最短路径问题

SPFA算法与Bellman-Ford算法比较
• 同：两者都属于标号修正的范畴，计算过程都是迭代式的 ，最短路长估计值都是临时的，都采用了不断逼近最优解 的贪心策略，只在最后一步才确定想要的结果。 • 差异：在Bellman-Ford算法中，要是某个点的最短路长估 计值被更新了，那么就必须对所有边的尾做一次松弛操作 ；在SPFA算法中，某个点的最短路径估计值被更新，仅需 要对该点出边的端点做一次松弛操作。
Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法能在更一般的情况下解决单源点最短路径问题 ，在该算法中边的权可以为负。Bellman-Ford算法同样运用了松 弛技术，对每一节点v∈V，逐步减小从源s到v的最短路长估计 d[v]直至其达到实际最短路径的权&(s,v)，如果图中存在负权回 路，算法将会报告最短路径不存在。算法时间O（VE）。 Func Bellman_Ford(G,w,s):boolean; {initiallze_single_source(G,s); for i:=1 to |V|-1 do for each(u,v)∈E do relax(u,v,w); for each(u,v)∈E do if d[v]>d[u]+w(u,v) then exit(false); exit(true); }
• Zoj 1456 Minimum Transport Cost
SPFA算法
• SPFA算法全称是Shortest Path Faster Algorithm。 • Dijkstra不能解决负权边，Bellman-Ford算法效率底，可使 用SPFA算法。 • 与Dijkstra算法和Bellman-Ford算法一样，用数组d记录每个 节点的最短路长估计，并且用邻接表来存储图G。 • 采用动态逼近的方法：设立一个先进先出的队列Q，用来 保存待优化的节点，优化时每次取出队首节点u，并且用u 点当前的最短路长估计对u点出边所指向的节点v进行松弛 操作，如果v点的最短路长估计有所调整，且v点不在当前 的队列中，就将v点放入Q队的队尾。这样不断从队列Q中 取出节点来进行松弛操作，直至Q队列空为止。
Dijkstra算法
• Dijkstra算法解决了有向加权图的最短路径问题，该算法的 条件是该图所有边的权值非负，即对于每条边(u,v)∈E， w(u,v)>=0; • Dijkstra算法中设置了一节点集合S，从源节点r到集合S中节 点的最终最短路径的权均已确定，即对所有节点v∈S，有 d[v]=&(r,v)，并设置了最小优先队列Q，该队列包含所有属 于V-S的节点（即这些节点尚未确定最短路径的权），且以 d值为关键字排列各节点。 • 初始时，Q包含了除r外的其他节点，这些节点的d值为∞ 。r进入集合S，d[r]=0。算法反复从Q中取出d值最小的节 点u∈V-S，把u插入集合S中，并对u的所有出边进行松弛。 这一过法的异同：
同：都是属于宽度优先搜索，且优先队列Q都是以距离d为关键字排列的， 节点出队后都要进行松弛操作。 异：Dijkstra算法中的距离d是节点与源点间最短路长估计值，Prim算法中 的距离d是节点连接生成树的最短边长。
变形
• 求出最短路的路径 • 对于多条最短路存在的情况，求方案数 • 求次短路径
最短路径问题
基本概念
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最短路径问题的3种类型
1. 单源最短路径问题：找出从每一节点v到某指定节点u的 一条最短路径。把图中的每条边反向，我们就可以把这 一问题转化为单源最短路径问题。 2. 单对节点间的最短路径问题：对于给定节点对u和v，找 出从u到v的一条路径。 3. 每对节点间的最短路径问题：对于每对节点u和v，找出 从u到v的最短路径。可以使用Floyed-Warshall算法解决问 题，但时间效率底下，且有不能出现负权回路的苛刻条 件。不妨以每个节点为源点运行一次单源算法，以提高 时效。
传递闭包的应用
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传递闭包longlink的计算过程
for each k∈v do for each i∈v do for each j∈v do longlink[i,j]:=longlink[i,j] or (longlink[i,k] and longlink[k,j]);
传递闭包的应用
• （1）利用传递闭包计算连通分量和有向无圈图的根 • （2）利用传递闭包计算“缩图” • （3）基于传递闭包思想的Floyed-Warshall算法
松弛技术是单源算法的核心
• 所谓松弛技术，就是反复减小每个节点的实际最短路径的 权的上限，直到该上限等于最短路径的权为止。 • 定理：给定有向加权图G=（V，E），设P=<V1,V2,……,Vk>为 从节点V1到节点Vk的一条路径，对任意i，j有i<=j<=k，设 Pij=<Vi,Vi+1,…,Vj>为Vi到Vj的P的子路径，则Pij是从Vi到Vj的 一条最短路径。
只要图中没有负权边，Dijkstra算法能够顺利完成。如果任何一条边的权值为 负，则算法可能得出错误的答案。
Procedure Dijstra(G,w,r); { initiallze_single_source(G,r); S:=∮;Q:=V[G]; while Q<>∮ do { 从最小优先队列Q中取出d值最小的节点u； S:=S∪[u]; for v∈adj(u) do relax(u,v,w); } }
Dijkstra
• • • • P1398 Car的旅行路线 P1577 最佳路线 Poj 3013 Big Christmas Tree Poj 1135 Domino Effect
负权回路影响单源最短路径的计算
• 在某些单源最短路径问题中，可能存在权为负的边。如果 图G（V,E）不包含由源s可达的负权回路，则对所有v∈Vs ，最短路径的权的定义&(s,v)依然正确，即使它是一个负值 也是如此。但如果存在一个从s可达的负权回路，最短路 径的定义就不能成立了。从s到该回路上的节点不存在最 短路径，因为我们总可以顺着找出的“最短”路径再穿过 负权回路，从而获得一个权值更小的路径，因此如果从s 到v的某路径中存在一个负权回路，我们定义&(s,v)=-∞。
利用传递闭包计算“缩图”
对有向图而言，利用longlink矩阵可方便地计算每个节点所在的强连 通分量和强连通分量被缩成节点后的“缩图（scc）”。设sblg[v]为 节点v所在的强连通分量序号，“缩图”的相邻矩阵为anet，其中 anet[I,j]标志强连通分量i和强连通分量j之间的连接关系。
计算有向图g的传递闭包longlink; n1:=0; fillchar(sblg,sizeof(sblg),0); for each i ∈v do if sblg[i]=0 then{ inc(n1);sblg[i]:=n1; for each j∈v do if longlink[i,j] and longlink[j,i] then sblg[j]:=n1;} fillchar(anet,sizeof(anet),0); for each i ∈v do for each j∈v do if (sblg[i]<>sblg[j]) and (not anet[sblg[i],sblg[j]) then anet[sblg[i],sblg[j]]:=longlink[i,j];
• 给定有向加权图G=（V，E），源点为s，则对于所有边（ u,v）∈E，有&（s，v）<=&（s，u）+w（u,v）。
松弛技术
• 对每个节点v∈V，设置一个属性d[v]来描述从源点s到v的最短路径的权的上界 ，称之为最短路长估计，设置f[v]表示v点的父亲。
Proc initiallze_single_source(G,s); { for each v∈V[G] do {d[v]:=∞;f[v]=nil;} d[s]:=0; }
利用传递闭包计算连通分量和有向无圈图的根
• 在无向图的longlink矩阵中，每行（列）中值为true的元素 代表对应节点所在的连通分量，含true最多的行对应一个 节点数最多的连通分支。 • 在有向图的longlink矩阵中，若r行元素值除r列外为true， 则r到其他任何节点都有路，即r为有向无圈图的根
Dijkstra算法的执行速度取决于优先队列Q的数据结构。 有3种数据结构可供选择：
（1）用一维数组实现优先队列，时间复杂度为O（V*V）。使用于 规模不大的稠密图。 （2）用二叉堆来实现优先队列Q，时间复杂度为O（ElnV），使用于 稀疏图。 （3）用Fibonacci堆实现优先队列，时间复杂度优化为O（VlnV+E） 。但Fibonacci堆的程序实现相当繁琐，程序的实际运行效果不理想，不推 荐使用。
• 时间复杂度为O（V^3），如果图中有负圈，只需检查是否存在 d[I,i]是负数即可
Floyed-Warshall算法
初始时，longpath存储有向图的相邻矩阵，path存储边信息; fillchar(longpath,sizeof(longpath),-∞); fillchar(path,sizeof(path),0); for each i∈v do for each j∈v do if (i,j)∈e then {longpath[i,j]:=wij;path[i,j]:=i;}; for each k∈v do for each i∈v do for each j∈v do if longpath[i,k]+longpath[k,j]>longpath[i,j] then {longpath[i,j]:=longpath[i,k]+longpath[k,j]; path[i,j]:=path[k,j];};
• 松弛一条边（u,v）的过程包括测试是否可通过节点u对目前找出的到v的最短路 径进行改进，如果可能则更新d[v]和f[v]，一次松弛操作可以减小最短路长估 计d[v]并更新v的父亲f[v]。