤+⋅<+=.所以 12 (i)nn a a a a n→∞+++=.例 2.1.3 求7lim!nn n →∞.解：7lim0!nn n →∞=.事实上，7777777777771......!127817!6!n n n n n n=⋅⋅⋅≤⋅=⋅-.即77710!6!nn n-≤⋅.对0ε∀>，存在7716!N ε⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，便有77710!6!nn nε-≤⋅<，所以7lim0!nn n →∞=. 注：上述例题中的7可用c 替换，即()lim00!nn cc n →∞=>.2.2 极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法. 例2.2.1 求11101110 (i)...mm m m k k n k k a n a n a n a b n b nb n b ---→∞-++++++++,其中00m k m k a b ≤≠≠，，.解：分子分母同乘k n -，所求极限式化为1111011110 (i)...m km kkkm m kkn k k a na na na nb b nb n b n---------→∞-++++++++.由()lim 00n n αα-→∞=>，知，当m k =时，所求极限等于m ma b ；当m k <时，由于()00m k n n -→→，故此时所求极限等于0.综上所述，得到 11101110, (i)....0,mm m m m m kk n k k a k m a n a n a n a b b n b nb n b k m ---→∞-⎧=++++⎪=⎨++++⎪>⎩例2.2.2 求lim1nnn aa →∞+，其中1a ≠-.解: 若1a =，则显然有1lim12nn n aa →∞=+；若1a <，则由lim 0n n a →∞=得()lim lim /lim 101nnnnn n n aa a a →∞→∞→∞=+=+；若1a >，则11limlim111101nnn n naa a→∞→∞===+++.2.3 夹逼准则求法定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具. 例2.3.1 求极限()()1321lim 242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.解：因为()()()()2224412121212121n n n n n n n n =>-=+--=-⋅-，， 所以()()13211332121102421335212121n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅-<<⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅++.因 1lim021n n →∞=+，再由迫敛性知()()1321lim242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅.例2.3.2 求数列{}n n 的极限.解： 记1n n n a n h ==+，这里()01n h n >>，则 ()()2112n nn n n n h h -=+>,由上式得 ()2011n h n n <<>-，从而有21111n n a h n ≤=+≤+- , （2）数列211n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是收敛于1的，因对任给的0ε>，取221N ε=+，则当n N >时有2111n ε+-<-.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得lim 1n n n →∞=.例2.3.3 设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：lim0k nn n a→∞=.事实上，先令1k =，把a 写作1η+，其中0η>.我们有 ()()()22201111...2nnn nn n n an n ηηηη<==<--++++.由于()()22lim021n n n η→∞=≥-，可见n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小.据等式()1/kk nnk n n aa ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，注意到1/1ka>，由方才所述的结果()1/nk na ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是无穷小.最后的等式表明，k n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭可表为有限个（k 个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 lim0k nn n a→∞=.2.4 单调有界定理求法有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子. 例2.4.1 求例2.1.3注解中的()lim00!nn cc n →∞=>.解：()lim00!nn cc n →∞=>.事实上，令*!nn cx n N n =∈，.当n c ≥时，()11n nn cx x x n +=≤+.因此{}n x 从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限lim n n x x →∞=存在，在等式()11n ncx x n +=+的等号两边令n →∞，得到00x x =⋅=,所以{}n x 为无穷小.从而()lim00!nn cc n →∞=>.例2.4.2 求极限lim 333n →∞⋅⋅⋅（n 个根号）.解：设3331n a =⋅⋅⋅>，又由133a =<，设3n a <，则13333n n a a +=<⨯=. 因13n n n a a a +=>，故{}n a 单调递增. 综上知{}n a 单增有上界，所以{}n a 收敛. 令lim 13n n a a a →∞=≤≤，，由13n n a a +=， 对两边求极限得3a a =，故3a =. 2.5 函数极限法有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求lim n n a →∞.解：先求lim xx a →∞，因ln ln lim1/0lim lim lim 1x aa xxxxx x x a aee e →∞→∞→∞→∞=====,再由归结原则知lim 1n n a →∞=.例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求lim n n n →∞.解：先求limxx x →∞.因ln ln limlimlim 1x xx xxxx x x ee e →∞→∞→∞====，再由归结原则知lim 1n n n →∞=.例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：先求limk xx x a→∞.因()1!limlim (i)ln ln kk kxxxx x x xkxk a a aaa -→∞→∞→∞====（由洛比达法则），再由归结原则知lim0k nn n a→∞=.2.6 定积分定义法通项中含有!n 的数列极限，由于!n 的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了.例2.6.1 求!limnn n n→∞.解：令!nn y n=，则11ln lnni i y nn==∑.而()++110011lim ln limlnln lim ln lim1ln 1nn n i i y xdx xdx nnεεεεεε→∞→∞→→=====---=-⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰,也即ln lim 1n y →∞=-，所以1!lim limnn n n y en-→∞→∞==.例2.6.2 求极限2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭. 解：因为22sinsin...sin sinsinsin (111)12nnn n n n n n nππππππ+++<+++++++2sinsin...sin 1nnn nπππ+++<+，2sin sin...sin 12limlimsin sin ...sin 1112lim sin sin ...sin n n n nnn n n n n n n n n πππππππππππππ→∞→∞→∞+++⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12sin xdx πππ==⎰，类似地2sinsin...sin lim 1n nnn nπππ→∞++++22122limsin sin ...sin 1n nn nn n ππππππ→∞⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++=⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，由夹逼准则知2sin sin sin 2lim ...1112n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫ ⎪+++= ⎪+ ⎪++⎝⎭ .注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz 公式法Stoltz 公式，11limlim.n n n n n nn n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-在求某些极限时非常方便，尤其是当1nn kk y a ==∑时特别有效.例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明.证明：前面用N ε-定义法证明，现用Stoltz 公式证明. 令12...,n n n y a a a x n =+++=，则由Stoltz 公式得到()()()1212121 (i)......lim 1nn n n n a a a na a a a a a n n →∞-→∞++++++-+++=--limlim 1n n n n a a a →∞→∞===.例2.7.2 求112...lim kk kk n nn+→+∞+++.解： ()11112 (i)lim1kkkkk k k n n nn nnn +++→+∞→+∞+++=-- （Stoltz 公式）＝()112111lim...1kk kk n k k nCn Cn+-→+∞++-+-- （二项式定理）＝11111k C k +=+.2.8 几何算术平均收敛公式法上面我们用Stoltz 公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会发现很多**nn，类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. 例2.8.1 同例2.1.1一样求lim n n a →∞，其中0a >. 解：令123,...1n a a a a a =====,由定理1.2.4（2）知lim lim 1n n n n a a →∞→∞==.例2.8.2 同例2.3.2一样求lim n n n →∞.解：令()112,3, (1)n n a a n n ===-，,由定理1.2.4（2）知lim lim lim11n n n n n n n a n →∞→∞→∞===-.例2.8.3 同例2.6.1相似求lim!nn n n →∞.解：令()111nnn nn a n n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则()12312231234123nn nn a a a n+⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝()()11!!nnnnn n nn n n++=⋅.所以121!n n nnn a a a nn +⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，也即121!nn nnn a a a n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，而由定理1.2.4（2）知121lim lim lim 1nnn n n n n a a a a e n →∞→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅==+= ⎪⎝⎭.故12limlimlim11!nn nn n n n n n a a a e e n n n →∞→∞→∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=++.例2.8.3 求3123 (i)nn nn→∞++++.解：令(),1,2,3...n n a n n ==，则由定理1.2.4（1）知 3123 (i)lim lim1nnn n n n na n n→∞→∞→∞++++===.2.9 级数法若一个级数收敛，其通项趋于0（0n →）,我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想. 例2.9.1 用级数法求例2.1.3注()lim0!nn cc n →∞>.解：考虑级数!ncn ∑，由正项级数的比式判别法，因()1lim/lim011!!1n nn n ccc n n n +→∞→∞==<++，故级数!ncn ∑收敛，从而()lim00!nn cc n →∞=>.例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设1a >及*k N ∈，求limk nn n a→∞.解：考虑正项级数k nn a∑，由正项级数的比式判别法，因()11111lim/lim 1kkkn n n n n nn aa a n a+→∞→∞++⎛⎫=⋅=< ⎪⎝⎭， 故正项级数knn a∑收敛，所以lim0k nn n a→∞=.例2.9.3 求极限()()222111lim ...12n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.解： 因级数211n n∞=∑收敛，由级数收敛的柯西准则知，对0ε∀>，存在0N >, 使得当n N >时，21221111nn k k kkε-==-<∑∑，此即()()222111...12nn n ε+++<+，所以()()222111lim ...012n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 例2.9.4 求极限()212lim ...1n n n a aaa →∞⎛⎫+++>⎪⎝⎭. 解：令1x a=，所以1x <.考虑级数 1n n nx ∞=∑，因为()111limlim1n n nn n nn x a x a nx++→∞→∞+==<，所以此级数收敛.令 ()1nn s x nx ∞==∑，则()11n n s x x nx∞-==⋅∑.再令()11n n f x nx∞-==∑，()1111x x n nn n x f t dt ntdt xx∞∞-=====-∑∑⎰⎰.所以()()2111xf x xx '⎛⎫==⎪-⎝⎭-. 而 ()()()()122111xas x x f x x a --=⋅==--,所以()()122112lim ...1n n n a s x a a a a -→∞-⎛⎫+++== ⎪⎝⎭-.2.10 其它方法除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们可以再看几个例子.例2.10.1 求()22lim sin n n n π→∞+.解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性. ()()2222lim sin lim sin n n n n n n n πππ→∞→∞+=+-＝222lim sin lim sin111n n n n n nn ππ→∞→∞=++++＝2sin 12π=.例2.10.2 设21101222n n a cc c a a +<<==+，，,证明：{}n a 收敛，并求其极限.解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明 ()0,1,2...n a c n <<=. 事实上,102c a c <=<.假设01n a c <<<，则2210222222n n a c c cc c a c +<=+<+<+=.令()222c xf x =+，则()f x x '=.()()()111n n n n n n a a f a f a f a a ξ+--'-=-=⋅-＝11n n n n a a c a a ξ--⋅-<-， （1）其中ξ介于n a 和1n a -之间.由于01c <<,再由（1）式知{}n a 为压缩数列，故收敛.设lim n n a l →∞=,则2c l c ≤≤.由于2122n n a c a +=+，所以 22,2022c ll l l c =+-+=.解得11l c =+-（舍去），11l c =--. 综上知lim 11n n a c →∞=--.注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.函数极限一、函数极限的定义定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|<ε，其中ε是可以任意小的正数，则称当x 趋向无穷大时，函数f （x ）趋向于a ，记作+∞→x lim f(x)=a 或f(x)→a(x→+∞)。