定积分换元法
定积分的换元法
解 原式 = ∫1
偶函数
奇函数
= 4 ∫0
1
2 2 x2 1 x (1 1 x ) dx = 4 ∫ dx 2 2 0 1+ 1 x 1 (1 x )
2
= 4 ∫0 (1 1 x )dx = 4 4 ∫0
= 4 π.
1
1
1 x 2 dx
单位圆的面积
命题: 设 f ( x )是以正数T为周期的周期函数, 则 命题:
π 2 0
处处连续,证明: 例 8.设 f ( x ) 处处连续,证明: 设
∫
a 0
1 a2 x 3 f ( x 2 )dx = ∫ xf ( x )dx ( a > 0 ) . 2 0
t
x 2 =常数变易法 作辅助函数 证法 1:用换元法,令 ——常数变易法.作辅助函数 :用换元法, 看作变量—— t ,则 证法 2:将 a 看作变量——常数变易法 :
上变化, 在[a , b]上变化,且 (α ) = a , ( β ) = b ,
则 有 ∫a f ( x )dx = ∫α f [ ( t )] ′( t )dt .
b
β
证
的一个原函数, 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 ,
∫a f ( x )dx = F (b) F (a ),
由此计算
∫
2 0
π π
x sin x π π sin x sin x dx = dx dx. ∫0 2 2 sin x + x 1 + cos cos x 2 1 + cos x
1 π π π π d (cos x ) = [arctan(cos x )]0 = ∫ 2 0 1 + cos 2 x 2
定积分换元法
03
示例
$int frac{sin x}{x} dx$ 可以转化为 $int frac{1}{tan x} d(tan x)$，进一步 简化为 $ln|tan x| + C$。
根式换元法
总结词
通过引入根式，将复杂的积分问题转化为简单的积分问题。
详细描述
根式换元法通常用于解决与根式有关的定积分问题。通过选择 适当的根式，可以将原函数转化为更易于积分的标准形式，从
练习题三
题目
计算$int_{0}^{frac{pi}{2}}frac{sin x}{1 + cos x}dx$。
解析
令$t = cos x$，则$dt = -sin xdx$，代入 原积分得$int_{- 1}^{1}frac{t}{1 + t}dt = ln|1 + t||_{- 1}^{1} = 0$。
定积分换元法
目录
• 引言 • 定积分换元法的原理 • 定积分换元法的实例 • 定积分换元法的注意事项 • 定积分换元法的练习题和解析
01
引言什么是定积分换元法 Nhomakorabea定义
定积分换元法是一种通过引入中间变 量来简化定积分计算的方法。通过选 择适当的中间变量，将原定积分转化 为更容易计算的形式。
目的
通过换元，将复杂的积分问题转化为 简单的问题，简化计算过程，提高计 算效率。
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练习题二
题目
计算$int_{0}^{1}frac{x^{2}}{1 + x^{4}}dx$。
解析
令$t = x^{2}$，则$dt = 2xdx$，代入原积分得$int_{0}^{1}frac{t}{1 + t^{2}}dt = frac{1}{2}int_{0}^{1}frac{2t}{1 + t^{2}}dt = frac{1}{2}ln(1 + t^{2})|_{0}^{1} = frac{1}{2}ln2$。
定积分的二种换元法及其应用
定积分的二种换元法及其应用
一、换元法：
1、等价换元法：即将原有的积分值与另一种积分值进行相互转换，使得两者
之间的价值相同。
例如：将100点A积分换成50点B积分，即100A=50B。
2、定量换元法：即在固定的量上进行转换，使得不同的积分之间能够保持一
定的价值关系。
例如：将1A=2B, 则100A=200B。
二、应用：
1、企业顾客奖励方面应用广泛。
企业通常会采用不同形式的奖励来酬谢忠诚
的顾客。
通过采用不同形式的奖励来衡量顾客对企业所作出的贡献大小是很有必要的。
而通过采用换元法可以使得不同形式的奖励能够保持一定的价值关系；
2、在旅行回馈方面也有应用。
旅行回馈是旅行者在出差或旅行中所获得回馈
物品或服务所对应的数字化标准化代币体系。
通过采用不同形式的回馈来衡量旅行者对旅行所作出贡状大小也是很有必要性的。
考虑到不同形式回馈之间存在差异性；此时可以选择采用换元法来使得不吓当前式回馈能够保护一定价值关系。
定积分的换元法
换元法的步骤
确定换元变量
根据定积分的被积函数和积分限，选择合适 的换元变量。
计算新定积分
将原定积分的积分变量替换为新变量，并计 算新定积分的值。
建立新变量与原变量的关系
根据选择的换元变量，建立新变量与原变量 的关系式。
还原原定积分
将新定积分的值还原为原定积分的值。
换元法的应用范围
简化计算
通过换元法，可以将复杂的定积分转化为简单 的定积分，从而简化计算过程。
解决特殊问题
对于一些特殊形式的定积分，通过换元法可以 找到更有效的求解方法。
推广定理
换元法还可以用于推广某些定积分的定理和性质。
03
定积分的换元法实例分析
三角函数换元法
总结词
通过将自变量替换为正弦或余弦函数，可以将原函数转化为易于积分的三角函数形式。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个角$\theta$，使得$x = \cos\theta$或$x = \sin\theta$，将原函数转化为关 于$\theta$的三角函数形式，再利用正弦或余弦函数的性质进行积分。
详细描述
假设被积函数为$f(x)$，选择一个变量$t$，使得$x = e^t$，将原函数转化为关于$t$的指数函数形式 ，再利用指数函数的性质进行积分。
04
定积分的换元法在解题中的应用
利用换元法求定积分
三角换元法
对于形如$\int \sqrt{a^2 - b^2} dx$的 定积分，可以令$x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$进行换元，化简为$\int \sqrt{a^2 - b^2} d\theta$的定积分。
06
定积分的换元法的应用前景与发 展趋势
定积分的换元法
定积分的换元法重点：熟练运用换元积分法 难点：灵活运用换元法定理 假设函数)(x f 在[a,b]上连续，函数)(t e x =满足条件：（1）,)(a d =ϕ;)(b =βϕ（2）)(t ϕ在[βα,]（或[αβ,]）上具有连续导数，且其值不越出[a,b] 则有=⎰badx x f )([]dt t t f ⎰'βαϕϕ)()(例1 计算dx x a a⎰-022 （a>0）解：设t a x sin = 则 dt a dx cos = 且0=x 时0=t ；2,π==t a x故dx x a a⎰-022=dt t atdt a ⎰⎰+=222022)2cos 1(2cos ππ=42sin 2122202a t t aππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ 换元公式也可以反过来使用，即[]='⎰badx x x f )()(ϕϕ⎰βαdt t f )(例2 计算dx x x ⎰25sin cos π解：设x t cos =，则-dt t x d x ⎰⎰-=015205cos cos π=dt t ⎰15=616106=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t 例3 计算 dx x x ⎰-π53sin sin解：dx x x ⎰-π53sin sin =()dx x x ⎰π223cos sin =()dx x x ⎰π23cos sin =()-⎰dx x x 2023cos sin πxdx x cos )(sin 223⎰ππ=()-⎰x d x sin sin 023πx d x sin )(sin 223⎰ππ=54 例4 计算dx x x ⎰++4122解：设12+=x t ，则=x 212-t 10==t x 时；34==t x 时故dx x x ⎰++4122=tdt t t ⎰+-312221=()d t t ⎰+312321 =3223321313=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+t t例5 证明（1） 若)(x f 在[a,b]上连续且为偶函数，则⎰-aadx x f )(=⎰adx x f 0)(2（2） （2）若)(x f 在[a,b]上连续且为奇函数，则 ⎰-aadx x f )(=0证明：⎰-aadx x f )(=⎰-0)(adx x f +⎰adx x f 0)(=⎰--0)(adx x f +⎰adx x f 0)(=⎰-adx x f 0)(+⎰a dx x f 0)(=⎰-+adx x f x f 0)]()([（1）)(x f 为偶函数时，)(x f +)(x f -=)(2x f 故⎰-aadx x f )(=⎰adx x f 0)(2（2）)(x f 为奇函数时，)(x f +)(x f -=0 故⎰-aadx x f )(=0例6 若)(x f 在[0，1]上连续，证明（1）⎰=20)(sin πdx x f ⎰20)(cos πdx x f ；（2）⎰=π)(sin dx x xf ⎰ππ)(sin 2dx x f ，由此计算⎰+π2cos1sin dx xx x证明：（1）设dt dx t x -=-=则,2π且当0=x 时，2π=t ；当02==t x 时π故⎰2)(sin πdx x f =t d t f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--022sin ππ=()⎰02cos πdt t f=()⎰02cos πdx t f（2）设t x -=π，⎰π)(sin dx x xf =⎰---0)()[sin()(πππt d t f t=⎰-0)(sin ππdt t f ⎰0)(sin πdt t tf∴ ⎰ππ0)(sin dx t f =⎰ππ)(sin 2dt t f利用此公式可得：⎰+π02cos 1sin dx x x x =⎰+ππ02cos 1sin 2dx xx=⎰+-ππ02cos cos 112x d x=[]ππ0)(cos 2x arctg -=42π例7 设函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥-01,cos 110,2x xx xe x 计算⎰-41)2(dx x f解：设则,2t x =-⎰-41)2(dx x f =⎰-21)(dt t f=+⎰-01)(dt t f ⎰2)(dt t f=++⎰-01cos 11dt t⎰-202dt te t=2121214+--e tg。
定积分的换元法
；
2
1
1+ x
∫
∫
5. 7. 8. 9.
∫
π
1
0
1 + cos 2 x dx ；
6.
π 2 π − 2 π 2 π − 2
cos x − cos 3 x dx ；
4cos 4 θ dθ
；
∫ ∫ ∫
−1 2
( x 2 1 − x 2 + x 3 1 + x 2 )dx ；
0 2 0
max{ x , x 3 }dx ； x x − λ dx
1 sec t ⋅ tan tdt sec t ⋅ tan t
= − ∫2 π
π dt = − . 12
练习题
一、 填空题： 填空题：
π 1. ∫ π sin( x + )dx = ___________________； ___________________； 3 3
π
2. 3. 4.
∫ ∫
π
0
t 1 = − ∫ t dt = = . 1 60 6
5
6 1
应用换元公式时应注意（ 应用换元公式时应注意（一）:
（1）用 x = ϕ ( t ) 把变量 x 换成新变量 换成新变量 t 时，积分限 积分限也
相应的改变 相应的改变. 改变.
求出 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数 Φ( t ) 后，不必 （2 ） 象计算不定积分那样再要把 Φ( t ) 回代成原变量 x 的函数， 的函数，而只要把新变量 t 的上、 的上、下限分别代 入 Φ( t ) 然后相减就行了. 然后相减就行了.
（ λ 为参数 ）.
1 , 当x ≥ 0时， 1 + x 三、 设 f ( x ) = 求 1 , 当x < 0时， 1 + e x
定积分的换元法
例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 （1）设 （2）设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2
故
解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量
定积分的换元法和分部积分法
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
定积分换元法
s in 2
x
(1exex
1 1 ex
)
s in 2
x,
4 sin2 x
4
1
ex
dx
4 sin2 xdx
0
4 1 cos2x dx 02
[1 x 1 sin 2x] 4 2 .
24
08
4
（2）
(cos
x
(1
s
in
2x)dx.
1
c1os2 xd(cos
x)
arctan(cos x) ( ) 2 .
2
0 2 44 4
8．已知g(x) x tf (xt)dt ，求g(x) 。 0
g(x)
x
t
令xtu
f (xt)dt
0 (xu) f (u)du
0
0
e2x sin x
2 0
2 sin x d(e2x )
0
e 2 2 e2x sin x dx e 2 2 e2x d(cosx)
0
0
e 2 e2x cosx
2 0
2
2 cosxd(e2x )
0
e 2 4 2 e2x cosxdx 0 5I e 2,
2
2
2 cos6 xdx 2 5 3 1 5 .
0
6 4 2 2 16
（3）
cos8 x dx 2
定积分第一类换元法和第二类换元法
定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。
在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。
换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。
下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。
一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。
其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。
1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。
（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。
（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。
（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。
1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。
通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。
这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。
2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。
（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。
（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。
2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
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定积分换元法
1、先做这个题
这个题用一般的方法是无法解出来的，因为不知道到底哪个函数求导后是。
我们可以设x=a*sin t，要x从0取到a，只要t从0取到π/2就行。
现在就用a*sin t代替x。
那么，就有
求导数等于cos（2t）的函数是很容易求出来的。
结果为
总结：所谓的换元思想，就是替换。
x既可以理解成一个自变量，也可以理解成一个函数。
这个例题中把它当成自变量不好解，就尝试把它看成是一个函数。
这个函数是你自己可以编的。
你可以用x=a*cos t（-π/2<t<0）替换也行。
或者，
x=t²（0<t<a）（当然，因为这样并不能将开出来，所以虽然换元没问
题，但开不出来也没用）
将一个自变量自己编为一个合适的函数，这就是第一类换元法
2、再看一个题目
这个题目，Sin xdx=-dcos x的。
于是有
这里把cos x看成了一个整体，相当于，把整个函数看成了一个自变量。
即t=cos x ，根据x从0取π时，t从1取到0。
将整体看成一个自变量，这就是第二类换元法。
再看一下标准的定理：
正向是第一类，逆向是第二类。
应该能理解了。
就是把单独的变量看成一个整体和把整体看成一个变量的事。
注意好积分号的上下限。