北师大九年级菱形教案知识点及习题

菱形的性质与判定

【基础知识精讲】

定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

定理1：四边都相等的四边形是菱形．

定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【重点难点解析】

1．菱形的性质

(1)菱形具有平行四边形的一切性质；

(2)菱形的四条边都相等；

(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

(4)菱形是轴对称图形．

2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．

3.菱形的判别方法：

①一组邻边相等的平行四边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边都相等的四边形是菱形

1.1菱形的性质

一、菱形的定义

例1、如图，在▱ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是( )

A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD

C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC

例2、如图，在▱ABCD中，若∠1＝∠2，则▱ABCD是________．

例3、如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）

A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC

二、菱形的性质1：菱形具有平行四边形的一切性质

例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A．对边相等 B．对角相等

C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直

例2、如图，四边形ABCD是菱形BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．求证：BE=BF

例3、如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：DF=BE．

三、菱形的性质2：菱形的四条边都相等

例1、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是( )

A．25 B．20 C．15 D．10

例2、已知菱形ABCD的周长为16 cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．

四、菱形的性质3：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角例1、菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是( ) A．3 B．4 C．8 D．6

例2、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )

A．15°或30° B．30°或45°

C．45°或60° D．30°或60°

例3、如如如如如如ABCD如如如如如AC如BD如如如如O如如如D如如如如BD如如如如BA如如如如如如E.

(1)如如如如如如ACDE如如如如如如如

(2)如AC如8如BD如6如如△ADE如如如如

五、菱形的面积

例1、菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a－1)2＋b－4＝0，那么菱形的面积为( )

A．1 B．2 C．4 D．8

例2、在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，则它的面积是________．

例3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O是对角线BD的中点，过O 点作OE⊥AB，垂足为点E.

(1)求∠ABD的度数； (2)求线段BE的长； (3)求菱形ABCD的面积．

1.2菱形的判定

一、一组邻边相等的平行四边形是菱形；

例1、如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形.

例2、如如，如△ABC如，AD如∠BAC如如如如，

DE∥AC如AB如E，DF∥AB如AC如F，如如如如如如AEDF如如如如

例3、

如如如如△ABC如如AD如如如如如如E如AB如如如如如AE如AC如EG∥BC如EG如AD如如G.如如如如如如EDCG如如如.

二、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

例1、如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE是菱形．

例2、

如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，以大于

1

2

AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②连接MN，分别交AB，AC于点D，O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD.

(1)求证：四边形ADCE是菱形；

(2)当∠ACB＝90°，BC＝6，△ADC的周长为18时，求四边形ADCE的面积．

例3、如图，在▱ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F，当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？

请给出证明．

三、四条边都相等的四边形是菱形

例1、如图,在△ABC中,AD是角平分线,点E、F分别AB、AD上,且AE=AC,EF= ED.求证：四边形CDEF是菱形.

例2、如△ABC如，M如AC如如如如如，如如BM.如△ABC如AC如如，如如B如如如D如，如DM∥AB如，如如如如如如ABMD如如如如

例3、如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．