2017届高三数学(文)二轮复习课件(全国通用)专题突破 专题4 数列 第1讲 等差数列与等比数列
︱高中总复习︱二轮·文数
热点训练3:(2016· 湖南衡阳联考)已知四个数1,x1,x2,2成等差数列,四个数1, y1,y2,2成等比数列,则点P1(x1,y1),P2(x2,y2)与直线y=x的位置关系是( )
an a2n 2 a2n 2 2 所以 = 2 n 1 2 = 2 n =a >0(n≥2,n∈N*)为定值. a n 1 a a
2n+2
所以{an}为以 a2 为公比的等比数列.
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(2)若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当a= 2 时,求Sn.
a1 1 26
所以
S6 63 = 1 2 3 = =9. S3 a1 1 2 7
1 2
故选 D.
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热点二
等差(比)数列的性质
考向1 与等差(比)数列的项有关的性质 【例2】 (1)(2016· 广东佛山二模)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+ a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于( ) (A)120 (B)105 (C)90 (D)75 解析:(1)因为{an}是公差为正数的等差数列, a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,所以a2=5, 所以a1a3=(5-d)(5+d)=16, 所以d=3,a12=a2+10d=35, 所以a11+a12+a13=105, 故选B.
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3.(2013· 全国Ⅰ卷,文6)设首项为1,公比为 2 的等比数列{an}的前n项和为 3 D Sn,则( )
(A)Sn=2an-1 (C)Sn=4-3an (B)Sn=3an-2 (D)Sn=3-2an
解析:由等比数列前 n 项和公式 Sn=
2 1 an 3 =3-2an.故选 D. Sn= 2 1 3
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热点三
等差、等比数列的综合问题
【例4】 (2016· 湖南株洲模拟)已知f(x)=logax(a>0且a≠1),f(a1),f(a2),…,
f(an)(n∈N*)是首项为4,公差为2的等差数列.
(1)设a为常数,求证:{an}是等比数列;
(1)证明:由题意知 f(an)=4+(n-1)×2=2n+2, 即 logaan=2n+2,可得 an=a .
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(2)(2016· 云南红河州一模)在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3a5,则a7等于 ( )
2 解析:(2)由等比数列的性质可知 a4=a3a5= a 4 .
因为 a4≠0, 所以 a4=1. 因为 a1=8,
2 所以 a1·a7= a 4 =1,
1 所以 a7= .故选 B. 8
2n+2
2n+2
2n+2
24 1 2n 1 1 2
-(n+1)·2n+3
=16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3 =-n·2n+3. 所以 Sn=n·2n+3.
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【方法技巧】 (1)关于等差、等比数列的综合问题大多为两者运算的综合 题以及相互之间的转化,关键是求出两个数列的基本量:首项和公差(或公 比),灵活运用性质转化条件,简化运算,准确记忆相关的公式是解决此类问 题的关键. (2)求数列中的最大项,可以利用图象或者数列的单调性求解,同时注意数列 的单调性与函数单调性的区别.
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考向2 等差(比)数列和的有关性质
2 【例 3】 (1)(2016·江西南昌二模)等差数列{an}的公差 d<0 且 a12 = a13 ,则数列
{an}的前 n 项和 Sn 有最大值,当 Sn 取得最大值时的项数 n 是( (A)6 (B)7 (C)5 或 6 (D)6 或 7
1 1 解:(1)由题意得 a2= ,a3= . 2 4 2 (2)由 a n -(2an+1-1)an-2an+1=0,得 2an+1(an+1)=an(an+1),
2
a n 1 1 因为{an}的各项都为正数,所以 = . an 2
1 1 故{an}是首项为 1,公比为 的等比数列,因此 an= n 1 . 2 2
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热点训练1:(1)(2016· 广东茂名二模)设数列{an}是等差数列,Sn为其前n项和, 若S6=8S3,a3-a5=8,则a20等于( ) (A)4 (B)36 (C)-74 (D)80
解析:(1)因为 S6=8S3,a3-a5=8,
65 3 2 6 a d 8 3 a d , 1 1 所以 2 2 a 2d a 4d 8, 1 1
a1 an q 知 1 q
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4.(2015· 全国Ⅰ卷,文13)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和. 若Sn=126,则n= .
解析:因为在数列{an}中,a1=2,an+1=2an, 所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
解析:(2)由等比数列前n项和的性质知S2,S4-S2,S6-S4,…也成等比
数列,所以4,12,S6-16成等比数列,故4(S6-16)=122=144,解得S6=52. 答案:(2)52
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【方法技巧】 等差、等比数列性质应用问题求解策略 (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn= 方法.
(B)2
(C)-1
(D)-2
解析:(1)因为a1+5d=9,a1+2d=3(a1+d), 所以a1=-1.选C.
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(2)(2016· 青岛一模)等比数列{an}中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为 ( )
1 (B)2 1 2
(A)1 (C)1 或-
(D)-1 或-
因为Sn=126,
2 2n 1 =126, 1 2 解得2n+1=128,所以n=6.
所以
答案:6
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5.(2016· 全国Ⅲ卷,文17)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1, a n -(2an+1-1) an-2an+1=0. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式.
(C)10
(D)12
解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由题设知 d=1,S8=4S4,所以 8a1+28=4(4a1+6),解得 a1= 所以 a10=
1 19 +9= ,选 B. 2 2 1 , 2
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2(2014· 全国Ⅱ卷,文5)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则 {an}的前n项和Sn等于( A )
解得 a1=2,d=-4, 所以 a20=a1+19d=2-4×19=-74. 故选 C.
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(2)(2016·内蒙古自治区呼和浩特二模)已知正项等比数列{an}的前 n 项和为
S6 Sn,a2+a3=6a1,则 等于( S3
) (D)9
(A)5
(B)6
(C)8
解析:(2)因为 a2+a3=6a1,所以 a1(q+q2)=6a1,所以 q2+q-6=0, 所以 q=2.(q=-3 舍去)
1 2
解析:(2)因为 S3=18,a3=6,所以 a1+a2=
1 . 2
a3 2 (1+q)=12, 即 2q -q-1=0, 2 q
解得 q=1 或 q=故选 C.
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(3)(2016· 山西太原一模)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若 Sn=2,S3n=14,则S4n等于( ) (A)80 (B)30 (C)26
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热点训练2:(1)(2016· 湖南怀化二模)已知等差数列{an}中,前四项的和为60, 最后四项的和为260,且Sn=520,则a7为( (A)20 (B)40 (C)60 (D)80 )
解析:(1)由题意及等差数列的性质可得4(a1+an)=60+260=320, 所以a1+an=80.
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高考感悟 1.考查角度 (1)等差、等比数列的性质. (2)等差、等比数列的基本量运算. (3)等差、等比数列的证明. 2.题型及难易度
客观题或一客观题一解答题;难度中档偏下.
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热点突破
热点一 等差、等比数列的基本运算
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剖典例·促迁移
【例1】 (1)(2016· 吉林白山二模)在等差数列{an}中,a6=9,a3=3a2,则a1等 于( (A)1 )
)
2 解析:(1)等差数列{an}中,公差 d<0,且 a12 = a13 ,
所以 a1=-a13>0, 即 a1+a13=0, 又 a1+a13=2a7=0, 所以数列{an}的前 6 或 7 项和最大. 故选 D.
答案:(1)D
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(2)(2016· 贵州省习水县一中模拟)已知等比数列前n项和为Sn,若S2=4,S4= 16,则S6= .
(D)16
解析:(3)因为 Sn=2,S3n=14,且 an>0,所以 q≠1, 所以
a1 1 q n 1 q
=2,
a1 1 q 3 n 1 q
2017年高考全国卷文科数学第一轮复习--讲义一----数列
（2017高考文科数学） 2016-4-30讲义一 数列一、高考趋势1、考纲要求（1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)． （2）．了解数列是自变量为正整数的一类函数． （3）．理解等差数列的概念．（4）．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式． （5）．了解等差数列与一次函数的关系． （6）．理解等比数列的概念．（7）．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．（8）．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． （9）．了解等比数列与指数函数的关系．2、命题规律数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12分。
考察形式一般有两种，第一种是选择题+填空题的形式，第二种是解答题的形式。
并且全国文科卷解答题第一题是数列和三角函数二选一。
因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且拿到满分”的“高期待值”题。
二、基础知识+典型例题1、等差数列的概念与运算（1）．等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． （2）．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则它的通项公式是1(1)n a a n d =+-.）（*∈N n（3）．等差中项 如果2a bA +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项． （4）．等差数列的前n 项和等差数列{a n }的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=）（*∈N n （5）．等差数列的判定通常有两种方法：① 第一种是利用定义，a n －a n －1＝d (常数) (n ≥2)， ② 第二种是利用等差中项，即2a n ＝a n ＋1＋a n －1 (n ≥2)．（6）．对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a 1，d . 如果再给出第三个条件就可以完成an ，a 1，d ，n ，S n 的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题．考点一：等差数列通项公式及前n 项和公式例1、 （15全国卷一）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）A 、172 B 、192C 、10D 、12 例2、 （15安徽卷）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .2、等差数列的性质（1）通项推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，）（*∈N n (d 为数列{a n }的公差)． （2）若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别地：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….（3）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .背诵知识点一：（1）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-）（*∈N n （2）等差中项：b c a a,b,c 2=+构成等差数列，则（3）等差数列的前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=）（*∈N n（4）S n ＝a 1＋a n2n ＝a 2＋a n －12n ＝a 3＋a n －22n ＝….（5）等差数列的单调性① 等差数列公差为d ，若d >0，则数列递增． ② 若d <0，则数列递减． ③ 若d ＝0，则数列为常数列．背诵知识点二：（1）等差中项的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . （2）等差中项的性质：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . （3）等差数列的性质：d m n a a m n )(-=-考点二：等差数列中项的性质例3、 （15全国卷二） 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11例4、（15陕西卷）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．3、等比数列的概念与运算（1）．等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． （2）．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项11n n a a q -=.）（*∈N n （3）．等比中项若20G ab =≠，那么G 叫做a 与b 的等比中项．（4）．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， ① 当q ＝1时，S n ＝na 1；）（*∈N n ② 当q ≠1时，S n ＝qq a a q q a n n --=--11)1(11）（*∈N n （5）．在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公式q 是否等于1的判断和讨论． （6）．等比数列的判定方法：① 定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．② 中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． 背诵知识点三：（1）等比数列的通项公式：11n n a a q -=.）（*∈N n （2）等比中项：2b c a a,b,c =⋅构成等比数列，则（3） 等比数列的前n 项和： ① 当q ＝1时，S n ＝na 1；）（*∈N n ② 当q ≠1时，S n ＝qqa a q q a n n --=--11)1(11）（*∈N n 考点三：等比数列定义与前n 项和公式例5、 （15全国卷一） 数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 例6、 （12全国卷） 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3230S S +=,则公比q =________ 例7、 （13全国卷一） 设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 （ ） A.21n n S a =- B.32n n S a =-C.43n n S a =-D.32n n S a =-例8、 （12全国卷） 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为( ) A.3690B.3660C.1845D.18304、等比数列的性质（1）通项公式的推广：m nn m a a q-=，(n ，m ∈N *)．（2）若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则n m l k a a a a ⋅=⋅ （3）若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列：则{λa n }(λ≠0)，{1a n }，{a 2n }，{a n ·b n }，{a nb n }仍是等比数列． （4）等比数列的单调性．① ⎩⎨⎧ a 1>0q >1或⎩⎨⎧ a 1<00<q <1⇔{a n }为递增数列；② ⎩⎨⎧a 1>00<q <1或⎩⎨⎧a 1<0q >1⇔{a n }为递减数列；③ q ＝1⇔{a n }为非零常数列； ④ q <0⇔{a n }为摆动数列． （5）a n a m＝q n －m (m ，n ∈N *) 背诵知识点四：（1）等比中项的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则n m l k a a a a ⋅=⋅ （2）等比中项的性质：若m ＋n ＝2p ，则2p n m a a a =⋅ （3）等比数列的性质：a n a m＝q n －m (m ，n ∈N *)考点四：等比数列中项的性质例9、（14全国卷二） 等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. (1)n n +B. (1)n n -C.(1)2n n + D. (1)2n n - 例10、（15全国卷二） 已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）例11、（15浙江卷） 已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________．例12、（15广东卷） 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26， 则b ＝________．5、数列的通项（1）．数列的通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式.（2）．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-． （3）．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --== （4）．等差数列性质： ① ()n m a a n m d =+-；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a +=+； （5）．等比数列性质： ① n m n m a a q -=；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a = （6）．等差数列的判定：①定义法；②等差中项法 （7）．等比数列的判定：①定义法；②等比中项法 （8）．数列通项公式求法① 累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题 ② 累乘法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题③ 构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型的通项公式问题 ④ 利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项公式问题对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示. 背诵知识点五：（1） 数列通项公式求法：① 累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题 ② 累乘法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题③ 构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型的通项公式问题 ④ 利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项公式问题考点五：求数列的通项公式①、累加法例13、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)课件：专题3 数 列 第1讲
an a1 故数列 n 是首项为 1 ＝1，公差为
1 的等差数列，
an 所以 n ＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝n2. 所以数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*.
1 1 1 1 1 1 1 1 (3)证明 a ＋a ＋a ＋…＋a ＝1＋4＋32＋42＋…＋n2 n 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 <1 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ 1 ＋ ＋ 2－3 ＋ 4 2×3 3×4 4 n（n－1）
(2)解
由(1)可知
1 1n－1 1n ， cn＝－2· ＝－ 2 2
1n ∴an＝cn＋1＝1－2 .
∴当 n≥2
1n 1n－1 时，bn＝an－an－1＝1－2 －1－2
1n－1 1n 1n ＝2 －2 ＝2 . 1n 1 又 b1＝a1＝ 代入上式也符合，∴bn＝2 . 2
解析
)
1 1 B.1 C. D. 2 8 由{an}为等比数列，得 a3a5＝a2 4，
所以 a2 4＝4(a4－1)，解得 a4＝2，设等比数列{an}的公比为 q， 1 3 1 则 a4＝a1q ，得 2＝4q ，解得 q＝2，所以 a2＝a1q＝2.选 C.
3
答案 C
4.(2015· 全国 Ⅰ 卷 ) 在数列 {an} 中， a1 ＝ 2 ， an ＋ 1 ＝ 2an ， Sn 为 {an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.
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(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式. (4)累加法：在已知数列{an}中，满足 an＋1＝an＋f(n)，把原递推 公式转化为 an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解.
高考数学二轮复习第一篇专题四数列第2讲数列求和及简单应用课件理
+2an+1=4S
n+1+3.
可得
a2 n 1
-
an2
+2(an+1- an)=4an+1,即
2(an+1+an)=
a2 n 1
-
an2
= (an+1+an)(an+1-an).
由于 an>0,可得 an+1-an=2.
又 a12 +2a1=4a1+3, 解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.
所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.
第二个使用累积的方法、第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设 an+1+λ =p(an+λ),展开比较系数得出λ);(3)周期数列,通过验证或者推理得出数列的 周期性后得出其通项公式.
热点训练 1:(1)(2018·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{an}
中,a1=2, an1 = an +ln(1+ 1 ),则 an 等于( )
n
所以
1 =2（1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 -
1
）
S k 1 k
223
n n1
=2(1- 1 ) n 1
= 2n . n 1
答案: 2n n 1
3.(2015·全国Ⅱ卷,理16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则
Sn=
.
解析:因为 an+1=S n+1-Sn,所以 Sn+1-Sn=Sn+1Sn,
2017届高三毕业班数学第二轮复习专题《数列》学案
第1讲 等差数列、等比数列的基本问题班级：高三（ ） 学号： 姓名：教学目标：1、熟练掌握等差、等比数列基本量和性质2. 掌握求数列的通项的几种常见方法教学重点：熟练掌握等差、等比数列基本量和性质，会求数列的通项 教学难点：熟练掌握等差、等比数列基本量和性质，会求数列的通项. 教学过程： 一、真 题 感 悟1.(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100 B.99 C.98D.972. (2016·广州一模)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q = ( )(A) 1- (B) 1 (C) 2- (D) 23.(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为__________.4.(2015·全国Ⅱ卷)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则 S n ＝____________. 二、考 点 整 合 1.等差数列(1)通项公式： (2)求和公式：S n ＝ ＝ ， 2.等比数列(1)通项公式： (2)求和公式：S n ＝ 3.求通项公式的常见类型(1)观察法： (2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(3)公式法： (4)累加法： (5)累乘法： (6)构造法： 三、典 例 突 破热点一 等差、等比数列的判定与证明【例1】(2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.热点二 求数列的通项[微题型1] 由S n 与a n 的关系求a n【例2】（2017届区一模）设数列{a n }的前n 项和S n ，且121==a a ，n n n a n nS b )2(++=，)(*N n ∈,若数列{b n }为等差数列，则数列{a n }的通项公式a n =[微题型2] 已知a n 与a n ＋1的递推关系式求a n【例3】.(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1， (1)证明{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32.【训练3】已知a 1＝4，a n ＋1＝2a n2a n ＋1，求通项a n .课后作业1、（2017届区一模）等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a （ ） (A)31 (B) —31 (C) —91 (D) 912.(2014·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n (n ＋1) B.n (n －1) C.n （n ＋1）2D.n （n －1）23、（佛山市2016届高三二模）已知正项等差数列{}n a 中，12315a a a ++=， 若1232,5,13a a a +++成等比数列，则10a =（ ）A ．19B ．20C ．21D ．224、（珠海市2016届高三二模）已知递减的等比数列{ n a }，各项为正数，且满足123123269111132a a a a a a ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩则数列{ n a }的公比 q 的值为 （ ）A ．12 B ． 13 C ．23 D ．345.(2013·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则 nS n 的最小值为________.6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数. (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.7、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12.求数列{a n }的通项公式.8、 (2016·南昌4月模拟)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.第2讲 数列的求和及应用班级：高三（ ） 学号： 姓名：教学目标：熟练掌握数列求和的几种常见方法，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和.教学重点：熟练掌握数列求和的几种常见方法 教学难点：熟练掌握数列求和的几种常见方法 教学过程： 一、真 题 感 悟1.已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( ) A.n 2＋1－12n B.n 2＋2－12n C.n 2＋1－12n －1D.n 2＋2－12n －1 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n 2＋3n ，n ＝1,2，…，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝( ) A ．0B ．lgn ＋1n ＋3＋lg 3 C ．lg nn ＋2＋lg 2 D ．lgn －1n ＋1＋lg 3 3.(2015·江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________. 二、考 点 整 合 1、数列求和常用方法(1)分组转化求和： (2)错位相减法： (3)裂项相消法： 2.裂项求和的常见技巧 (1)1n （n ＋1）＝ (2)1n （n ＋k ）＝(3)1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1. (4)14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.三、典 例 突 破【例1】(2015·全国Ⅰ卷)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.【训练1】（广州市2016届高三1月模拟考试）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意*n ∈N ，都有()21n n S n a =+．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ）若数列4(2)n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为nT ,求证：112n T ≤<.【例2】(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且 a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n，求数列{c n }的前n 项和T n .【训练2】 (2016·广州二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足：S n ＝2a n －2n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b n a n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12.课后作业：1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则数列{a n }的前40项和S 40等于( ) A.20 B.40 C.60D.802、122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1的值为( ) A.n ＋12（n ＋2） B.34－n ＋12（n ＋2）C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋23、在数列{a n }中， a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，若b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和S n 为________.4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4724,63S S ==.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()21n nan n b a =+-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .。
2017届高三数学(人教版理)二轮复习课件：专题四 数列1.4.2
所以an+1=3an(n≥1),
5 1 3 S 5= =121. 1 3
答案:1
121
热点考向一
求数列的通项公式
命题解读:主要考查等差数列与等比数列的定义、有关 性质以及逻辑推理和各种变形能力,一直是高考的重点
和热点.以选择题、填空题、解答题为主.
【典例1】(1)(2016·武汉一模)已知数列{an}中,a1=3, 满足 1 ＝ 2a n 1 ,则数列{an}的通项公式为________. (2)(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an} 满足a1=1,a 2 -(2an+1-1)an-2an+1=0. n ①求a2,a3. ②求{an}的通项公式.
即Sn+ (1 2 ) an=4.当n≥2时,Sn-Sn-1+ (1 2 )an- (1 2 ) an-1
n 2 n 1
2.(2016·三亚一模)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若 a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________.
【解析】设等比数列{an}的公比为q(q≠0), 依题意得
a n1 an
【解题导引】(1)将 1 ＝ 2a n 1 变形,构造等差数列求
a n1 an
解. (2)①将a1=1代入递推关系式求得a2,将a2的值代入递推 关系式可求得a3;②将已知的递推关系式进行因式分解, 由题设条件可判断数列{an}为等比数列,由此可求得数 列{an}的通项公式.
)
【解析】选A.设bn=nSn+(n+2)an,则数列{bn}为等差数
列.由b1=4,b2=8,可得bn=4n,则bn=nSn+(n+2)an=4n,
名师导学2017高三文科数学二轮(22份) 人教课标版20精品公开PPT课件
【解析】(1)由 f(x)＝x2＋xsin x＋cos x, 得 f′(x)＝x(2＋cos x). ∵y＝f(x)在点(a,f(a))处与直线 y＝b 相切. ∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0 且 b＝f(a), 则 a＝0,b＝f(0)＝1.
(2)令 f′(x)＝0,得 x＝0. ∴当 x>0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,＋∞)上递增. 当 x<0 时,f′(x)<0,f(x)在(－∞,0)上递减. ∴f(x)的最小值为 f(0)＝1. ∵函数 f(x)在区间(－∞,0)和(0,＋∞)上均单调, ∴当 b>1 时曲线 y＝f(x)与直线 y＝b 有且仅有两 个不同交点. 综上可知,b 的取值范围是(1,＋∞).
π
∵0≤x≤ 2 ,∴0≤cos x≤1,令 cos x＝t, 则 y＝－t－a22＋a42＋58a－12,0≤t≤1. 当a2＞1,即 a＞2 时,函数 y＝－t－a22＋a42＋58a－12 在 t∈[0,1]上单调递增,
∴t＝1 时,函数有最大值 ymax＝a＋58a－32＝1,
解得 a＝2103＜2(舍去)；
综上所述,存在实数 a＝32使得函数有最大值 1.
【思维升华】换元法的特点是通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,把 条件与结论联系起来,把陌生的形式转变为熟悉的形 式.高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对 称换元、均值换元等等.换元法应用广泛,如解方程、解 不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项 与和等,在解析几何中也有广泛的应用.解题过程中要 注意换元后新变量的取值范围.
设
π t ＝ 2x － 3 , 因 为
x∈ 0，π2 , 所 以
t∈－π3 ，2π 3 ,故
2017届高考数学二轮复习第1部分专题四数列必考点文
∴数列 { an} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
n
2
2
又∵ Sn＝ 126，∴ 1－2 ＝ 126，∴ n＝ 6.
速解法：由题意可知 a1＝ 2， a2＝4， a3＝ 8，a4＝16， a5＝ 32， a6＝ 64，
∴S6＝ 2＋ 4＋8＋ 16＋ 32＋ 64＝ 126，∴ n＝6.
答案： 6
1
837
433
1
8a1 ＋ 2 d＝43 4a1＋ 2 d ，∵ d＝ 1，∴ a1＝ 2.
1
19
∴a10＝a1＋ 9d＝2＋ 9＝ 2 .
答案： B 方略点评：基本法和速解法各选用了不同的求和公式，比较起来，用
a1 和 d 的关系求和较
简单 .
(2) 设 Sn 是等差数列 { an} 的前 n 项和，若 a1＋ a3＋ a5＝ 3，则 S5＝ (
方略点评：基本法采用的是求和公式，速解法则为最原始的求和方法，直接看到
S6＝ 126.
(2) 已知等比数列 { an} 满足 a1＝ 3， a1＋ a3＋ a5＝ 21，则 a3＋ a5＋a7＝ (
)
A． 21 B ．42
C． 63 D ．84 解析：基本法：∵ a3＝a12 q2， a5＝ a32 q2＝ a12 q4， ∴3＋ 3q2＋ 3q4＝21 ∴q4＋ q2－ 6＝ 0，∴ q2＝ 2
∴a3＝ 1，
5 a1＋ a5
∴ S5＝2ຫໍສະໝຸດ ＝ 5a3＝ 5，故选 A.
答案： A
a1 与 d 的关系，然后用公式求和 . 速解法是利用等差中项性
质转化求和公式 .,
n n－ 1
当已知 a1 和 d 时， 用 Sn＝ na1＋
2017版高考数学二轮突破：专题四-数列ppt课件(108页,含答案)
核 心 知 识 聚 焦
[解析] 因为 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，所以 S1＝－1，Sn＋1 1 1 1 －Sn＝SnSn＋1，所以 －S ＝－1，所以数列S 是首项 n Sn＋1 n 1 为－1，公差为－1 的等差数列，所以S ＝－n，所以 Sn n 1 ＝－n.
[答案] 98
a1＋a9 [解析] 可得 a5＝3， 所以 a10－a5＝5d＝5， 2 ×9＝27， 所以 d＝1，所以 a100＝a10＋90d＝98.
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第10讲 数列、等差数列与等比数列
核 心 知 识 聚 焦
2．[2016· 北京卷] 已知{an}为等差数列，Sn 为其前 n 项 和．若 a1＝6，a3＋a5＝0，则 S6＝________． 测试要点：等差数列的和与通项
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[答案]
64
第10讲 数列、等差数列与等比数列
—— 基础知识必备 ——
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第10讲 数列、等差数列与等比数列
► 考点一 等差、等比数列的基本计算
题型：选择、填空、解答 分值：5～12 分 难度：中等 热点：数列基本量的求解，数列基 本性质的应用
考 点 考 向 探 究
核 心 知 识 聚 焦
[答案]
8
[解析] ∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0， a9<0，∴n＝8 时，数列{an}的前 n 项和最大.
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第10讲 数列、等差数列与等比数列
4．[2015· 全国卷Ⅱ] 设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，且 a1 ＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝________. 测试要点：通过变换化为等差数列问题
【18份】2017届高三数学(文)二轮复习课件(全国通用)专题突破
C
)
(A)-1+2i
(B)1-2i
(C)3+2i
(D)3-2i
解析:z=3-2i,z =3+2i.故选C.
︱高中总复习︱二轮²文数
5.(2016· 全国Ⅰ卷,文2)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数, 则a等于(A (A)-3 (B)-2 ) (C)2 (D)3
解析:(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,由已知,得a-2=1+2a,解得a=-3,选A.
2 2 +2i =-1+i.故选 B. 1 i
解析:(1)
︱高中总复习︱二轮²文数
(2)(2016²山西太原模拟)已知 i 是虚数单位,则复数 是( (A)1-i ) (B)-1+i (C)1+i (D)-1-i
5 3i 的共轭复数 4i
解析: (2)
5 3i (5 3i)(4 i) = 4i (4 i)(4 i)
解析:(1)集合B={x|x<- 1 或x>3},
2
所以A∩B={x|-1<x<- 1 }.故选D.
2
︱高中总复习︱二轮²文数
(2)(2016²湖南衡阳一模)设集合 A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若 A∩B≠ , 则 a 的取值范围是( (A)(-∞,2) (C)(-1,+∞) ) (B)(-2,+∞) (D)(-1,2]
︱高中总复习︱二轮²文数
6.(2013· 全国Ⅰ卷,文5)已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列 A ) 命题中为真命题的是( (A)p∧q (B)﹁p∧q (C)p∧﹁q (D)﹁p∧﹁q 解析:x=0时,2x=3x=1,故命题p为假命题,作出函数y=x3,y=1-x2的图象如
【高考调研】2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件3-2数列
第27页
高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学（文）
1 n－1 1 (2)bn＝n|an|＝n× ×2 ＝ ×n×2n，(7 分) 2 4 1 ∴ Tn ＝ b1 ＋ b2 ＋ b3 ＋ … ＋ bn ＝ (1×2 ＋ 2×22 ＋ 3×23 ＋ … ＋ 4 n×2n)， ①(8 分) 1 2Tn＝ (1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1)， 4 ②(9 分)
第18页
高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学（文）
1n 1＋2×( ) ＋3×( ) ＋…＋ 2 2 2 2 1n n×( ) ，① 2 1 12 13 14 1 n＋1 T ＝1×( ) ＋2×( ) ＋3×( ) ＋…＋n×( ) ，② 2 n 2 2 2 2 1 11 12 13 14 1n 1 n＋1 所以 Tn＝( ) ＋( ) ＋( ) ＋( ) ＋…＋( ) －n×( ) ， 2 2 2 2 2 2 2 1 1－（ ）n 2 11 12 13 1 n－1 1n 即 Tn＝1＋( ) ＋( ) ＋( ) ＋…＋( ) －n×( ) ＝ 2 2 2 2 2 1 1－ 2 n＋2 1n 1n 1n －n×( ) ＝2－2×( ) －n×( ) ＝2－ n . 2 2 2 2
S1，n＝1 an＝ 将通项进行统一． Sn－Sn－1，n≥2
(2)证明等比数列的方法： an＋1 ①定义法： ＝q(n∈N*)． an an 或当 n≥2 时， ＝q. an－1
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高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学（文）
②等比中项法： an＋1 an＋2 ＝ (n∈N*)． an an＋1 (3)注意不能直接根据通项公式就说某个数列是等差或等比 数列，判断可以，证明不行！
高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学（文）