为学生思维发展而教(郑毓信)
走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告---文本资料
走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告2009年10月31日，我们带着一种敬仰到西南大学聆听了南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信教授的报告——《走进数学思维》。
郑老风趣幽默又不失严谨,他以极富魅力智慧的讲座传递着最前沿的学科知识，数学文化和人文素养。
郑老的报告用精辟深邃的理论和浅显易懂的语言，深入浅出的引发了我们对“走进数学思维”这一主题的认识和思考，使我从中收益非浅。
数学思维是一个持续的热点，现实中的思想障碍与问题是：第一，由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好地体现数学思维；第二，在现实中我们可经常看到“简单组合”、“随意拔高”等作法。
所以当务之急是如何针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作。
特别是，概念的清楚界定；如何很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。
报告中郑教授分五个部分进行阐述：一、从数学抽象谈起郑老先给我们呈现了几个发人深省的案例，我在这里摘录其一。
（父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从来不用橘子。
）“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。
”数学最基本的特性是抽象性。
抽象性在简单的计算中就已经表现出来。
我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。
我们在学校学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。
学会数学思维的首要涵义是学会数学抽象（模式化）。
数学是模式的科学。
这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。
帮助学生学会数学抽象的关键是应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。
（“去情境化”）数学教学必定包括“去情景化、去个人化和去时间化”。
模式化的一个重要手段是引入适当的图形或符号，从而实现与具体情境在一定程度上的分离。
中国数学教育的问题特色(郑毓信)
• 由此可见，现今对于中国数学教育的 认同，主要体现了西方社会主流态度 的转变，以及我们自身在这方面文化 自信的提升。
相关的事实（2）
• 什么是国际同行对我们的主要兴趣， 也即认为可以从中国数学教育吸取的 “有益经验”？
• 黛比·摩根（“英中交流项目——一 项旨在提升英国成就的策略”，《小 学数学教师》，2017年第7-8期）。
当前的主要任务
（1）实践经验的必要梳理与总结。
回放：教学研究的一个热点
“大问题”教学（黄爱华） • “用‘核心问题’引领探究学习”
（潘小明） • “核心问题教学”（王文英） • “问题驱动式”教学（储冬生） • “真问题”教学（陈培群） • “问题引领儿童学习”（张丹）
一个明显的问题：概念的多样性
当前的主要任务
（2）必要的聚焦：新的研究应当更加突 出这样一个问题：“核心问题”的提 炼，后者不仅同时包括了所谓的“知 识性问题”和“思维性问题”，也应 起到“引领”与“驱动”的双重作用。
三、“核心问题”的提炼与“再 加工”
1 .“微观”意义上的核心问题。 2. “宏观”意义上的“核心问题”。 3. “核心问题”的再加工。
正面的建议（1）
• 教学中的“引领性问题”不应太多太 小，而应“少而精”，并应有足够的 思维含金量，也即应当给学生的独立 思考提供足够的时间与空间。
正面的建议（2）：教材的认真研读
• 教材中的相关做法：“《新数学读本》 主要是通过知识问题化和问题知识化 的设置，促使学生完成对数学知识、 数学思维、方法的主动建构。” （“《现代小学数学》新读本编写思 路”，《小学数学教师》，2005年第 11期）
结论
• 对于中国数学教育我们既不应妄自菲 薄，也不应盲目自大，而应切实增强 自身在这一方面的自觉性，特别是， 即应通过认真总结与反思、包括对照 比较，真正弄清什么是中国数学教育 的主要优点， 我们又如何能够很好地 继承与发展“中国数学教育（学）传 统”。
《数学概念与数学思维的教学》有感
读《数学概念与数学思维的教学》有感
再次读到郑毓信老师的书，依然能够感觉到郑毓信老师对学习、对研究的认真与重视，郑老师将眼光放到了一个更高的层次来审视小学数学的教学：小学数学的教学不仅仅是为了让学生掌握那些知识，会做难题，更重要的是要学会数学思维方法。
为什么小学生要学习数学？是为以后的学习打基础？并不是这样的，小学数学知识，即使是差生等到一定年龄总会无师自通的，那么小学数学究竟要学什么？郑毓信老师给出了答案，小学数学的主要任务是培养学生的数学思维能力，并能够用数学思维去思考解决问题。
我经过一年的教学实践，课堂上也在有意识的渗透数学思维，也在引导孩子们去在生活中运用，但收效甚微，我一直在思考哪里出了问题，读了郑老师的书后，我想我找到了答案，即我没有处理好“学校数学”与“日常数学”的关系。
数学具有抽象性，数学思维是数学知识的精髓和灵魂，是对数学的本质认识，更是一个人数学素养的重要内涵之一。
对于数学教学而言，要将数学思维渗透到数学教学中，就必须潜移默化的以数学知识为载体，找准时机有选择、有目的、有计划的渗透。
如果说想要学生用数学思维去学习数学，去思考问题的话，那么首先老师要先学会用数学思维去教学。
数学教学方法改革之实践与理论思考郑毓信
数学教学方法改革之实践与理论思考郑毓信数学教学方法改革之实践与理论思考南京大学哲学系郑毓信教学方法的变革可以被看成新一轮数学课程改革顺利开展的关键所在。
就现实而言，一些新的教学方法得到了积极倡导，如情境设置、自主探索、动手实践、合作学习等；但是，与盲目的追随相比，在此更需要深入的理论学习与分析，从而在理论指导下更为自觉地去进行实践，包括切实避免各种可能的片面认识与做法上的简单化。
这事实上应被看成数学教学方法改革深入发展的必然要求，即应当努力超越纯粹的“形式追求”转而更为重视相关的实质问题，并能通过积极的教学实践与深入的理论研究不断取得新的进步。
以下从这样的角度对所提及的各种方法作出具体分析；另外，笔者还将从一般角度对数学教学方法改革的问题作出进一步的论述。
一、情境设置与“贴近生活”新课程特别倡导用具体的、有趣味的、富有挑战性的素材引导学生投入数学活动。
因为，这既可以帮助学生更好地认识数学的意义，对于调动学生学习数学的积极性显然也十分有利。
但是，从教学实践的角度看，在此显然又应提出这样的问题：“情境设置”是否应当被看成数学教学中引入课程内容的唯一合理方法，以致在任何情况下都不应采取其他的方法，即“单刀直入”地直接引出主题？为了回答这一问题，可以先来看下面的教例。
为了引出“平均数”的概念，教师首先设计了这样一个情境。
将学生分成人数相等的两队，通过和学生自由谈话引出：“老师想了解一下咱们班这两队同学的拍球水平，你们说该怎么办？”……在学生谈出自己的不同想法以后，教师结合生活实际肯定了“每队选几个代表拍球”的做法，并在教室中实际组织了如下的活动：学生限时地拍球，教师记录两队中每位同学的拍球个数；然后，教师又提出了如下问题：“现在我们已经知道了两队中每位同学的拍球个数，哪队同学拍球水平高？你有自己的想法吗？”……在独立思考和全班交流后，教师又以游戏者的角色加入其中拍球水平低的一队，从而引出了“在人数不相等的情况下，比什么才能公平”这样一个问题，并“通过辩论”得出了如下的结论：“比较平均每人拍球的个数才公平”。
善于优化 (数学教师的基本功之三 郑毓信)
善于优化“数学教师的基本功”之一郑毓信（人民教育2008 20）摘录《人民教育》第二十期数学思维不可能自发地得以形成，而主要是一个文化继承的过程。
从而，从总体上说，数学学习也必然地有一个“优化”的过程，或者说，数学教师的又一重要职责，是帮助学生很好地实现思维的优化。
显然，从这样的角度去分析，我们也就立即可以看出以下一些做法的错误性，因为，教师在此事实上成了某些调皮学生的“尾巴”，以致未能发挥应有的指导作用。
在一篇题为《新课程中教师怎样关注学生》①的文章中，作者提出了这样的观点：教学工作应当以学生为本，以学生的发展为本，从而，教师在自己的教学工作中也就应当“关注学生的表现，欣赏学生的想法，重视学生的问题，接纳学生的意见，宽容学生的错误，满足学生的需要”。
上述立场无疑是正确的。
但是，我们在此又应防止另外一种倾向，即由忽视学生的发展转而完全放弃了教学所应具有的指导作用。
例如，当教师要求学生从不同角度说出8的各种性质，而学生说出“8是16的儿子”时，教师是否应当仅仅停留于“欣赏”而完全放弃了应有的引导？因为，学生的这一说法明显地具有不确定性和含糊性，而学习数学的主要目的之一就是掌握数学这样一种“自然科学的语言”。
与自然语言相比；自然科学语言的主要优点之一就是具有确定性和精确性。
再例如，当学生提出“被减数与减数完全相同的时候，可以交换它们的位置”日甘，尽管教师可以而且应当“为学生敢于向老师挑战而感到欣慰”（因为教师在当时所强调的是：“在减法中，被减数与减数绝对不可以交换位置。
”）。
但是，学生的这一提法是否真的可以被看成“缜密的思维”，进而，在被减数与减数能否交换”这样一些十分重要而学生又特别容易弄错的地方，教师又是否应当“不加思考地”认错？为了更为深刻地揭示“思维优化”的内涵，以下再联系数学思维的特征对此做出进一步的分析。
如前所述（见《善于举例》与《善于提问》两文，分别载《人民教育》2008年第18、19期），特殊的研究视角或抽象内容正是数学思维的一个主要特征：数学所关注的只是事物和现象的量性特征，但却完全舍弃了对象的质的内容。
读郑毓信教授的《数学教学的关键》心得
在郑毓信教授的《数学教学的关键》一书中，作者深入探讨了数学教学的核心问题，提出了许多令人深思的观点和理念。
通过阅读和思考，我对这个主题有了一些个人的理解和心得体会。
郑毓信教授在书中指出了数学教学的核心问题，即如何激发学生的数学兴趣和提高他们的数学素养。
在这一点上，我深有同感。
数学是一门需要逻辑思维和创造性思维的学科，而这种思维方式并不是天生就具备的，需要通过教学来培养和加强。
激发学生的兴趣和提高他们的数学素养是数学教学中最基本、最重要的任务。
郑毓信教授提出了许多有效的数学教学方法和策略，例如启发式教学、问题解决式教学等。
这些方法在实践中都被证明是非常有效的，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
这也启发了我对数学教学方式的反思和探索，让我意识到数学教学可以是如此丰富多彩，而不仅仅局限于传统的板书讲解。
另外，在书中，郑毓信教授还强调了数学教学中的跨学科性，即数学与其他学科的交叉应用和融合，这一点也给我留下了深刻的印象。
数学是一门智力活动，它和其他学科并不是孤立的，而是相互联系、相互渗透的。
数学教学应该注重培养学生的跨学科思维能力，让他们能够将数学知识应用到实际问题中，更好地理解和把握数学的本质。
郑毓信教授的《数学教学的关键》让我对数学教学有了更深入的思考和理解。
通过阅读和思考，我认识到数学教学的核心是激发学生的兴趣和提高他们的数学素养，同时也意识到数学教学是一个丰富多彩的过程，需要不断地探索和实践。
希望在未来的数学教学中，我能够充分运用和落实书中所提出的理念和方法，为学生的数学学习和成长提供更好的帮助。
在数学教学的过程中，激发学生的兴趣是至关重要的。
学生对数学的兴趣往往决定了他们学习的动力和效果。
然而，激发学生的兴趣并不是一件容易的事情，尤其是对于那些对数学学习抱有抵触情绪的学生。
教师需要不断寻找新的方法和途径，以激发学生对数学的兴趣。
在郑毓信教授的书中，启发式教学被提出为一种有效的教学方法。
这种教学方法强调通过引发学生自主探索和发现的方式来引发他们的兴趣。
学会思维：让数学“核心素养”扎根
学会思维：让数学“核心素养”扎根作者：曹俊来源：《数学教学通讯·小学版》2020年第12期摘要：数学思维远比数学知识更为重要、更有意义。
发展学生思维，要给学生提供有效支点，要给学生渗透思想方法，要引导学生进行积极的反思。
教学中，不断发展学生思维能力、提升学生思维品质，通过让学生学会思维，让学生的数学“核心素养”扎根。
关键词：小学数学;学会思维;核心素养数学是学生思维的体操，“帮助学生学会数学地思维”被认为是数学教学的应有之义。
南京大学郑毓信教授深刻地指出，“数学教学的主旨应当从‘学会数学地思维’向‘通过数学学习学会思’进行转变，从而让学生的数学学习更清晰、更深入、更全面、更合理”。
思维是学生学习力的内核，帮助学生“学会思维”能让学生的数学核心素养扎根。
■一、学会思维，要给学生提供有效支点在小学数学教学中，“学会思维”主要是引导学生更加合乎逻辑、更有条理、更严密、更精准、更深入地进行思考。
有方法、善质疑、会表达是学会思维的基本特征。
引导学生学会思维，教师不仅要赋予学生思维时空，还要提供学生思维支点，也就是要提供学生思维的载体、平台，对学生的思维进行引导、启发。
通过给学生提供思维的载体，让学生积极地思维、能动地思维、有效地思维。
比如当学生的数学思维遭遇障碍、困惑时，教师可以引导学生画图，可以引导学生操作，可以引导学生举例，可以进行适度追问，可以让学生对问题进行记录表征等。
通过教师的助力，为学生数学思维提供帮助。
比如教学《三角形的分类》（苏教版四年级下册），笔者用“大问题”启迪学生思维：将三角形按照角、边进行分类，可以怎样分？可以用集合图来表示吗？应该说，“大问题”让学生的思维无拘无束、纵横驰骋。
学生根据“角的分类”将三角形分成了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形;根据“边的分类”将三角形分成了有两条边相等的等腰三角形、有三条边相等的等边三角形以及三条边都不相等的不等边三角形，并分别画出了示意图、集合图。
走进数学思维-听郑毓信教授的学术报告
走进数学思维——听郑毓信教授的学术报告2009年10月31日，我们带着一种敬仰到西南大学聆听了南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信教授的报告——《走进数学思维》。
郑老风趣幽默又不失严谨,他以极富魅力智慧的讲座传递着最前沿的学科知识，数学文化和人文素养。
郑老的报告用精辟深邃的理论和浅显易懂的语言，深入浅出的引发了我们对“走进数学思维”这一主题的认识和思考，使我从中收益非浅。
数学思维是一个持续的热点，现实中的思想障碍与问题是：第一，由于小学数学的内容较为简单，因此就不可能很好地体现数学思维；第二，在现实中我们可经常看到“简单组合”、“随意拔高”等作法。
所以当务之急是如何针对小学数学的实际情况、包括具体的教学内容与学生的认知水平更为深入去开展工作。
特别是，概念的清楚界定；如何很好处理具体数学知识内容（包括知识与技能）的教学与数学思维的教学之间的关系。
报告中郑教授分五个部分进行阐述：一、从数学抽象谈起郑老先给我们呈现了几个发人深省的案例，我在这里摘录其一。
（父：“如果你有一个橘子，我再给你两个，你数数看一共有几个橘子？”子：“不知道！在学校里，我们都是用苹果数数的，从来不用橘子。
）“数学，对学生来说，就是利用自己的生活经验对数学现象的一种‘解读’。
”数学最基本的特性是抽象性。
抽象性在简单的计算中就已经表现出来。
我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。
我们在学校学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或是苹果的数目乘上苹果的价钱等等。
学会数学思维的首要涵义是学会数学抽象（模式化）。
数学是模式的科学。
这就是指，数学所反映的不只是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的共同性质。
帮助学生学会数学抽象的关键是应超越问题的现实情境过渡到抽象的数学模式。
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学”。
背景：走向“核心素养”
• 2014年3月，教育部印发《关于全面深 化课程改革、落实立德树人根本任务 的意见》，指出课程改革的深化“将 提出各学段学生发展核心素养体系， 明确学生应具备的适应终身发展和社 会发展需要的必备品格和关键能力。”
相关的论述（3）
• “现在很多学校都缺乏坚信的东西，表 现出来就是没有定力，害怕安静，随 波逐流，人去亦去，就像一个不自信 的小孩，动辄就要闹出点动静以引起 别人的关注，这就是很多学校搞校园 文化建设的内在动机。”（王小东）
相关的论述（4）
• “现在，许多老师虽然也做课题研究， 但今天关注新课改，明天关注核心素 养，因为要‘应景’，所以转换得过 于频繁，以至于不管什么内容的课题 都停留于比较浅显的工作总结层 面……这不是新时期需要的教师。” （朱永祥等）
简介
• 南京大学哲学系教授，博士生导师； 江苏省文史研究馆馆员；享受国务院 特殊津贴专家。从事专业研究与教学 50多年，多次赴英、美与我国港台地 区作长期学术访问，意、德、荷等著 名大学作学术讲演。出版专著32部， 论文370多篇，在数学哲学、数学教育、数学核心素养”的实践性解 读；
笔者的看法
• 与简单地复述“核心素养”的“3个方 面、6大要素、18个基本要点”相比较， 我们应当更深入地去思考数学作为一 门基础学科对于提升个人与社会的整 体性素养究竟有哪些特别重要、甚至 是不可取代的作用？
• 更重要的是，作为一名数学教师，你 在这方面又有哪些亲身体验或直接的 感受？
相关的论述（2）
（2）“教育工作贵在坚持！”这也就是 指，一旦认准了方向，我们就应持之 以恒，坚持地去做。
来自语文学科的启示：
• “‘培养终身阅读者，培养负责表达者’ 是我校历经多年锤炼并在2012年最终 确立的语文宣言，是我们坚定的学科 信念、行动指针。今天，这也是用我 们自己的句子表述的语文核心素养。” （江苏省锡山高级中学唐东澎，“培 养终身阅读者，培养负责表达者”， 《人民教育》，2017年第3-4期）
• “今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧， 今天比昨天快乐，这就是成功。” （林清玄）
• 语文教育的主要作用：“什么是生命里重 要的事情：一是爱，能爱，能表达爱；二 是美，懂美，追求美。三是情，四是义， 人要有情有义。五是感动，美好的情感能 被激发。”
• 数学教育的主要使命：我们应当通过数学 教学使学生一天比一天智慧，一天比一天 聪明，也即应当努力促进学生思维的发展 与理性精神的养成。
具体分析（2）
• 我们应当通过数学帮助学生学会思维， 而不只是学会“数学地思维”，并由 “理性思维”逐步走向“理性精神”。
“贵在坚持”的一个范例
“从来没想到，在北京一所不起眼的小区配 套学校里，居然有一群人，对‘三维’目 标的研究如此执着达8年之久；他们从学科 知识走到了知识树，从知识树走到了能力， 从能力走到了高位目标，并解决了一系列 教学困惑和问题。无论课改形势发生什么 变化，都没有动摇他们的研究精神。10年 过去了，这所普通学校迅速成长为海淀区 第一方阵的佼佼者……
• “课改10年里，有的学校开始时热情 高涨，之后抱怨、观望，不了了之， 课堂没有任何改变，教师几无任何收 获，反生了改革疲劳感，助长了形式 主义的风气。有的学校深入下去做研 究，但未能坚持，最终半途而废。
• “进校附校是这里面的‘胜利者’， 胜在了‘执着’二字 。”（《人民教 育》，2011年第6期
• “学科的育人价值是什么，基于学科特质 学生需要的核心又是什么？对这两个问题 的追问，是核心素养落地的关键。
• “2009年，重庆市巴蜀小学提出了‘爱读 书、善思考、会表达’的语文学科核心价 值追求。2015年，学校开始研究学科核心 素养，并对巴蜀小学的育人特质进行了再 次修改和校本化解读。”（丁小彦，“是 什么决定了教室的尺度”，《人民教育》， 2017年第3-4期）
“数学核心素养”之我见
• 基本认识（1）：这是“走向核心素养” 给予我们的主要启示：我们应当跳出 数学、并从更一般的角度去分析思考 什么是数学对于个人发展和社会进步 所应发挥的主要作用？
具体分析（1）
• 什么是不同学科、特别是数学课与语 文课对于学生成长的主要作用？
• 相关的论述（5）：“要通过生命不断 的转弯，发现多元的样貌，而不要生 活在一元的状态下。”
• “‘核心素养’的提出，其背后的理念价 值远远高出其具体指标。……核心素 养的实践探讨，其意义正在于，如何 审视我们每一天、每一节课的价值， 让每一次付出都更有方向感和成就 感。”（《人民教育》编辑部，“核 心素养的实践探讨”，《人民教育》， 2017年第3-4期）
所应采取的基本立场
（1）我们应当始终坚持自己的独立思考， 而不应盲目地去追随潮流！
• “今天，这个概念体系正在成为新一 轮课程改革深化的方向。”（《人民 教育》，2015年第7期，“社评”）
先前的工作：“核心素养”的理论 审视
• 问题1：现今对于“核心素养”的提倡 其合理性何在？这与先前所提倡的 “素质教育”有什么区别？与新一轮 课程改革对于“三维目标”的提倡又 有什么不同？
• 问题2：数学教育领域应当如何去落实 “核心素养”，特别是，我们是否应 当积极地去提倡“数学核心素养”， 还是应当更加提倡“传统学科的整 合”？
一、“数学核心素养”的实践性 解读
• 基本思考：作为一线教师，我们究竟 应当如何去落实“走向核心素养”这 样一个新的理论思想？
• 具体地说，我们是否应当牢牢记住 “核心素养”的“3个方面、6大要素、 18个基本要点”，并使之很好地落实 于自己的每一节课？
相关的论述（1）
“中国学生发展核心素养以培养‘全面 发展的人’为核心，分为文化基础、 自主发展、社会参与三个方面，综合 表现为人文底蕴、科学精神、学会学 习、健康生活、责任担当、实践创新 六大要素，具体细化为国家认同等十 八个基本要点。”