北师大九年级菱形教案知识点及习题
北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义和练习(含答案)
1.1菱形的性质和判定【菱形的性质】1．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.温馨提示：①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。
2.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AB=CD=AD=BC．OA=OC，OB=OD．菱形中相等的角：∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC=90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB∠1=∠2 =∠3=∠4，∠5 =∠6=∠7 =∠8．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①菱形具有平行四边形的一切性质；②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等；③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。
1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B.对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD 的周长是。
2.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）A.28、48B.20、24C.28、24D.20、484.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC 等于（）A.5B.10C.15D.205.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为小值为()A.2B.2，E为AB 的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP+AP的最C.4D.4第2 题第3 题第4题第5 题6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△≌ADE△．CDF7.如图，已知E、F分别是ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．【菱形的判定】1. 菱形的判定定理（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（3）四边相等的四边形是菱形.①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
北师大版初三数学上册《菱形》知识讲解及例题演练(含解析)
北师大版初三数学上册《菱形》知识讲解及例题演练(含解析)菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP 的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．举一反三：【变式】（2019春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG 与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M 为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP 为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC ＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴BE＝CF．∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴BE＝CF．∴CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．第 11 页。
北师版九年级数学 1.1菱形的性质与判定(学习、上课课件)
1 菱形的性质与判定
学习目标
1 课时讲解 菱形的定义
菱形的性质 菱形的判定
2 课时流程 菱形的面积
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 菱形的定义
知1－讲两个条件缺一Fra bibliotek可.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
如图1-1-1，在ABCD 中，若
AB=BC( 或BC=CD 或CD=DA 或DA=AB)，
则ABCD 是菱形.
感悟新知
知1－讲
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1.菱形的定义既是菱形的判定方法，又是菱形
的性质. 2.菱形是特殊的平行四边形，但平行四边形不
一定是菱形.
感悟新知
例 1 如图1-1-3，在△ ABC 中，CD 平分 ∠ ACB，CD 交AB 于点D，DE ∥AC，且DE 交BC 于点E，DF∥ BC，DF 交AC于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？
知1－练
感悟新知
知1－练
1-1. 如图， 在平行四边形ABCD 中， 点O 是AD 的中点， 连接CO 并延长交BA 的延长线于点E， 连接AC，DE.
感悟新知
(1)求证： 四边形ACDE 是平行四边形； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE. ∵点O是AD的中点，∴AO＝DO. 又∵∠AOE＝∠DOC， ∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC. 又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
感悟新知
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对
是轴对称图形，对称轴是对角线所在 的直线
称
性 是中心对称图形，对称中心是对角线
1 菱形的性质与判定 数学北师大版九年级上册
—— 探究新知 ——
观察平行四边形图形的变化，你有什么发现？
菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形 叫做菱形.
下面几幅图片中都含有一些平行四边形， 观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样 的共同特征？
你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。
知AB=5cm，AO=4cm，求 BD 的长.
A
【选自教材P4页 随堂练习】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的对角线
D
互相平分）.
O
B
∴BD 的长为 6 cm.
C
2.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证： △ABC是等边三角形. 【选自教材P4页 习题1.1 第1题】
A
C′
D
由题意可知，OC=OC′，CD=C′D，CE=C′E.
又∵AD∥BC，∠EOC=∠DOC′，
∴△COE≌△C′OD，即 EC=C′D.
B
又∵C′D=CD，∴C′D=CD=EC=C′E，
O
E
C
∴四边形 CDC′E 是菱形.
课堂小结
菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形.
A
∴BD是线段 AC 的垂直平分线 ∴BA = BC ∴四边形 ABCD 是菱形(菱形定义)
B C
O D
定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
AC⊥BD，
A
∴四边形 ABCD是菱形。
B C
1.1菱形的性质与判定教学设计-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
3. 教学内容与实际应用脱节：部分学生反映菱形的性质与判定知识与实际生活应用关联不大，需要加强与实际应用的结合，提高学生的学习动机。
（三）改进措施
1. 增加课堂互动：通过提问、小组讨论等方式，增加学生的参与度，鼓励学生积极思考和表达自己的观点。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解菱形的性质与判定知识点，结合实例帮助学生理解。
突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕菱形的性质与判定问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
知识拓展：
介绍与菱形的性质与判定内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。
引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。
情感升华：
结合菱形的性质与判定内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。
鼓励学生分享学习菱形的性质与判定的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
3. 相邻角互补
4. 菱形中心对称
判定：
1. 四边相等的四边形
2. 对角线互相垂直平分的四边形
3. 相邻角互补的四边形
4. 中心对称的四边形
```
板书设计应根据实际教学情况和学生需求进行调整和优化，以达到最佳教学效果。
八、反思改进措施
（一）教学特色创新
1. 实践教学：在菱形的性质与判定教学中，通过实际操作和实验，让学生亲身体验菱形的性质和判定方法，提高学生的实践能力和解决问题的能力。
(名师整理)最新北师大版数学九年级上册第1章第1节《菱形的性质与判定》精品教案
§1.1《菱形的性质与判定》教案第一课时一、教学内容分析：教材分析：《菱形的性质与判定》是北师版九年级数学上册第一章第一节的内容，《菱形的性质与判定》共2 个课时，本节课学习的是第一课时的内容——菱形的概念及菱形的性质。
学生分析：“菱形的性质与判定”是继学习了平行四边形以后，在此基础上进行研究的第一种特殊的平行四边形。
它既是对平行四边形认识的延续和深入，同时也为后面学习矩形和正方形奠定了基础，提供了有效的探索方法。
起到承上启下的作用。
二、教学目标分析：知识与能力目标：1、掌握菱形的的定义，理解菱形与平行四边形的“特殊与一般”的关系。
2、理解并掌握菱形的性质定理; 在证明性质和运用性质解决问题的过程中过程与方法目标：1、通过菱形的轴对称性发现菱形的特殊性质；2、通过灵活运用菱形的性质解决有关问题，掌握几何的思维方法。
情感态度价值观目标：在猜想与证明菱形性质的过程中，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力。
三、教学重点难点分析：教学重点：了解并掌握菱形的概念及其性质定理。
教学难点：菱形性质定理的应用。
四、教学准备：预备知识：平行四边形的性质；轴对称图形；等腰三角形性质；等边三角形性质及判定。
教学方法：启发式。
五、教学过程： 预计时间 教学内容 教师活动 学生活动 教学评价 5 分一、引入问题：1．复习回顾：什么样的四边形叫平行四边形？它有哪些性质？1、请从对称性， 边，角，对角线的角度回答问题。
2、板书课题。
菱形是特殊的平行1、平行四边形是中心对称图形；两组对边平行且相等； 对角相等；对通过情景引 入，让学生体会到“一般”与“特殊”的关证明方法可证），所以，菱形的面积=三角形ABO 面积的4倍。
1注意：4×=1×2OB×2OA 2=1BD •AC2预计时间教学内容教师活动学生活动教学评价3分钟四、学以致用，随堂练习。
2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD 的长. 独立完成，算出结果：BD=6cm检测教学效果，查看学生当堂掌握情况。
北师大版初中数学九年级上册知识讲解,巩固练习题：第1讲 菱形
菱形（提高）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、（2018•龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．举一反三：【变式】（2018春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、（2018春•郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°3．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm4.（2018•青神县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A.108°B.72°C.90°D.100°5. （2018•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．46. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）二.填空题7. （2018•江西三模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______ 2cm.10．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. （2018•建湖县一模）如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．14.（2018•安顺）如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B ；2.【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.3.【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴，∴PA=PC ，∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，∴PA=PD ，∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B．5.【答案】A.【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S菱形ABCD=，∴，∴DH=，故选A．6.【答案】A；【解析】阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF面积－△BGF面积＝=.二.填空题7.【答案】．；【解析】∵AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt △EBC 中，EC=2EB ，又EC=AE ，AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】【解析】由题意∠A ＝60°，DE10.【答案】5；；2；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为152⨯⨯=. 11.【答案】512； 【解析】431255AO BO OH AB ⨯⨯===. 12.【答案】()258,0,,08⎛⎫⎪⎝⎭； 【解析】由在菱形ABCD 中，AC ＝12，BD ＝16，E 为AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP ＝OE 时，②当OE ＝PE 时，③当OP ＝EP 时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】证明：（1）∵△ACF 是等边三角形，∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF ，∵∠ACB=60°，∴∠ACB=∠FAC，∴AF∥BC，∵AM∥FC，∴四边形AMCF是平行四边形，∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°，∴∠AMC=60°，又∵∠ACB=60°，∴△AMC是等边三角形，∴AM=MC，∴四边形AMCF是菱形；（2）∵△BCE是等边三角形，∴BC=EC，在△ABC和△MEC中∵，∴△ABC≌△MEC（SAS）．14.【解析】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF ．∴△ABE ≌△CDF ．（2）解：∵四边形AECF 为菱形时，∴AE=EC ．又∵点E 是边BC 的中点，∴BE=EC ，即BE=AE ．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE ，∴AB=BE=AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高可由勾股定理算得为，∴菱形AECF 的面积为2．15．【解析】解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF∴AE ＝DF ，DE ＝CF ，∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60°在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜2∴2244S ≤<S ≤<。
北师大版数学九年级上册学案《菱形的性质与判定》第一课时《菱形的性质》
菱形的性质平行四边形的性质与判定复习：【典型例题】1．若四边形ABCD是平行四边形，则有AB∥_____，AD∥_____．2．如图，在平行四边形ABCD中（1）若AB=4cm，则CD=__________cm．（2）∠ABC=60°，则∠D=_________°，∠BCD=_________°．1．教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：平移平行四边形的一条边，，使它与相邻的一条边相等，，可以得到一个菱形，，说明菱形也是特殊的平行四边形，因此菱形也具有平行四边形的所有性质．2．如图：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开．思考：（1）这是一个什么样的图形呢？（2）有几条对称轴？定义，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的四边形叫平行四边形性质边对边，，，，，，，，，且，，，，，，，，，，，，角对角，，，，，，，，，邻角，，，，，，，，，，对角线对角线，，，，，，，，，，，，，，，对称性是，，，，，，，，，，，图形，但不是，，，，，，，，，，图形判定边，，，，，，，，，，，，，，，，，，，的四边形是平行四边形（定义），，，，，，，，，，，，，，，，，，，的四边形是平行四边形（定1），，，，，，，，，，，，，，，，，，，的四边形是平行四边形（定2）对角线对角线，，，，，，，，，，，，，的四边形是平行四边形面积公式BDC（3）对称轴之间有什么位置关系？（4）菱形中有哪些相等的线段？（5）可以找出哪些相等的角？师生结论：3．归纳结论：菱形的性质（1）菱形的四条边相等. （2）菱形的对角线互相垂直. 备注：（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的每一条对角线平分一组对角.（小题里可直接应用，大题需要写证明过程） 4. 要点诠释：同平行四边形的学习一样，，我们也可以从边、角、线，（即对角线）三个角度理解记忆菱形的性质．ABCD1 2典型例题知识点一：菱形两大性质的证明【例1】如图所示,在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O. 证:（1）AB=BC=CD=AD; （2）AC ⊥BD.知识点二：菱形两大性质的应用【例2】如图已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=16cm,BD=12cm ，求（1）菱形ABCD 的边长； （2）菱形ABCD 的面积； （3）菱形ABCD 的高． [备注：菱形的面积公式：ab S 21（a 、 b 是菱形的两条对角线）]【变式2-1】如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ＝8cm , BD ＝6cm, DH ⊥AB 于H ，求：DH 的长．【例3】菱形的周长为20cm ，两邻角的比为1：2. （1）求菱形ABCD 的对角线的长；DCA BO（2）求菱形ABCD的面积；（3）求一组对边的距离．【变式3-1】已知：如图，菱形ABCD的周长为16cm，∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，求AC和BD的长．【例4】如图四边形ABCD是菱形，，F是AB上的一点，，DF交AC于E，．求证，：∠AFD=∠CBE．【变式4-1】已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．A组1．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形（________________________）．（请在括号内填上理由）2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法___________（填“正确”或“不正确”）．3．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直4．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（）A．1 B. 3 C．2 D．235，．如图，，在菱形ABCD中，，AC与BD相交于点O，，AC＝8，，BD＝6，，则菱形的边长AB等于（）A．10 B.7 C．6 D．56．如图，在菱形ABCD中，EF∥AB，对角线AC交EF于点G，那么与∠BAC相等的角的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个7．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）A．3.5 B．4 C．7 D．148．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD 的长_________.9．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF.求证：AE＝AF.10．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC 的长等于（）A．63米B．6米C．33米D．3米B组1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA ＝OB；③∠ADB＝∠CDB；④△ABC是等边三角形．其中一定成立的是（）A．①②B．③④C．②③D．①③2，．如图，，在菱形ABCD中，，M、N分别在AB、CD上，，且AM＝CN，，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（）A．28° B．52° C．62° D．72°3．若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3∶1，则菱形的高是_______．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE＝CE.5．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.（1）求证：BD＝EC；（2）若∠E＝50°，求∠BAO的大小．1.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的四个角的度数为_______________.2.菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，这个菱形的面积为_______________.3.如下左图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78° B．75° C．60° D．45°4.如下右图，，菱形ABCD中，，对角线AC交BD于O，，AB=8，，E是CB的中点，，则OE的长等于__________．5.已知菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，，M、N分别是边BC、CD的中点，，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=__________．6，．已知，：如图，，在菱形ABCD中，，F是BC上任意一点，，连接AF交对角线BD于点E，，连接EC.（1）求证：AE＝EC；（2）当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．。
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菱形的性质与判定
【基础知识精讲】
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
定理1：四边都相等的四边形是菱形．
定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【重点难点解析】
1．菱形的性质
(1)菱形具有平行四边形的一切性质；
(2)菱形的四条边都相等；
(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
(4)菱形是轴对称图形．
2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．
3.菱形的判别方法：
①一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四条边都相等的四边形是菱形
1.1菱形的性质
一、菱形的定义
例1、如图，在▱ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是( )
A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC
例2、如图，在▱ABCD中，若∠1＝∠2，则▱ABCD是________．
例3、如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）
A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC
二、菱形的性质1：菱形具有平行四边形的一切性质
例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
例2、如图，四边形ABCD是菱形BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：BE=BF
例3、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：DF=BE．
三、菱形的性质2：菱形的四条边都相等
例1、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是( )
A．25 B．20 C．15 D．10
例2、已知菱形ABCD的周长为16 cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
四、菱形的性质3：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角例1、菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是( ) A．3 B．4 C．8 D．6
例2、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )
A．15°或30° B．30°或45°
C．45°或60° D．30°或60°
例3、如如如如如如ABCD如如如如如AC如BD如如如如O如如如D如如如如BD如如如如BA如如如如如如E.
(1)如如如如如如ACDE如如如如如如如
(2)如AC如8如BD如6如如△ADE如如如如
五、菱形的面积
例1、菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋b－4＝0，那么菱形的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
例2、在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，则它的面积是________．
例3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O是对角线BD的中点，过O 点作OE⊥AB，垂足为点E.
(1)求∠ABD的度数； (2)求线段BE的长； (3)求菱形ABCD的面积．
1.2菱形的判定
一、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
例1、如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形.
例2、如如，如△ABC如，AD如∠BAC如如如如，
DE∥AC如AB如E，DF∥AB如AC如F，如如如如如如AEDF如如如如
例3、
如如如如△ABC如如AD如如如如如如E如AB如如如如如AE如AC如EG∥BC如EG如AD如如G.如如如如如如EDCG如如如.
二、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
例1、如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE是菱形．
例2、
如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，以大于
1
2
AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②连接MN，分别交AB，AC于点D，O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD.
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)当∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．
例3、如图，在▱ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F，当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？
请给出证明．
三、四条边都相等的四边形是菱形
例1、如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E、F分别AB、AD上,且AE=AC,EF= ED.求证：四边形CDEF是菱形.
例2、如△ABC如，M如AC如如如如如，如如BM.如△ABC如AC如如，如如B如如如D如，如DM∥AB如，如如如如如如ABMD如如如如
例3、如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．。