2011考研高数组合积分法对几类积分进行求解(求积分的捷径,不得不看)
高数求积分方法总结
高数求积分方法总结高等数学求积分(Integration)方法总结1、换元法(Substitution Method)换元法是指计算积分时，根据被积函数和被积的变量的关系，将被积的变量由一个变量改变成另一个变量，以便转换待积函数的形式，使得函数变得更加简单，进而求解积分。
2、积分变形法(Integration Transformation Method)积分变形法就是在求解积分时先对被积函数做变形，通过将积分中的被积函数分解成多个部分，并对这些部分分别做不同的变换，使用不同的积分公式或积分变换公式，从而得出积分的解。
3、分部积分法(Partial Integration Method)分部积分法也称作展开积分法，它是将多项式的积分运算定义为求取多个式子的和，通过重项定理可以将多项式的积分分解成更简单的积分运算。
5、解析法(Analytic Function Method)解析法指的是将待积函数转换为某种常用标准函数，并应用相应积分公式进行求解积分，这可以有效地将复杂的函数形式转换成简单的函数形式，大大简化计算积分的求解工作。
6、复合分部积分法(Multiple Partial Integration)复合分部积分法是指在进行积分计算时，对被积函数进行分部展开，但是分部展开的函数又包含不同的其他多项式，这时可以就每一部分函数单独进行求积分处理，直至将所有部分积分完成，最后将积分结果求和，获得最终的积分解析结果。
7、级数法(Series Method)级数法是指将被积函数按级数的形式表达出来以后，把积分转换成求和公式，然后将每一层级按照一定的几何级数关系依次求解，最后将所求的积分求和而得出解析函数的积分表达。
8、蒙特卡洛算法(Monte Carlo Method)蒙特卡洛算法是采用抽样统计的方法来求解待积函数的积分，它可以将复杂的积分转换成随机变量的抽样统计，当抽样次数足够多时，便可以获得较为准确的积分值。
考研数学-专题10 不定积分和定积分的方法和技巧
∫ ∫ a −a
f
( x) d
x
=
⎪⎧0, ⎪⎩⎨2
a 0
f
( x) d
x,
f (x) 为奇函数时， f (x) 为偶函数时.
(2) 设 f (x) 是以T 为周期的连续函数，则对任给数 a ，总有
5）利用公式
∫ ∫ a+T
T
f (x)d x = f (x) d x.
a
0
6
∫ ∫ (1)
π
2 sinn x d x =
x
= A + Bx + C
x3 − x2 + x −1 x −1 x2 +1
则 x ≡ A(x2 + 1) + (Bx + C)(x −1)
由此解得 A = 1 , B = − 1 ,C = 1 .
2
22
∫
x3
−
x x2 +
x
dx −1
=
1 2
∫
dx x −1
−
1 2
∫
x −1
x
2
+
dx 1
= 1 ln x −1 − 1 ln(x2 + 1) + 1 arctan x + C
0
∫=
2
[(x −1) +1]
1− (x −1)2 dx
0
【例 3】
∫= 2 2x − x2 dx = π （几何意义）
0
2
∫π x
cos2 x − cos4 xdx = __________ .
0
∫ ∫ 【解】
原式 = π
π cos2 x − cos4 xdx = π
高等数学定积分及重积分的方法与技巧
高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
组合积分法
绪 论积分在微积分中占有极为重要的地位,它与微分比较,难度大,方法灵活.掌握积分的基本方法(如换元法、分部积分法等)是十分必要的,但这远远不够,还必须掌握一些特殊的积分方法,以便能顺利地、快速地、准确地计算出函数的积分来.学习一些积分方法,不应单纯地看做是在玩符号游戏.应该看到,通过积分运算的训练,可以达到锻炼意志、启迪思维、加强运算能力培养的目的.本书要介绍的是一种全新的积分方法———组合积分法.华罗庚教授在他的著作《高等数学引论》一书中,举出了这样一个求不定积分的例子:求 T1=∫sin xa cos x+b sin xd x, T2=∫cos xa cos x+b sin xd x.我们可以用代换t=tan x2分别求出T1与T2,但还有更简单的方法,即bT1+aT2=∫d x=x+C1,(1) -aT1+bT2=∫-a sin x+b cos xa cos x+b sin xd x=∫d(a cos x+b sin x) a cos x+b sin x=ln|a cos x+b sin x|+C2.(2)由此立刻可以得到T1=1a2+b2[bx-a ln|a cos x+b sin x|]+C,T2=1a2+b2[ax+b ln|a cos x+b sin x|]+C′。
事实上,此题若用万能代换t=tan x2分别求出T1,T2,过程是十分繁杂的,不妨解答如下:对于T1=∫sin xa cos x+b sin xd x,可设t=tan x2,则sin x=2t1+t2, cos x=1-t21+t2, d x=2d t1+t2,于是T1=∫4t d t(1+t2)(a-at2+2bt).此有理式的积分分母含有字母,求解十分不易.用部分分式法可令4t(1+t2)(a-at2+2bt)=A t+B1+t2+Ct+Da-at2+2bt,去分母,比较同次幂的系数得方程组-Aa+C=0,2Ab-Ba+D=0,Aa+2Bb+C=4,Ba+D=0,解方程组,得A=2aa2+b2, B=2ba2+b2, C=2a2a2+b2, D=-2aba2+b2.故原积分T1可化为 T1=2a2+b2∫at+b1+t2d t+2a2+b2∫a2t-aba-at2+2btd t=aa2+b2∫2t d t1+t2+2ba2+b2∫d t1+t2-aa2+b2∫-2at+2ba-at2+2btd t=1a2+b2a∫d(1+t2)1+t2+2b∫d t1+t2-a∫d(a-at2+2bt)a-at2+2bt=1a2+b2a ln(1+t2)+2b arctan t-a ln|a-at2+2bt|+C=1a2+b22b arctan t-a ln|a-at2+2bt1+t2|+C=1a2+b22b arctan t-a ln|a(1-t2)1+t2+2bt1+t2|+C=1a2+b2bx-a ln|a cos x+b sin x|+C.同理可求出T2.与华教授给出的解法比较,这种解法不知道要复杂多少倍,而且运算程序多,极易出错.华教授的解法为什么可以简化运算呢?在这里,他巧妙地将两个结构相似的积分组合在一起,成为一个以所求积分为变量的T1,T2的二元方程组,解此方程组,即得所求的不定积分.在华教授这一例子的启发下,我们对能用此种方法求解的积分问题进行了多年深入的探讨和研究,将研究的心得写成了这本书,奉献给广大读者,力求使华教授的这一方法具有更加普遍的指导意义.像华教授那样用解方程组求解问题的方法称为组合法,用组合法求积分的方法称为组合积分法.本书主要研究的是用组合法求积分的问题.用组合法求解积分问题的关键,是在式(2)中利用了凑微分公式(-a sin x+b cos x)d x=d(a cos x+b sin x).那么,什么样的函数能够这样凑微分呢?这样的函数具有怎样的性质呢?下面来讨论这个问题.1．互导函数与自导函数由导数公式可知(sin x)′=cos x, (cos x)′=-sin x,(ch x)′=sh x, (sh x)′=ch x.由这样的一种互导性引出如下定义:定义1 设函数f(x)与g(x)为可导函数,如果f′(x)=αg(x),且g′(x)=αf(x)或g′(x)=-αf(x)(α为任意常数),那么称f(x)与g(x)为互导函数.若f′(x)=αg(x),且g′(x)= -αf(x),则称f(x)与g(x)为相反互导函数,α为互导系数.例如,双曲正弦函数f(x)=sh x与双曲余弦函数g(x)= ch x为互导函数,这是因为 f′(x)=(sh x)′=ch x=g(x),且g′(x)=(ch x)′=sh x=f(x).显然,正弦函数f(x)=sin x与余弦函数g(x)=cos x也为互导函数.且为相反互导函数.这是因为 f′(x)=(sin x)′=cos x=g(x),且g′(x)=(cos x)′=-sin x=-f(x).这里α=1.事实上,常数函数y1=a,y2=b(a,b为常数)也为互导函数,这是因为y1′=(a)′=0=0·b=0·y2,且y2′=(b)′=0=0·a=0·y1.这里α=0.不难证明,sh ax与ch ax,sin ax与cos ax也为互导函数.指数函数e x具有十分有趣的特性,它的导数就是其本身,即(e x)′=e x.对于一般的指数函数y=a x(a>0,a≠1),有y= (a x)′=a x ln a=ln a·y.这就是说,指数函数的导数等于函数本身去乘以一个常数,对于此类函数的自导特性,引出定义2。
用组合积分法求解四类有理函数的积分
（ａ＋ ） ｘ＋ ｘ ＝ ａ ｘ ２ｐ ｂ ）＋ｂ ＋ ａ）＋ ． ２ ｘｂ（ ｚｐ＋ ）２仅 （ａ ＋ ｘ （Ｂ ２ ｘｂｙ ａ
在 组 合 积 分 法 中 ， 个 与 原 积 分 结 构 相 似 的积 分 称 之 为 辅 助 积 分 。 这
用组合积分法求解有理 函数 的积分 ， 其关键在于找 出辅助积分 ， 找辅助 积分 的方法 ， 要根据分母 中两 因子的具体情况 而定 。 有理 函数的积分在积分 问题 占有很重要 的地位 ，其 中有理真分式 积分尤为重要 。在传统的积分方法 中一般先把有理真分式用待定系数 法化为简单的分式 之和， 然后逐个求和 ， 但在一些特殊类型的在理 函数 的积分 问题 中， 若采用本文介绍 的组合积分法求解 ， 有时会受到事半功 倍之效 。 １ 特殊型三角函数有理数的积分 ．
ｘ
则 于 －＋ｊ 由 Ｍ２１ 】 ＿
Ｍ Ｊｌ １ ＝ ＋＋＝ ２２Ｊ
ｘ ＝ ｊ
ｄ￣ｇ１ （ ｘ ｔ＋ ＝ （） ８ ｘ ）
（ ９ ）
（） １ ０
－＋ Ｊａ（）ｂ（ ｄ ｈａ —ｏ＋）ｓ ） ｘ ＩＩ ａ（ｘ．Ｓ＋） ｓｗ８－ｉ十— ｌｘｌＯｗｅ ．ｗｅ （ｘ ｎ ＋ ｃ ＋Ｃｎ８Ｃ Ｉ ＋Ｉ Ｊ ＤＷ ＋ ｓ ｘ十
＝
ｌ［ ｉ（ｘ ￡＋ ｃｓ ｘ ￡＋］ ｎａ ｎｗ ＋ ）ｂ。（ ＋ ）ｃ ｓ ｗ
ａ（）ｂ （） ： ｘ１一 ｘ２ 得
Ｉ Ｉ ＝
ａ＋ ２
所 又 ２ ２ ２２Ｊ ：ｘｘ） 以 有 Ｎ Ｍ ＪＩ ‘十 ｌ２ ＋ 一 一＋＝ Ｘｘ ｎ＋ ２ ＋ Ｚ （ａ ａ
由（ ）（ ） ：Ｍ＋ Ｉ 二 ＋ ｒｔ ｘ １ ８ ＋ ９ 得 ２ ３＝ 一 ａｃｇ ＋ ） （
所 有２Ｎ２ ［ ＋ ２） ｃ 以 ： ＋ｂａ （ ｃ＋： 一 （＋） ｂ ￣ Ｂ 』 ａ３ ｃ Ｍ Ｊ 例 ：积 』 ｘ ２ 分 ｄ 求 ｘ
考研数学中二重积分的计算方法与技巧
考研数学中二重积分的计算方法与技巧顾 贞 洪 港 高恒嵩高等数学作为大多数专业研究生考试的必考科目，其有自己固有的特点，大纲几乎不变，注重基本知识点的考察，注重学生的综合应用能力，也考察学生解题的技巧.二重积分作为考研数学必考的知识点，在解题方面有一定的技巧可循，本文针对研究生考试中二重积分的考察给出具有参考性的解题技巧.二重积分的一般计算步骤如下：（1） 画出积分区域D 的草图；（2） 根据积分区域D 以及被积函数的特点确定合适的坐标系；（3） 在相应坐标系下确定积分次序，化为二次积分； （4） 确定二次积分的上、下限，做定积分运算.但是在历年考试题中，越来越多的题目注重解题技巧的考查，考题经常以下列几种情况出现：1分段函数的二重积分如果被积函数中含有函数关系min max,以及绝对值函数，则需要对二重积分进行分区域积分.例1：（2008年试题）计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),({≤≤≤≤=y x y x D .解：积分区域如图1所示：因为⎩⎨⎧>≤=111}1,max{xy xy xy xy ，所以有：max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰1122222111022x xdx dy dx dy dx xydy=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2ln 419)ln 21(21ln 2ln 2212212+=-+-+⨯=x x2交换二重积分的次序交换积分次序的步骤如下： （1） 先验证二次积分是否是二重积分的二次积分（积分下限小于上限）（2） 由所给二次积分的上、下限写出积分区域D 的不等式组（3） 依据不等式组画出积分区域D 的草图（4） 根据积分区域D 的草图写出另一种积分次序下的二次积分。
例2：计算dy e dx xy ⎰⎰-222解：积分区域如图2所示：因为⎰-22xy dy e 不可积，所以交换二重积分次序，则有：)1(214022022222-----===⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dx dy e dx e dy dy e dx yy yy xy图1 图2 图3 图43利用积分区域的对称性计算二重积分（1）利用积分区域的对称性，被积函数的奇偶性计算 设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于y 轴对称，1D 为D 中0≥x 的部分.则有：()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=DD y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ设()y x f ,在积分区域D 上连续，D 关于x 轴对称，1D 为D 中0≥y 的部分.则有:()()⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=D D y x f y x f y x f y x f d y x f d y x f ),(),(0),(),(,2,1σσ 例3：（2017年试题）已知平面区域22{(,)2}D x y x y y =+≤，计算二重积分2(1).Dx dxdy +⎰⎰解析：积分区域具有对称性如图3，首先考虑使用奇偶性，其次，因为积分区域为圆域，需要使用极坐标进行求解。
大学高等数学：第三章第四讲各类函数的积分法
大学高等数学：第三章第四讲各类函数的积分法前面已经介绍了求不定积分的两个基本方法，分别是换元积分法和分部积分法。
换元积分法分为第一类换元积分法、第二类换元积分法，分部积分法3大总结。
如果不是太明白或者不是很清楚的可以看下第三讲的内容。
下面我们介绍有理函数的积分和简单无理函数的积分及三角有理式的积分。
一、有理函数的积分两个多项式的商P(X)/Q(X)称为有理函数，又称为有理分式。
我们总假定分子多项式P(X)与分母多项式Q(X)之间是没有公式的。
当分子多项式P(X)的次数小于分母多项式Q(X)的次数时，称这有理函数为真分式，否则为假分式。
利用多项式的除法，中欧冠可以将一个假分式化为一个多项式与一个真分式之和的形式，列如被积函数(2x^4+x^2+3)/(x^2+1)=2x^2-1+4/(x^2+1)对于真分式P(X)/Q(X)，如果分母可分解为两个多项式的乘积Q(X)=Q1(X)Q2(X)且Q1(X)与Q2(X)没有公因式，那么它可分拆成两个真分式之和P(X)/Q(X)=P1(X)/Q1(X)+P2(X)/Q2(X)上述步骤称为把真分式化为部分分式之和。
如果Q1(X)或Q2(X)还能分解成两个没有公因式的多项式的乘积，那么就可再分拆成更简单的部分分式。
最后，有理函数的分解式中只出现多项式、P1(X)/(X-a)^k、P2(X)/(X^2+PX+q)^l等三类函数(这里p^2-4q<>列题1.求∫(x+1)/(x^2-5x+6)dx解：被积函数的分母分解成(x-3)(x-2)，故可设(x+1)/(x^2-5x+6)=A/(x-3)+B/(x-2)其中A、B为待定系数，上式两端去分母后，得x+1=A(x-2)+B(x-3) 即x+1=(A+B)x-2A-3B比较上式两端同次幂的系数，即有 A+B=12A+3B=-1从而联立方程组解得A=4，B=-3于是∫(x+1)/(x^2-5x+6)dx=∫(4/(x-3)-3/(x-2))dx=4lnlx-3l-3lnlx-2l+C列题2.求∫(x-3)/(x-1)(x^2-1)dx解：被积函数分母的两个因式x-1与x^2-1有公因式，故需再分解成(x-1)^2(x+1).设(x-3)/(x-1)^2(x+1)=(Ax+B)/(x-1)^2+C/(x+1)则x-3=(Ax+B)(x+1)+C(x-1)^2即x-3=(A+C)x^2+(A+B-2C)x+B+C有A+C=0A+B-2C=1B+C=-3 解得A=1，B=-2，C=-1于是∫(x-3)/(x-1)(x^2-1)dx=∫(x-3)/(x-1)^2(x+1)dx=∫[(x-2)/(x-1)^2-1/(x+1)]dx=∫(x-1-1)/(x-1)^2dx-lnlx+1l=lnlx-1l+1/(x-1)-lnlx+1l+C对于有理函数的积分，我们指出有理函数可以化为整式与以下四种部分分式之和，这四种部分分式及其不定积分如下：二、简单无理函数的积分所谓简单无理函数的积分，通常是指在被积函数中含有形如(ax+b)^(1/n),[(ax+b)/(cx+d)]^(1/n)或(ax^2+bx+c)^(1/2)的根式。
组合积分法公式
组合积分法公式组合积分法是微积分中一种重要的求积方法，它可以帮助我们解决一些复杂的积分问题。
在组合积分法中，我们将原函数或被积函数拆分成更简单的形式，然后再进行积分运算。
下面，我们将详细介绍组合积分法的公式以及如何灵活运用这些公式。
首先，我们来看看组合积分法的公式。
在组合积分法中，有一些常用的公式，比如乘积法、换元法、部分分式分解法等。
这些公式可以帮助我们将复杂的被积函数化简，从而使求积变得更加容易。
乘积法是组合积分法中常用的一种方法。
它适用于被积函数可以分解为两个函数的乘积的情况。
具体来说，如果被积函数可以表示为f(x)g(x)的形式，那么我们可以通过乘积法将其化简为f'(x)g(x)或f(x)g'(x)的形式，然后再进行积分运算。
换元法是组合积分法中另一个常用的方法。
它适用于被积函数可以通过变量替换的方式化简的情况。
具体来说，我们可以通过选择适当的变量替换，将原函数转化为一个更简单的形式，然后再进行积分运算。
其中，常用的变量替换包括正弦替换、余弦替换、指数替换等。
部分分式分解法是组合积分法中的另一个重要方法。
它适用于被积函数可以通过部分分式分解为形如1/(x-a)或1/((x-a)^2)等分式的情况。
具体来说，我们可以通过将被积函数分解成一系列简单的分式相加的形式，然后再进行积分运算。
除了以上介绍的三种常见的组合积分法，还有一些其他的方法，比如分部积分法、三角函数恒等变换等。
这些方法虽然并不像乘积法、换元法、部分分式分解法那样常用，但在某些特定情况下，它们同样具有一定的指导意义。
当我们面对一个复杂的积分问题时，我们可以根据被积函数的特点选择适当的组合积分方法。
在选择方法时，我们应该充分发挥自己的创造力，灵活运用各种公式和技巧，以便更好地解决问题。
另外，我们还可以通过观察被积函数的图像、进行数值计算等方式来验证我们所得到的积分结果是否合理。
综上所述，组合积分法是一种重要的求积方法，它能够帮助我们解决一些复杂的积分问题。
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2011考研：高数组合积分法对几类积分进行求解0 引言及定义积分在微积分中占有极为重要的地位,它与微分比较,难度大,方法灵活,掌握积分的基本方法(如换元法,分部积分法等)是十分必要的,但这是远远不够的,还必须掌握一些特殊的积分方法,以便能顺利、快速、准备地计算出函数的积分来.组合积分法是一种全新的积分方法,它能顺利解决用传统积分法很难求解甚至不能求解的各类函数有理式的积分问题.华罗庚教授在他的著作《高等数学引论》一书中,举出了这样一个求不定积分的例子：求 dx x b x a x T ⎰+=sin cos sin 1,dx xb x a xT ⎰+=sin cos cos 2 .我们可以用代换2tan xt =,分别求出1T 与2T ,但还有更简单的方法,即)2(,sin cos ln )sin cos ()sin cos (sin cos cos sin )1(,221121C x b x a x b x a x b x a d dx x b x a x b x a bT aT C x dx aT bT ++=++=++-=+-+==+⎰⎰⎰由此可得,,]sin cos ln [1221C x b x a a bx b a T ++-+=,]sin cos ln [1'222C x b x a b ax ba T ++++= 华教授的解法为什么可以简化运算呢？在这里,他巧妙地两个结构相似的积分 组合在一起,成为一个以所求积分为变量的 1T ,2T 的二元方程组,解此方程组,即得所求不定积分,像这样用解方程组求解问题的方法称为组合法,用组合法求积分的方法称为组合积分法.用组合法求解积分问题的关键,是在式(2)中利用了凑微分公式(-asinx+bcosx)dx=d(acosx+bsinx).下面给出一些定义：定义1 设函数()f x 与()g x 为可导函数,如果'()()f x g x α=,且'()()g x f x α=,( α为任意常数),那么称()f x 与()g x 为互导函数,若'()()f x g x α=, 且'()()g x f x α=,则称()f x 与()g x 为相反互导函数,α为互导系数.定义 2 设函数()y f x =为可导函数,如果'()()f x f x ω=( ω为任意常数),那么,称函数()y f x =为自导函数,ω为自导系数.组合积分法分为两大类型,即参元组合法与分解组合法.在求一个积分I 时,找出另一个与I 结构相似的积分J,然后将两个积分组合起来,通过解I 与J 的方程组求解积分的方法叫做参元组合法.将一个积分分为两个结构相似的积分为I 与J,将I 与J 组成一个方程组,解方程组即得积分I 与J,最后将I 与J 联合成所要求的积分,这种求积分的方法叫做分解组合法.1 三角函数有理式的积分１.１ 含有 ()nx b x a cos sin +的积分对于分母含有()nx b x a cos sin +的三角函数有理式的积分,可考虑使用组合积分法,先证明两个递推公式.定理1 设)arctan ,1(,)cos sin (a bk x n x b x a dx J nn -≠>+=⎰π则 ])cos sin (cos sin )2[())(1(11122--+-+-+-=n n n x b x a xa xb J n b a n J . 证 由()nn n n n n n n n J n dx x b x a b a n x b x a x a x b dx x b x a x a x b n x b x a x a x b x b x a d x a x b x b x a xa xb x b x a x a x b d x b x a dxx b x a J )1()cos sin ()()1()cos sin (cos sin )cos sin ()cos sin ()1()cos sin (cos sin )cos sin ()cos sin ()cos sin (cos sin )cos sin ()cos sin (cos sin )cos sin (2221221111+++++-+-=+-+-+-=+--+-=+-=++=⎰⎰⎰⎰⎰++++++++所以有1222)cos sin (cos sin ))(1(+++--++=n n n x b x a xa xb J b a n nJ 将n-2代替式中的n,得,)cos sin (cos sin ))(1()2(1222--+--+-=-n n n x b x a xa xb J b a n J n故得递推公式].)cos sin (cos sin )2[())(1(11222--+-+-+-=n n n x b x a xa xb J n b a n J 定理2 设,)cos sin (⎰+=nn x b x a dxJ ,2211b a bb aa A ++= 2211b a ba ab B +-= 则 ).arctan ,1.(,)cos sin (11)cos sin (cos sin 1111a bk x n x b x a n B AJ dx x b x a x b x a I n n n -≠>+--=++=--⎰π 证 用组合积分法来证明.令,)cos sin (sin 1dx x b x a x I n⎰+= ,)cos sin (cos 21dx x b x a x I n ⎰+= 则 121)cos sin (111)cos sin ()cos sin (-+--=++=+-⎰n n x b x a n x b x a x b x a d aI bI 所以有,)cos sin (1111221221--+-+++=n n x b x a n b a b J b a a I .)cos sin (1111221222--+-+-+=n n x b x a n b a a J b a b I 于是有.)cos sin (11)cos sin (1111112211122112111----+--=+-+--++=+=n n n n x b x a n B AJ x b x a n b a ba ab J b a bb aa I b I a I要记住这两个递推公式不是一件容易的事情,实际上只需记住递推公式的证明思路,直接用组合积分法求解即可.１.２ 含有a+bsinx 与c+dcosx 的积分例1 求⎰+.sin 1sin dx xx解法1 令=I ⎰+.sin 1sin dx x x ⎰-=.sin 1sin dx xxJ 则 x x dx x dx x dx xxJ I x dx xx dx x x J I 2tan 2)1(sec 2tan 2sin 1sin 2,cos 2cos sin 2.sin 1sin 22222222+-=--=-=--=-==-=+⎰⎰⎰⎰⎰所以有 I=C x x x++-tan cos 1解法2 C x x x dx x x x dx x x ++-=-=+⎰⎰tan cos 1cos sin sin .sin 1sin 22 解法3 用代换 ,2tanu x = ,12sin 2u u x += ,122u dudx += 所以有 .)1)(1(41212112.sin 1sin 22222du u u u u du u u u u dx x x ⎰⎰⎰++=++++=+ 显然以上解法太繁,不宜采用.事实上,将原积分化为,sin 1.)sin 111(⎰⎰⎰+-=+-xdxdx dx x 再对后一积分做代换,2tan u x = ,12sin 2u u x +=,122u dudx += 则有 .2tan 1212)1(2121211sin 1222xu u du u du uu xdx+-=+-=+=+++=+⎰⎰⎰ 所以有 .2tan12sin 1sin C x x dx xx+++=+⎰显然用解法2较简单,但较复杂的情形用解法1较好. 例2 求⎰++=dx xd c xb a I cos cos 11 (dc >)解 设 ⎰+=,cos 1x d c dx I ,cos 2⎰-=xd c dxI 则x dxd x c c xd c dx c I I 222222221cos sec 12cos 2⎰⎰-=-=+ ,tan arctan 2)tan ()tan (22222222dc x cd c x c d c x c d --=+-=⎰),(sin sin 2cos cos 2222222221x d x d d c d dx xd c x d I I ⎰⎰+--=--=- 2222sin arctan2dc xd dc ---=所以有 )sin arctantan (arctan1222221dc xd dc x c dc I --++=22222222sin tan 1sin tan arctan1d c x d d c x c d c xd x c d c --+---=,cos sin arctan12222xc d xd c dc +--=上述结果与查表求得的结果一致,可见用组合积分法能顺利地求出积分表中较难的积分公式.此公式如用万能代换,令 来求出,将是比较困难的. １.３ 有a+bsinxcosx 的积分例3 求 ⎰+=.cos sin 1cos dx xx xI 解 这里如果用万能代换,设,2tan u x=,则,11cos 22uu x +-= ,12sin 2u u x += ,122u du dx += 原积分可变为.1222)1(2)1(2)1()1(212111211123422222222222⎰⎰⎰+++--=-++-=++-+++-=u u u u du u u u u du u u du u u u u u u I 以上有理函数的积分,要求出开相当困难,如果改用组合积分法将能很快地求出.令 ⎰+=,cos sin 1sin dx x x xJ 则有 ⎰⎰⎰---=+-=++=+2)cos (sin 3)cos (sin 2cos sin 22)cos (sin 2cos sin 1cos sin x x x x d x x x x d dx x x x x J I ,cos sin 3cos sin 3ln31xx x x +--+=⎰⎰⎰+++=++=+-=-,)cos (sin 1)cos (sin 2cos sin 22)cos (sin 2cos sin 1sin cos 2x x x x d x x x x d dx x x x x J I ).cos arctan(sin 2x x +=所以Cx x xx x x J C x x x x x x I ++-+--+=++++--+=)]cos arctan(sin 2cos sin 3cos sin 3ln 31[21.)]cos arctan(sin 2cos sin 3cos sin 3ln 31[21还有许多含有asecx+btanx 、acscx+bcotx 、b+atanx 、atanx+bcotx 等形式的积分可化为以上类型进行积分计算2 指数函数有理式的积分指数函数 x e 与x a 具有自导性,x e 与x e -、x a 与x a -的代数和具有互导性,这就为凑微分提供条件,这里主要用到以下的凑微分公式： ),()(x x x x e e d e e ---=+),()(x x x x e e d e e --+=-一般的指数函数x a 与)1,0(≠>-a a a x 也有类似的凑微分公式：),(ln 1)(x x x x a a d a a a ---=+ ),(ln 1)(x x x x a a d aa a --+=- 这就为使用组合积分法提供了保证.２.１ 有 n x x be ae )(-+ 积分.对于分母n x x be ae )(-+ 的指数函数有理式的积分,也和三角函数有理式的积分一样,可以考虑使用组合积分法求解.证明两个递推公式 定理1 设⎰-+=nx x n be ae dxJ )(, )0,1(≠>ab n 则 ],)()2[()1(4112----+-+--=n x x xx n n be ae be ae J n n ab J 证 因为 ⎰⎰+---+-=+=1)()()(n x x x x n x x n be ae be ae d be ae dx J dx be ae be ae n be ae be ae n x x x x n x x x x ⎰+--+--+-+++-=221)()()1()( = n n x x x x x x n x x x x J n dx be ae ae ae be ae n be ae be ae )1()()()()1()(2221++++--+++-⎰+---+--=n n x x n x x x x J n dx be ae abdxn be ae be ae )1()(4)1()(21++++-+-⎰+-+-- 所以有 12)()1(4+--++--+=n x x xx n n be ae be ae J n ab nJ 用n-2代替上式中的n,得12)()1(4)2(----+---=-n x x xx n n be ae be ae J n ab J n 故得递推公式])()2[()1(4112----+-+--=n x x xx n n be ae be ae J n n ab J 定理2 设 ⎰-+=nx x n be ae dxJ )(, ab ba ab B ab ab ba A 2,21111-=+= 则 ).0,,1(,)(11)(1111≠∈>+-+=++=-----⎰ab N n n be ae n B AJ dx be ae e b e a I n x x n n x x x x 证 令 ,)(,)(21⎰⎰---+=+=nx x x n x x x be e a dxe I be ae dx e I则有 ,121-=+n J bI aI.)(111)()()(121------+--=++=+-=-⎰⎰n x x n x x x x n x x x x be ae n be ae be ae d dx be ae be ae bI aI 所以 ],1)(111[2111-+--=--n be ae n J a I x x n ].1)(111[2112-+-+=--n be ae n J b I x x n 于是有 1111112111)(12112---+--++=+=n x x n be ae ab ba ab n J ab a b ba I b I a I 11)(11---+-+=n x x n be ae n B AJ这两个定理主要是给出用组合积分法求解此类积分问题的解题思路. ２.２ 含有n x x qa pa )(-+的积分用组合积分法证明下列递推公式给出解题思路.定理1 设n 为正整数,且0,1≠>pq n ,并另⎰-+=nx x n qa pa dxJ )(,则有递推公式])(ln 1)2[()1(4112+---+-+--=n x x xx n n qa pa qa pa a J n n pq J .证 由⎰⎰+---+-=+=1)()(ln 1)(n x x x x n x x n qa pa qa pa d a qa pa dx J =])()(ln )1()([ln 1221dx qa pa qa pa a n qa pa qa pa a n x x x x n x x x x ⎰+--+--+-+++-n n x x x x x x n x x x x J n dx qa pa qa pa qa pa n qa pa qa pa a )1()()()()1()(ln 11221++++--+++-=⎰+---+-- n n x x n x x x x J n dx qa pa pqn qa pa qa pa a )1()(4)1()(ln 121++++-+-=⎰+-+-- 所以有.)(ln 1)1(412+--++--+=n x x xx n n qa pa qa pa a J n pq nJ 用n-2代替上式中的n,得.)(ln 1)1(4)2(12----+---=-n x x xx n n qa pa qa pa a J n pq J n 故得递推公式].)(ln 1)2[()1(4112+---+-+--=n x x xx n n qa pa qa pa a J n n pq J定理2 设0,,1≠∈>pq N n n ,并令 pqqa pb B pq pb qa A 2,21111-=+=则有递推公式 1211)(1ln 11)(-----+-+=++=⎰n x x n nx x x x qa pa a n B AJ dx qa pa a b a a I .证 令 ,)(,)(21dx qa pa a I dx qa pa a I nx x xn x x x ⎰⎰---+=+= 则有 ⎰⎰----++=+-=-n x x x x n x x x x qa pa qa pa d a dx qa pa qa pa qI pI )()(ln 1)(21 1)(111ln 1--+--=n x x qa pa n a 所以有 ],)(111ln 1[21111---+--=n x x n qa pa n a J p I ].)(111ln 1[21112---+-+=n x x n qa pa n a J q I 于是 1111112111)(1ln 12112---+--++=+=n x x n qa pa a pq qa pb n J pq pb qa I b I a I .)(1ln 1111---+-+=n x x n qa pa a n B AJ 3 一类无理函数的积分对一类无理式的积分,可考虑使用组合积分法求解,特别对比较复杂的情形用组合积分法更为方便,对于这类无理函数的积分,其求法如下： 三角代换或一般换元法例4 求 .12⎰-+=xb ax dx I解 设t x sin =,则dx=cosxdt,于是原积分可变为 ,cos sin cos ⎰+=tb t a tdtI再令 ,cos sin sin ⎰+=tb t a tdtJ无理函数积分三角函数的有理式积分有理式积分组合积分 法则有 ,cos sin sin cos t dt t b t a ta tb aJ bI =++=+⎰.cos sin ln cos sin )cos sin (cos sin sin cos ⎰⎰+=++=+-=-t b t a t b t a t b t a d dt t b t a t b t a bJ aI 所以有 C t b t a a bt ba I ++++=]cos sin ln [122又由sint=x, 得 ,arcsin ,1cos 2x t x t =-= 所以 C x b ax a x b ba I +-+++=]1ln arcsin [1222 例5 求 )0(,22b a a ax b ax dx I ≠>++=⎰且解 设achtdt dx ,asht x ==,则原积分可变为dt bcht asht chtdt abchtsht a acht I ⎰⎰+=+=.2 再令 ,J dt bcht asht sht⎰+= 则 ).ln()(bcht asht bcht asht bcht asht d dt bcht asht bsht acht aJ bI +=++=++=+⎰⎰解得 122])ln([1C bt bcht asht a ba I +-++=, 由,asht x = 得 221,a x sht a x a cht +==,.ln )ln(]1)(ln[222a a x x ax a x a x arsh t -++=++== 所以 1222222]ln )ln(ln )ln([b a 1I C a b a x x b a a a x b ax a +-++--++-=C a x x b a x b ax a ba +++-+++=)]ln()ln([1222222))](ln[(221ba b a a C C -++= 例6 求 )(,))((n m n b ax m b ax dxI ≠++++=⎰解 设t b ax =+,则tdt adx b t a x 2),(12=-=, 于是原积分可变为 ⎰⎰++=++=))((2))((2n t m t tdt a n t m t dta I再令 ,))((,))((21⎰⎰++=++=n t m t dtI n t m t tdt I则有 ,ln 21n t n t dt mI I +=+=+⎰ .ln 21m t m t dt nI I +=+=+⎰ 所以有 11)ln ln (1C m t m n t n mn I ++-+-= 由t b ax =+, 得 11)ln ln (1C m b ax m n b ax n mn I +++-++-= 所以 C m b ax m n b ax n m n a I a I +++-++-==)ln ln ()(221 ).2(1C a C = 4用积分法求拉普拉斯逆变换求拉普拉斯逆变换是工程数学中的难点,用组合求逆法求拉普拉斯逆变换,无须用部分分式法将像函数F(P)分解为几个分式,然后查逆变换表再分别求之.在一定程度上,这种求逆变换的方法具有较多的优越性,特别是对于比较复杂的情形更是如此.例7 求)4)(5(1)(2++=P P P F 的逆变换 解法1 令 ],)4)(5(1[)(21++=-P P L t f ])4)(5(1[)(21++=-P P L t g . 则 ,]51[])4)(5(4[)(4)(51221t e P L P P P L t f t g ---=+=+++=+ ]42[25]4[]45[])4)(5(25[)(25)(212121221+-+=+-=++-=-----P L P P L P P L P P P L t f t g .2sin 252cos t t -= 所以 )2sin 252cos (291)(5t t e t f t +-=- 为所请求的逆变换 解法2 用传统的方法.设 ,45)4)(5(122++++=++P C BP P A P P 去分母 ))(5()4(12C BP P P A ++++=,令P=-5,得 291=A .比较2P 项的系数, 得 2910-=⇒=+B B A , 比较常数项,得 ,295)2941(51054=-=⇒=+C C A 所以有 ).4551(291)4)(5(122++-++=++P P P P P故有 ]4551[291])4)(5(1[)(2121++-++=++=--P P P L P P L t f ).2sin 252cos (291]4225451[2915221t t e P P P P L t +-=+++-+=-- 比较上述两种解法,不难看出用组合积分法求逆变换比用传统的方法求逆变换要简便顺利得多.参考文献[1] 朱永银,郭文秀,朱若霞积分法[M].武汉:华中科技大学出版社.2002.10.[2] 华罗庚.高等代数引论[M].北京:科学出版社.1963.[3] 《现代数学手册》编纂委员会.现代数学手册：经典数学卷[M].武汉:华中科技大学出版社.2000.[4] [俄]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京:人民教育出版社.1959.[5] 朱永银,郭文秀.一种积分方法--组合积分法[J].数学通报,1992(6).32-35.[6] 《数学手册》编写组.数学手册[M].北京:人民教育出版社.1979.[7] 华中科技大学高等数学教研室.微积分学习题课教程[M].武汉:华中科技大学出版社.2003.9.[8] 单立波,张主梵.微积分习题集[M].天津:南开大学出版社.2004.3.[9] 刘书田.微积分[M].北京:高等教育出版社.2004.6.[10] Wilfred Kaplan.Advanced Calculus,Fifth Edition[M].北京:电子工业出版社.2004.4.[11] Fitzpatrick,P.M.Advanced Calculus:A Cource in Mathematics Analysis[M].北京:机械工业出版社.2003.5.[12] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.1980.9.[13] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社.1993.5.[14] Bronson.R.微分方程[M].北京:高等教育出版社.2000.7.[15] R.布朗森.微分方程（第二版）[M].北京:科学出版社.2002.1.[16] 东北师范大学数学系微分方程教研室.常微分方程[M].北京:高等教育出版社.1982.10.。