五年级奥数春季班第7讲 圆与扇形进阶

第七讲 圆与扇形进阶
模块一、基本图形面积求法：
方中圆：正方形面积 : 圆面积=4 : π； 圆中方：圆面积 : 正方形面积=π : 2.
例1．（1）下图中正方形的边长为2，则①所在是弯角与②所在的弓形的面积分别是 、 。

(π取
解：正方形的边长为2，所以正方形的面积是4，圆的半径是2，所以四分之一的圆的面积π. 所以圆角①的面积是4−π=；
直角三角形的面积是2，所以弓形②的面积是π−2=.
（2）下图中正方形的面积为2，则①所在是弯角与②所在的弓形的面积分别是 、 。

(π取
解：正方形的面积是2，所以扇形面积是2
=，所以圆角①的面积是2−=； 直角三角形的面积是1，所以弓形②的面积是−1=.
例2．如图，已知正方形的面积是100，则阴影部分的面积和为 。

（结果保留π）
解：正方形的面积是100，正方形内有一个四分之一的圆，圆的半径是10，四分之一圆的面积是25π， 所以阴影中的圆角的面积是100−25π，
有外面的大圆的面积是50π，阴影中小弓形的面积是大圆面积减去正方形面积的四分之一， 所以两个弓形的面积是2×14
×(50π−100)=25π−50， 于是阴影部分的面积=100−25π+25π−50=50.
例3．（1）如图，阴影部分的面积是多少
解：（1）阴影部分面积=长方形面积−扇形−圆角，
大长方形面积=4×6=24， 扇形是四分之一个圆，扇形面积=14
×π×16=4π， 圆角面积=正方形面积−四分之一圆=16−4π，
所以阴影部分的面积=24−4π−16+4π=8.
（2）在一个边长为6的正方形内，分别以正方形的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米（π = ）
解：（2）下面的阴影是半圆，上面的阴影是两个圆角，它的面积等于半个正方形的面积−半个圆的面积， 所以阴影部分的面积半个正方形的面积=12
×62=18.
例4．如图所示，分别以直角三角形的三条边为直径做半圆，这三个半圆交出两个月牙形区域（阴影部分），则这两个阴影面积之和为 。

解：两个阴影部分的面积之和等于三角形ABC 面积+AB 为直径的半圆的面积+ BC 为直径的半圆的面积−AC 为直径的半圆面积。

三角形ABC 的面积=30，AB 为直径的半圆的面积=21525()228
ππ⨯⨯=， BC 为直径的半圆的面积=216182ππ⨯⨯=，AC 为直径的半圆的面积=2113169()228
ππ⨯⨯=，
所以阴影部分面积=30+25169
18
88
πππ
+-=30.
例5．已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm，BC=2cm，则阴影部分的面积为cm2。

（π取）
解：如图连结CD，可以看出
阴影部分的面积=两个半圆的面积和−△ADC的面积−△BDC的面积，
AC=4，得以AC为直径的半圆的面积=2π，BC=2，以BC我直径的半圆的面积=1
2π，
三角形ABC的面积=1
2
×4×2=4，
所以阴影部分的面积=2π+1
2
π−4=.
例6．三个半圆，两个圆如图摆放，两个小半圆和两个小圆的半径都是10cm，大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大cm2。

（π取）
解：小圆的半径为10，大圆的半径为20，
大圆外的阴影部分面积等于两个小圆面积的和−两个月牙部分的面积和，
大圆内的阴影部分的面积等于半个大圆的面积−两个月牙部分的面积和−一个小圆的面积，
于是大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大出一个小圆的面积，
即100π=314cm2.
随 堂 练 习
1．下列图形中阴影部分的面积分别为 、 、 。

（π取）
5
5
5
解：弓形面积=254π⨯−2152⨯=；圆角面积=25−254
π⨯=； 月牙面积=2×=.
2．计算图形中阴影部分的面积为 平方分米（单位：分米）。

解：如图做辅助线，可以看出，阴影部分是由一个三角形、一个圆角和四分之一个圆组成，
三角形面积=2152
⨯，圆角面积+四分之一的圆的面积=边长为5 的正方形面积=25， 所以阴影部分的面积=+25=.
3．如图，直角三角形ABC 中，AB =4，BC =6，分别以三角形三边为直径画三个半圆，则阴影部分是面积为 。

解：阴影部分的面积=以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积+三角形ABC的面积−以AC为直径的半圆面积，
而由于AB2+BC2=AC2，
所以以AB为直径的半圆面积+以BC为直径的半圆面积=以AC为直径的半圆面积，
于是阴影部分的面积=△ABC的面积=1
46
2
⨯⨯=12。

4．图中阴影部分的面积为。

（π取）
D
A
解：如图画出辅助线，看出AE弧的弓形是以AB为直径的圆中的一部分，
三角形ABC内部的阴影部分等于扇形CBF−三角形BCE+BE为弧的弓形，
所以两部分阴影面积的和=扇形CBF的面积−三角形BCE的面积+2×BE为弧的弓形的面积，
∠BCF=45°，所以扇形CBF的面积=
1
8
×122×π=18π，
三角形BCE的面积=
1
2
三角形ABC的面积=36，
BE弧的弓形=AE弧的弓形=四分之一个小圆面积−三角形ADE的面积
=
1
4
×π×36−
1
2
×36=9π−18，
所以阴影部分的面积和=16π−36+18π−36=36π−72=.
5．如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20，阴影甲的面积与阴影乙的面积一样大，则BC 的长为。

(π＝）
O D
解：连结BD ，OD ，阴影甲的面积=扇形OAD 的面积−三角形AOD 的面积，
阴影乙的面积=四边形OBCD 的面积−扇形OBD 的面积，
由题意，扇形OAD 的面积−三角形AOD 的面积=四边形OBCD 的面积−扇形OBD 的面积， 所以 扇形OAD 的面积+扇形OBD 的面积=四边形OBCD 的面积+三角形AOD 的面积， 得 半圆面积=三角形ABC 的面积，
设BC =x ，则
2102π⨯=1202x ⨯⨯，解得x =.。