专题训练-常见数列的求和
专题训练－常见数列的求和
德阳二中 谢超强 在前面，我们学习了如何求等差数列和等比数列的前n 项和。下面介绍既非等差数列又
非等比数列的某些数列前n 项和的求法。 一、分组求和法
某些数列，通过适当的分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，从而可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，得出原数列的和。
例1：求数列3
11，912
，2713，…，)3
1n n +（，…的前n 项和。 解：n S ＝311＋912＋271
3＋…＋)3
1n n +（
＝（1＋2＋3＋…＋n ）+)3
1
2719131(n ++++
=
3
11)
311(312
)1(--++n n n =)3
1
1(21)1(21n n n -++
二、聚合法
有的数列表示形式较复杂，每一项是若干个数的和，这时常采用聚合法，先对其第n 项求和，然后将通项化简，从而改变原数列的形式，再采用分组求和。 例2：求数列 ,2
221,,221,21,11
2
2
-+++++++n 的前n 项和。
解：∵122
1212
22112
-=--=++++=-n n n n a ∴n n a a a a S ++++= 321
=)12()12()12()12(3
2
1
-++-+-+-n
=n n
-++++)2222(3
2
1
=
222
1)
21(21--=---+n n n n 三、裂项相消法
这种方法是先把数列的第n 项n a 分裂为几项的代数和，从而改变数列的形式，以便可以进行消项处理，进而达到解决问题的目的。 例3．求数列
,)
1(6,,436,326,216+????n n 的前n 项和。
解：∵)1
1
1(6)1(6+-=+=
n n n n a n
∴n n a a a a S ++++= 321
＝)1
11(
6)4131(6)31
21(6)2111(6+-++-+-+-n n ＝1
6)111(6+=
+-n n
n 四、倒序法
等差数列前n 项公式的推导，是先将和式中各项反序编排得出另一个和式，然后再与原来的和式对应相加，从而求得等差数列的前n 项和，这种方法就是倒序法。 例4．已知函数f(x)满足对一切实数x ，有21)1()(=
-+x f x f ，记++=)1
()0(n
f f a n )()1()2(n
n
f n n f n f +-++ ，求n a 。 解：∵++=)1()0(n f f a n )()1()2(n n
f n n f n f +-++
∴)0()1
()2()1()(f n
f n n f n n f n n f a n +++-+-+=
上两式相加，得
)]0()([)]1()1([)]1()1([)]()0([2f n n
f n f n n f n n f n f n n f f a n +++-++-+++=
＝
2
1
12
12121个
++++n
＝21
+n ∴4
1
+=n a n
五、错位相减法
已知数列}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，则数列}{n n b a ?的前n 项和一般采用错位相减法求。其操作过程如下：
∵n n n b a b a b a b a S ++++= 332211
＝1
112
111111])1([)2()(--+++++++n q
b d n a q b d a q b d a b a
∴n
n q b d n a q b d a q b d a q b a qS 1131121111])1([)2()(-+++++++=
上两式相减，得：
n n n q b d n a q db q db q db b a S q 111121111])1([)1(-+-++++=--
＝n n q b d n a q
q q q db b a 112
2111])1([)1(-+-++++-
＝n n q b d n a q
q q db b a 111
111])1([11-+---?
+- ∴q q b d n a q q q db q b a S n
n n --+-
--+-=-1])1([)1()1(1112
1111 例5．求数列 ,)12(,,5,3,11
2
--n a
n a a 的前n 项和)1(≠a S n 。
解：1
2)12(531--++++=n n a n a a S ① ∴n
n a n a a a aS )12(5332-++++= ② ①＋②，得n
n n a n a a a S a )12(2221)1(12--++++=--
＝n n a n a
a a )12(1)1(21
2---++++-
＝n n
a n a
a )12(1112-----?
∴a a n a a S n n n -+----=11
)12()
1()1(22
练习题：
一、基础训练 1．
=+-++?+?+?)
12)(12(1751531311n n （ C ） (A)
122+n n (B)122-n n (C)12+n n (D)12-n n
2．n +++++
++++++ 3211
32112111＝（ B ） （A ）1+n n （B ）12+n n (C)n n )1(2- (D)1
2-n n
3．数列}{n a 中，)34()1(1
--=+n a n n ，其前n 项和为n S ，则1122S S -等于（C ）
(A) -85 (B) 85 (C) -65 (D)65 4．数列,,21)
12(,,815,413,211 n
n -前n 项和是n n 2112
-+。
5．数列9，99，999，…， 个
n 9999，…的前n 项和是n n
--)110(9
10 。
6．数列－1，4，－7， ),23()1(,--n n
的前100项和是150。 7．求下列各式的和： （1）)
13)(23(1741411+-++?+?=n n S n 解：)131231(31)7141(31)4111(31+--++-+-=
n n S n ＝1
3)1311(31+=
+-n n
n （2）1
21215
313
11++-+
+++
+=
n n S n
解：21
212235213--+++-+-=
n n S n ＝
2
1
12-+n （3）1
2321-++++=n n nx x x S 解：1
2321-++++=n n nx x x S ①
n n nx x x x xS ++++= 3232 ②
①－②，得 n
n n nx x x x S x -++++=--121)1(
当n n
n nx x
x S x x ---=-≠11)1(1时，
， 2
)
1(321,1+=
++++==n n n S x n 时当 二、能力提高
8．已知数列,,1,,1,1,11
2
2
-+++++++n a a a a a a 求这个数列的前n 项和n S 。
解：n S a n ==时，当0；
2
)
1(3211+=
++++==n n n S a n 时，当； a
a a
a a a a a n
n n --=++++=≠≠-111011
2
时，且当 ∴n n a a a a S ++++= 321
＝a
a a a a a a a n
--++--+--+--1111111132 ＝
)]([11
32n a a a a n a
++++-- ＝2
)1()1(1]1)1([11a a a a n a a a n a n n ----=---- 9．设)(21,241
1
+++=-=n n n n n n a a a a b n a ，求数列}{n b 的前n 项和n S 。 解：]121
21212[21]24242424[21+-+-+=+-+-+=
n n n n n n n n b n ＝1
21
1211)]1221()1221[(21+-
-+=+-+-+n n n n ∴ n n b b b b S ++++= 321
＝)121
1211()71511()51311()3
1111(+--+++-++-+
+-+n n ＝1
2)
1(2121211++=
++=+-+n n n n n n n n 10．设等差数列}{n a 中，2,11==d a ，依次抽出这个数列的第 ,3,,3,3,11
2
+k 项，组
成数列}{n b ，求数列}{n b 的通项公式及前n 项和n S 。 解：∵1322)13
(111
31-?=?-+==---k k k k a b
∴)132()132()132(1
10-?++-?+-?=-n n S
＝n n -+++-)3
33(21
10
＝133
1312--=---?
n n n n
11．一个数列}{n a ，当n 为奇数时，15+=n a n ；当n 为偶数时，2
2n n a =；求这个数列的前n 项和。
解：∵10]1)12(5[]1)12(5[1212=+--++=--+n n a a n n
222
2
22
22222==++n n n
n a a ∴ ,,,,1231-n a a a 构成首项是6，公差是10的等差数列，
,,,,242n a a a 构成首项是2，公比是2的等比数列。 ∴当n=2m 时，)()(2421231m m n a a a a a a S +++++++=-
＝2
1)
21(2)156(2--+++m m m
＝
)12(2)75(2
-++m m m
＝22
4
78512
2-+++n
n n 当n=2m ＋1时，)()(2421231m m n a a a a a a S +++++++=+
＝2
1)
21(2]1)1(56[21--+++++m m m ＝
)12(2)125(2
1
-+++m m m ＝22)1(4
7)1(85122
-+++++n
n n
数列求和的教学反思
数列求和的教学反思 数列求和的教学反思 由于数列的求和在求解的方法中比较多，学生难以一次性熟练掌握全部的方法并灵活运用，所以在《数列求和》的专题课的教学重点放在了数列求和的前三种重要方法： 1、公式法求和（即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和）； 2、利用叠加法、叠乘法将已知数列转化为等差数列或等比数列再行求和； 3、对于数列的通项是由等差乘以等比数列构成的，用乘公比错位相减求和法。 从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了这节课预期的教学目标及要求。结合自我感觉、工作室评课、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。 1、注重“三基”的训练与落实 数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的
不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课伊始做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次本节课充分渗透了转化的数学思想方法，并且通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，分别采用叠加法或叠乘法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。 2、例、习题的选配典型，有层次 一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。 3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计 对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清
四年级奥数思维训练专题-巧妙求和
四年级奥数思维训练专题-巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数. 相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差. 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算. 项数=（52－4）÷6＋1=9 答：这个数列共有9项. 试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100.要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算. 第100项=3+4×（100－1）=399
试一试2：求1，4，7，10……这个等差数列的第30项. 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100.请求出这个数列所有项的和. 分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 试一试3：6+7+8+…+74+75 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和. 分析：项数=（末项－首项）÷公差+1 =（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650 试一试4：9+18+27+36+…+261+270 巧妙求和（二） 专题简析：
数列求和专项训练题(学生)
数列求和的常用方法 第一类：公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、等差数列前n 和公式：()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ 2、等比数列前n 和公式：1 11(1)(1)(1) 11n n n na q S a a q a q q q q =?? =--?=≠?--? 自然数方幂和公式： 3、11(1)2n n k S k n n ===+∑ 4、211 (1)(21) 6n n k S k n n n ===++∑ 5、32 1 1[(1)]2 n n k S k n n ===+∑ 【例】已知数列{}n a 满足*111,4,n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的前n 项和 n S . 【练习】已知321 log log 3 x -= ，求23n x x x x +++???++???的前n 项和.
第二类：分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，其中数列{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。 【例】数列111111,2,3,4 ,,,24816 2n n 求数列的前n 项和. 【练习】数列{}n a 的通项公式221n n a n =+- 第三类：裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常用的通项分解（裂项）如：
(完整word版)数列求和方法(带例题和练习题)
数列的求和 数列求和主要思路： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 11123(1) 2 n n k S k n n n == =+++++=+∑L … 4、 222221 1 123(1)(21)6n n k S k n n n n ===++++=++∑L 5、 2 3 3 3 3 3 1 (1)1232n n k n n S k n =+?? ===++++=????∑L 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值； （2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。 例1．求和2 2 1-++++n x x x Λ(0,2≠≥x n ) 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 例3．求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的 例4．求ο ο ο ο ο 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值 例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002. 例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.
数列求和专题训练 方法归纳
数列求和专题 方法归纳 方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求 b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项 公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．
三种常用的数列求和方法-高考文科数学分类专题突破训练
考查角度2三种常用的数列求和方法 分组转化法求和 已知等差数列{a n}满足a2=2,a1+a4=5. {a n}的通项公式; (2)若数列{b n}满足b1=3,b2=6,{b n-a n}为等比数列,求数列{b n}的前n T n. 利用已知条件求出等差数列{a n}的通项公式;(2)因为{b n n,所以数列{b n}的前n项和T n可以看成数列{b n-a n} {a n}的前n项和的总和. 设等差数列{a n}的公差为d, {a n}满足a2=2,a1+a4=5, ∴解得a1=d=1, ∴a n=1+(n-1)×1=n. (2)设等比数列{b n-a n}的公比为q,∵b1=3,b2=6, ∴b1-a1=3-1=2,b2-a2=6-2=4, ∴q=2. ∴b n-a n=2×2n-1=2n, ∴b n=n+2n, ∴数列{b n}的前n项和 T n=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)=+- -=+2n+1-2. 从求和数列的通项入手,将其转化为等差数列与等比 ,再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和. 错位相减法求和 已知{a n}的前n项和S n=4n-n2+4. {a n}的通项公式; (2)求数列-的前n项和T n. 由{a n}的前n项和求出数列{a n}的通项公式;(2)利用错 (当n=1时要单独考虑). 当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-n2-[4(n-1)-(n-1)2]=5-2n; 1时,a1=S1=7. ∴a n= - (2)令b n=-,
当n=1时,T1=b1=-=0; 当n≥2时,b n=-= - , ∴T n=0++++…+ -+ - , T n=+++…+ - +, 两式相减得T n=1+++…+ --= - - -=2-, ∴T n=4- - (n≥2 . 当n=1时,满足上式. 综上所述,T n=4- - . 用错位相减法求和时,应注意: ,特别是等比数列的公比为负数的情形; (2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n-qS n”的表达式; (3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比未知,应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 分类透析三a n=型的裂项相消法求和 已知数列{a n}为单调递增数列,S n为其前n项和,2S n=+n. (1)求{a n}的通项公式. (2)若b n=,T n为数列{b n}的前n项和,证明:T n<. 由递推公式2S n=+n求出{a n}的通项公式;(2)先用裂项相消法求和,再进行适当放缩证明. 当n=1时,2S1=2a1=+1,即(a1-1)2=0,解得a1=1. 又{a n}为单调递增数列,所以a n≥1. 由2S n=+n得2S n+1=+n+1, 所以2S n+1-2S n=-+1, 整理得2a n+1=-+1,所以=(a n+1-1)2. 所以a n=a n+1-1,即a n+1-a n=1, 所以{a n}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n=n.
专题训练-常见数列的求和
专题训练－常见数列的求和 德阳二中 谢超强 在前面，我们学习了如何求等差数列和等比数列的前n 项和。下面介绍既非等差数列又 非等比数列的某些数列前n 项和的求法。 一、分组求和法 某些数列，通过适当的分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，从而可利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，得出原数列的和。 例1：求数列3 11，912 ，2713，…，)3 1n n +（，…的前n 项和。 解：n S ＝311＋912＋271 3＋…＋)3 1n n +（ ＝（1＋2＋3＋…＋n ）+)3 1 2719131(n ++++ = 3 11) 311(312 )1(--++n n n =)3 1 1(21)1(21n n n -++ 二、聚合法 有的数列表示形式较复杂，每一项是若干个数的和，这时常采用聚合法，先对其第n 项求和，然后将通项化简，从而改变原数列的形式，再采用分组求和。 例2：求数列 ,2 221,,221,21,11 2 2 -+++++++n 的前n 项和。 解：∵122 1212 22112 -=--=++++=-n n n n a ∴n n a a a a S ++++= 321 =)12()12()12()12(3 2 1 -++-+-+-n =n n -++++)2222(3 2 1 = 222 1) 21(21--=---+n n n n 三、裂项相消法 这种方法是先把数列的第n 项n a 分裂为几项的代数和，从而改变数列的形式，以便可以进行消项处理，进而达到解决问题的目的。 例3．求数列 ,) 1(6,,436,326,216+????n n 的前n 项和。
高考数学一轮复习专题：数列求和(教案及同步练习)
1．等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 2．等比数列的前n 项和公式 S n ＝???? ? na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 3．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1) 2. (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2. (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n (n ＋1)． (4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1) 6. 【知识拓展】 数列求和的常用方法 (1)公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和． (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ① 1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ；
②1(2n －1)(2n ＋1)＝12????1 2n －1－12n ＋1； ③ 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1 n ＋1 )．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × ) (4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋1 2 n .( × ) (5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ ) 1．(2017·潍坊调研)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A.n 2＋7n 4 B.n 2＋5n 3 C.2n 2＋3n 4 D ．n 2＋n 答案 A 解析 设等差数列的公差为d ，则a 1＝2， a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d . 又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 23＝a 1·a 6.
高考数学复习数列求和专题训练(含答案)
高考数学复习数列求和专题训练（含答案）数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。以下是查字典数学网整理的数列求和专题训练，请考生练习。 已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2-5x+6=0的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和. [解] (1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3， 由题意得a2=2，a4=3. 设数列{an}的公差为d，则a4-a2=2d，故d=， 从而a1=. 所以{an}的通项公式为an=n+1. (2)设的前n项和为Sn.由(1)知=，则 Sn=++++， Sn=++++. 两式相减得 Sn=+- 所以Sn=2-. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1. (1) 求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足+++=1-，nN*，求{bn}的前n项和Tn. [解] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由S4=4S2，a2n=2an+1，得
解得 因此an=2n-1，nN*. (2)由已知+++=1-，nN*， 当n=1时，=; 当n2时，=1--=. 所以=，nN*. 由(1)知an=2n-1，nN*，所以bn=，nN*. 所以Tn=++++， Tn=++++. 两式相减，得Tn=+- 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。=--， 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能
高中数学数列求和专题复习_知识点_习题
数列求和例题精讲 1． 公式法求和 （1）等差数列前n 项和公式 d n n na a a n a a n S k n k n n 2 ) 1(2)(2)(111-+=+=+= -+ （2）等比数列前n 项和公式 1=q 时 1na S n = 1≠q 时 q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11 （3）前n 个正整数的和 2 )1(321+= ++++n n n 前n 个正整数的平方和 6) 12)(1(3212222++= ++++n n n n 前n 个正整数的立方和 2 3333]2 )1([321+=++++n n n 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值； （2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。 例1．求数列13741+n ，，，， 的所有项的和 例2．求和221-++++n x x x (0,2≠≥x n )
2．分组法求和 例3．求数列112，124，138，…，1 2 n n +，…的所有项的和。 例4．在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （1） 设n n a b n =，求数列{}n b 的通项公式 （2） 求数列{}n a 的前n 项和n S 3．错位相减法求和 {}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n {}和，可由求，其中为的公比。S qS S q b n n n n - 例7．求和12321-++++n nx x x （0≠x ）。
4．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例8．求和) 12)(12(1 751531311+-++?+?+?n n 。 例9．求和n n +++ +++ ++ +113 212 311 21 。 5 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。 S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++??? ? ?--121121…………相加 ()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［ 练 习 ］ 已知，则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++?? ???++?? ???++?? ? ??= 22 11212313414
2015高考数列求和专项训练
数列求和专项训练 1. (2011?重庆)设｛a n｝是公比为正数的等比数列a i=2, a3=a2+4. ([)求｛a n｝的通项公式； (n)设｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列，求数列｛a n+b n｝的前n项和S. 分析：(I)由｛a n｝是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2, a3=a2+4可求得q，即可求得｛a n｝的通项公式(n)由｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列可求得b n=1+ ( n- 1) X 2=2 n- 1,然后利用等比数列与等差数列的前 n项和公式即可求得数列｛a n+b n｝的前n项和S. 解答：解：(I)：设｛a n｝是公比为正数的等比数列 ???设其公比为q, q > 0 ■/ a3=a2+4, a1=2 2 ?2X q =2X q+4 解得q=2 或q= - 1 ■/ q>0 ?- q=2 ?｛a n｝的通项公式为a n=2X 2n- 1=2n (n)：｛b n｝是首项为1，公差为2的等差数列 ?b n=1+ ( n - 1) X 2=2n - 1 ?数列｛a n+b n｝的前n 项和S= f =2n+1- 2+n2=2n+1+n2- 2 1-2 2 2. (2011?辽宁)已知等差数列｛a n｝满足a2=0, &+a8= - 10 (I)求数列｛a n｝的通项公式； (II )求数列｛—｝的前n项和. 分析：(I) 根据等差数列的通项公式化简a2=0和a e+a8=- 10,得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首 项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可； (II ) 把(I )求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①-②后，利 用a n的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列｛一｝的前n项和的通项公式. r ai+<^0 解答：解：(I)设等差数列｛a n｝的公差为d，由已知条件可得* , 2a t H2d=-10 L 1 31=1 解得：?, d=-1 故数列｛a n｝的通项公式为a n=2 - n; (II )设数列｛一｝的前n项和为S，即S=a1+ : +…+一—①，故S=1, 9 rfL—1 戸旷1 a l a2 .… 2 Z \②,
广东高考理数大二轮专项训练专题 数列求和及综合应用(含答案)
2016广东高考理数大二轮专项训练 第2讲数列求和及综合应用 考情解读高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题；2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题． 1．数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并． (2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n 项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和． (4)裂项相消法 利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有 限项的和．这种方法，适用于求通项为1 a n a n＋1 的数列的前n项和，其中{a n}若为等差数列，则 1 a n a n＋1＝ 1 d? ? ? ? 1 a n－ 1 a n＋1. 常见的裂项公式： ① 1 n(n＋1) ＝ 1 n－ 1 n＋1 ； ② 1 n(n＋k) ＝ 1 k( 1 n－ 1 n＋k )； ③ 1 (2n－1)(2n＋1) ＝ 1 2( 1 2n－1 － 1 2n＋1 )；
(完整版)数列求和专题训练(可编辑修改word版)
1 一、错位相减法 设数列{a n }的等比数列，数列{b n }是等差数列，则数列{a n b n }的前n 项和 S n 求解，均 可用错位相减法。 例 1;设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且 a 1 = b 1 = 1 ， a 3 + b 5 = 21， a 5 + b 3 = 13 （Ⅰ）求{a n }，{b n }的通项公式； ? a n ? （Ⅱ）求数列? b ? 的前 n 项和 S n ． ? n ? 例 2;在数列{a } 中， a = 2， a = a + n +1 + (2 -)2n (n ∈ N * ) ，其中> 0 ． n 1 n +1 n （Ⅰ）求数列{a n } 的通项公式； （Ⅱ）求数列{a n } 的前n 项和 S n ； 二、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） a n = 1 n (n + 1) = 1 - n 1 n + 1 (2n )2 （2） a n = (2n -1)(2n +1) = 1+ 1 ( 1 - 2 2n -1 1 ) 2n +1 （3） a n = n (n -1)(n + 2) = 1 [ 1 2 n (n +1) - 1 ] 等。 (n +1)(n + 2) 1 1 例 3:； 求数列 , ,? ? ?, 1 ,? ? ? 的前 n 项和. n + n + 1 1 + 2 2 + 3
n 数列求和（错位相减、裂项相消法）专题训练 1、求数列{n ? 2n }前n 项和. 2、已知等差数列{a n } 满足： a 3 = 7 ， a 5 + a 7 = 26 . {a n } 的前 n 项和为 S n . （Ⅰ）求 a n 及 S n ； （Ⅱ）令b = 1 （ n ∈ N + ）,求数列{b } 的前 n 项和T . n a 2 -1 n n 3、已知等差数列{a n }的前 3 项和为 6，前 8 项和为-4。 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b = (4 - a )q n -1(q ≠ 0, n ∈ N *) ，求数列{b }的前 n 项和 S n n n n 4、已知等差数列{a n } 满足： a 3 = 7 ， a 5 + a 7 = 26 ，{a n } 的前 n 项和为 S n ． （Ⅰ）求 a 及 S ；（Ⅱ）令 b = 1 (n ∈N *)，求数列{b } 的前 n 项和T ． n n n a 2 -1 n n n
高考数列求和专项训练及解答
高考数列求和专项训练及解答 一．选择题（共3小题） 1．已知数列1，3，5，7，…则其前n项和S n为（）A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣ 2．已知项数为奇数的等差数列{a n}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n的值是（） A．9B．10C．11D．13 3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S3=6，S5=15．设数列{}的前n项和为T n，若T n=，则n=（） A．19B．20C．21D．22 二．解答题（共5小题） 4．已知数列{a n}的通项是a n=2n﹣1． （1）求数列{a n}的前n项和为S n （2）设数列的前n项和为T n，求T n． 5．已知正项数列满足4S n=a n2+2a n+1． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n． 6．已知等比数列{a n}的公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式； （2）记b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
7．在数列{a n}中，a1=1，． （1）求a2，a3，a4，猜想a n，无需证明； （2）若数列，求数列{a n}的前n项和S n． 8．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2a n+2n． （1）证明数列{}是等差数列，并求出a n； （2）求S n； （3）令b n=，若对任意正整数n，不等式b n＜恒成立，求实数m的取值范围．
2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共3小题） 1．已知数列1，3，5，7，…则其前n项和S n为（）A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣ 【分析】利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出． 【解答】解：S n=1+3+5+…+（2n﹣1）++…+ =+ =n2+． 故选：A． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式，属于基础题． 2．已知项数为奇数的等差数列{a n}共有n项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数n的值是（） A．9B．10C．11D．13 【分析】利用项数为奇数的等差数列{a n}共有n项，求出奇数项之和，偶数项之和，然后通过比值求解即可．
数列求和专项练习高考题
数列的前n 项和的求法 1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式， 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式： 1123(1)2n n n ++++=+L ，222112(1)(21)6 n n n n +++=++L ， 33332 (1)123[]2n n n +++++=L . 例1、已知3log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=3 2 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 21 1(21--n ＝1－n 21 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式 法求和. 例2、 求数列的前n 项和：231 ,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n ，… 解：设)231 ()71()41()11(12-++???++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得 )23741()1 111(12-+???+++++???+++ =-n a a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n n + （分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 例3、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ① 将①式右边反序得 οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 2 2=+-=x x x x ο ①+②得 （反序相加） )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89 ∴ S ＝ 4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 例4、 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位）
数列求和专题训练方法归纳
数列求和专题训练方法归 纳 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
数列求和专题 方法归纳 方法1：分组转化法求和 1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n －1，则S n ＝ ________. 2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 方法2裂项相消法求和 3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N * )，则数列? ???????? ?1a n 前 10项的和为______． 4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． 5．若已知数列的前四项是 112 ＋2，122＋4，132＋6，1 42＋8 ，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项 公式； (2)设b n ＝1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设 b n ＝1 a n ，求证：数列{ b n }是等差数列；(2)求数列?????? ??? ?a n n ＋1的前n 项和S n . 方法3：错位相减法求和 8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求 T n . 9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．
数列求和专题训练
一、错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。 例1;设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=， 5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ?? ? ??? 的前n 项和n S ． 例2;在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+* +==++-∈N ，，其中0λ>． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； 二、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）1 1 1)1(1+- =+= n n n n a n （2）)1 21 121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=+-= n n n n n n n a n 等。 例3:； 求数列 ???++???++,1 1, ,3 21, 2 11n n 的前n 项和. 数列求和（错位相减、裂项相消法）专题训练 1、{2}.n n n ?求数列前项和 2、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令2 1 1 n n b a = -（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T .
数列通式与求和之专项训练
常见的数列通项公式的求法之作业 班级_______ 姓名_________ 1． 已知数列{}n a 的前n 项和2 1()2 n S n n = +，则n a = ． 2． 已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =+，则n a = __ ． 3． 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = _____ ． 4．已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a =________ 5．已知数列{}n a 的11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则n a = ____ ． 6．数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式 ． 变式1：数列{}n a 中，111,n n a a a n +==+，求{}n a 的通项公式 ． 变式2：数列{}n a 中，1111,3n n n a a a -+==+，求{}n a 的通项公式 ． 变式3：已知数列{}n a 满足11=a ，11 11 =- +n n a a ，求n a ． 变式4：数列{}n a 中，1121,2 n n n a a a a +==+，求{}n a 的通项公式 ．
7．已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=≥，求{}n a 的通项公式 ． 变式1：已知数列{}n a 的首项11a =，且11 (2)n n n a a n n --=≥，求{}n a 的通项公式 ． 变式2：数列{}n a 中，112,32n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式． 8、数列{}n a 中，2n n S a =，求{}n a 的通项公式． 9、已知14a =，1221 n n n a a a +?=+，求n a 。 10、 已知110a =，2 1n n a a +=，求n a 。
2020高中数学专项复习《数列求和练习题》
1 数列求和 1.在等差数列{a n }中， a 2 = 1, a 4 = 5 ,则{a n }的前 5 项和S 5 =( ) A.7 B.15 C.20 D.25 2 ． 若数列{a n } 的通项公式是 a n ＝ ( － 1)n (3n － 2) ， 则 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ＝ ( )． A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 1 1 1 1 3．数列 1 ，3 ，5 ，7 ，…的前 n 项和 S n 为( )． 2 4 8 16 1 1 1 1 A ．n 2＋1－ B ．n 2＋2－ C ．n 2＋1－ D ．n 2＋2－ 2n －1 2n 2n 1 2n －1 4. 已知数列{a n }的通项公式是 a n n 项和为 10，则项数 n 为 ( )． A ．11 B ．99 C ．120 D ．121 1 5. 已知数列{a n }的通项公式为 a n ＝2n ＋1，令 b n ＝ (a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n } n 的前 10 项和 T 10＝( ) A ．70 B ．75 C ．80 D ．85 6. 已知数列{a n }的前 n 项和 S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，且 S 25＝100，则 a 12＋a 14 等于() A ．16 B ．8 C ．4 D ． 不 确 定 1 1 1 7. 若数列{a n }为等比数列，且 a 1＝1，q ＝2，则 T n ＝ ＋ ＋…＋ 的结 果可化为( )． 1 1 a 1a 2 a 2a 3 2 1 2 1 a n a n ＋1 A ．1－ B ．1－ C. (1－ ) D. (1－ ) 4n 二、填空题 2n 3 4n 1 3 2n 8. 数列{a n } 的通项公式为 a n n 项之和为 10，则在平面直角 坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋＝0 在 轴上的截距为 ． 9. 等比数列{a n }的前 n 项和 S n ＝2n －1，则 a 12＋a 2＋…＋a n 2＝ . 10. 已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足 b n ＝log 3a n ，则数列 {b n b n ＋1 } 的前 n 项和 S n ＝ .