向量法求空间的距离和角

所以异面直线BD与D1A间的距离为
3 。 3
(2) A1 B1 = (0,1, 0), 设n = ( x, y, z )是平面A1DB的一 个法向量，因为DA1 = (1, 0,1), DB = (1,1, 0)， ì ì x +z = 0 nDA1 = 0 镲 由眄 即 取x = - 1, 镲 î x+y =0 î nDB = 0 | nA1 B1 | 1 2 于是n = (-1,1,1, )，且 = = 。 2 |n| 2 2 所以点B1到平面A1 BD的距离为 。 2
例1：如图1所示： 三棱柱ABC - A1 B1C1中，CA=CB， AB = AA1， ? BAA1 60o， （ 1）求证：AB^ A1C （2）若平面ABC ^ 平面AA1 B1 B， AB =CB，求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值。
C C1
B A A1
B1
图1
C
C1
O
B A1
Z
解：由(1)知OC ^ AB，OA1 ^ AB， 又平面ABC ^ 平面AA1 B1 B，交线 为AB，所以OC ^ 平面AA1 B1 B， 故OA、OA1、OC两两相互垂直。 建立如图所示的空间直角坐标系 A
O
C
C1
B A1
B1 图1-2
X o - xyz 设AB = 2,由题设知A(1, 0, 0)、B(- 1, 0, 0)、C (0, 0, 3)、A1 (0, 3, 0), 则BC = (1, 0, 3)、 BB1 = AA1 = (- 1, 3, 0)、 A1C = (0, - 3, 3). 设n = ( x, y, z )是平面BBCC的法向量，则 ì x + 3z = 0 ì nBC = 0 镲 即 可取n = ( 3,1, -1)， 眄 镲 î nBB1 = 0 î - x + 3y = 0 nA1C 10 故 cos < n, A1C >= =. 5 | n | ×| A1C |
例4：如图4所示：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）求异面直线BD与D1 A所成的角、距离； （2）求B1到平面A1BD间的距离。
z
D1 A1 C1
B1
解：如图4所示：以D为原点， DA, DC , DD1分别为x、y、z的 正方向建立空间直角坐标系。 设AB = 1 则D(0,0,0)、A(1,0,0)、
1 ax = 0 即 2 可取n = (0, c, b)， î - by + cz = 0 mn b 于是|cosb | = = , 2 2 | m | ×| n | b +c c 由 从而 sin b = 。 2 2 b +c 故 sin a sin b = = c
2 2 2
B1
证明：如图所示：
A
图1-1
（ 1）取AB的中点，连接OC，OA1，A1 B。 因为CA = CB, 所以OC ^ AB. 由于AB = AA1，? BAA1 60， 故 AA1 B是等边三角形，所以OA1 ^ AB， 因为OC OA1 = O，所以AB ^ 平面OA1C， 又因为A1C 蘜 平面OA1C，故AB A1C。
由题意可得：B(0, - 2, 0)、D(0, 2, 0)、 O 1 A(0, 2, 2)、P(0, 0, )、M (0, 2,1)、 B 2 x 3 3 2 1 设C ( x, y, 0),因为AQ = 3QC , 所以Q( x, y + , ) 4 4 4 2
y
(2)设m = ( a, b, c)是平面BMC的一个法向量，由CM = ( - x, 2 - y,1) ì - xa + ( 2 - y )b + c = 0 ì m CM = 0 镲 BM = (0， 2 2,1)知 眄 即 镲 2 2b + c = 0 î mBM = 0 î y+ 2 取 b = -1,得m = ( , - 1, 2 2), 又平面BDM 的一个法向量 x y+ 2 | | | mn | 1 x = n = (1, 0, 0), 于是 | cos < m, n >= | = , 2 | m | ×| n | y+ 2 2 ( ) +9 x y+ 2 2 即( ) = 3.又BC ^ CD，所以BC CD = 0，故x 2 + y 2 = 2. x ì 6 6 ì y+ 2 ï x = ? ( x 舍) 2 ì x = 0 ï ï ( ) =3 镲 ? 2 2 解眄 x 得 (舍）或 ? 镲 2 ? 2 2 î y =- 2 x + y = 2. ï y = ï î ï î 2 x 所以 tan ? BDC | |= 3, 又行 BDC是锐角，所以 BDC = 60? . 2- y
利用空间向量求线线角、线面角的规律方法 及公式为： p (1)异面直线所成角（ q 0 <q ? ） 2 设a、 b分别是异面直线a、b的方向向量，则 | a b| 。 conq =| con < a、 b >= | |a|× |b| p （2）线面所成角（ q 0＃ q ） 2 设a是直线l的方向向量， n是平面的法向量，则 | an | 。 sin q =| con < a、 n >= | |a|× |n|
作业:
1、直三棱柱ABC - A1B1C1中，? ABC 90 , ? BAC 30， BC = 1，AA1 = 6, M 是CC1的中点，则异面直线AB1与 A1M 所成的角为 、它们间的距离为 。
ì ï
b2 + c2 a 2 + b2 + c2 = sin q .
c b2 + c2
a +b +c 即 sin q = sin a sin b。
利用向量法求空间距离的规律方法及其计算公式：
(1)设n是异面直线a、b的公共法向量，A 挝a, B b， | n· AB | 则异面直线a、b间的距离d = . |n| (2)设n是平面a的法向量，P 衔 a, A a, | n· pA | 则P到平面a的距离d = . |n|
A
D C B
y
x
图4
B(1,1,0)、D1(0,0,1)、A1(1,0,1)、B1(1,1,1)。
-1 (1)因为 BD = (1,1, 0), D1 A = (- 1, 0,1)，所以cos< BD, D1 A>= . 2 p 所以异面直线BD、DA所成的角为 。 3 因为BD = (1,1, 0), D1 A = (- 1, 0,1)， ì nBD =0 ì x + y = 0 镲 设n = ( x, y, z ),由 眄 得 镲 î nD1 A=0 î - x + z = 0 取x = 1, 于是n = (1, -1,1)，又 AB =(0,1, 0), | nAB | 1 3 因为 = = 。 3 |n| 3
证明：取BD中点O,以O为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系 o - xyz。
A
z
M P Q C D 图2
3 3 2 (1) PQ = ( x, y + , 0)、 n = (0, 0,1)是平面BCD的一个法向量, 4 4 4 故PQn = 0, 又PQ ? 平面BCD, 所以PQ / / 平面BCD.
向量法求空间的距离和角
高喜萍
2013、12
建立空间直角坐标系，用空间向 量求解空间的角和距离是高考重点 考查的内容，同时也是立体几何中 的重要知识点和难点，但已知空间 角求相关量的题目，体现逆向思维 ，更能考查学生分析问题和解决问 题的能力，对此我们应高度重视。 现就向量法求解空间角和距离 的方法，提出我的见解，仅供大家 参考:
例3：如图3所示：AB是圆O的直径，点C是 圆O上异于A、B的点，直线PC ^ 平面ABC , E、F 分别是PA、PC的中点。 （1）记平面BEF 与平面ABC的 交线为l，试判断直线l与平 面PAC的位置关系， 并加以证明；
A O E F P
C B
图3
（2）设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且Q 1 满足 DQ = CP, 记直线PQ与平面ABC所成的角为 2 q ，异面直线PQ与EF 所成的角为a，二面角E -l -C 所成的角为b ，求证：sinq = sina ?sinb .
例2：如图2所示：在四面体A-BCD 中，AD ^ 平面BCD，BC ^ CD， AD = 2，BD = 2 2，M 是AD的中点， P是BM 的中点，点Q在线段AC上， 且AQ = 3QC。 （ 1）证明：PQ / / 平面BCD : 求ÐBDC的大小。
B

A
M P Q C D 图2
(2)若二面角C - BM - D的大小为60 ，
2 2 2
。
取平面ABC的一个法向量m = (0, 0,1), 可得 | m QP | c = sin q = 。 2 2 2 | m | ×| QP | a +b +c 设平面BEF的一个法向量为n = ( x, y, z ),
ì ï nFE = 0 由眄 镲 î nBF = 0
P
解： (1)直线l / / 平面PAC.证明如下：连接EF 因为E、F 分别是PA、PC的中点，所以EF / / AC. 又EF 颂 平面ABC , 且AC 平面ABC ,
E F
所以EF / / 平面ABC , 而EF Ì 平面BEF , 且平面BEF 平面ABC = l，所以EF / / l。 因为l 颂 平面PAC , EF 所以l / / 平面PAC. 平面PAC ,