上海交通大学-线性代数-矩阵作业-特征值计算方式
上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习题3
习 题 三 （一）1.求下列矩阵的特征值与特征向量.（1）133353331A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为2,1321-===λλλ(二重)对应的特征向量. 1111c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,23231110,,01c c c c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数.（2）212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭答案特征值为1231λλλ===-(三重)对应的特征向量. 11,1k k -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为任意非零常数. (3) 563101121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为1232λλλ===(三重)对应的特征向量. 12122110,,01c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数. (4) 222214241A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭答案特征值为1236,3λλλ=-==(二重).对应的特征向量分别为:112,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭232210,01k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。
(5) 322010423A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭答案特征值为1231,1λλλ===-(二重) 。
对应的特征向量分别为. 110,1k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭231120,02k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。
(6) 0100100000010010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭答案特征值为121λλ==-(二重) 341λλ==(二重) 。
对应的特征向量分别为. 120101,1010k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭340101,1010k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12,k k 为不同时为零的任意常数,34,k k 为不同时为零的任意常数。
上海交通大学 矩阵理论 课件20110915
1
特征值
n阶复矩阵A可相似对角化（可对角化）：存在对角矩阵D = diag (λ1 , λ2 , · · · , λn )与 可逆矩阵P = (α1 , α2 , · · · , αn )使得A = P DP −1 ，则称A与D相似。 λi ：特征值或特征根（本征值） αi ：特征向量 |λI − A|：特征多项式
• 矩阵A的迹等于其所有特征值的和； • 设f (x)为任意多项式，λ是A的一个特征值，α是属于特征值λ的特征向量， 则f (λ)是f (A)的一个特征值，α 是属于f (λ)的特征向量； • 设A可逆且特征多项式为|λI − A|，则其逆矩阵的特征多项式为|λI − A−1 | = s −1 ni −1 i=1 (λ − λi ) ，且若α是A的属于特征值λ的特征向量，则α也是A 的属 −1 于特征值 λ 的特征向量； • 任何特征值的几何重数不超过其代数重数； • 相似矩阵具有相同的特征多项式（因此具有相同的特征值）。
2
• n维线性空间中任意n个线性无关向量均构成一组基，且任何一组基恰 含n个向量； • n维线性空间中任意r个线性无关向量均能扩充成一组基。
3.4
过渡矩阵
n维线性空间V 中两组基α1 , α2 , · · · , αn 和β1 , β2 , · · · , βn ，分别称为α−基和β −基。 它们满足 β1 = p11 α1 + p21 α2 + · · · + pn1 αn , β2 = p12 α1 + p22 α2 + · · · + pn2 αn , . . .βn = p1n α1 + p2n α2 + · · · + pnn αn , 或用矩阵形式表达为 (β1 , β2 , · · · , βn ) = (α1 , α2 , · · · , αn )P. 矩阵P 称为由α−基到β −基的过渡矩阵。 设γ ∈ V 在α−基和β −基下的坐标分别为x = (x1 , x2 , · · · , xn )T 和y = (y1 , y2 , · · · , yn )T 。 则 x1 y1 y1 x1 x2 y2 y2 x2 . . =P. , = P −1 . . . . . . . . . xn yn yn xn 这个公式称为坐标Vλ ：矩阵A的特征值λ的特征子空间，其维数称为特征 值λ的几何重数。 设σ (A)（所有特征值的集合）= {λ1 , λ2 , · · · , λs }，且|λI − A| = s i=1 (λ − λi )ni ，则称正整数ni 为特征值λi 的代数重数。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
在矩阵的运算中，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，具有很多重要的性质和应用。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、计算方法及其应用。
特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个n维非零向量X，使得AX=λX，其中λ为一个常数，则我们称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的计算方法求解矩阵的特征值与特征向量的计算方法主要有两种：特征多项式法和迭代法。
1. 特征多项式法特征多项式法是求解矩阵特征值与特征向量最常用的方法之一。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，记为I_n。
（2）定义特征多项式为f(λ)=|A-λI_n|，其中|A-λI_n|表示A-λI_n的行列式。
（3）求解f(λ)=0的根，即为矩阵A的特征值。
（4）将特征值代入方程(A-λI_n)X=0，求解Ax=λX，即可得到矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
2. 迭代法迭代法是求解特征值与特征向量的一种数值方法。
它通过不断迭代矩阵的幂，逐渐逼近特征值与特征向量。
具体步骤如下：（1）选择一个任意的非零向量X_0作为初始向量。
（2）计算矩阵A与初始向量X_0的乘积AX_0。
（3）根据公式X_1=AX_0/|AX_0|，其中|AX_0|表示AX_0的模长。
（4）重复上述步骤，计算X_2=AX_1/|AX_1|，X_3=AX_2/|AX_2|，直到收敛。
（5）当向量X_k满足|AX_k-AX_{k-1}|<ε时，停止迭代，其中ε为预先设定的误差限。
特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际应用中具有广泛的价值，下面将介绍其在不同领域的应用。
1. 物理学中的应用在量子力学和固体物理学中，特征值和特征向量描述了问题的能量和波函数。
通过求解薛定谔方程，可以得到物质的特征值与特征向量，从而研究其电子能级和波函数分布。
矩阵特征值与特征向量的计算
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x (K+2)
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定理6 设A Rnn有完全特征向量系，若1, 2,…, n为A的n个特征值且满足
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n
对任取初始向量x(0) Rn，对乘幂公式
x(k) Ax(k 1)
确定的迭代序列{xk}，有下述结论：
z aii
n
aij
j1 ji
, i 1,2, ,n
n
表示以aii为中心，以
j
a ij
1
半径为的复平面上的n个圆盘。
ji
（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余
n – m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。
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8
定理4及定理5给出了矩阵特征值的估计方法及界。
41 0
例1 设有 A 1 0 1 估计A的特征值的范
围。
11 4
解：由圆盘定理：
D 1 :z41 ;D 2 :z02 ; D 3 :z42
D1为弧立圆盘且包含A的一个实特征值1（因为虚根成 对出现的原理），则3≤1≤5。而2、3D2∪D3，则
(A) max i 6. 3 (A) 6.
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§3.1 乘幂法与反幂法
3.1.1 乘幂法
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i p ,q
a(pkp) aq(q k) a(pkq)
a(pkp1)cos2 2a(pkq 1)sin cos aq(q k 1)sin2 a(pkp1)sin2 2a(pkq 1)sin cos aq(k q 1)cos2 a(pkp1) aq(q k 1) sin cos a(pkq 1)(cos2 sin2 )
矩阵特征值的求法
矩阵特征值的求法矩阵的特征值是在线性代数中一个非常重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
特征值的求法有多种方法，其中最常用的是特征多项式的求解方法、特征向量迭代方法和QR分解方法。
下面将详细介绍这三种方法的原理和步骤。
1.特征多项式的求解方法：特征多项式是指一个与矩阵A有关的多项式，它的根就是矩阵A的特征值。
求解特征多项式的步骤如下：（1）设A是n阶方阵，特征多项式为f(λ)=，A-λI，其中λ是待求的特征值，I是单位矩阵。
（2）计算行列式，A-λI，展开成代数余子式的和：A-λI， = (a11-λ)(a22-λ)...(ann-λ) - a12...an1(a21-λ)(a33-λ)...(ann-λ) + ..（3）将上式化简为f(λ)=0的形式，得到特征多项式。
（4）求解特征多项式f(λ)=0，得到矩阵A的所有特征值。
2.特征向量迭代方法：特征向量迭代方法的基本思想是利用矩阵A的特征向量的性质来逐步逼近特征值的求解。
具体步骤如下：（1）选取一个n维向量x0作为初始向量。
（2）通过迭代计算x1 = Ax0，x2 = Ax1，...，xn = Axn-1，直到向量序列xn趋于稳定。
（3）计算极限lim┬(n→∞)((xn)^T Axn)/(，xn，^2)，得到特征值的估计值。
（4）将估计值代入特征方程f(λ)=，A-λI，=0中，求解特征方程，得到矩阵A的特征值。
3.QR分解方法：QR分解方法是将矩阵A分解为QR的形式，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
特征值的求解步骤如下：（1）通过QR分解，将矩阵A分解为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。
（2）将A表示为相似对角矩阵的形式，即A=Q'ΛQ，其中Λ为对角矩阵，其对角线上的元素就是特征值。
（3）求解Λ的对角线元素，即求解特征值。
需要注意的是，这三种方法各自有适用的情况和算法复杂度。
特征多项式的求解方法适用于任意阶数的方阵，但对于高阶矩阵来说计算量比较大；特征向量迭代方法适用于大型矩阵的特征值求解，但需要选取合适的初始向量；QR分解方法适用于方阵的特征值求解，但要求矩阵能够进行QR分解。
线性代数第3版习题全解上海交通大学
线性代数第3版习题全解上海交通大学(总85页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1. 计算下列行列式：(1)7415； ()()cos sin 2;3sin cos x y z x x zx y x xyzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x； (5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zzx zx++=++=++++()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5)xy x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==,121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
上海交大线性代数习题答案
上海交大线性代数习题答案上海交大线性代数习题答案线性代数作为数学的一个重要分支，是大多数理工科学生必修的一门课程。
而上海交通大学作为中国著名的高等学府，其线性代数课程更是备受关注。
在学习过程中，习题是巩固知识、提高技能的重要途径。
因此，本文将为大家提供上海交大线性代数习题的答案。
1. 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中一个基本概念，它描述了矩阵的行（列）向量组的线性无关程度。
在上海交大线性代数课程中，关于矩阵的秩的习题是必不可少的。
例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其秩。
这时，我们可以使用高斯消元法或者矩阵的行列式等方法来解决。
具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。
2. 线性方程组的解线性方程组是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。
在解线性方程组的过程中，我们需要运用矩阵的运算和求解方法。
例如，题目可能会给出一个线性方程组，要求求解其解集。
我们可以使用高斯消元法、矩阵的逆等方法来解决。
同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。
3. 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，也是上海交大线性代数课程中的重要内容。
在求解特征值和特征向量的过程中，我们需要使用矩阵的特征方程等方法。
例如，题目可能会给出一个矩阵A，要求求解其特征值和特征向量。
我们可以通过求解矩阵的特征方程来得到特征值，然后通过代入特征值求解特征向量。
同样，具体的计算过程可以参考教材中的相关知识点，或者通过搜索引擎来获取详细的步骤和示例。
4. 线性变换线性变换是线性代数中的重要内容之一，也是上海交大线性代数课程中的重点内容。
在解线性变换的问题中，我们需要理解线性变换的定义和性质，并运用矩阵的运算和求解方法。
例如，题目可能会给出一个线性变换的矩阵表示，要求求解其性质或者进行相关计算。
我们可以通过矩阵的运算和性质来解决这类问题。
矩阵特征值计算
9 矩阵特征值计算在实际的工程计算中，经常会遇到求n 阶方阵A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。
对于一个方阵A ，如果数值λ使方程组Ax =λx即 (A-λI n )x =0有非零解向量(Solution Vector)x ，则称λ为方阵A 的特征值，而非零向量x 为特征值λ所对应的特征向量，其中I n 为n 阶单位矩阵。
由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂，因此在实际计算中，往往采取一些数值方法。
本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的QR 方法及一些相关的并行算法。
1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法1.1.1 乘幂法及其串行算法在许多实际问题中，只需要计算绝对值最大的特征值，而并不需要求矩阵的全部特征值。
乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。
记实方阵A 的n 个特征值为λi i =(1,2, …,n )，且满足：│λ1│≥│λ2│≥│λ3│≥…≥│λn │特征值λi 对应的特征向量为x i 。
乘幂法的做法是：①取n 维非零向量v 0作为初始向量；②对于k =1,2, …,做如下迭代：u k =Av k -1 v k = u k /║u k ║∞ 直至<-∞∞+k k u u 1ε为止，这时v k +1就是A 的绝对值最大的特征值λ1所对应的特征向量x 1。
若v k -1与v k 的各个分量同号且成比例，则λ1=║u k ║∞；若v k -1与v k 的各个分量异号且成比例，则λ1= -║u k ║∞。
若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较运算时间为一个单位时间，则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一次规格化操作，所以下述乘幂法串行算法21.1的一轮计算时间为n 2+2n =O(n 2 )。
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上海交通大学-线性代数-矩阵作业-特征值
计算方式
介绍
本文档旨在阐述线性代数中计算矩阵的特征值的方法。
特征值是矩阵理论中的一个重要概念，对于分析矩阵的特征和性质具有重要意义。
定义
在线性代数中，对于一个*n*阶方阵*A*，如果存在一个非零向量*x*，使得满足方程*A*x* = λ*x*，其中λ为常数，则称λ为矩阵*A*的一个特征值，向量*x*称为矩阵*A*对应于特征值λ的特征向量。
计算方式
为了计算矩阵的特征值，可以使用以下方法：
特征值方程法
通过求解特征值方程，可以计算出矩阵的特征值。
特征值方程的形式为 det(A - λI) = 0，其中*A*为矩阵，*λ*为未知数，*I*为单位矩阵。
解特征值方程可以得到矩阵的所有特征值。
幂法
幂法是一种迭代计算特征值的方法。
通过矩阵的幂次运算，可以逐步逼近特征值。
具体步骤为：
1. 初始化一个非零向量作为初始估计特征向量；
2. 对该向量进行矩阵乘法；
3. 对乘法结果进行归一化；
4. 重复步骤2和3直到收敛，得到特征值的估计值。
QR方法
QR方法是一种迭代计算特征值的方法。
它通过将矩阵分解为QR形式，利用QR分解的性质逐步逼近特征值。
具体步骤为：
1. 对矩阵进行QR分解，得到Q和R，其中Q为正交矩阵，R 为上三角矩阵；
2. 将矩阵A乘以Q的逆矩阵，得到新矩阵A' = Q^T * A * Q；
3. 重复步骤1和2，直到A'的对角线元素趋近于特征值。
特征向量的计算
在得到特征值之后，可以通过代入特征值到特征值方程中解方程，从而得到对应的特征向量。
总结
本文档介绍了线性代数中计算矩阵特征值的几种方法，包括特征值方程法、幂法和QR方法。
通过这些方法，可以计算矩阵的特征值和特征向量，帮助我们分析矩阵的性质和应用。