广东省深圳实验学校2020-2021学年第一学期高二第二阶段考试数学试卷
（2）
设 数 列 {an} 的 公 比 为
f
(t )
,
构
造
数
列
{bn}
，
使
b1
= 2,bn
=3f( 1 ) bn−1
(n 2, n N ) ，求数列{(2n −1)bn}的前 n 项和Tn .
22．（本小题满分 12 分）
已知动点 P 到直线 x = −4 的距离是动点 P 与定点 F(−2 ， 0) 距离的 2 倍
．
+21-nan
=
2n(n
N*) ，则数列 bn
=
(n −1)an n(n +1)
16．在等差数列{an} 中，若 a20 = 0 ，则有等式 a1 + a2 + a3 + + an = a1 + a2 + + a39−n
(n 38, n N*) 成立．类比这一性质，相应地在等比数列{bn} 中，若 b10 = 1，则有等式
18．（本小题满分 12 分）
设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，已知 Sn = 2n−1 −1 ( n N * )． (1) 求数列{an}的通项 an ； (2) 求数列{| an − n |}的前 n 项的和Tn =| a1 −1| + | a2 − 2 | + | + | an − n | ．
的直线经过抛物线
y2
= 2坊px 潍
(
p
0)
的焦点
F
，且与抛物线交于
P1
、
P2 两点,
直线 l : x = −
p 2
，作 P1M
⊥ l 于号：点 M 众
， P2N
⊥ l 于点 N
，则下列结论正确的有
A. 1 + 1 = 1 | P1F | | P2F | p
B.
公
| P1F
|=
1−
p cos
2
C.
13．曲线 y = ln x 上的点到直线 y = x +1的最短距离是_______．
14．在等差数列{an}中,
若 a1 ， a3 ， a9 成等比数列,
则 a1 + a3 + a9 a2 + a4 + a10
= _____．
15．已知数列{an}满足 a1+2-1a2 +2-2a3 +
的前项和为
深圳实验学校高中部 2020-2021 学年度第一学期第二阶段考试
高二数学
时间：120 分钟 满分：150 分 第一卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1．函数 y
=
f
(
x)
在区间
(a,
b)
内可导，且
x0
(a,
b)
若
lim
0, n = 1 an = 2n−2 , n 2
…………………………………………………5 分
（2）数列{| an − n |}前 3 项都小于 0，第 4 项等于 0, 从第 5 项开始都大于 0 当n 3时
Tn =| a1 −1| + | a2 − 2 | + | + | an − n |
= (1+ 2 +
6
当
x
a
时，
f
( x)
=
−a x2
+
1 x
=
x−a x2
0，
函数 f (x) 在区间 (a, e] 单调递增
所以 1）若 a e ，函数 f (x) 在区间 (0, e 单调递减
（2）若 a 0 ，函数 f (x) 在区间 (0, e 单调递增
（3）若 0 a e ，函数 f (x) 在区间 (0, a) 单调递减，
D． x2 + y2 = 1 (x 8) 64 60
4．
数列
1
1 +
2
,
1
+
1 2
+
3
,,
1
+
2
+
1
+
(n
+
1)
,
的前
2020
项和
S2020
等于
A． 1010 2022
B． 2020 2021
C． 2020 2022
D． 4040 2021
5．某人从 2015 年起，每年 1 月 1 日到银行新存入 a 元（一年定期），若年利率为 r 保持不变，
………………… …………………………………………………6 分
…………………………………………………11 分
Tn
=
n(n + 2
1)
+
1
−
2n−1
,
n
3
2n−1
−
n(n +1) 2
+
5,
n
4
…………………………………………………12 分
19．解：（1）a3 = a2 +3( a2 − a1 )
3分 （2） an+2 = an+1 +3( an+1 − an )；
函数 f (x) 在区间 (a, e] 单调递增 …………………………………………………10 分
18．解：（1）当 n = 1 时
a1 = S1 = 0 当n2时
…………………………………………………1 分
an = Sn − Sn−1 = 2n−1 − 2n−2 = 2n−2 …………………………………………………4 分
． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）
3
已知 a R ，函数 f (x) = a + ln x −1， x (0, e ．
x （1）当 a = 2 时，求曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （2）讨论函数 f (x) 的单调性．
（1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （2）过点 F 作两条互相垂直的直线分别交曲线 E 于 A ，B 和 C ，D ，求| AB | + | CD | 的最小值．
5
高二数学答案
一、选择题： ACBCD DBD 二、多选题：9.ACD 10.AB 11. BCD 12. ABD
三、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 ．
函数 f (x) 在区间 (0, e 单调递减
（2）若 a 0
f
( x)
=
−a x2
+
1 x
=
x−a x2
0，
学 数
函数 f (x) 在区间 (0, e 单调递增
中 高
（3）若 0 a e
坊 潍
当
x
a
时，
f
( x)
=
−a x2
+
1 x
=
x− x2
a
： 号0 ，
众
公
函数 f (x) 在区间 (0, a) 单调递减
h→0
f
( x0
+ h) − h
f (x0
− h)
=2，
则 f ' (x0 ) =（ ）
A． f ' (x0 ) = 1
B． f ' (x0 ) = 2
C． f ' (x0 ) = 4
D． f ' (x0 ) 不确定．
2．已知等差数列an 满足 a2 + a4 = 4 ， a3 + a5 = 10 ，则它的前 6 项的和 S6 = （ ）
a1 a2 a3 an = a1 a2 a19−n ． (n 18, n N*)
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（1）
f
(x)
=
2 x
+
ln
x
−1
f
(x)
=
−2 x2
+
1 x
=
x−2 x2
…………………………1
分
f (1) = −1， f (1) = 1
|
P2
F
|=
1+
p cos
D.
SMON
=
p2 2 sin
y
P1
M
12．将全体正奇数排成一个三角形数阵： 1
35 11 9 7
−p 2
F
x
N
P2
13 15 17 19
29 27 25 23 21
．．．．．．．．．
按照以上排列的规律，前 n 行（n ≥3）下列结论正确的是（ ）
A．若 n 是偶数，第 n 行从左向右的第 3 个数是 n2 − n + 5
a，b ，若 a b ，则必有（ ）
A. f (b) ≤ f (a)
B. af (a) ≤ bf (b)
C. bf (a) ≤ af (b)
D. af (b) ≤ bf (a)
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的，得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分
且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到 2020 年 1 月 1 日将之前所有存款及利息全部取
回，他可取回的钱数（单位为元）（ ）
A． a(1+ r)5
深圳实验学校2020_2021学年高二数学上学期第二次阶段考试试题
广东省深圳实验学校2020—2021学年高二数学上学期第二次阶段考试试题时间:120分钟 满分：150分第一卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈若000()()lim 2h f xh f x h h→+--=，则'()f x =( ）A ．'0()1f x = B ．'0()2f x = C ．'0()4f x = D ．'()f x 不确定．2．已知等差数列{}na 满足244aa +=，3510aa +=,则它的前6项的和6S=（ ）A ．84B ．42C ．21D ．143．在ABC ∆中，点()2,0A -、 点()2,0B ，且||AB 是||AC 和||BC 的等差中项,则点C 的轨迹方程是（ )A ．2211612x y +=B ．2211612x y +=(4)x ≠±C ．2216460x y +=D ．2216460x y +=(8)x ≠± 4． 数列 ,)1n (211,,3211,211+++++++的前2020项和2020S 等于 A ．10102022 B ．20202021C ．20202022D ．404020215．某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入a 元（一年定期），若年利率为r 保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2020年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数（单位为元）（ ） A ．5(1)a r + B ．)]1()1[(5r r ra +-+C ．6(1)a r +D ．)]1()1[(6r r ra +-+6．)(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如图所示，则)(x f 的图象只可能是（ ）A B CD7．已知等差数列{}{},nna b 的前n 项和分别为,nnS T ,若对于任意的自然数n ，都有481nnS n Tn -=+，则()3153111572a a a b b b b ++=++( ）A. 3 B 。
2019-2020学年广东省深圳实验学校高中部高二(上)期中数学试卷
2019-2020学年广东省深圳实验学校高中部高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1. 抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为（ ）A.(1, 0)B.(14, 0)C.(0, 14)D.(0, 18)【答案】 D【考点】 抛物线的性质 【解析】先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p ，进而求得焦点坐标． 【解答】整理抛物线方程得x 2=12y ∴ 焦点在y 轴，p =14 ∴ 焦点坐标为(0, 18)2. 若{a →, b →, c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A.b →+c →，b →，b →−c → B.a →，a →+b →，a →−b →C.a →+b →，a →−b →，c →D.a →+b →，a →+b →+c →，c →【答案】 C【考点】空间向量的基本定理及其意义 空间向量的正交分解及其坐标表示 【解析】由平面向量基本定理判断． 【解答】由平面向量基本定理得：对于A 选项，b →=12(b →+c →)+12(b →−c →)，所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面； 对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面；3. 方程x 2−y 2＝x +y 表示的曲线是（ ） A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.双曲线 【答案】 C【考点】 曲线与方程 【解析】先把已知条件转化，再根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可求出结论． 【解答】因为：x 2−y 2＝x +y ；∴ x 2−y 2−(x +y)＝0，即(x +y)(x −y −1)＝0； ∴ x +y ＝0或者x −y −1＝0；∴ 方程x 2−y 2＝x +y 表示的曲线是两条直线．4. 如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ．设A 1B 1→=a →，A 1D 1→=b →，A 1A →=c →，则下列向量中与2B 1M →相等的向量是（ ）A.−a →+b →+2c →B.a →+b →+2c →C.a →−b →+2c →D.−a →+b →+2c →【答案】A【考点】空间向量的基本定理及其意义 空间向量的正交分解及其坐标表示 【解析】在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，根据空间向量的加法合成法则，对向量B 1M →进行线性表示即可． 【解答】由题意得，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，2B 1M →=2(B 1B →+BM →)＝2(A 1A →+12BD →)＝2A 1A →+BA →+AD →=2A 1A →−A 1B 1→+A 1D 1→=−a →+b →+2c →； 5. 曲线x 225+y 29=1与曲线x 225−k +y 29−k =1(k <9)的（ ）A.长轴长相等B.短轴长相等【考点】椭圆的离心率 【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断． 【解答】 曲线x 225+y 29=1表示焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8．曲线x 225−k+y 29−k =1(k <9)表示焦点在x 轴上，长轴长为2√25−k ，短轴长为2√9−k ，离心率为√25−k ，焦距为8．对照选项，则D 正确．6. 设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为n 1→和n 2→，则cosθ＝（ ） A.n 1→⋅n 2→|n 1|→|n 2→| B.|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→| C.|n 1→||n 2→|n 1→⋅n 2→D.|n 1→||n 2→||n 1→⋅n 2→|【答案】 B【考点】二面角的平面角及求法 【解析】直接利用已知条件写出二面角的余弦值即可． 【解答】平面α，β的法向量分别为n 1→和n 2→，若两个平面的夹角为θ，两平面夹角范围是[0, π2]， 则cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|．7. 与圆x 2+y 2＝1及圆x 2+y 2−8x +12＝0都外切的圆的圆心在（ ） A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上 【答案】 D【考点】圆与圆的位置关系及其判定 【解析】化圆的一般方程为标准方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案． 【解答】由x 2+y 2−8x +12＝0，得(x −4)2+y 2＝4， 画出圆x 2+y 2＝1与(x −4)2+y 2＝4的图象如图， 设圆P 的半径为r ，∵ 圆P 与圆O 和圆M 都外切， ∴ |PM|＝r +2，|PO|＝r +1，∴ P 点在以O 、M 为焦点的双曲线的左支上，8. 以点A(4, 1, 9)，B(10, −1, 6)，C(2, 4, 3)为顶点的三角形是（ ） A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】 A【考点】空间中的点的坐标 【解析】分别求出AB →=(6, −2, −3)，AC →=(−2, 3, −6)，BC →=(−8, 5, −3)，再求出模，由此能求出结果． 【解答】∵ A(4, 1, 9)，B(10, −1, 6)，C(2, 4, 3)，∴ AB →=(6, −2, −3)，AC →=(−2, 3, −6)，BC →=(−8, 5, −3)，∴ |AB →|=√36+4+9=7，|AC →|=√4+9+36=7，|BC →|=√64+25+9=7√2， ∴ |AB →|＝|AC →|，且|AB →|2+|AC →|2＝|BC →|2，∴ 以点A(4, 1, 9)，B(10, −1, 6)，C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．9. 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，点Q 在直线y ＝x +3上，则|PQ|的最小值是（ ）A.√22B.√2C.32√2 D.2√2 【答案】B【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】设与直线y ＝x +3平行且与抛物线相切的直线为y ＝x +b ，则可知|PQ|的最小值即为两直线的距离．直线方程y ＝x +b 与抛物线方程联立，消去x 根据判别式等于0求得b ，根据距离公式求得答案． 【解答】设与直线y ＝x +3平行且与抛物线相切的直线为y ＝x +b ， 联立{y =x +by 2=4x 消去x 得y 2−4y +4b ＝0，△＝(−4)2−16b ＝0． ∴ b ＝1．则|PQ|的最小值是√2=√2．10. 直三棱柱A 1B 1C 1−ABC ，∠BCA ＝90∘，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A.12 B.√3010C.√3015D.√1510【答案】异面直线及其所成的角 【解析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BD 1与AF 1所成角的余弦值． 【解答】∵ 直三棱柱A 1B 1C 1−ABC ，∠BCA ＝90∘，∴ 以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵ 点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1， ∴ 设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则B(0, 20)，D 1(1, 1, 2)，A(2, 0, 0)，F 1(1, 0, 2)， BD 1→=(1, −1, 2)，AF 1→=(−1, 0, 2)， 设BD 1与AF 1所成角为θ， 则cosθ=|BD 1→⋅AF 1→||BD 1→|⋅|AF 1→|=√5⋅√6=√3010． ∴ BD 1与AF 1所成角的余弦值为√3010．11. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率e ＝2，若A ，B ，C 是双曲线上任意三点，且A ，B 关于坐标原点对称，则直线CA ，CB 的斜率之积为（ ） A.2 B.3 C.√3 D.√6 【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】设出点A ，B 、C 的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合k CA ⋅k CB =y 12−y 22x12−x 22=b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1．即可求得结论．【解答】由题意，设A(x 1, y 1)，C(x 2, y 2)，则B(−x 1, −y 1)， 则x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a 2−y 22b 2=1，两式相减可得y12−y 22x 12−x 22=b 2a 2，∴ k CA ⋅k CB =y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=y 12−y 22x 12−x 22=b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3．12. 已知空间直角坐标系O −xyz 中，P 是单位球O 内一定点，A ，B ，C 是球面上任意三点，且向量PA →，PB →，PC →两两垂直，若Q ＝A +B +C −2P （注：以X 表示点X 的坐标），则动点Q 的轨迹是（ ）A.O 为球心，√2−OP →2为半径的球面 →C.P 为球心，√2−OP →2为半径的球面 D.P 为球心，√3−2OP →2为半径的球面【答案】 B【考点】 轨迹方程 【解析】利用已知条件推出OQ →2=3−2OP →2，|OQ →|=√3−2OP →2然后说明结果即可．【解答】由Q ＝A +B +C −2P 得，Q −P ＝(A −P)+(B −P)+(C −P)，即PQ →=PA →+PB →+PC →．又PA →，PB →，PC →两两垂直，所以Q 是以PA ，PB ，PC 为三条相邻棱的长方体中与顶点P 相对的顶点． 由OQ →=OP →+PA →+PB →+PC →，得OQ →2=OP →2+PA →2+PB →2+PC →2+2OP →⋅(PA →+PB →+PC →)．(∗) 又OA →=OP →+PA →，所以1=OA →2=OP →2+PA →2+2OP →⋅PA →， 同理1=OB →2=OP →2+PB →2+2OP →⋅PB →， 1=OC →2=OP →2+PC →2+2OP →⋅PC →．三式相加，得3=3OP →2+PA →2+PB →2+PC →2+2OP →⋅(PA →+PB →+PC →)，代入(∗)式，得OQ →2=3−2OP →2，即|OQ →|=√3−2OP →2（定值）． 所以，动点Q 的轨迹是以O 为球心，√3−2OP →2为半径的球面．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分．双曲线4x 2−y 2+64=0上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则点P 到另一个焦点的距离等于________． 【答案】 17【考点】双曲线的标准方程 【解析】首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数a 、b 的值，然后根据双曲线的定义得出|PF 1−PF 2|=2a ，根据题中的已知数据，可以求出点P 到另一个焦点的距离．解：将双曲线4x 2−y 2+64=0化成标准形式：y 264−x 216=1， ∴ a 2=64，b 2=16.P 到它的一个焦点的距离等于1，设PF 1=1， ∵ |PF 1−PF 2|=2a =16，∴ PF 2=PF 1±16=17（舍负）. 故答案为：17.已知PA 、PB 、PC 是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60∘，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是________． 【答案】 √33【考点】直线与平面所成的角 【解析】过PC 上一点D 作DO ⊥平面APB ，则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角．能证明点O 在∠APB 的平分线上，通过解直角三角形PED 、DOP ，求出直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值． 【解答】在PC 上任取一点D 并作DO ⊥平面APB ，则∠DPO 就是直线PC 与平面PAB 所成的角． 过点O 作OE ⊥PA ，OF ⊥PB ，因为DO ⊥平面APB ，则DE ⊥PA ，DF ⊥PB ． △DEP ≅△DFP ，∴ EP ＝FP ，∴ △OEP ≅△OFP ，因为∠APC ＝∠BPC ＝60∘，所以点O 在∠APB 的平分线上，即∠OPE ＝30∘． 设PE ＝1，∵ ∠OPE ＝30∘∴ OP =1cos30=2√33在直角△PED 中，∠DPE ＝60∘，PE ＝1，则PD ＝2． 在直角△DOP 中，OP =2√33，PD ＝2．则cos∠DPO =OP PD=√33． 即直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是 √33．已知椭圆x 24+y 29=1，一组平行直线的斜率是32，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是________． 【答案】y =−32x(−√2<x <√2)【考点】直线与椭圆的位置关系 【解析】运用中点坐标公式和参数方程，消去m ，即可得到所求的结论． 【解答】设这组平行直线的方程为y =32x +m ，联立{y =32x +m x 24+y 29=1 ，整理得18x 2+12mx +4m 2−36＝0，则x 1+x 2=−23m ，所以它们与椭圆交点的中点坐标为(−13m, 12m)， 即这些点均在y =−32x(−√2<x <√2)上，三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知空间三点A(0, 2, 3)，B(−2, 1, 6)，C(1, −1, 5)． (Ⅰ)求以AB 、AC 为边的平行四边形的面积；(Ⅱ)若向量a →分别与AB →、AC →垂直，且|a →|=√3，求a →的坐标． 【答案】（1）AB →=(−2,−1,3),AC →=(1,−3,2),|AB →|=√14,|AC →|=√14 cos∠BAC =AB →⋅AC→|AB →|⋅|AC →|=12，∴ ∠BAC ＝60∘∴ S =2×12×√14×√14sin60=7√3⋯（2）设a →=(x, y, z)，∵ a →⊥AB →,a →⊥AC →,|a →|=√3⋯∴ {−2x −y +3z =0x −3y +2z =0x 2+y 2+z 2=3 ,{x =1y =1z =1 {x =−1y =−1z =−1 ⋯∴ a →=(1, 1, 1)或a →=(−1, −1, −1) 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式 【解析】（1）以AB 、AC 为边的平行四边形的面积我们选择S =|AB|⋅→|AC|→sinθ，其中θ是AB →,AC →的夹角．（2）设出a →的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程组，解出即可． 【解答】（1）AB →=(−2,−1,3),AC →=(1,−3,2),|AB →|=√14,|AC →|=√14 cos∠BAC =AB →⋅AC→|AB →|⋅|AC →|=12，∴ ∠BAC ＝60∘1（2）设a →=(x, y, z)，∵ a →⊥AB →,a →⊥AC →,|a →|=√3⋯∴ {−2x −y +3z =0x −3y +2z =0x 2+y 2+z 2=3 ,{x =1y =1z =1 {x =−1y =−1z =−1 ⋯∴ a →=(1, 1, 1)或a →=(−1, −1, −1)设抛物线y 2＝2px(p >0)上的点M 与焦点F 的距离为52，到y 轴的距离为2√p ． （1）求抛物线的方程和点M 的坐标；（2）若点M 位于第一象限，直线y ＝2−x 与抛物线相交于A ，B 两点，求证：MA ⊥MB ． 【答案】由抛物线的定义知，点M 到准线x =−p2的距离为52． 即有p2+2√p =52．解之，得(√p −1)(√p +5)=0，p ＝1． 所以，抛物线的方程为y 2＝2x ， 点M 的坐标为(2, 2)或(2, −2)．证明：联立直线y ＝2−x 与抛物线y 2＝2x 的方程，{y =2−xy 2=2x ． 解之，得{x =3+√5y =−1−√5 或{x =3−√5y =−1+√5，即A(3+√5,−1−√5)，B(3−√5,−1+√5)或A(3−√5,−1+√5)，B(3+√5,−1−√5)． 又M(2, 2)，所以k MA ⋅k MB =√51+√5√51−√5=(−3)2−51−5=−1．故MA ⊥MB ． 【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）由抛物线的定义知p2+2√p =52．解得p ＝1．即可．（2）联立直线y ＝2−x 与抛物线y 2＝2x 的方程，{y =2−xy 2=2x ．解之得即A(3+√5,−1−√5)，B(3−√5,−1+√5)或A(3−√5,−1+√5)，B(3+√5,−1−√5)． 即可得k MA ⋅k MB =√51+√5×√51−√5=(−3)2−51−5=−1．即可证明【解答】由抛物线的定义知，点M 到准线x =−p2的距离为52． 即有p2+2√p =52．解之，得(√p −1)(√p +5)=0，p ＝1．点M 的坐标为(2, 2)或(2, −2)．证明：联立直线y ＝2−x 与抛物线y 2＝2x 的方程，{y =2−xy 2=2x ． 解之，得{x =3+√5y =−1−√5 或{x =3−√5y =−1+√5，即A(3+√5,−1−√5)，B(3−√5,−1+√5)或A(3−√5,−1+√5)，B(3+√5,−1−√5)． 又M(2, 2)，所以k MA ⋅k MB =√51+√5√51−√5=(−3)2−51−5=−1．故MA ⊥MB ．如图，在三棱锥O −ABC 中，G 是△ABC 的重心（三条中线的交点），P 是空间任意一点．（1）用向量OA →，OB →，OC →表示OG →，并证明你的结论；（2）设OP →=xOA →+yOB →+zOC →，x ，y ，z ∈R ，请写出点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）． 【答案】OG →=13(OA →+OB →+OC →)．证明如下：OG →=OA →+AG →=OA →+23AD →．=OA →+23×12(AB →+AC →)=OA →+13[(OB →−OA →)+(OC →−OA →)]=13(OA →+OB →+OC →)．设OP →=xOA →+yOB →+zOC →，x ，y ，z ∈R ，则点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件是：x +y +z ＝1，且0<x <1，0<y <1，0<z <1．【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】（1）由题意根据空间向量的加法法则推出向量OG →，使得它用基底{OA →, OB →, OC →}表示即可；（2）设OP →=xOA →+yOB →，x ，y ∈R ，则点P 在直线AB 上的充分必要条件是：x +y ＝1，且0<x <1，0<y <1．类比平面向量三点共线的结论写出即可． 【解答】OG →=13(OA →+OB →+OC →)．证明如下：OG →=OA →+AG →=OA →+23AD →．=OA →+23×12(AB →+AC →)=OA →+13[(OB →−OA →)+(OC →−OA →)]=13(OA →+OB →+OC →)． 设OP →=xOA →+yOB →+zOC →，x ，y ，z ∈R ，则点P 在△ABC 的内部（不包括边界）的充分必要条件是：x +y +z ＝1，且0<x <1，0<y <1，0<z <1．已知动点M 与定点F(c, 0)的距离和M 到定直线l:x =a 2c的距离的比是定值ca （其中a >0，c >0）．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）当a ，c 变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状． 【答案】设M(x, y)，由已知，得√(x−c)2+y 2|x−a 2c|=ca． 所以√(x −c)2+y 2=ca|x −a 2c|，两边平方，得(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c)2， 化简，得动点M 的轨迹方程为(a 2−c 2)x 2+a 2y 2＝a 2(a 2−c 2)． 因为a >0，c >0，所以当a ＝c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a2(x −a 2c)2化为y ＝0，它表示的曲线是直线x 轴； 当a >c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c )2化为x 2a2+y 2a 2−c 2=1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，长半轴长为a ，短半轴长为√a 2−c 2的椭圆； 当c >a >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c )2化为x 2a2−y 2c 2−a 2=1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，实半轴长为a ，虚半轴长为√c 2−a 2的双曲线． 【考点】圆锥曲线的轨迹问题 【解析】（1）设出M 的坐标．利用已知条件列出方程，化简求解即可． （2）通过a ，c 的大小关系，化简方程，然后推出结果即可． 【解答】设M(x, y)，由已知，得√(x−c)2+y 2|x−a 2c|=ca ．所以√(x −c)2+y 2=ca|x −a 2c|，两边平方，得(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c)2， 化简，得动点M 的轨迹方程为(a 2−c 2)x 2+a 2y 2＝a 2(a 2−c 2)． 因为a >0，c >0，所以当a ＝c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c)2化为y ＝0，它表示的曲线是直线x 轴； 当a >c >0时，(x −c)2+y 2=c 2a (x −a 2c )2化为x 2a+y 2a −c =1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，长半轴长为a ，短半轴长为√a 2−c 2的椭圆； 当c >a >0时，(x −c)2+y 2=c 2a 2(x −a 2c )2化为x 2a 2−y 2c 2−a 2=1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，实半轴长为a ，虚半轴长为√c 2−a 2的双曲线．如图，四边形ABCD 为梯形，四边形CDEF 为矩形，平面ABCD ⊥平面CDEF ，∠BAD ＝∠ADC ＝90∘，AB ＝AD ＝DE =12CD ，M 为AE 的中点．（1）证明：AC // 平面MDF ；（2）求平面MDF 与平面BCF 的夹角的大小． 【答案】 （法1）连结CE 与DF 相交于N ，连结MN ． 因为四边形CDEF 为矩形， 所以N 为CE 中点．又M 为AE 的中点，所以，在△EAC 中，AC // MN ． AC ∥MN ACMDF MN ⊂MDF}⇒AC // 平面MDF ． （法2）因为四边形CDEF 为矩形，且M 为AE 的中点， 所以AC →=DC →−DA →=(DF →−DE →)−(2DM →−DE →)=DF →−2DM →，从而AC →与DF →，DM →是共面向量． 又AC ⊂/平面MDF ，所以AC // 平面MDF ． 因为四边形CDEF 为矩形，所以ED ⊥DC ． 又平面ABCD ⊥平面CDEF ，ED ⊂平面CDEF ， 平面ABCD ∩平面CDEF ＝DC ， 所以ED ⊥平面ABCD ． 而∠ADC ＝90∘，所以，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图．设AB ＝a ，由已知，得DM →=(a2,0,a2)，DF →=(0,2a,a)，CB →=(a,−a,0)，CF →=(0,0,a)．设平面MDF 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则n 1→⊥DM →，且n 1→⊥DF →，所以n 1→⋅DM →=0，且n 1→⋅DF →=0，即{a2x +a2z =02ay +az =0，取z ＝−2，得x ＝2，y ＝1，即n 1→=(2, 1, −2)． 同理，可求得平面BCF 的一个法向量为n 2→=(1, 1, 0)．cos⟨n 1→,n 2→⟩=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=222222=√22． 所以，平面MDF 与平面BCF 的夹角为45∘．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】 （1）（法1）连结CE 与DF 相交于N ，连结MN ．说明AC // MN ．推出AC // 平面MDF ． （法2）说明AC →=DC →−DA →=DF →−2DM →，推出AC →与DF →，DM →是共面向量．即可证明AC // 平面MDF ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，设AB ＝a ，求出平面MDF 的一个法向量，求出平面BCF 的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面MDF 与平面BCF 的夹角即可． 【解答】 （法1）连结CE 与DF 相交于N ，连结MN ． 因为四边形CDEF 为矩形， 所以N 为CE 中点． 又M 为AE 的中点，所以，在△EAC 中，AC // MN ． AC ∥MN ACMDF MN ⊂MDF}⇒AC // 平面MDF ． （法2）因为四边形CDEF 为矩形，且M 为AE 的中点， 所以AC →=DC →−DA →=(DF →−DE →)−(2DM →−DE →)=DF →−2DM →，从而AC →与DF →，DM →是共面向量． 又AC ⊂/平面MDF ，所以AC // 平面MDF ． 因为四边形CDEF 为矩形，所以ED ⊥DC ． 又平面ABCD ⊥平面CDEF ，ED ⊂平面CDEF ， 平面ABCD ∩平面CDEF ＝DC ， 所以ED ⊥平面ABCD ． 而∠ADC ＝90∘，所以，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，如图．设AB ＝a ，由已知，得DM →=(a2,0,a2)，DF →=(0,2a,a)，CB →=(a,−a,0)，CF →=(0,0,a)．设平面MDF 的一个法向量为n 1→=(x, y, z)，则n 1→⊥DM →，且n 1→⊥DF→，所以n 1→⋅DM →=0，且n 1→⋅DF →=0，即{a2x +a 2z =02ay +az =0，取z ＝−2，得x ＝2，y ＝1，即n 1→=(2, 1, −2)． 同理，可求得平面BCF 的一个法向量为n 2→=(1, 1, 0)．cos⟨n 1→,n 2→⟩=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√22+12+(−2)2√12+12+02=√22． 所以，平面MDF 与平面BCF 的夹角为45∘．已知直线l:x +y −√2=0经过椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，OM 的斜率为13（O 为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，且圆C 的动切线与椭圆E 相交于P ，Q 两点，求△OPQ 面积的最大值． 【答案】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1 ， 两式相减并整理，得y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y 2x1+x 2=−b 2a 2，即k l ⋅k OM =−b 2a2．所以−b 2a 2=−1×13=−13．……①又直线l:x +y −√2=0与x 轴的交点为(√2,0)， 由已知，得a 2−b 2＝2．……② 联立①②，解得a 2＝3，b 2＝1． 所以，椭圆的方程为x 23+y 2=1．由直线l:x +y −√2=0与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，得√2|22=r ，所以r ＝1，圆C:x 2+y 2＝1． 又设动切线PQ:x ＝my +n ，（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分） 由{x =my +nx 23+y 2=1 ，消去x ，得(m 2+3)y 2+2mny +n 2−3＝0．所以|PQ|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2⋅√(2mn)2−4(m 2+3)(n 2−3)m 2+3=√1+m 2⋅2√3√m 2−n 2+3m 2+3．又直线PQ:x ＝my +n 与圆C:x 2+y 2＝1相切， 所以√1+m 2=1，即n 2＝1+m 2≥1，从而|PQ|=2√6|n|n 2+2．所以，△OPQ 面积S △OPQ =12|PQ|⋅1=√6⋅|n|n 2+2=√6|n|+2|n|≤√62√|n|⋅2|n|=√32．令|n|=2|n|，解得|n|=√2≥1，相应的|m|＝1．所以，使△OPQ 面积最大的直线PQ 共有四条：x ±y +√2=0和x ±y −√2=0． 故△OPQ 面积的最大值为√32．【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】（1）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，利用平方差法求出直线的斜率，得到直线方程，转化求解a ，b 推出结果．（2）由直线l:x +y −√2=0与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，得√2|√12+12=r ，求出圆的方程，设动切线PQ:x ＝my +n ，由{x =my +nx 23+y 2=1，消去x ，得(m 2+3)y 2+2mny +n 2−3＝0．利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可． 【解答】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减并整理，得y 1−y2x 1−x 2⋅y 1+y2x 1+x 2=−b 2a 2，即k l ⋅k OM =−b 2a2．所以−b 2a 2=−1×13=−13．……①又直线l:x +y −√2=0与x 轴的交点为(√2,0)， 由已知，得a 2−b 2＝2．……② 联立①②，解得a 2＝3，b 2＝1． 所以，椭圆的方程为x 23+y 2=1．由直线l:x +y −√2=0与圆C:x 2+y 2＝r 2(r >0)相切，得√2|√12+12=r ，所以r ＝1，圆C:x 2+y 2＝1． 又设动切线PQ:x ＝my +n ，（注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分）由{x =my +nx 23+y 2=1，消去x ，得(m 2+3)y 2+2mny +n 2−3＝0． 所以|PQ|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2⋅√(2mn)2−4(m 2+3)(n 2−3)m 2+3=√1+m 2⋅2√3√m 2−n 2+3m 2+3．又直线PQ:x ＝my +n 与圆C:x 2+y 2＝1相切，所以√1+m 2=1，即n 2＝1+m 2≥1，从而|PQ|=2√6|n|n 2+2． 所以，△OPQ 面积S △OPQ =12|PQ|⋅1=√6⋅|n|n 2+2=√6|n|+2|n|≤√62√|n|⋅2|n|=√32．令|n|=2|n|，解得|n|=√2≥1，相应的|m|＝1．所以，使△OPQ 面积最大的直线PQ 共有四条：x ±y +√2=0和x ±y −√2=0． 故△OPQ 面积的最大值为√32．。
广东省深圳市第二高级中学2020-2021学年高二上学期第二学段考试数学试题
深圳市第二高级中学2020-2021学年度第二学段考试高二数学试卷时间：120分钟满分：150分一､单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝（ ） A. 58 B. 88 C. 143 D. 176B试题分析：等差数列前n 项和公式1()2n n n a a s +=，481111111()11()111688222a a a a s ++⨯====． 考点：数列前n 项和公式．2. 若3cos 65πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin 3α⎛⎫ ⎝π-⎪⎭=（ ） A. 35B.35 C. 45-D.45A2sin sin 326ππααπ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫⎪⎭⎦⎝利用诱导公式即可求解.23sin sin cos 32665πππαααπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：A3. 设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ）A. B. 3 C. 9D. C根据等差中项的定义，利用对数的运算得到21a b +=，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.解：0,a b >>是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则212122(2)559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C .由题意得抛物线216x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为()()123,0,3,0F F -．∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当2,,F P F 三点共线时等号成立，∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．二､多项选择题：(本题共4小腮，每小题5分，共20分.在每小顾给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9. 下列命题是真命题的是（ ）A. ,αβ∃∈R 使tan()tan tan αβαβ+=+成立B. 0x ∀>，有2lg lg 10x x ++>成立C. △ABC 中，“A B <”是“sin sin A B <”成立的充要条件D. x R ∃∈，使3sin cos 2x x +=成立 ABC对选项依次进行判断验证得解.解：A .0αβ∃==，使tan()tan tan αβαβ+=+成立，A ∴正确.B .2213lg lg 1(lg )024x x x ++=++>，B ∴正确. C .在△ABC 中，A B <等价为a b <，根据正弦定理可知sin sin A B <，即“A B <”是“sin sin A B <”成立的充要条件，C ∴正确.D.sin cos )[4x x x π+=+∈，D ∴错误.故选：ABC .(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法： ①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题； ②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可．10. 已知P 是椭圆22:184x y E +=上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且12F PF ∆的面积为3，则下列说法正确的是（ ） A. P 点纵坐标为3 B. 122F PF π∠>C. 12F PF ∆的周长为)41D. 12F PF ∆的内切圆半径为)312CD设(,)P m n ，利用12122F PF Sc n =⨯⨯以及椭圆方程可求出P 点坐标，即可判断A ；求出1PF ，2PF ，利用韦达定理可判断B ；根据椭圆的定义可判断C ；根据内切圆半径和面积的关系，可判断D.解：由已知2,2a b c ===，不妨设(,),0,0P m n m n >>， 则121232F PF Sc n =⨯⨯= 32n ∴=，故A 错； 2232184m ⎛⎫⎪⎝⎭∴+=，得2m =，322P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，221939244PF ⎫∴=++=+⎪⎪⎝⎭222939244PF ⎫=-+=-⎪⎪⎝⎭22212397(2)216042PF PF c ∴+-=⨯-=>，2221212(2)cos 20L PF PF c FPF PF PF +-∴∠=⋅>，122F PF π∴∠<，故B 错；由椭圆定义，12F PF ∆的周长224a c =+=+，故C 正确； 设12F PF ∆的内切圆半径为r ，14)32r ⋅=，31)2r ∴=，故D 正确； 故选：CD.考点：本题主要考查等差、等比数列的性质，均值定理的应用，综合法的定义及方法． 点评：综合性较强，在理解掌握综合法的基础上，运用等差、等比数列的知识及均值定理完成解答．15. 若椭圆2214x y m+=的离心率是12，则m 的值为_________.3或163分焦点在x 轴和y 轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解 ①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得122=，解得3m =； ②当椭圆的焦点在y12=，解得163m =.综上所述，m =3或163故答案为：3或163（1）焦点坐标F 1(－5,0)，F 2(5,0)，离心率e ＝53，渐近线方程为y ＝±43x .（2）∠F 1PF 2＝90°.（1）将双曲线方程化为标准方程，即可求出a b 、，从而可求出双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）由双曲线的性质可得126PF PF -=，结合余弦定理2221212124cos 2PF PF c F PF PF PF +-∠=⋅，即可求出12F PF ∠.（1）将双曲线方程化为标准方程221916x y -=，则3,4a b ==，长轴长为6， 渐近线方程是43y x =±.（2）5c ==，126PF PF -=且1232PF PF ⋅=,则()22222121212121212244cos22PFPF PF PF cPF PF cF PFPF PF PF PF-+⋅-+-∠==⋅⋅,因为()2212122436641000PF PF PF PF c-+⋅-=+-=，所以12cos0F PF∠=，故1290F PF∠=.18. 在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –17．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．(1) ∠A=π3(2) AC边上的高为33分析：（1）先根据平方关系求sin B,再根据正弦定理求sin A，即得A∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin22ab C hb=，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C，解得AC边上的高．详解：解：（1）在△ABC中，∵cos B=–17，∴B∈（π2，π），∴sin B=2431cos B-=．由正弦定理得sin sina bA B=⇒7sin A=43，∴sin A=3．∵B∈（π2，π），∴A∈（0，π2），∴∠A=π3．（2）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A=3114372⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=33．如图所示，在△ABC中，∵sin C=hBC，∴h=sinBC C⋅=33337⨯=，∴AC边上的高为33．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.19. 已知数列{}n a 中10a =，且1210n n a a ---=，()*2,n n N ≥∈.（1）求证：数列{}1n a +为等比数列； （2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的n 项和n T . （1）证明见解析；（2）(1)21n n T n =-⋅+. （1）由121n n a a -=+，化简得到112(2)1n n a n a -+=≥+，进而证得数列{}1n a +是等比数列； （2）由（1）可得112n n a -+=，得到()112n n n b n a n -=+=⋅，结合错位相减法，即可求解.（1）由题意，可得121n n a a -=+，即()1121n n a a -+=+，所以112(2)1n n a n a -+=≥+， 又由10a =，可得111a +=所以数列{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可得112n n a -+=，所以()112n n n b n a n -=+=⋅. 所以01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅，则12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，由两式相减，可得0121121212122(1)21n n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅=--，所以(1)21n n T n =-⋅+.【点睛】错位相减法求解数列的前n 项和的分法：（1）适用条件：若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，求解数列{}n n a b 的前n 项和n S ； （2）注意事项：①在写出n S 和n qS 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出n n S qS -； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号； ③作差后，作差部分应用为1n -的等比数列求和.20. 设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且满足2243n n n a a S +=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=，12nn T b b b ，若n T m <恒成立，求m 的取值范围.（1）=21n a n +（2）1[,)6+∞（1）代入1n =求得13a =，根据n a 与n S 的关系可求得12n n a a --=，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得结果；验证1a 后可得最终结果；（2）由（1）可得n b ，采用裂项相消的方法求得n T ，可知16n T <，从而得到m 的范围.（1）由题知：0n a >，2243n n n a a S +=+……①令1n =得：2111243a a S +=+，解得：13a =当2n ≥时，2111243n n n a a S ---+=+……②①-②得：()()1120n n n n a a a a --+--= ∴120n n a a -∴--=，即12n n a a --={}n a ∴是以3为首项，2为公差的等差数列 ()32121n a n n ∴=+-=+ 经验证13a =满足21n a n =+21n a n ∴=+（2）由（1）知：()()1111212322123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭1111111111112355721232323646n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1046n >+ 16n T ∴< 16m ∴≥ 即1,6m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求和，关键是能够利用n a 与n S 的关系证得数列为等差数列，从而求得通项公式，属于常规题型.21. 已知动点(,)Mx y2λ=(其中0λ>). （1）指出动点M 的轨迹C 是何种曲线，并化简其方程；（2）当λ=11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 和曲线C 相交于,A B 两点，且P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程.（1）答案见解析；（2）32y x =-+.（1）利用两点间的距离公式识别已知条件为M 到定点()()1,0,'1,0F F -的距离之和等于定值2λ，结合椭圆的定义判定当1λ>时，M 的轨迹为椭圆，并写出标准方程；当1λ=时，为线段12F F ,并写出方程；10λ>>无轨迹.（2）根据椭圆的标准方程，利用点差法求得以P 为中点的直线l 的斜率，进而得到方程.（1）当1λ>时，222211x y λλ+=-；当1λ=时，0(11)y x =-≤≤；当10λ>>时无轨迹.（2）当2λ=时，轨迹C 的方程是：2212xy +=，设点()()1122,,,A x y B x y 则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差得2222121202x x y y -+-=，除以12x x -得()1212121202x x y y y y x x +-++⋅=-，代入中点坐标202k +=，则1k =-，直线l 的方程是32y x =-+.【点睛】本题考查椭圆的定义与标准方程，中点弦问题，识别已知条件，转化为动点到两定点的距离之和等于定值是关键，求解中点弦问题是，利用代点平方差方法求斜率是常用的方法.22. 如图，已知椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，焦距为4，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，点A 关于原点O 的对称点为C ，当l 的斜率存在时，直线AB 和BC 的斜率之积为12-.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求OBC 面积的最大值.（1）22184x y +=；（2）（1）设()()1122,,,A x y B x y ，则11(,)C x y --，利用斜率公式和点差法可得222a b =，结合222a b c =+，2c =可解得结果；（2）设出直线AB 的方程代入椭圆方程，得到12y y +和12y y ，根据121||2OBCOABSSOF y y ==⋅-=t 的函数关系式，再利用基本不等式求出最值即可得解.（1）由焦距为4，可得24c =，解得2c =. 设()()1122,,,A x y B x y ，则11(,)C x y --， 由12AB BCk k ⋅=-得222121212221212112y y y y y x x x x x y x -+-⋅==--+-. 将()()1122,,,A x y B x y 的坐标分别代入22221x y a b+=，得2211222222221,1.x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② -②①，得2222122221y y b x x a -=--，所以2212b a -=-，即222a b =. 又222a bc =+，所以224b c ==，所以2228a b ，所以椭圆C 的标准方程为22184x y +=. （2）由点,A C 关于原点对称，可得OBCOABSS=.又直线AB 的倾斜角不为0，焦点(2,0)F ， 所以可设直线AB 的方程为2x ty =+.由221,842,x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 并整理，得()222440t y ty ++-=，则12122244,22t y y y y t t +=-=-++. 所以121||2OBCOABSSOF y y==⋅-=212212t ===+，当且仅当211t =+，即0t =时取等号， 所以OBC 面积的最大值为.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。
广东省深圳实验学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．抛物线22y x =的焦点坐标是A ．10（，）B ．102（，）C ．104（，）D ．108（，）2．若{a ，b ，}c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A ．+b c ，b ，-b c B ．a ,+a b ，-a bC ．+a b ，-a b ,cD ．+a b ，++a b c ，c3．方程22x y x y -=+表示的曲线是A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．双曲线4．如图1，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ． 设11A B =a ，11A D =b ,1A A =c ，则下列向量中与12B M 相等的向量是A ．2-++a b cB ．2++a b cC ．2-+a b cD ．2--+a b c5．椭圆221259x y +=与椭圆221259x y k k+=--（9k <）的 图1A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等16．设平面α与平面β的夹角为θ,若平面α，β的法向量分别为1n 和2n ，则cos θ=A ．1212||||n n n nB ．1212||||||n n n nC ．1212||||n n n n D ．1212||||||n n n n7．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在A ．圆上B ．椭圆上C ．抛物线上D ．双曲线的一支上8．以(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 9．已知点P 在抛物线24y x =上，点Q 在直线3y x =+上，则||PQ 的最小值是ABCD ．10．在直三棱柱111ABC A B C -中,90BCA ∠=︒，1D ,1F 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是A B ．12CD 11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率2e =,若A ，B ,C 是双曲线上任意三点，且A ,B 关于坐标原点对称，则直线CA ，CB 的斜率之积为 A ．2B ．3CD 12．已知空间直角坐标系O xyz -中,P 是单位球O 内一定点，A ,B ，C 是球面上任意三点，且向量PA ，PB ，PC 两两垂直，若2Q A B C P =++-（注：以X 表示点X 的坐标)，则动点Q 的轨迹是A ．O 为球心,2OP -为半径的球面B ．O 22OP为半径的球面C ．P 2OP -为半径的球面D ．P 为球心22OP为半径的球面二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳实验学校高中部2019_2020学年高二数学上学期期中试题
深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1．抛物线22y x =的焦点坐标是A ．10（，）B ．102（，）C ．104（，）D ．108（，）2．若{a ，b ，}c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A ．+b c ，b ，-b c B ．a ，+a b ，-a bC ．+a b ，-a b ，cD ．+a b ，++a b c ，c3．方程22x y x y -=+表示的曲线是A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．双曲线4．如图1，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ．设11A B =u u u u r a ，11A D =u u u u r b ，1A A =u u u rc ，则下列向量中与12B M u u u u r相等的向量是A ．2-++a b cB ．2++a b cC ．2-+a b cD ．2--+a b c5．椭圆221259x y +=与椭圆221259x y k k+=--（9k <）的 图1A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．设平面α与平面β的夹角为θ，若平面α，β的法向量分别为1n 和2n ，则cos θ=A ．1212||||g n n n nB ．1212|||||g |n n n nC ．1212|||g |n n n n D ．1212|||||g |n n n n7．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在A ．圆上B ．椭圆上C ．抛物线上D ．双曲线的一支上18．以(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9．已知点P 在抛物线24y x =上，点Q 在直线3y x =+上，则||PQ 的最小值是A ．22B ．2C ．322D ．2210．在直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，1D ，1F 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是A ．3010B ．12C ．3015D ．151011．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率2e =，若A ，B ，C 是双曲线上任意三点，且A ，B 关于坐标原点对称，则直线CA ，CB 的斜率之积为 A ．2B ．3C ．3D ．612．已知空间直角坐标系O xyz -中，P 是单位球O 内一定点，A ，B ，C 是球面上任意三点，且向量PA u u u r ，PB u u u r ，PC u u ur 两两垂直，若2Q A B C P =++-（注：以X 表示点X 的坐标），则动点Q 的轨迹是 A ．O 为球心，22OP -u u u r 为半径的球面 B ．O 为球心，232OP -u u u r 为半径的球面C ．P 为球心，22OP -u u u r 为半径的球面D ．P 为球心，232OP -u u u r 为半径的球面二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
深圳实验学校高中部第二学段考试高二数学(文)试卷
深圳实验学校高中部第二学段考试高二数学（文）试卷深圳实验学校高中部_-_学年度第二学段考试高二数学(文)试卷时间:120分钟满分:150分第一卷(选择题满分50分)一.选择题:本大题共10小题,在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确,请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分,满分50分．1．若命题的逆命题是,命题的逆否命题是,则与的关系是(A)互为逆命题．(B)互为否命题．(C)互为逆否命题． (D)不能确定．2．下列结论中正确的是(A),则．(B)若,则．(C)若,则． (D)若,则．3．若函数的递减区间为,则的范围是(A)．(B) ． (C)． (D) ．4．设,,若命题,命题,那么命题是命题的(A)充分不必要条件．(B) 必要不充分条件．(C)充要条件．(D)既不充分又不必要条件．5．若方程表示椭圆,则的取值范围是(A)．(B) ．(C) ．(D) ．6．设为双曲线的离心率,且,则实数的取值范围为(A)．(B)．(C)．(D) ．7．设是双曲线上一点,双曲线的一条渐近线方程为,.分别是双曲线的左.右焦点．若,则＝(A)或．(B)．(C)．(D)．8．已知是椭圆的半焦距,则的取值范围是(A)．(B)．(C)． (D)．9．椭圆的左准线为,左.右焦点分别为,,抛物线的准线为,焦点是,与的一个交点为,则的值等于(A)． (B)． (C)．(D)．10．抛物线与直线交于.两点,设抛物线的焦点为,则等于(A)．(B)． (C)．(D)．深圳实验学校高中部_-_学年度第二学段考试高二数学(文)试卷第二卷(非选择题满分100分)二．填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上．11．写出命题〝〞的否定:．12．若曲线与直线相切,则常数的值为．13．以双曲线的对称中心为顶点,双曲线的一个焦点为焦点的抛物线的方程是．14．椭圆的离心率是,则两准线间的距离为．三．解答题:本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．15．(本题满分12分)设双曲线的方程为,直线的方程是,当为何值时,直线与双曲线(Ⅰ)有两个公共点?(Ⅱ)仅有一个公共点?(Ⅲ)没有公共点?16．(本题满分12分)设,,命题,命题．(Ⅰ)当时,试判断命题是命题的什么条件;(Ⅱ)求的取值范围,使命题是命题的一个必要但不充分条件．17．(本题满分14分)已知为实数,,为的导函数. (Ⅰ)若,求在上的最大值和最小值;(Ⅱ)若在和上都是递增的,求的取值范围．18．(本题满分14分)某商场从生产厂家以每件元购进一批商品．若该商品零售价为元,则销售量(单位:件)与零售价(单位:元)有如下关系:．(Ⅰ)试写出该商品的毛利润与零售价的函数关系式,并指出函数的定义域;(Ⅱ)试问该商品零售价定为多少时毛利润最大,并求出最大毛利润．【毛利润＝销售收入－进货支出】19．(本题满分14分)已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,过焦点且斜率为的直线交椭圆于.两点,若椭圆的离心率．(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求的面积(为坐标原点)．20．(本题满分14分)已知点,动点到点的距离比到轴的距离多．(Ⅰ)求动点的轨迹方程;(Ⅱ)在轴上是否存在这样的点,使得过点的任意直线与点的轨迹相交于.两点时,以为直径的圆恒过坐标原点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由．深圳实验学校高中部_-_学年度第二学段考试高二数学(文)参考答案一.选择题:本大题共10小题,在下列每小题给出的四个结论中有且只有一个正确,请把正确的结论填涂在答题卡上．每小题5分,满分50分．12345678910BBDACDCCBA二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分(第12题第1空2分,第2空3分)．11．; 12．;13．; 14．．三.解答题:本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．15．(本题满分12分)设双曲线的方程为,直线的方程是,当为何值时,直线与双曲线(Ⅰ)有两个公共点?(Ⅱ)仅有一个公共点?(Ⅲ)没有公共点?解:把代入得:．…………(_)当,即时,方程(_)为一次方程,只有一解．当且,即且时,方程(_)有两个不等实根．当且,即时,方程(_)有两个相等实根．当且,即或时,方程(_)没有实根．因此,(Ⅰ)当且时,直线与双曲线有两个公共点;(Ⅱ)当或时,直线与双曲线仅有一个公共点;(Ⅲ)当或时,直线与双曲线没有公共点.16．(本题满分12分)设,,命题,命题．(Ⅰ)当时,试判断命题是命题的什么条件;(Ⅱ)求的取值范围,使命题是命题的一个必要但不充分条件．解:,．(Ⅰ)当时,．,当时,有,但时不能得出．因此,命题是命题的必要但不充分条件．(Ⅱ)当时,,有,满足命题是命题的必要但不充分条件．当时,,要使,须,即．当时,,满足命题是命题的必要但不充分条件．因此,的取值范围是．17．(本题满分14分)已知为实数,,为的导函数.(Ⅰ)若,求在上的最大值和最小值;(Ⅱ)若在和上都是递增的,求的取值范围．解:(Ⅰ),.由,得,此时,,由,得或.又,,,在上的最大值为,最小值为.(Ⅱ),的图像是开口向上且过点的抛物线,由条件得,,,.解得.的取值范围为．18．(本题满分14分)某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品．若该商品零售价为_元,则销售量Q(单位:件)与零售价_(单位:元)有如下关系:．(Ⅰ)试写出该商品的毛利润与零售价的函数关系式,并指出函数的定义域;(Ⅱ)试问该商品零售价定为多少时毛利润最大,并求出最大毛利润．【毛利润＝销售收入－进货支出】解:(Ⅰ)设毛利润为,由题意知,化简,得.由,即,解得,因为_为自然数,函数的定义域是.(Ⅱ).令,解得或(舍去),此时,.因为,在附近的左侧,右侧,所以是极大值,根据实际问题的意义知,是最大值. 答:零售价定为每件元时毛利润最大,最大毛利润为元．19．(本题满分14分)已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,过焦点且斜率为的直线交椭圆于.两点,若椭圆的离心率．(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求的面积(为坐标原点)．解:(Ⅰ)设椭圆方程为(),则 (1)由,得 (2)由(1).(2)解得,.因此,椭圆方程为.(Ⅱ),直线．设.,因为过椭圆的焦点,所以利用椭圆的焦半径公式,得弦长.由得,．则,原点到直线的距离为．的面积等于．20．(本题满分14分)已知点,动点到点的距离比到轴的距离多．(Ⅰ)求动点的轨迹方程;(Ⅱ)在轴上是否存在这样的点,使得过点的任意直线与点的轨迹相交于.两点时,以为直径的圆恒过坐标原点?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由．解:(Ⅰ)设点的坐标为,依题意,．当时,化简,得;当时,化简,得．因此点的轨迹方程为或．(Ⅱ)当过原点时,满足条件,此时点的坐标为．当以为直径的圆过坐标原点时,为直角三角形,.假设存在满足条件的点,点坐标为．当过点的直线垂直于轴时,依题意有,则点的坐标为,点在抛物线上,．下面证明点满足条件．当过点直线不垂直于轴时, 设该直线的斜率为,则直线方程为,又设.两点的坐标为.．,． (1)把.代入(1)中,得． (2)由消去,得,．则(2)的左边．(2)式对任意恒成立．因此,存在满足条件的点,点坐标为或．。
广东省深圳实验学校高中部2019_2020学年高二数学上学期期中试题
深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求。
1．抛物线22y x =的焦点坐标是A ．10（，）B ．102（，）C ．104（，）D ．108（，）2．若{a ,b ,}c 构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是 A ．+b c ,b ,-b c B ．a ,+a b ,-a bC ．+a b ,-a b ,cD ．+a b ,++a b c ,c 3．方程22x y x y -=+表示的曲线是A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．双曲线4．如图1,在平行六面体1111ABCD A B C D -中,AC 与BD 的交点为M ．设11A B =u u u u r a ,11A D =u u u u r b ,1A A =u u u rc ,则下列向量中与12B M u u u u r相等的向量是A ．2-++a b cB ．2++a b cC ．2-+a b cD ．2--+a b c5．椭圆221259x y +=与椭圆221259x y k k+=--（9k <）的 图1A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等6．设平面α与平面β的夹角为θ,若平面α,β的法向量分别为1n 和2n ,则cos θ=A ．1212||||g n n n nB ．1212|||||g |n n n nC ．1212|||g |n n n n D ．1212|||||g |n n n n7．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在A ．圆上B ．椭圆上C ．抛物线上D ．双曲线的一支上18．以(4,1,9)A ,(10,1,6)B -,(2,4,3)C 为顶点的三角形是A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9．已知点P 在抛物线24y x =上,点Q 在直线3y x =+上,则||PQ 的最小值是A ．22B ．2C ．322D ．2210．在直三棱柱111ABC A B C -中,90BCA ∠=︒,1D ,1F 分别是11A B ,11A C 的中点,1BC CA CC ==,则1BD 与1AF 所成角的余弦值是A ．3010B ．12C ．3015D ．151011．已知双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的离心率2e =,若A ,B ,C 是双曲线上任意三点,且A ,B 关于坐标原点对称,则直线CA ,CB 的斜率之积为 A ．2B ．3C ．3D ．612．已知空间直角坐标系O xyz -中,P 是单位球O 内一定点,A ,B ,C 是球面上任意三点,且向量PA u u u r ,PB u u u r ,PC u u ur 两两垂直,若2Q A B C P =++-（注：以X 表示点X 的坐标）,则动点Q 的轨迹是 A ．O 为球心,22OP -u u u r 为半径的球面 B ．O 为球心,232OP -u u u r 为半径的球面C ．P 为球心,22OP -u u u r 为半径的球面D ．P 为球心,232OP -u u u r 为半径的球面二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。
广东省深圳实验学校2020-2021学年高二第一学期第二阶段考试语文试卷
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第一学期第二阶段考试高二语文时间：150分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、课内基础知识题（每题3分，共15分）1.下列句中加点的词的解释全都正确的一项是（）（3分）①病．偻，隆然伏行病：患病②故病．且怠病：穷困③过．蒙拔擢过：过失④若不过．焉则不及过：过多⑤他日汝当．用之当：掌管⑥安步当．车当：当作⑦吾家读书久不效．效：成就⑧臣以讨贼兴复之效．效：效应A．①②⑤⑥ B．①④⑥⑦ C．④⑤⑥⑧ D．②③⑤⑦2.下列各句中加点字的用法与例句相同的一项是（）（3分）例句：爪．其肤以验其生枯A．鸣鼓而聚．之 B．风．乎舞雩C．古人秉烛夜．游 D．吾妻死之年所手．植3.下列句子中，加点词的意义与现代汉语相同的一项是（）（3分）A．能顺木之天以致．．而已．．其性焉尔 B．不抑耗其实C．万籁．．而是．．有声，而庭阶寂寂 D．多置小门墙，往往4.下列语句从句式角度看，分类正确的一项是（）（3分）①又何以蕃吾生而安吾性耶②问其制稍异于前③如或知尔，则何以哉④而刘夙婴疾病⑤凡长安富豪人为观游及卖果者⑥令人长号不自禁⑦轩凡四遭火，得不焚⑧欲苟顺私情，则告诉不许⑨是臣尽节于陛下之日长A. ①③⑤/ ②⑨/ ④⑧ / ⑥⑦ B．①③⑤ / ②④⑨/ ⑦⑧ / ⑥C．①③⑥/ ②⑨/ ④⑦⑧ / ⑤ D．①③⑥ / ②⑨/ ④⑤⑧ / ⑦5.下列对课文有关文化常识的表述，不正确的一项是（）（3分）A．表，是中国古代臣子向帝王上书陈情言事的一种特殊文体，其主要作用是表达臣子对君主的忠诚和希望。
“动之以情”是这种文体的一个基本特征。
B．侍坐，卑者在尊者身旁陪伴叫“侍”。