2014广东高考数学试卷(文科word版)

2014广东高考数学试卷（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号

填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、

多涂的，答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式1

3

V sh =

，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一组数据12,,,n x x x L 的方差2222

121[()()()],n s x x x x x x n

=-+-++-L

其中x 表示这组数据的平均数.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1. 已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =I

{}A.0,2 {}B.2,3 {}C.3,4 {}D.3,5 2. 已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =

A.34i --

B.34i -+ .34C i - D.34i +

3. 已知向量(1,2)a =r ，(3,1)b =r ，则b a -=r r

A.(2,1)-

B.(2,1)-

C.(2,0)

D.(4,3)

4. 若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤??

≤≤??≤≤?

，则2z x y =+的最大值等于

A.7

B.8

C.10

D.11

5. 下列函数为奇函数的是

1A.22

x x -

2B.sin x x C.2cos 1x + 2D.2x

x + 6. 为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的

间隔为

A.50

B.40

C.25

D.20

7. 在ABC ?中，角,,A B C 所对应的变分别为,,a b c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的

A.充分必要条件

B.充分非必要条件

C.必要非充分条件

D.非充分非必要条件

8. 若实数k 满足05k <<，则曲线

221165x y k

-=-与曲线22

1165x k y --=的 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等

C.离心率相等

D.焦距相等

9. 若空间中四条两两不相同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是

A.14

l l ⊥

B.14//l l

C.1l 与4l 既不平行也不垂直

D.14l l 与位置关系不确定

10. 对任意复数1w ，2w ，定义1212w w w w *=，其中2w 是2w 的共轭复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题：

①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*

②()()()1231213z z z z z z z *+=*+* ③()()123123z z z z z z **=**

④1221z z z z *=*

则真命题的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）

11. 曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 .

12. 从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 . 13. 等比数列{}n a 的各项均为正数且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++

＝ .

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）

14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与

cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1

C 与2C 的交点的直角坐标为 .

15. （几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =,AC 与DE 交于点F ，则

CDF AEF ??的周长

的周长

＝ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12 分） 已知函数

5()sin(),,(

)3

12f x A x x R f π

π=+∈= （1）求A 的值；

（2

）若()()(0,

),2f f π

θθθ--=∈，求()6

f π

θ-.

17．（本小题满分13 分） 某车间20名工人年龄数据如下表：

E F

D C

A

年龄（岁） 工人数（人）

19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1

合计 20

（1）求这20名工人年龄的众数与极差； （2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差.

18. （本小题满分13 分）

如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1,2AB BC PC ===,作如图3折叠，折痕EF ∥DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .

（1）证明：CF ⊥平面MDF ; （2）求三棱锥M CDE -的体积.

19. (本小题满分14分)

设各项为正数的数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足.

222*(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈

（1）求1a 的值;

（2）求数列{}n a 的通项公式;

（3）证明:对一切正整数n ,有

112211

11

(1)(1)

(1)3

n n a a a a a a ++

+

<+++

20. (本小题满分14分)

已知椭圆2222:1(0,0)x

y C a b a b +=>>的一个焦点为)

（1）求椭圆C 的标准方程;

（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.

21. (本小题满分14分)

C E F P B A

D P A D C B F

E M

已知函数321()1()3

f x x x ax a R =+++∈. （1）求函数()f x 的单调区间;

（2）当0a <时,试讨论是否存在0110,,122x ??

??

∈ ?

???

??

,使得0

1()()2f x f =.

参考答案：

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1. B

2. D

3. B

4. C

5. A

6. C

7. A

8. D

9. D 10. B

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. 11. 520x y ++= 12.

2

5

13. 5 14. (1,2) 15. 3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.

553:(1)(

)sin()sin 3.12123422

(2)(1):()3sin(),

3

()()3sin()3sin()

33

3(sin cos

cos sin )3(sin()cos cos()sin )3333

6sin cos 3

3sin sin (0,),2f A A A

f x x f f π

ππππ

ππ

θθθθ

π

πππ

θ

θθθπθθπθθ=+==∴===+∴--=+--+=+--+-===∴=

∈∴解由得cos ()3sin()3sin()3cos 36632f θππππθθθθ==∴-=-+=-===

17.

:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为

(2)茎叶图如下:

1 9

2 8 8 8 9 9 9

3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2

4 0

()2222222

(1928329330531432340)

3:

30,

20

120:(11)3(2)3(1)50413210201

(121123412100)201

2522012.6

+?+?+?+?+?+=??-+?-+?-+?+?+?+?

?=+++++=?=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为 18.

00:(1):,,,

,,,,,,,,,,

.

11(2),,60,30,==,

22

,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥?∴

⊥=?⊥∴⊥?

∴⊥⊥?=∴

⊥⊥∴⊥∠=∴∠

=∴

解证明平面平面平面

平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而

∥21

12,,2211.

33CDE M CDE CDE

CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ?-?=∴=∴==?=====∴=?==

19.

221111*********

2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,

0,2, 2.

(2)(3)3()0,:(3)()0,

0(),0,30,,

2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---?=+-=∴+-=>∴==??-+--+=+-+=??>∈∴>+>∴=+?∴≥=-=+--+-?解令得即即由得从而当时12211222,

221,2().313

(3),()(),221644

111111113(1)2(21)44()()()

24411111

111144(1)()(1)444411

1(1)(1)

(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **?=?==?∴=∈∈+

>+-=-+∴==?

+++-+??

??=?=?-

??????-+--?+-??

????∴

++

+++又当时1)

1111111

()()11111141223(1)444444111111().1143433

1(1)44

n n n n n +??

??<-+-++-

????

-----+-??=-=-<+-+-

20.

222

22

00

22

00

22

:(1)3,954,

1.

94

(2),,4

(3,2),(3,2).

(),

(),1

94

(94)18(

c

c e a b a c

a

x y

C

x y

y y k x x

x y

y k x x y

k x k y

====∴==-=-=

∴+=

-±±

-=-

=-++=

++

解

椭圆的标准方程为:

若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个,

它们的坐标分别为

若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为

即将之代入椭圆方程中并整理得:

2

0000

222222

000000

2

2220

0000122

22

00

)9()40,,0,

(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,

4

(9)240,,1,:1,

9

13,(3,2),(3,2)

kx x y kx

k y kx y kx k y kx k

y

x k x y k y k k

x x y

??

-+--=?=

??

??

----+=--+=

??

-∴--+-=∴=-=-

-∴+=-±±

Q

依题意

即:即

两切线相互垂直即

显然这四点也满足以上方

22

,

13.

P x y

∴+=

程

点的轨迹方程为

21.

'22

'

2

'

'

:(1)()2,20:44,

1,0,()0,()(,).

1,201

(,1,()0,(),

(11),()0,(),

(1)

f x x x a x x a a

a f x f x

a x x a

x f x f x

x f x f x

x

=++++=?=-

∴≥?≤∴≥-∞+∞

<++=-±

∈-∞-->∴

∈---+<

∈-++∞

解方程的判别式

当时此时在上为增函数

当时方程的两根为

当时此时为增函数

当时此时为减函数

当

时'

,()0,(),

,1,()(,),

1,()(,11),

()(11).

f x f x

a f x

a f x

f x

>

≥-∞+∞

<-∞---++∞

--+

此时为增函数

综上时在上为增函数

当时的单调递增区间为

的单调递减区间为

323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111

()()()3222

111111

()()()()()3224222

111()()

23612211

()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ??

-=+++-+++??

??

????=-+-+-??????????=-+++-++-????=-+++++=-

+0002002

0014712)111

(0,)(,1),()(),

222

11

4147120(0,

)(,1).

22

0,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x a x f x f x x a a a a x x ++∴∈=+++=<∴?=-+=->=>∴<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,

1212

155,,,,

24425557111

(,)(,),(0,)(,1)()().

124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=??

∈-∞---∈=????

即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).

2