图论期末论文
图论论文
课程名称图论入门论文题目图论在物流物配送上的应用指导教师刘颖学院管理学院姓名郭凤午学号2011030284图论在物流货物配送中的应用摘要：最短路径问题对于节约人们的时间成本具有重要意义。
最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
它可被用来解决厂区布局、管路铺设、线路安装等实际问题。
本文介绍了图论的起源和发展、最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法解决物流货物配送中问题。
1 引言数学是一门古老的学科，它已经有了几千年的历史。
然而，图论作为数学的一个分支，却只有200多年的历史，但是其发展十分迅速。
图论是以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系。
事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟，而且它具有形象直观的特点，在图中点的位置和线的长短曲直无关紧要[1]。
图论的发展大力地推进了科学文明的进步，解决了很多实际应用问题。
图论是数学领域中发展最快的分支之一，它以图为研究对象。
图论中的图是有若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用来代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图论本身是应用数学的一部分，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立的建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论文中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
数学史上著名的七桥问题欧拉只用了一步就证明了不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的!这是拓扑学研究的先声。
图的染色问题一直是图论研究的焦点问题。
数学家赫伍德成功地运用肯普的方法证明了五色定理，即一张地图能够用五种或者更少的颜色染色。
美国伊利诺斯大学的黑肯和阿佩尔，经过四年的艰苦工作．终于完成了四色猜想的证明。
图论论文
图论期末论文论文题目：基于交通咨询系统的最短路径算法与实现学生姓名：学号：专业：指导教师：完成日期：2015年 12月 12日基于交通系统的最短路径算法与实现摘要目前在交通咨询领域，最短路径算法的研究和应用越来越多，其中最短路径算法的效率问题是普遍关注并且在实际应用中迫切需要解决的问题。
随着现代生活节奏的加快，以及城市汽车数量的不断增加，交通网络也越来越发达，在交通工具和交通方式不断更新的今天，人们在旅游、出差或者其他出行时，不仅会关心费用问题，而且对里程和所需要的时间等问题也特别感兴趣。
为了能够更方便人们的出行，我们就应该以最短路径问题建立一个交通咨询系统。
这样的一个交通系统可以回答人们提出的有关交通的所有问题，比如任意一个城市到其他城市的最短路径，或者任意两个城市之间的最短路径问题。
本文通过对最短路径算法的分析，研究和实现，即经典的Dijkstra算法。
讨论了算法的思想、原理、实现方法、数据结构还有算法描述。
针对现代交通网络现状特点，分析和研究适合道路的经典最短路径算法，探讨了在交通网络路线优化过程中需要特别处理的几个问题，并在理论上给出相应的合理的解决方案。
关键词：交通咨询最短路径Dijkstra算法引言最短路径问题一直在计算机科学、交通工程学、地理信息系统、运筹学等学科中是一个研究的热点，它不仅是资源分配问题解决的基础，更是线路选择问题解决的基础，特别是在地图、车辆调度以及路由选择方面有着广泛的应用。
最短路径问题最直接的应用当数在地理信息领域中，例如：GIS网络分析、城市规划、电子导航等等。
在交通咨询方面，寻找交通网路中两个城市之间最短的行车路线就是最短路径问题的一个典型的例子。
随着交通网络越来越发达，人们在旅游、出差或者其他出行时，不仅会关心费用问题，而且对里程和所需要的时间等问题也特别感兴趣。
为了能够更方便人们的出行，我们就应该以最短路径问题建立一个交通咨询系统。
这样的一个交通系统可以回答人们提出的有关交通的所有问题，比如任意一个城市到其他城市的最短路径，或者任意两个城市之间的最短路径问题。
图论结课论文
乘公交，看奥运通信学院10级研一8班 学号【摘要】本文要解决的问题是以即将举行的08年北京奥运会为背景而提出的。
人们为了能现场观看奥运会，必然会面对出行方式与路线选择的问题。
因此如何快速、高效地从众多可行路线中选出最优路线成为了解决此问题的关键。
鉴于公交系统网络的复杂性，我们没有采用常规的Dijkstra 算法，而采用了高效的广度优先算法。
其基本思想是从经过起（始）点的路线出发，搜寻出转乘次数不超过两次的可行路线，然后对可行解进行进一步处理。
为满足不同查询者要求，我们对三个问题都分别建立了以时间、转乘次数、费用最小为目标的优化模型。
本文的主要特点在于，所用算法的效率十分显著。
在对原始数据仅做简单预处理的条件下，搜索任意站点间的最优路线所需的平均时间不超过0.5秒。
另外，本文所建立的模型简单、所用算法比较清晰，易于程序实现，对公交线路自主查询计算机系统的实现具有现实指导作用。
关键字：转乘次数 广度优先算法 查询效率 实时系统一 问题的重述为了迎接2008年奥运会，北京公交做了充分的准备，首都的公交车大都焕然一新，增强了交通的安全性和舒适性，公交线路已达800条以上，使得公众的出行更加通畅、便利。
但同时也面临多条线路的选择问题。
为满足公众查询公交线路的选择问题，某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。
这个系统的核心是线路选择的模型与算法，另外还应该从实际情况出发考虑，满足查询者的各种不同需求。
需要解决的问题有：1、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。
并根据附录数据，利用模型算法，求出以下6对起始站到终到站最佳路线。
(1)、S3359→S1828 (2)、S1557→S0481 (3)、S0971→S0485(4)、S0008→S0073 (5)、S0148→S0485 (6)、S0087→S36762、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==图论的论文篇一：图论论文课程论文课程名称题目最短路径在最优截断切割问题中的应用姓名学号学院专业摘要本文是把长方体切割的最小代价问题，转化成一个我们所熟悉的图论问题，把其抽象成为一个图论之中求路径的最短路的问题，并采用了图论中的Dijkstra 算法，以求其的最短路，最终得到了对长方体切割问题的求解，最后我们通过了一个长方体切割实例，说明了我们的算法是可靠，有效的。
关键字：最短路径Dijkstra算法最优截断切割1. 预备知识1.1图的基本概念有序三元组G =(V,E,)称为一个图，其中:(1)V是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点；(2)E称为边集,其元素叫做图的边；(3)是从边集E到顶点集的有序或者无序对集合的映射，称为关联函数。
1.2 权如果图G中任意一条边上都附有一个数，则称这样的图G为加权图。
若边e标记数为k，称边e的权为k。
定义１在无向图G=(V,E,?)中：（1）顶点与边相互交错且?(ei)?vi?1vi (i=1,2,…k)的有限非空序列w?(v0e1v1e2?vk?1ekvk)称为一条从v0到vk的通路，记为Wv0vk（2）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为Tvv0k（3）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为Pv右图中，我们可以根据定义得到：通路Wvv?v1e4v4e5v2e1v1e4v414vk道路Tvv?v1e1v2e5v4e6v2e2v3e3v414路径Pvv?v1e1v2e5v414定义２（1）任意两点均有路径的图称为连通图．（2）起点与终点重合的路径称为圈．（3）连通而无圈的图称为树．定义３（1）设P(u,v)是赋权图G中从u到v的路径，则称w(P)??w(e)为路径P的权．e?E(P)（2）在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小权的路 P*(u,v)，称为u到v的最短路．1.3 固定起点的最短路最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路．假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路．Dijkstra算法：求G中从顶点u0到其余顶点的最短路，如图1所示:设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非负．对每个顶点，定义两个标记（l(v)，z(v)），其中:l(v)：表从顶点u0到v的一条路的权．z(v)：v的父亲点，用以确定最短路的路线算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终l(v)为从顶点u0到v的最短路的权。
图论毕业论文
图论毕业论文图论是数学的一个分支，主要研究图的性质和结构。
它对于解决各种实际问题具有重要的意义，如交通网络优化、电子芯片设计等。
本文将就图论的概念、基本性质以及其在实际问题中的应用等方面进行论述。
首先，图论是研究图的性质和结构的数学学科。
图是由节点和边组成的数学结构，可以用来描述各种实际问题，如交通网络、社交关系等。
图由节点和边构成，节点表示图中的元素或对象，边表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，有向图中的边有方向性，无向图中的边没有方向性。
图的回路是指从一个节点出发，沿着边走过一系列节点之后再回到起始节点的路径。
图的连通性是指图中的任意两个节点之间存在一条路径。
其次，图论具有一些基本性质。
首先是图的度数。
图的度数是指图中一个节点与其相邻节点的边的个数。
度数为奇数的节点称为奇节点，度数为偶数的节点称为偶节点。
其次是图的邻接矩阵和关联矩阵。
邻接矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是图的节点数，矩阵元素a_ij表示节点i与节点j之间是否存在边。
关联矩阵是一个n×m的矩阵，其中n是图的节点数，m是图的边数，矩阵元素b_ij表示节点i是否与边j相关联。
最后是图的连通性。
图的连通性决定了图中是否存在从一个节点到达另一个节点的路径。
如果图中的任意两个节点之间都存在路径，则图是连通的；否则，图是非连通的。
最后，图论在实际问题中有广泛的应用。
首先是交通网络优化。
图论可以用来优化交通网络中的路径规划和交通流量分析等问题，从而提高交通的效率和安全性。
其次是电子芯片设计。
图论可以用来分析电子芯片中各个元件之间的连接关系，从而提高芯片的性能和可靠性。
此外，图论还可以用来解决诸如社交网络分析、物流规划等实际问题。
综上所述，图论是数学的一个分支，主要研究图的性质和结构。
它对于解决各种实际问题具有重要的意义。
未来，随着科学技术的不断发展，图论在实际问题中的应用将会越来越广泛。
因此，对图论的进一步研究和应用具有重要的意义。
图论论文--最短路径算法应用
课程论文课程名称图论及其应用题目最短路径算法应用--最短路径游览校园姓名学号专业计算机技术摘要：重邮是个美丽的学校，我们考入重邮后，都喜欢上了学校。
而且经常有同学来找我玩，作为他们的导游，在带领他们游览学校时候，遇到了一个问题：怎样走最短路径来游览学校最多的景点。
当学完图论后，我找到了答案，运用图论中的一些知识，找到一个最短最有效的路径从而迅速到达某个地点。
本文运用了图论中的最短路径算法，邻接矩阵，赋权图等知识，把学校里面我们经常去的地方选了出来，画出平面图，建模赋权图，模拟了在任意两点之间的最短路径的实现以及编程显示。
关键词：数据结构；最短路径；迪杰斯特拉算法； 一：背景介绍设计学校的校园平面图，所含景点不少于8个（中心食堂、信科、图书馆……） 1) 带领同学们从新大门开始利用最短路径游览学校的几个景点。
2) 为来访同学提供图中任意景点的问路查询，即查询任意两个景点之间的一条最短的简单路径。
3) 在社会生活中，最短距离的运用相当广泛。
除了该课题外，还有于此相关的城市道路的设计，交通线路的设计，旅游景点的设计等等。
除了路径长度方面外，到两地花费的最少、时间的最短等等都是同样的道理。
二：最短路径知识点边上有数的图称为加权图，在加权图中我们经常找到两个指定点间最短路径，称为最短路径问题。
在最短路问题中，给出的是一有向加权图G=(V,E)，在其上定义的加权函数W:E →R 为从边到实型权值的映射。
路径P=(v 0, v 1,……, v k )的权是指其组成边的所有权值之和：11()(,)ki i i w p w vv -==∑定义u 到v 间最短路径的权为{}{}min ():)w p u v u v v δυ→(,=∞如果存在由到的通路如果不存在从结点u 到结点v 的最短路径定义为权())w p v δυ=(,的任何路径。
①边的权常被解释为一种度量方法，而不仅仅是距离。
它们常常被用来表示时间、金钱、罚款、损失或任何其他沿路径线性积累的数量形式。
图论论文
课程名称图论入门论文题目图论在物流物配送上的应用指导教师刘颖学院管理学院姓名郭凤午学号2011030284图论在物流货物配送中的应用摘要：最短路径问题对于节约人们的时间成本具有重要意义。
最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
它可被用来解决厂区布局、管路铺设、线路安装等实际问题。
本文介绍了图论的起源和发展、最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法解决物流货物配送中问题。
1 引言数学是一门古老的学科，它已经有了几千年的历史。
然而，图论作为数学的一个分支，却只有200多年的历史，但是其发展十分迅速。
图论是以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系。
事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟，而且它具有形象直观的特点，在图中点的位置和线的长短曲直无关紧要[1]。
图论的发展大力地推进了科学文明的进步，解决了很多实际应用问题。
图论是数学领域中发展最快的分支之一，它以图为研究对象。
图论中的图是有若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用来代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图论本身是应用数学的一部分，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立的建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论文中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
数学史上著名的七桥问题欧拉只用了一步就证明了不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的!这是拓扑学研究的先声。
图的染色问题一直是图论研究的焦点问题。
数学家赫伍德成功地运用肯普的方法证明了五色定理，即一张地图能够用五种或者更少的颜色染色。
美国伊利诺斯大学的黑肯和阿佩尔，经过四年的艰苦工作．终于完成了四色猜想的证明。
图论小论文
Dijkstra 算法在移动通信中的应用李鹏翔 信息与通信工程学院1、问题的提出在移动通信中，尤其是端到端的通信中，常常会涉及到求最短路问题。
但是，这里的最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短。
由于基站与基站之间、基站与终端之间的距离、阴影等因素的相同，不同设备之间构建的通信模型也各不相同，为了便于量化，我们将这些因素归一化，赋予它们以不同的权值，权值越小说明信道状况越好，信号传输需要的资源越少。
端到端之间最短路问题实际上是寻找所有可能路径之中权值最小的路径。
一个实际问题如下：上图中，我们假设1v 与6v 为两个移动用户，2345,,,v v v v 为四个基站，用户只能与和它相邻的基站进行通信，基站除了与用户外还能与和它相邻的基站进行通信。
基站与基站间、基站与终端间的权值不同，代表不同设备之间的环境状况不同，求从1v 到6v 应选择哪一路径使权值最小。
2、算法简介Dijkstra 算法是图论中确定最短路的基本方法，也是其它算法的基础。
Dijkstra 算法基本步骤： 令：{}{}_23,1,,,,i n s v i s v v v === 并令：{()()10,j j W v T v v s-==∞∈（1）、对j v s -∈，求()(){}()min ,j i ij j T v W v w T v +=。
（2）、求(){}min j j v sT v ∈得()k T v ，使()k T v =(){}min j j v sT v ∈令()()k k W v T v =（3）、若k n v v =则已找到1v 到n v 的最短路距离()k W v ，否则令i k =从s -中删去i v 转（1）。
这样经过有限次迭代则可以求出1v 到n v 的最短路线，可以用一个流程图来表示：第一步：先取()10W v =意即1v 到1v 的距离为0，而()j T v 是对()j T v 所赋的初值。
第二步：利用()1W v 已知，根据()(){}min ,j i ij T v W v w +对()j T v 进行修正。
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浅谈图论四色问题及其应用摘要：在地图上，相邻的国家涂不同的颜色，最少需要多少种颜色？100多年前有人提出了“四色猜想”，即只要用四种颜色就能做到。
本文通过对图论中图的基本概念以及四色问题的简单证明，通过分析实际问题，利用C程序进行编译，来解决实例地图的染色问题。
关键词：图论；四色问题；染色；C程序0 引言我们必须承认，有很多优美的数学问题都是来自于最日常的生活，比如在一张世界地图上，最少需要用几种颜色去给每个国家着色，才能使得任何两个相邻的国家的颜色不同？在学习图论这门课之前，我从来没有思考过这个问题，更不知道它是一个非常著名的数学难题。
所以我想，也许有的人能成为伟大的数学家不仅依靠天分，更重要的是善于观察和思考生活中蕴涵数学思想的细节，这恰恰是我们这样的学生所缺少的。
1 图论的起源1736年是图论的历史元年。
这一年，图论之父欧拉解决了哥斯尼堡城的七桥问题，发表了图论的首篇论文。
美丽的哥尼斯堡始建于1308年，是东普鲁氏王朝的都市，城内的一条河的两条支流绕过一个岛，有七座桥横跨这两支流。
脚下的七座桥触发了人们的灵感，人们有一项消遣活动，就是试图将河上的每座桥恰好走过一遍并回到原出发点，然而吸引了人们无数次的尝试却没人成功。
问题看起来不复杂，但谁也解决不了，说不出其所以然来。
直到1736年，欧拉解决了这一问题。
他将这个问题转化为图论问题，即把每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两个点的一条线来代替，从而得到一个点线图。
欧拉只用了一步就证明了哥尼斯堡的七桥问题没有解，并且推广了这个问题，给出了任意一种河桥图能否全部不重复、不遗漏地走一次的判定法则：如果通过奇数座桥连接的地方不止两个，满足要求的路线不存在；如果只有两个地方通过奇数座桥连接，则可从其中任一地方出发找到所要求的路线；如果没有一个地方通过奇数座桥连接，则从任一地出发，所求路线都能实现。
他还说明怎样快速找到所要的路线，并为此设计了一个15座桥的问题。
欧拉的论文在圣彼得堡科学院作了报告，成为图论历史上第一篇重要文献。
这项工作使欧拉成为图论（及拓扑学）的创始人。
1750年，欧拉和他的一个朋友哥德巴赫(C. Goldbach)通信时说发现了多面体的一个公式：设多面体的顶点数为Nv，棱数为Ne，面数为Nf，则有Nv-Ne+Nf= 2。
这类问题成为19世纪后半叶拓扑学研究的主要问题。
欧拉多面体公式表述了几何图形的一个基本组合性质，其目的是利用这一关系将多面体进行分类。
图论的发展从19世纪中叶开始，图论进入第二个发展阶段。
这一时期图论问题大量出现，诸如关于地图染色的四色问题、由“周游世界”游戏发展起来的哈密顿问题等。
进入20世纪，图论仍然得以继续快速发展，科学家们通过计算机技术对四色猜想进行了证明等。
2 图论基本概念2. 1 图的定义有序二元组G = < V(G)，E(G) >称为一个图，其中：（1）V(G) = {v1，v2，…，v n}是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点；（2）E(G) = { e1，e2，…，e n}称为边集，其元素叫做图的边。
2. 2 图的分类在图G中，与V中的有序偶（v i，v j）对应的边e称为图的有向边（或弧），而与V中顶点的无序偶对应的边e称为图形的无向边，每一条边都是无向边的图，叫做无向图，记为G =（V，E）；每一条边都是有向边的图叫做有向图，记为D =（V，E）；既有无向边又有有向边的图叫做混合图。
2. 3 权如果图G中任意一条边（v i，v j）上都附有一个数W ij，则称这样的图G为赋权图，W ij称为边（v i，v j）上的权（weight）。
2. 4 平面图和欧拉公式定义 2.4.1：设一个无向图G(V, E) (V中的元素称为顶点，E 中的元素称为边)，如果能把它画在平面上，且除了V中的顶点外，任意两条边均不相交，则称该图为平面图。
如果一个图和一个平面图同构，就称它为可平面图。
一个平面图将平面分成若干个部分，每个部分称为一个区域（又称面）；一个平面图所划分的区域中，总有一个区域是无界的，称其为外部区域，其他的称为内部区域。
定义 2.4.2：任何两个顶点之间总可以通过若干条边相连，这样的图称为连通图。
定理 2.4.3（Euler 公式）：设G是一个连通平面图，具有n 个顶点，m 条边及l 个区域，那么有n−m+l = 2 。
推论 2.4.4：具有n≥3个顶点的平面图至多有3n−6 条边。
推论 2.4.5：每个平面图必含有一个度小于或等于 5 的顶点。
定义 2.4.6：设有平面图G(V, E) ，满足下列条件的图G'(V ',E') 称为图G 的对偶图：G 的任一区域 R i内有且仅有一点v i'；对G的区域R i和R j的共同边界e k，画一条边e k' = (v i', v j')且只与e k交于一点；若e k完全处于R i中，则v i'有一自环e k'。
我们容易知道一个平面图的对偶图还是平面图。
下图G'是G的对偶图：3 着色问题定义3.1（顶点着色）：给图G的每个顶点指定一种颜色，使得任何两个相邻的顶点颜色均不同。
如果用k 中颜色对图G进行顶点着色，就称对图G 进行了k 着色，也称G是k -可着色的，若G 是k -可着色的，但不是(k−1) -可着色的，则称G是k 色图，称这样的k 为图G的色数，记为χ(G)。
定义3.2（边着色）：给图G的每条边指定一种颜色，使得任何两条相邻的边颜色均不同。
如果用k 中颜色对图G进行边着色，就称对图G进行了k 边着色，也称G 是k -边可着色的，若G是k -边可着色的，但不是(k-1) -边可着色的，则称G是k 边色图，称这样的k 为图G的边色数，记为χ'(G) 。
定义3.3（平面图的面着色）：对平面图G来说，它将平面分为r 个区域，现对每个区域染色，使得有公共边的区域颜色均不同，这种染色称为平面图的面着色，如果能用k 种颜色给平面图G进行面着色，则称G是k -面可着色的，进行面着色时，所用的最少颜色数称为平面图的面色数，记为χ*(G)。
4 四色定理的证明四色定理：每个可平面图是4-可着色的。
证明：设有一个连通图，有n 个顶点，如果这个图每个顶点都与除了自身以外的其他顶点相邻，则边的总数达到最大值。
由于每个顶点的度是n−1，所以包括重复计算的边总共有n(n−1) 条边。
因为每条边连着两个顶点，所以每条边都被重复计算两次，所以实际上边的总数是 E = n(n−1) ∕2。
由于图中任意两个顶点都相邻，如果相邻的顶点用不同的颜色，则图中n 个顶点都必须要用不同的颜色去着色，所以总共需要n 中颜色。
如果任意去掉一条边，那么原来这条边所连接的两个顶点可以同色，所以去掉一条边可以少用一种颜色。
此时如果再去掉一条边，就不一定会又减少一种颜色了，比如第一次去掉的边是e1,2，第二次去掉的边是e1,3，虽然 1 和2,1 和 3 可以分别着相同颜色，但是由于 2 和3 相连，所以这3个点还是需要2 种颜色。
为了保证能再减少一种颜色，第二次至少要去掉 2 条边。
同理为了保证再去掉一种颜色，下一次至少需要去掉三条边。
由此，如果希望用m 种颜色给图着色，至少要减少n −m 种颜色，则应该去掉的边数为1+2+⋯+(n−m) = (n−m)(n−m+1) ∕2；留下的边数为(m−1)(n−m∕2) 。
所以可以得到的结论是：用m 种颜色给顶点数 n ，边数不超过(m −1)(n −m ∕2)的连通图顶点着色，不管边怎么分布， 都能保证相邻的顶点颜色不同。
当 m = 4 时，对边数不超过3n −6 的图的顶点着色可以保证相邻顶点颜色不同。
对于平面连通图，根据推论 2.4.4 可知当 n ≥3时，边数一定不超过3n −6 ，所以用4 种颜色去给平面连通图着色，一定可以保证相邻的顶点颜色不同。
5 实际着色问题5.1 问题描述如下图所示，对图中8块区域进行染色。
要求相邻的区域不能染相同的颜色。
根据四色定理。
所以可以用四种颜色进行染色。
可以利用C 语言程序来解决这个问题。
其对应的邻接矩阵即为：{0,1,0,0,0,1,0,0},//地图的邻接矩阵{1,0,1,1,0,1,0,0},{0,1,0,1,1,0,0,0},{0,1,1,0,1,1,1,1},{0,0,1,1,0,0,0,1},{1,1,0,1,0,0,1,0},{0,0,0,1,0,1,0,1}, {0,0,0,1,1,0,1,0},5.2 程序流程1 2 34 5 6 785.3 算法分析：回溯法：本例可采用回溯法进行着色。
当area =1时，对当前第area个q区域开始着色：若area>n，则已求得一个解，输出着色方案即可。
否则，依次对区域area着色，若area与所有其它相邻顶点无颜色冲突，则继续为下一区域着色；否则，回溯，测试上一颜色。
回溯法的主要就是选择各种颜色，直到把此区域着完色为止。
5.4 编译结果编译运行结果如下：所以染色情况如下:6 总结本文通过对图论中图的基本概念，图的染色问题的简单介绍，对四色定理进行了简单的证明和通过对实际的例子来利用C程序（回溯算法）来实现对问题的解决。
四色问题的算法可以解决现实生活中很多问题。
本学期通过对图论的学习，让我对图论的基本概念和基本算法有了深入理解，图论的应用具有很好的使用价值。
参考文献[1] 张清华. 图论及其应用[M]. 北京:清华大学出版社，2012.[2] 严蔚敏. 数据结构[M]. 北京:清华大学出版社, 1999.[3] 谭浩强. C++面向对象程序设计[M]. 北京:清华大学出版社，2005.[4] 陶然. 四着色新算法及其应用[C]. 燕山大学，2010.附录（源代码）：# include<stdio.h># include<stdlib.h># define N 8 // N表示区int s[N]; //栈s[i]来表示地图的区域的颜色序号void MapColor(int dist[N][N],int s[N]){int color,area,k,i; //color代表颜色，area 表示当前要染色的是第几个区域，k表示已经染色区域的颜色s[0]=1; //第一个区域先着色为颜色1area=1;//从第二区域开始试探染色color=1;//从第一种颜色开始试探while(area<N)//是否全部染色完毕{while(color<=4){k=0;//对每一个区域，都从第一个区域的颜色开始比较。
while((k<area)&&(s[k]*dist[area][k]!=color))//判断是否重色// dist[area][k]表示当前即将染色区域和已经染色的第K个区域是否相邻。