学案39 空间距离(理)

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立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算专题学案汇编

立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的计算班级：姓名：小组：【学习目标】(1)理解立体几何中点到直线的距离、点到平面的距离的概念． (2)掌握各种距离的计算方法．【重点、难点】重点：点到直线、点到平面距离公式的推导及应用．难点：把空间距离转化为向量知识求解．【学法指导】空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离，用向量法来求解。

【预习感知】1．两点间的距离的求法．设a ＝(a 1，a 2，a 3)，则|a |＝______________，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则d AB ＝|AB→|＝________________. 答案：a 21＋a 22＋a 23(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)22．点到直线距离的求法设l 是过点P 平行于向量s 的直线，A 是直线l 外定点．作AA ′⊥l ，垂足为A ′，则点A 到直线l 的距离d 等于线段AA ′的长度，而向量PA →在s 上的投影的大小|PA →·s 0|等于线段PA ′的长度，所以根据勾股定理有点A 到直线l 的距离d ＝_____________．d ＝|PA →|2－|PA →·s 0|2.3．点到平面的距离的求法设π是过点P 垂直于向量n 的平面，A 是平面π外一定点．作AA ′⊥π，垂足为A ′，则点A 到平面π的距离d 等于线段AA ′的长度，而向量PA→在n 上的投影的大小|PA →·n 0|等于线段AA ′的长度，所以点A 到平面π的距离d ＝____________. d ＝|PA →·n 0|.【预习检测】1．已知直线l 过定点A (2,3,1)，且方向向量为n ＝(0,1,1)，则点P (4,3,2)到l 的距离为( )A.322 B ．22 C.102D ． 2【解析】 PA →＝(－2,0，－1)，|PA →|＝5，PA →·n |n |＝－12，则点P 到直线l 的距离d ＝|PA →|2－|PA →·n |n ||2＝5－12＝322.【答案】 A图2－6－42．如图2－6－4所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A.12 B ．24【解析】建立如图所示坐标系，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， O (12，12，1)，则DA 1→＝(1,0,1)， A 1O →＝(－12，12，0)，由题意知DA 1→为平面ABC 1D 1的法向量，∴O 到平面ABC 1D 1的距离为 d ＝|DA 1→·A 1O →||DA 1→|＝122＝24.【答案】 B3．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝4，BB 1＝3，则点B 1到平面A 1BC 1的距离为________．【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则A 1(4,0,3)，B 1(4,6,3)，B (4,6,0)，C 1(0,6,3)，A 1C 1→＝(－4,6,0)，A 1B →＝(0,6，－3)， BC 1→＝(－4,0,3)，A 1B 1→＝(0,6,0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B →＝0，解得n ＝(1，23，43)．∴d ＝|A 1B 1→·n ||n |＝122929.【答案】 122929【自主探究】求点到直线的距离如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝1，AA ′＝2，求点B 到直线A ′C 的距离．[分析] 可利用坐标向量法求出点B 到直线A ′C 的距离． [解析] 画出空间直角坐标系如图，因为AB ＝1，BC ＝1，AA ′＝2，所以A ′(0,0,2)，C (1,1,0)，B (1,0,0)．计算直线A ′C 的方向向量A ′C →＝(1,1，－2)；找到直线A ′C 上一点C (1,1,0)；求点B (1,0,0)到直线A ′C 上一点C (1,1,0)的向量BC →＝(0,1,0)； BC →在A ′C →上的投影为BC →·A ′C →|A ′C →|＝(0，1，0)·(1，1，－2)12＋12＋(－2)2＝16；所以点B 到直线A ′C 的距离为d ＝|B C →|2－|B C →·A ′C →|A ′C →||2＝1－16＝56＝306.点面距已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且|GC |＝2，求点B 到平面EFG 的距离．[分析] 在用向量方法求证垂直问题或求距离时，可以建立空间直角坐标系，通过坐标运算求解，也可直接通过向量运算进行求解．还可利用等积法求解． [解析] 解法一：(转化法)连接AC ，BD 交于点O ，设AC 与EF 交于H ，连接GH ，GO ，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ． ∵BD Ú平面GEF ， ∴BD ∥平面GEF .∴点B 到平面EFG 的距离即为点O 到平面EFG 的距离． ∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴EF ⊥AC ． ∵GC ⊥平面ABCD ，又EF Ü平面ABCD ，∴GC ⊥EF ，∴EF ⊥平面GCH .∵EF 面GEF ， ∴平面GEF ⊥平面GCH . 过O 点作OM ⊥GH 于M ，则OM ⊥平面GEF ，因此OM 是O 点到平面GEF 的距离，也等于B 点到平面GEF 的距离．∵正方形ABCD 边长为4， ∴|CH |＝34|AC |＝34×42＝3 2.∵|GC |＝2，且GC ⊥CA ，∴|GH |＝4＋18＝22. ∵Rt △OMH ∽Rt △GCH ， ∴|OM ||OH |＝|GC ||GH |，∴|OM |＝21111. ∴点B 到平面EFG 的距离为21111.解法二：(等体积法)连接BG ，BF ，可知V G －BEF ＝V B －GEF ，∵E 为AB 的中点，∴S △BEF ＝12S △ABF ＝12×12×2×4＝2.连接AC 交EF 于H ，连接GH ，∵EF ⊥AC ，GC ⊥EF ，∴EF ⊥平面GCH ，∴EF ⊥GH . ∵|GC |＝2，|AC |＝42，∴|CH |＝34×42＝32，∴|GH |＝GC 2＋CH 2＝4＋18＝22.∴S △GEF ＝12×|EF |×|GH |＝12×22×22＝211.设点B 到平面GEF 距离为h由V G －BEF ＝V B －GEF ，得13×|GC |×S △BEF ＝13×h ×S △GEF ，∴13×2×2＝13×h ×211，解得h ＝21111. ∴B 点到平面GEF 的距离为21111.解法三：(向量法)如图所示，以C 为原点，分别以CD 、CB 、CG 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，则B (0,4,0)，E (2,4,0)，F (4,2,0)，G (0,0,2)．∴GF →＝(4,2，－2)，EF →＝(2，－2,0)，设平面GEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·GF →＝0n ·EF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －z ＝0x －y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，z ＝3x .令x ＝1，得n ＝(1,1,3)．。

高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册4.3二、空间中的距离问题(课件)

（1）平面外一点到平面的距离，就是点与平面内一点所成向量的长度. ( )
×
（2）若直线平面，则直线到平面的距离就是直线上的点到平面的距离. ( )
√
（3）若平面，则两平面，的距离可转化为平面内某条直线到平面的距离，也可转化为平面内某点到平面的距离.( )
方法总结求点到直线的距离的步骤：第一步，建系，在直线上任取一点（注意：选择便于计算的特殊点），求“参考向量（或）”的坐标；第二步，依据图形先求出直线的单位方向向量；第三步，代入公式求解.
若在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离是_ _____.
3.已知直线平面，平面的法向量为，平面内一点的坐标为，直线上点的坐标为，则直线到平面的距离为_ ____.
[解析] 由于直线与平面平行，故直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，又，所以点到平面的距离 .
4.在棱长为的正方体中，是的中点，求点到平面的距离.
空间中的距离问题
跳伞运动是指跳伞员乘飞机、气球等器械升至高空后跳下，或者从陡峭的山顶、高地上跳下，借助空气动力和降落伞在开伞前和开伞后完成各种规定动作，并利用降落伞减缓下降速度，最后在指定区域安全着陆的一项体育运动.它因自身的惊险和挑战性，被世人誉为“勇敢者的运动”.如图，已知跳伞员的起始高度和跳伞速度.
如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，建立如图所示的空间直角坐标系，已知（，，），，，，， .若为平行四边形，则点到平面的距离为( ).
A. B. C. D.
D
[解析] 为平行四边形，，，，设平面的法向量为 ,则令，得平面的一个法向量，又，到平面的距离 .

空间两点间的距离公式导学案高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

高二年级数学学科导学案命题班级学号姓名得分课题：空间两点间的距离公式【学习目标】1．通过推导空间两点间的距离公式，培养直观想象与逻辑推理素养．2．借助空间两点间的距离公式的应用，培养数学运算素养．【重点难点】1．会推导空间两点间的距离公式．(重点)2．能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．(难点)【学习流程】◎基础感知◎探究未知一、知识点梳理空间两点间的距离公式(1)在空间直角坐标系中，任意一点P (x ，y ，z )与原点间的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2．(2)空间中P (x 1，y 1，z 1)，Q (x 2，y 2，z 2)之间的距离|PQ |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2．思考：方程x 2＋y 2＋z 2＝1表示什么图形？例1.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体对角线长为6，且底面是边长为4，则该正四棱柱的高为( )A ．9B ．92C ．4D ．2例2．空间两点P 1(1，2，3)，P 2(3，2，1) 之间的距离为________．跟踪训练：已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D ＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．二、求空间中两点间的距离方法技巧：利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：例3.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．跟踪训练1．已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为△ABC 的三个顶点，求证：△ABC为直角三角形．三、由距离公式求空间点的坐标方法技巧：1．空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，而平面上两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例．2．到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)构成的集合就是线段AB 的中垂面，P是线段AB的中垂面与z轴的交点．例4.已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．变式训练：1.若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？2.本例中，求到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．四、距离公式的应用方法技巧：利用距离公式表示，将其转化为函数最值问题，这体现了解析法解决空间问题的一般思路.例5.如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．跟踪训练：在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3，4，5)的距离最小，并求出最小值．◎达标检测A．9B．3C．29D．292．坐标原点到下列各点距离最大的点是()A．(1，1，1)B．(1，2，2)C．(2，－3，5)D．(3，0，4)3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝26，则实数x的值是()A．－3或4B．6或2C．3或－4D．6或－24．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________．5．在空间直角坐标系中，求到两定点A(2，3，0)，B(5，1，0)距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的条件．【总结反思】1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可．若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．。

高三数学复习：第64课时—空间中的距离(学案)

高三数学第一轮复习讲义（64）空间的距离一．复习目标：1．理解点到直线的距离的概念，掌握两条直线的距离，点到平面的距离，直线和平面的距离，两平行平面间的距离；2．掌握求空间距离的常用方法和各距离之间的相互转化．二．知识要点：1．点到平面的距离：． 2．直线到平面的距离：． 3．两个平面的距离：． 4．异面直线间的距离：．三．课前预习：1．在ABC ∆中，9,15,120AB AC BAC ==∠=，ABC ∆所在平面外一点P 到三顶点 ,,A B C 的距离都是14，则P 到平面ABC 的距离是（） ()A 6 ()B 7()C 9 ()D 13 2．在四面体P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面 ,,PAB PBC PCA 的距离分别是2,3,6，则M 到P 的距离是（）()A 7()B 8 ()C 9 ()D 10 3．已知⊥PA 矩形ABCD 所在平面，cm AB 3=，cm PA cm BC 4,4==，则P 到CD 的距离为 cm ，P 到BD 的距离为 cm ．4．已知二面角βα--l 为60，平面α内一点A 到平面β的距离为4AB =，则B 到平面α的距离为．四．例题分析：例1．已知二面角PQ αβ--为60，点A 和B 分别在平面α和平面β内，点C 在棱PQ 上30=∠=∠BCP ACP ，a CB CA ==，（1）求证：PQ AB ⊥；（2）求点B 到平面α的距离；（3）设R 是线段CA 上的一点，直线BR 与平面α所成的角为45，求CR 的长．例2．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱21=AA ，E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ，（1）求B A 1与平面ABD 所成角的正弦值；（2）求点1A 到平面ABD 的距离．例3．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -,11,2,AB AA ==点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点，（1）证明：EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．FE1111D C B A DCBAG E D C 1B 1A 1CB A五．课后作业：班级学号姓名 1．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，1PD AD ==，点C 到平面PAB 的距离为1d ，点B 到平面PAC 的距离为2d ，则（） ()A 121d d << ()B 121d d << ()C 121d d << ()D 211d d << 2．把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60的二面角，点A 到BC 的距离是（）()A a ()B 2 ()C 3 ()D 43．四面体ABCD 的棱长都是1，,P Q 两点分别在棱,AB CD 上，则P 与Q 的最短距离是（）()A 2()B 32 ()C 56 ()D 674．已知二面角βα--l 为45， 30,,成与l AB B l A α∈∈角，5=AB ，则B 到平面β的距离为．5．已知长方体1111D C B A ABCD -中，12,51==AB AA ，那么直线11C B 到平面11BCD A 的距离是．6．如图，已知ABCD 是边长为a 的正方形，,E F 分别是AD AB ,的中点，CG ABCD ⊥面，CG a =，（1）求证：//BD EFG ；（2）求点B 到面GEF 的距离．OGFEDCBA7．在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中，（1）求：点A 到平面1BD 的距离；（2）求点1A 到平面11D AB 的距离；（3）求平面11D AB 与平面D BC 1的距离；（4）求直线AB 到11B CDA 的距离．。

高三数学第二轮复习第39讲空间的距离学案

湖北省黄冈中学高三数学第二轮复习第39讲空间的距离学案一．考试要求掌握二面角、二面角的平面角、两平面间的距离的概念。

掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。

掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，二．考点扫描1．异面直线间距离的解法：（1）作出两条异面直线的公垂线段然后求之；（2）将异面直线间距离转化为线面之间的距离；（3）将异面直线间距离转化为面面之间的距离；（4）运用“两条异面直线间距离，是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值”这一概念求之；（5）利用体积法（主要是指三棱锥的体积）．2．点到直线或平面的距离是空间最常见的，关键是正确作出图形，其中确定垂足位置最重要，应充分利用图形性质，注意各种距离之间的相互转化，等积求法及“平行移动”的思想方法．3．求距离的方法大致有两种：（1）直接法：步骤是“一作，二证，三计算”，即先作出表示该距离的线段，再证明该线段即为所求距离，然后再计算，不能忽视第二步的证明．（2）间接法：包括等积法和转化法，转化法即不断地进行点面、线面、面面距离之间的转化，直到求出为止．距离：①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。

4．翻折问题的关键有二：①画好两个图——翻折前的平面图和翻折后的立体图；②分析好两个关系——翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变,5．求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题: 通常把几何体的侧面展开，转化为平面图形中的距离问题。

高中三年级数学优质课件精选——《空间的距离》

5．已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，棱 AA1 ＝5，AB＝12，那么直线 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离是________．
【解析】由长方体知，面 A1BCD1⊥面 A1ABB1，作 B1H⊥A1B 于 H，则 B1H⊥面 A1BCD1，B1H 长为 B1C1 到面 A1BCD1 距离．
• 【答案】 D
• 4．已知PA⊥平面ABC，AB＝AC＝13，BC＝ 10，PA＝5，则点P到直线BC的距离为 ________．
• 【解析】取BC的中点D，连接AD，PD， • ∵AB＝AC，∴AD⊥BC， • 又∵PA⊥平面ABC.∴PD⊥BC. • ∴PD的长即为点P到直线BC的距离． • 【答案】 13
【自主解答】方法一：(1)如图，∵CD∥AB， ∴∠MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)．作 AP⊥CD 于点 P，连结 MP. ∵OA⊥平面 ABCD， ∴CD⊥MP.
∵∠ADP＝π4，∴DP＝ 22. ∵MD＝ MA2＋AD2＝ 2， ∴cos∠MDP＝MDPD＝12.
1．已知直角三角形 EFG 的直角顶点 E 在平面 α 内，斜边 FG∥α，且 FG＝6 cm，EF、 EG 和 α 分别成 30°和 45°角，则 FG 到 α 的距离为( )
A. 5 cm C．2 3 cm
B. 6 cm D．2 6 cm
【解析】设 FG 到 α 的距离为 x，则有(2x)2 ＋( 2x)2＝62，x＝ 6.
《空间的距离》
执教教师：XXX
1.掌握两条直线的距离的概念，
对于异面直线的距离，只要
考纲点击
求会计算已给出公垂线时的距离. 2.掌握直线和平面的距离的概念.

2020学年高中数学第2章解析几何初步33.3空间两点间的距离公式学案北师大版必修2(最新整理)

3．3 空间两点间的距离公式学习目标核心素养1.会推导和应用长方体对角线长公式．（重点）2。

会推导空间两点间的距离公式．（重点) 3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．（难点)1。

通过推导长方体对角线公式及空间两点间的距离公式提升逻辑推理素养。

2.通过用两点间的距离公式解简单的问题培养数学运算素养。

1．长方体的对角线(1)连线长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．（如图）（2）如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝错误!.2．空间两点间的距离公式（1)空间任意一点P(x0，y0,z0）与原点的距离｜OP｜＝错误!.(2)空间两点A(x1,y1，z1），B(x2，y2，z2）间的距离｜AB|＝错误!.思考:空间两点间的距离公式与平面两间点的距离公式的区别与联系?提示：平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：①在平面直角坐标系xOy 中，已知两点A（x1，y1)，B（x2，y2），则|AB|＝错误!;②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是x1，x2,则｜AB｜＝|x2－x1|。

空间距离(教案)

（一）考纲要求掌握点点、点线、点面、线线、线面、面面距离的定义，熟练掌握各种距离的求法，其中重点为点到面的距离。

（二）空间中的距离①点与点的距离（平面两点距离公式、空间两点距离公式） ②点到直线的距离（一般在直线与圆版块中出现）③点到平面的距离：从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间的线段的长度。

（重点） ④异面直线间的距离：两条异面直线间的公垂线夹在这两条异面直线间的垂线段的长度。

⑤直线与平面间的距离：如果直线和平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，垂线段的长度。

⑥两平行平面间的距离：夹在两个平行平面间的垂线段的长度。

（一）异面直线间的距离（线线距离）【例1】如图，在正三棱锥ABC P -中，侧棱长为3，底面边长为2，E 是BC 中点，PA EF ⊥。

（1）求证：EF 是异面直线PA 与BC 的公垂线段；（2）求异面直线PA 与BC 的距离。

【解】（1）连结,PE AE ，则在等腰PBC ∆和等边ABC ∆中，PE BC ⊥，AE BC ⊥，又PE 与AE 交于点E ，故BC ⊥面PEA ，而EF 在平面PEA 中，故BC EF ⊥，又EF PA ⊥，即证！（2）在PEA∆中，PE =AE =，3PA =，则969sin 932cos =∠⇒=∠FAE FAE ，故323sin =⋅∠=AE FAE EF 【例2】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求异面直线11A C 与1AB 间的距离。

（使用向量法）【解】建立如图空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，1(1,1,1)B ，1(0,1,1)C1(0,1,1)AB ∴＝，11(1,1,0)AC -＝，11(0,1,0)A B ＝设1m AB ⊥，11m AC ⊥，且(,,)m a b c = 1B 1D 1C 1A D CBA则1110m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00a b b c -+=⎧⎨+=⎩，取1a =，则(1,1,1)m =-故异面直线11A C 与1AB 间的距离11||33||m A B d m ⋅== 【小结】异面直线间的距离求法：（1）几何法：①找公垂线；②利用三角形求公垂线长度。

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空间距离（理科）
一、学习目标： 1、知识与技能：
（1）会求空间中点点距、点线距、点面距、线面距、面面距（2）掌握各种距离之间的转化方法
2、过程与方法：通过合作、探究、展示、点评培养学生的自主学习能力。

3、情感、态度、价值观：培养学生辩证唯物观，体会事物在一定条件下可以相互转化。

二、知识梳理： 1、 1点点距求法：（1）利用空间两点间距离公式；（2）转化成求向量的模。

2、点线距求法：先找（作）：由点向线作垂线，再求垂线的长度。

3、点面距求法：（1）直接法;（2）等体积法；（3）转移法；（4）法向量法。

4、线面距、面面距求法：转化成点面距求解。

三、基础训练：
1、从平面α外一点P 引直线与α相交，使点P 与交点的距离等于1，则这样的直线（） A.仅可作两条B. 可作无数条C. 可作一条或无数条或不能作D. 仅可作一条
2.若正四棱柱
1111
ABCD A B C D -的底面边长为1，
1
AB 与底面ABCD 成60°角，则
11
A C 到底
面ABCD 的距离为（）
A ．33
B ． 1
C ．
2
D ．3
3、已知平行六面体ABCD-1111D C B A 的
1的正方形，侧棱的长为3，
,
12011︒=∠=∠DAA BAA 则
A 1
C 和
B 1D 的长分别
为，。

4、ABC ∆中，AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则点P 到BC 的距离是。

5、在正三棱柱ABC-111C B A 中，AB=1.若二面角C-AB-1C 的大小为︒60，则点C 到平面1
ABC 的距离为
1
C
1
B 1A C
B
A
四、合作、探究、展示：
例1在三棱锥S-ABC 中，ABC ∆是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC,SA=SC=23，M,N 分别为AB,SB 的中点。

（1）求二面角N-CM-B 的大小；（2）求点B 到平面CMN 的距离。

例2. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，
2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，
交PC 于N （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线CD 与
平面ACM 所成的角的大小；（3）求点N 到平面ACM 的距离.
五、课堂检测：
1、三棱锥A BCD -中，ABC ∆和DBC ∆是全等的正三角形，边长为2，且AD=1，则三
A C
M
B
N
S
N
O
M
C
B
P
A
棱锥A BCD -的体积为（）A.
112 B.116 C.11
3
D 233
2、把边长为a 的正ABC ∆沿高线AD 折成︒60的二面角，则点A 到BC 的距离是。

七、体验高考
(2012全国）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,22,AB CC E ==为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．1
八、课后作业
1、已知二面角l αβ--为0
60，若平面α内有一点A 到平面β的距离为3，那么A 在平
面β上的射影1A 到平面α的距离为（）A.
3
2
B.1
C.3
D.2 2.在棱长为4的正方体ABCD-1111D C B A 中，点P 在棱CC 1上，且CC 1=4CP,则点P 到平面ABD 1 的距离为。

3、设P 是︒60的二面角l αβ--内一点，PA βα平面，平面⊥⊥PB ,A,B 为垂足，PA=4,PB=2,则AB 的长为 ; 点P 到l 的距离为 .
4、已知四面体P-ABC,,60︒=∠=∠=∠BAC PAC PAB ,3,2,1===AP AC AB 则
=++AC AP AB 。

5、在︒120二面角的棱上，有两个点A 、B,AC,BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm.则CD 的长为。

6、正六棱锥的斜高为1，侧面与底面所成二面角为︒60，则底面中心O 到侧面的距离为。

7、（2006江西，理15）在直三棱柱 ABC-111C B A 中，底面为直角三角形，︒=∠90ACB ，AC=6,BC=CC 1=2,P 是BC 1上一动点，则CP+PA 1的最小值为
9．已知正三棱柱 ABC-111C B A 的各棱长都为2，D 为侧棱1CC 的中点，E 为11B A 的中点。

求直线11B A 到平面DAB 的距离。

10、如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面是菱形，,,60AD PD BAD ⊥︒=∠点E 是BC 边的
中点。

二面角P-AD-C 的大小等于︒60，且AB=4,PD=3
3
8.求点P 到平面ABCD 的距离。

1B
1A
A
D E
1
C C
B
A
B
C
D
E
P。