空间的角度与距离(附答案)

基础训练34(A) 空间的角度与距离
●训练指要
掌握空间有关的角与距离的概念、范围、计算方法，会计算有关的距离和角.
一、选择题
1.(2001年全国高考题)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则
A.P3＞P2＞P1
B.P3＞P2=P1
C.P3=P2＞P1
D.P3=P2=P1
2.给出下列四个命题：
①如果直线a∥平面α，a 平面β，且α∥β，则a与平面α的距离等于平面α与β的距离；
②两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条平行直线的距离等于这两个平面间的距离；
③异面直线a、b分别在两个平行平面内，则a、b的距离等于这两个平面的距离；
④若点A在平面α内，平面α和β平行，则A到平面β的距离等于平面α与平面β的距离.
其中正确的命题的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
3.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各条棱长均相等，则AC 1与平面
BB 1C 1C 所成角的余弦值等于 A.4
10 B.66 C.26 D.2
10 二、填空题
4.二面角α—l —β的面α内有一条直线a 与l 成45°的角，若这个二面角的平面角也是45°,则直线a 与平面β成角的度数为_________.
5.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O ，点P 到三个平面的距离的比为1∶
2∶3，PO =214,则P 点到这三个平面的距离分别是_________.
三、解答题
6.如图，在正三棱锥P —ABC 中，侧棱长3 cm ，底面边长2 cm ，E
是BC 的中点，EF ⊥P A ，垂足为F .
(1)求证：EF 为异面直线P A 与BC 的公垂线段；
(2)求异面直线P A 与BC 间的距离.
7.如图，正四棱锥S —ABCD 的所有棱长都相等，过底面对角线
AC 作平行于侧棱SB 的截面交SD 于E .
(1)求AB 与SC 所成角的大小；
(2)求二面角E —AC —D 的大小；
(3)求直线BC 与平面EAC 所成角的大小.
8.在棱长为a 的正四面体ABCD 中，M 、E 分别是棱BD 、BC 的中点，N 是BE 的中点，
连结DE 、MN ，求直线DE 与平面AMN 间的距离.
基础训练34(B) 夹角与距离的计算
●训练指要
掌握空间有关角和距离的确定方法、范围，熟练地计算空间的角和距离.
一、选择题
1.已知点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(-1，0，1)，(0，0，1)，(2，2，2)(0，0，3)，则与所成的角为 A.arccos(-
32) B.-arccos(-32) C.arccos 32 D.-arccos 3
2 2.α—a —β的平面角是锐角θ,α内一点A 到棱a 的距离为4，点A 到面β的距离为3，则tan θ的值等于 A.4
3 B.53 C.773 D.3
7 3.将锐角为60°,边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为 A.43a B.a 43 C.3a D.a 4
6 二、填空题
4.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 是棱BB 1的中点，P 是截面ABC 1D 1上的一动点，则A 1P +PE 的最小值为_________.
5.直二面角α—l —β，线段AB ，A ∈α,B ∈β，AB 与α所成的角为30°,则AB 与β所成角的取值范围是_________.
三、解答题
6.已知△ABC 中，A (2，-5，3)，=(4，1，2)，=(3，-2，5)，求其余顶点与向量及∠A .
7.已知空间三点A (1，2，3)，B (2，-1，5)，C (3，2，-5).
试求：(1)△ABC 的面积；
(2)△ABC 的AB 边上的高.
8.(2003年上海春季高考题)已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1，在某个空间
直角坐标系中，
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=0,23,2m m ,={m ,0,0},1AA ={0,0,n },其中m 、n ＞0. (1)证明：三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱；
(2)若m =2n ,求直线CA 1与平面A 1ABB 1所成角的大小.
基础训练34(A) 夹角与距离的计算参 考 答 案
一、1.D 2.C 3.A
二、4.30° 5.2、4、6
三、6.(1)BC ⊥面P AE ，在△P AE 中EF ⊥P A
(2)即EF 的长为3
23 cm 7.(1)60° (2)45° (3)30° 8.a 35
20
基础训练34(B) 夹角与距离的计算参 考 答 案
一、1.A 2.C 3.A
二、4.2
3 5.0°＜θ≤60° 三、6.设B (x ,y ,z ),C (x 1,y 1,z 1) 因为 =(4，1，2)
所以⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+=-231542z y x
解得⎪⎩
⎪⎨⎧=--==5)5,4,6(,46z B y x 所以 因为 =(3,－2,5)
所以⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-552436111z y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==10691
11z y x ，所以C (9，－6，10) 因为 =(－7，1，－7) 所以 =(7，－1，7)， =(4，1，2)
所以cos A =231
341219914128||||=⋅+-=⋅⋅AB AC 所以∠A =arccos
231341
7.(1)=(1,－3,2),AC =(2,0,－8) 所以⋅ =1×2+(－3)×0+2×(－8)=－14
所以| |=1726404||,14191=++==++AC 所以cos 17214
1714214
||-=-=⋅>=⋅<AC AB
所以sin 3427685468141,==->=<AC AB 所以S △ABC =21334
271417221,sin ||||21=⨯⨯⨯>=<⋅⋅ (2)设AB 边上的高为CD 所以631421
6||===∆ABC
8.(1)略 (2)45°。